Materi Mekanika Rekayasa 4 Statika : 1. Deformasi pada Konstruksi Rangka Batang : - Cara Analitis : metoda unit load - Cara Grafis : - metoda welliot - metoda welliot mohr 2. Deformasi pada Konstrusi Balok dan Portal : - Metoda unit load - Metoda luas momen (moment area) - Metoda conjugated beam 3. Konstruksi Statis Tak Tentu : - Metoda persamaan 3 momen - Metoda consistent deformation
I. DEFORMASI TITIK SIMPUL DARI STRUKTUR RANGKA BATANG Struktur Rangka Batang adalah suatu struktur yang terdiri dari batang-batang kaku yang satu sama lain dihubungkan dengan sendi dan membentuk suatu struktur yang kokoh dan stabil yang terdiri dari bentuk dasar segitiga . Batang-batang tersebut hanya mengalami gaya tarikan dan gaya desakan (tekan) yang disebut gaya normal akibat adanya gaya luar P yang bekerja di titik-titik simpulnya maupun akibat perubahan temperatur pada batang-batangnya. Dengan adanya gaya normal tersebut, yang dalam hal ini disebut gaya dalam, maka batang-batang kaku dari Struktur Rangka Batang tersebut akan berubah panjangnya, bisa bertambah panjang (akibat gaya normal tarik) atau bertambah pendek (akibat gaya normal tekan ). Besarnya perubahan panjang batang tersebut dipengaruhi oleh luas penampang batang, besarnya gaya batang, panjang batang serta modulus elastisitas batang, dimana jika dirumuskan adalah sebagai berikut : ΔLi =
𝑆𝑖 𝑥 𝐿𝑖 𝐴𝑖 𝑥 𝐸𝑖
, dimana :
ΔLi = Perubahan panjang batang (satuan : m , cm) Si = Gaya batang yang bekerja ( satuan : ton, kg ) Li = panjang batang (satuan : m, cm) Ai = Luas penampang batang (satuan m2, cm2) Ei = modulus elastisitas batang, berdasarkan sifat bahan (ton/m2 , kg/cm2) Akibat perubahan panjang pada batang-batang kaku tersebut, maka titik simpulnya akan berubah letaknya, baik dalam arah horizontal maupun arah vertical . Untuk mencari perpindahan titik-titik simpul tersebut digunakan dua metoda yaitu metoda analitis dan metoda grafis sebagai berikut : I. 1. Metoda Unit Load (Analitis) Pada penggunaan metoda unit load ini , dalam 1 perhitungan hanya bisa digunakan untuk menghitung deformasi pada satu titik simpul saja, caranya yaitu untuk menghitung deformasi dalam arah vertikal pada suatu
titik simpul, kita berikan beban sebesar 1 satuan beban vertikal pada titik simpul yang akan dicari deformasinya. Selanjutnya, dihitung besarnya gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan vertikal tersebut yang disimbulkan dengan αi . Masing-masing nilai gaya batang akibat beban 1 satuan tersebut (αi) dikalikan dengan masingmasing nilai perubahan panjang batang ΔLi baik akibat beban luar maupun akibat perubahan suhu . Jumlah dari masing-masing perkalian tersebut (∑αi x ∆Li ) merupakan nilai defleksi di titik simpul tersebut (dalam arah vertical). Jika hasilnya positip maka arah defleksinya sesuai dengan arah beban 1 satuan vertical yang diberikan, jika bernilai negatif maka defleksinya berlawanan dengan arah beban 1 satuan vertical yang diberikan. Demikian pula untuk menghitung deformasi dalam arah horizontal , kita berikan beban 1 satuan horizontal pada titik simpul yang akan dicari deformasinya. Selanjutnya, dihitung besarnya gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan horisontal tersebut yang disimbulkan dengan αi . Masing-masing nilai gaya batang akibat beban 1 satuan tersebut (αi) dikalikan dengan masing-masing nilai perubahan panjang batang ΔLi baik akibat beban luar maupun akibat perubahan suhu . Jumlah dari masing-masing perkalian tersebut (∑αi x ∆Li ) merupakan nilai translasi di titik simpul tersebut (dalam arah horisontal). Jika hasilnya positip maka arah translasinya sesuai dengan arah beban 1 satuan horizontal yang diberikan, jika bernilai negatif maka translasinya berlawanan dengan arah beban 1 satuan horizontal yang diberikan.
I.2. Metoda Grafis Akibat perubahan panjang batang, ada yang bertambah panjang untuk batang tarik dan ada yang bertambah pendek untuk batang tekan , maka secara logika titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang akan mengalami deformasi atau perpindahan titik . Untuk mencari deformasi pada setiap titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan metoda grafis ada 2 metoda yaitu welliot dan welliot-mohr . Metoda welliot bisa diterapkan pada konstruksi rangka batang statis tertentu dimana antara tumpuan sendi dan tumpuan roll dihubungkan hanya dengan 1 batang saja atau pada konstruksi rangka batang yang bersifat simetris. I.2.1. Mencari deformasi titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang statis tertentu dengan metoda welliot. Sebelum menggambar lukisan welliot, kita terlebih dahulu perlu mencari besarnya perubahan panjang masingmasing batang akibat beban-beban yang bekerja , yaitu ΔLi . Selanjutnya ΔLi tersebut digambar sesuai urutan penggambaran titik , untuk lebih jelasnya berikut adalah penyelesaian contoh soal di atas , dikerjakan dengan metoda welliot :
Contoh Soal 2 ) Cari deformasi di semua titik ; delta horisontal dan delta vertikal (A, B dan C ), susun hasilnya dalam tabel, Data –data Penampang : A = 15 cm2 dan E = 2x105 kg/cm2 metoda yang digunakan yaitu welliot : C
2m
P=1000kg
B
A
1.5 m
1.5 m
Terlebih dahulu hitung gaya-gaya batang akibat beban yang bekerja, selanjunya hitung ΔLi , dan hasilnya adalah sebagai berikut : Batang
Si (kg)
AC BC AB
833.3333 -833.333 500
Li (cm) 250 250 300
A (cm2) 15 15 15
E (kg/cm2) 200000 200000 200000
ΔLi = (Si x Li)/(Ai x Ei) (cm) 0.069444444 -0.069444444 0.05
Selanjutnya kita menggambar konstruksi rangka batang secara proporsional , karena skala yang dipakai diutamakan untuk ΔLi , maka untuk panjang batang kita sesuaikan yang penting bentuk gambarnya proporsional. Disini kita menggunakan skala (drawing scale di microsoft visio) yaitu : 1 cm = 0.01 cm . Rangka batang digambar secara proporsional (misal : panjang batang AB bisa digambar sepanjang 0.06 cm untuk panjang 3 m, maka untuk batang AC dan BC digambar 0.05 cm, karena panjangnya 2.5 m), disertai notasi batangnya dan nilai ΔLi nya seperti tergambar berikut :
Gambar welliotnya di mulai dari menggambar titik tetap yaitu titik sendi (merupakan titik tetap karena sendi tidak bisa bergeser baik arah vertikal maupun arah horisontal ) A=A’ ( kita beri nomor 1, maksudnya langkah ke 1), selanjutnya menggambar titik B’ dengan menarik garis AB sepanjang ΔAB=0.05 cm ke kanan karena batang AB merupakan batang tarik sehingga jika titik A tetap maka titik B akan bergeser ke kanan karena panjang batang AB bertambah panjang. Cara menarik garis AB, cukup dengan menyalin garis AB (lakukan copy paste), letakkan di titik A, arah garis ke kanan A, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.06 cm sedangkan seharusnya ΔAB=0.05 cm maka geser titik kanan ke kiri hingga panjang garis terbaca 0.05 cm, titik yg kanan tersebut dinamai B‘(kita beri nomor 2, artinya langkah ke 2). Selanjutnya , dari titik A‘ dan B“, kita bisa memperoleh titik C‘ karena pertemuan 2 batang AC dan BC yaitu titik C, caranya dari A‘ tarik garis AC sepanjang ΔAC=0.07 cm ke kanan atas ,karena batang AC tarik, dengan ketentuan A tetap, maka titik C akan bergeser ke kanan atas karena batang bertambah panjang,caranya salin garis AC letakkan di titik A dengan arah garis ke kanan atas, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.05 cm sedangkan seharusnya ΔAC=0.07 cm, maka geser titik kanan hingga panjang garis AC menjadi 0.07 cm , tandai dengan nomor 3, artinya langkah ke 3. Selanjutnya dari B‘ tarik garis BC sepanjang ΔBC= -0.07 cm ke kanan bawah ,karena batang BC tekan, dengan ketentuan B‘ tetap, maka titik C akan bergeser ke kanan bawah karena batang bertambah pendek,caranya copi garis BC letakkan di titik B dengan arah garis ke kanan bawah, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.05 cm sedangkan seharusnya ΔBC=0.07 cm, maka geser titik kanan hingga panjang garis BC menjadi 0.07 cm , tandai dengan nomor 4, artinya langkah ke 4. Karena titik 3 dan 4 ini berpencar sedangkan seharusnya kedua titik tersebut bersatu sebagai titik C’, maka dari garis AC ditarik garis yang tegak lurus dengan garis AC ( garis berwarna merah) , dan dari garis BC ditarik garis yang tegak lurus dengan garis BC ( garis berwarna biru) titik potong kedua garis tersebut adalah titik C’ (kita beri nama 5, yaitu langkah ke 5). Untuk membuat garis yang tegak lurus AC, caranya : baca arah garis AC, yaitu bersudut 53.13o , maka kita buat garis merah yang bersudut -36.87o seperti berikut:
Untuk membuat garis yang tegak lurus BC, caranya : baca arah garis BC, yaitu bersudut -53.13o , maka kita buat garis biru yang bersudut 36.87o seperti berikut:
Secara berurutan ,langkah-langkahnya tergambar berikut :
Hasil deformasi titik-titik simpulnyanya, diukur terhadap titik tetap A=A’
Secara lengkap hasil deformasinya adalah sebagai berikut : Titik A B C
ΔV (cm) 0 0 -0.019
ΔH (cm) 0 0.05 0.142
Tanda negatif dan positip menunjukkan letak pergeseran titiknya , positif ke kanan atau ke atas, negatif ke kiri atau ke bawah.
Contoh lain, untuk konstruksi rangka batang statis tertentu dengan batang-batang yang lebih banyak, langkahnya sama seperti di atas, misalnya untuk rangka batang berikut ini : 1)
2)
A
+2 .1m m +0.5mm
7m -0.
B
+0.5mm
C
m
D
-0.9mm
+1 .4
mm
E
-0.9mm
deltaH diD=0.9mm
deltaH diC=0.7mm
A=A’
+0.5
delta vertikal di D= 3.1mm
delta v di C = 2.6mm
E’
B’
+2 .1m m
C’ D’
+0.5
delta vertikal di E = 8.25 mm
-0.9mm
-0.9mm 7 -0.
+1 .4m m
3) G
F
H
0mm
m +2 .8 m
mm D
0m +7 .
4m
m
B
+9.0mm 3m
-1.8mm
m .0
A
E
+2.0mm
-7
+1.8mm
m
-1.0mm
4m
.8
0mm
-2
0mm C
+2.0mm
-2
0
+7
.0
.8
3m
F'
+1.8
C' B' +9.0
0
-1.8
0 G' +2.0
E'
H'
delta horisontal di H = 26.6 mm ke kanan -1
.8 -2
.0 -7
D'
+2.0
A'=A
4) D
C 0 mm
E + 1.3 mm
m
mm
0m
.7
- 2.4 mm
-3
- 2.4 mm
A
B
0 mm
delta horisontal di C dan D = 3.08 mm delta horisontal di E = 4.38 mm
0
B=B’=A’
- 2.4 mm
-3 m .7 m
del ta vertikal di D = - 2.31 mm
del ta vertikal di C dan E = - 2.4 mm
0
D’ C’
+ 1.3 mm
E’
5) Konstruksi rangka batang dengan tumpuan sendi – sendi akibat beban-beban yang bekerja mengalami perubahan panjang batang (ΔLi) seperti tertera dalam gambar, dalam satuan mm. Deformasi yang terjadi pada semua titik simpul dicari dengan metoda welliot dimulai dari titik A=A’=D’ (karena A dan D merupakan tumpuan sendi, makanya deformasinya = 0 sehingga titik A’ berimpit dengan D’) selanjutnya dari A’ dan D’ dicari titik E’, dst. seperti tergambar berikut ini :
+0.46875 mm
6 .3 2
6
-0
-0.1875 mm B -0.1875 mm C
-0
.3 2
A
1.5 m
1.5 m
E’
0
-0.1875 B’
2m
A=A’=D’ +0.46875 mm
51
-0.1875
E
.6 +0
ΔHc= - 0.38 mm
0 mm
mm
D
+0
ΔVc = - 2.21 mm
5 .6 1
C’
Metoda welliot bisa juga diterapkan pada konstruksi rangka batang yang bersifat simetris (simetris yang dimaksud disini selain bentuknya simetris, beban-beban yang bekerja juga simetris sehingga hasil gaya-gaya batangnya juga simetris) ,sekalipun tumpuan sendi dan tumpuan roll tidak dihubungkan oleh 1 batang saja tetapi ada beberapa batang seperti konstruksi rangka batang berikut ini, disini hanya digambarkan welliotnya
setengah saja, sedangkan untuk sisi kanan, langkahnya sama dan akan menghasilkan gambar yang simetris dengan gambar berikut : 6) CONTOH PERHITUNGAN DEFORMASI KRB DENGAN CARA WELLIOT , dimulai dari batang FG
m m .6 -1
+1.6mm
m m .6 -1
-1 .
6m
-1 m
+4.8mm
F
.6
m
m
+2.4mm
G
m
0
m
m
0m
H
3m
-1.0mm
+2.4mm
D
-1.2mm
I
3m
E
-1.2 mm
-1.0mm
C
B
A
6m
3m
3m
A=A'
-1.0 E' Skala 1cm = 1mm delta Li
+1.6
C'
delta horisontal di I = 13.313 mm
G’
0
+2.4 -1.6
F'
+4.8
I' -1.2
Contoh lain untuk metoda welliot untuk konstruksi rangka batang simetris : 7)
-1 .
6
delta Vdi G = 10.9mm
delta vertikal di I = 15.627 mm
Karena deformasi yang terjadi simetris maka diagram welliot dimulai di FG dengan asumsi : delta vertikal di F dan di G adalah sama
Dikerjakan dengan metoda welliot, dimulai dari G’ ke H’
mm
mm +0 .3
m 3m
B
I’
.9 +0 +0.56
.9
F’
E’
C’
H’ -1,48 mm
G’
0.3
0.3
0.3
-1,11 mm
-0
.9 +0
delta vertikal di D = 9.32 mm
-0 .9
B’
+0.56
0.3
m 9m -0.
-0.
delta Horisontal di B = 3.75 mm
A’=A
+0.56 mm 4m
m
E
9m
m
+1.3 mm 4m
D
-0.
3m
+1.3 mm 4m
C
I
-1,11 mm -0.
+0.56 mm 4m
mm
mm
A
H
-1,48 mm .3 +0
.9 +0
3m
-1,11 mm
+0 .9
G
F
-1,11 mm
D’ +1,3 mm
+1,3 mm
8) Welliot dimulai di batang yang berada dalam posisi simetris yaitu batang GD , jadi dimulai di G’ lalu D’.
G
A
-1.11 mm
+1.11 mm
C
4m
-0
m . 58
m
+1.48 mm
-0
.58
mm
+1.48 mm
D
4m
-1 . 74
mm
+1.11 mm
E
4m
3m
m
-1.11 mm + 0.42 mm
+ 0.63 mm
m . 74 -1
H + 0.63 mm
F
B
4m
delta horisontal di D/G = 2.6 mm
delta horisontal di B = 5.1 mm A=A’
.74
mm H’
+1.11
74 -1.
F’ 0.63
0.63
delta vertikal di D = 11.7 mm
delta vertikal di G = 11.3 mm
delta vertikal di C dan E = 8.4 mm
delta vertikal di F dan H = 7.8 mm
-1
C’
B’
E’ +1.11
-0.58 -1.11 +1.48
G’ -0.58
-1.11 +0.42 +1.48
D’
I.2.b. Mencari deformasi titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang statis tertentu dengan metoda welliot - mohr. Seperti kita ketahui, dari beberapa contoh di atas bahwa metoda welliot hanya bisa digunakan untuk bentukbentuk struktur rangka batang yang tertentu saja yaitu ada tiga kriteria yaitu : 1. Perletakan struktur rangka batang tersebut terdiri dari sendi dan roll , dimana sendi dan roll tersebut dihubungkan oleh satu batang seperti terlihat pada contoh 1), 2), 3) dan 4) dimana diagram welliot bisa dimulai dari titik tetap sendi dan titik berikutnya roll, titik simpul ketiga yang bisa dicari perpindahannya
adalah titik simpul yang merupakan pertemuan dua batang dari perletakan sendi dan roll yang sudah bisa diketahui perpindahannya,demikian seterusnya sampai semua titik diketahui perpindahannya. 2. Perletakan struktur rangka batang terdiri dari sendi – sendi dan batang-batang dimana salah satu ujungnya adalah sendi-sendi tersebut bertemu di satu titik , seperti terlihat dalam contoh 5 3. Struktur rangka batang simetris, baik bentuk maupun deformasinya, diagram welliot bisa dimulai dari batang yang membagi simetris struktur rangka batang tersebut, seperti terlihat dalam contoh 6), 7) dan 8) . Selanjutnya, bagaimana dengan bentuk struktur rangka batang yang tidak memenuhi ketiga kriteria tersebut? Untuk itulah dikembangkan metoda grafis yang lain yaitu metoda welliot – mohr. Perhatikan struktur rangka batang berikut ini, akibat beban luar batang-batang mengalami perubahan panjang seperti tertera dalam gambar :
Dalam mencari perpindahan titik dengan metoda welliot, karena tumpuan sendi dan roll tidak dihubungkan oleh satu batang , maka untuk sementara roll dipindah ke C, sehingga diagram welliot bisa dimulai dari titik A=A’ kemudian ke C’ dengan menggambar +ΔAC (serong ke kanan atas) dari A’ . Selanjutnya dari A’ dan C’ didapatkan titik D’, kemudian dari C’ dan D’ didapatkan titik B’, seperti terlihat dalam gambar berikut :
Titik B seharusnya tidak berpindah ke atas, karena Δ VB = 0, maka titik B’ seharusnya terletak pada garis AB, maka B’ diputar ke titik B”, maka titik-titik yang lain harus diputar juga (atau dikoreksi dengan sudut putar θA), sehingga perpindahan masing-masing titik adalah : AA, CC”, DD” dan BB” . Perhatikan bahwa besarnya koreksi C’C’’, D’D”, B’B” adalah sebanding dengan jarak terhadap A, koreksi-koreksi ini merupakan bentuk yang sebangun dengan Konstruksi Rangka Batang semula.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut : Konstruksi rangka batang seperti tergambar berikut mengalami perubahan panjang batang (ΔLi) akibat bebanbeban yang bekerja padanya seperti tertera dalam gambar, dalam satuan mm. F
12
3m
m
. -1 m m
2 .1 1 +
m
E
D
-0.7 mm
m
A +1.12 mm C 3m
0
3m
m
81
m
-1.46 mm
2 .4 -0
+0.77mm
. +1
m
B
3m
Untuk mencari deformasi semua titik dengan metoda welliot-mohr,maka tumpuan roll perlu dipindah sementara, yaitu ke titik C (salah satu titik terdekat A), maka gambar welliot-mohr dimulai dari titik tetap A=A’ selanjutnya gambar ΔAC sebesar +1.12 mm ke kanan maka diperoleh titik C’, selanjutnya dari titik A’ dan C” didapatkan titik D’, kemudian dari C’ dan D’ didapatkan titik E’ , dari D’ dan E’ didapatkan titik F’ dan terakhir dari C’ dan E’ didapatkan titik B’ . Selanjutnya, buat titik B” dengan cara menarik garis horizontal dari titik B’ ke kiri hingga persis di atas titik A=A’ yang juga sama dengan titik A” , selanjutnya kita buat gambar konstruksi rangka batang yang sebangun (yang bernotasi A”C”B”D”E”F”) seperti terlihat dalam gambar berikut, dan deformasi titik simpul diukur dari notasi ..” ke notasi ..’ :
F
m m 2
m
+1
.1
.1 2
3m
-1
m E
D
m 1 .8
m
+1
m
A +1.12 mm C 3m
0
3m
.4 2
-1.46 mm
+0.77mm
-0
m
-0.7 mm
B
3m
ΔH di E = 3.48 mm ΔHC=1.12mm
ΔVd=0.77cm
D”
A=A’=A”
+1.12
ΔV E=1.46mm
-1.46 E’
-1 .
F’
12
12
ΔVdi C 1.69mm
+0.77
C”
B’
+1 .
F”
ΔHB=1.12mm
D’
.8 1
B”
+1
E”
3.381 mm setara dengan AB=6m
1.69 mm
-0.7
1.69 mm
C’ -0.42 0
ΔH di D = 4.19 mm
ΔH di F = 6.53 mm
Contoh-contoh lain mencari deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan metoda welliot - mohr adalah sebagai berikut : 1) delta horisontal di F = 20 mm ke kanan 0mm
B"F" = (3/4)x22.3mm = 16.7 mm F"
B'
F'
+3.3mm -2 .
-4 .7 mm 1m . -2 C +3.0mm +3.0mm
3m
D
0mm
6m m +1.5mm
m
B"C" = 11.15 mm
2m
B
2m
welliot mohr dimulai dari A=A' ke C' roll sementara di C
A"B" = 22.3 mm
D"
C"
-4
.7
E' -2 .
+3.3 +1.9
D' 6
E"
A=A" +3.0 .1 -2
+1.5
+1.9mm
A
B"
F
E
C'
+3.0
2)
DIAGRAM WELLIOT MOHR DIMULAI DARI A=A'=A" KE D' ROLL SEMENTARA DI D B'B" = 0.1mm B'
A"C" = (3/9)x32.7mm=10.9mm
A"B" = 32.7 mm
G"
5.5mm C
E -1.2mm
m
+1
A 0mm
.5m
B -2.7mm +3
m
.3m
m 3m
.3 m
-1.7mm
-1.2mm
+2
F -2.7mm +1 .9m m
A"C" = (3/9)x32.7mm=10.9mm
F"
G
D
3m
3m
3m
+3
G'
.3
-0.8
F'
+2
C"
.3
.5 +1
-1.2
A'=A"=A=D'
-2.7
-1.2 C' E' + 1.9
-1.7
-2.7
delta vertikal di D 10.9 mm ke bawah
D"
A"D" = (3/9)x32.7mm=10.9mm
E"
delta vertikal di E = 9.6 mm kebawah
+5 .4 -6.7
+5 .4m m
-6.7mm
-3.0mm
m 4m
-3.0
+0.4
E'
-1.
4 -1.
-2.2
+0.4
delta vertikal di C= 6.6mm kebawah
A"B" =13.2 mm
D'
0
+2.0
3m
-2.2mm
B"C" = (1/2).13,2mm = 6.6mm
C' A=A'=A" D"
F' C" C"E" = (3/4).13,2mm = 9.9mm E"
delta H di B=2mm ke kanan
2m 2m
B +2.0mm C 0mm
A B' B" F"
E F +0.4mm +0.4mm D
3)
4)
C"
delta H di C = 7.8mm ke kanan C'
B"C" = (3/6).25,74mm= 12.9mm
D 2m
m
E
+3.9mm
C
3m
-5.
5m m
B
+3.9mm
3m
E"
B"
A"B" 25.74 mm
mm
2m
3 -2.
0mm
-1.0mm
A
-3. 2m
-5. 5
A=A'=A"
E'
(4/6).25,74 = 17.2 mm
delta H di D = 17.5 mm ke kanan
-3. 2
+3.9
-1
delta V di D 1mm ke bawah
3 -2.
0
D"
+3.9
B' D'
delta H di B=16.5mm kekanan
5) B"
H'
G"
B"E"=(2/8).111,4mm=27.9mm 111.4 mm setara dengan 8m
3
0
-4 .
(4/8).111.4mm=55.7mm
E"
H"
B'
D"
D"G"=(3/8).111.4mm=41.8mm
E'
+2.7
delta vertikal di D 27.2mm kebawah
-4 .3 +3.1
G' C"
D'
F"
0 +2.7
A"C"=(2/8).111,4mm=27.9mm
-4 .
3
A=A'
C'
+5.5 . -4
0
F' .8 -2
+5.5
0
G
+5.5 mm
2m
mm
C
-4
.3
0m
mm
+ 5.5 mm
2m
H
D
m
+ 2.7 mm
2m
E
3m
A
mm
.3
+ 3.1 mm
F
-4
-4
mm
0 mm
.8 -2
0 mm
delta vertikal di G=23.9mm ke bawah
deltaHdiD =11.5mm
-4
.3
mm
+ 2.7 mm
2m
B
6) panjang B”E”=3/8x20.09=7.54 mm
0
0
0
A
+
-2 .9
m
m
D +1.86 mm
9 2.
m m
0
4m
B
+1.04
4m
D’
+1.86 0
+
A=A’=A”=C’ 0
9 2.
0
D”
C”D” = 1.5/7x5.728=1.23 mm
+0
.3
F’ +0.3
2m
-0
C”
.3 5
C’
F” delta H di F = 1.3 mm
m
3m
F
D
-0.25
2m
+0.33mm
m 5m
B”
0m
E
mm
E” E’
+0.33
-1.12
m 0m
mm
35
1.5 m
64
-0 .
1.5 m
+0 .8
C +0.57mm
-0.25mm
. +0
-1.12mm
A
m
panjang A”D” = 5.728 mm
B
m 59
D’
D”F”=2/7x5.728=1.64mm
Dikerjakan dengan metoda welliot mohr, roll sementara di B
+1 .
7)
delta H di D = 1.874 mm
+1 .
C”
B’
A=A’=A”
. +0 +0 .
59
86
4m
m
+0.57mm
E -1.04 mm
C 3m
F’
3m
.9
panjang A”B” = 20.09 mm
delta V di F = 4.14 mm
delta H di F = 10.42 mm
+1.04
Dikerjakan dengan welliot mohr, roll sementara di C F
D”
-2
B’
-1.04
E’
panjang D”E”=4/8x20.09=10.045mm
F”
delta H di B = 11.46 mm
B”
E”
5
8)
delta horisontal di B = 5.2 mm
B”
H”
B’
-1
.74
mm
H’
delta vertikal di D = 11.9 mm
+0.63
D”
G”
panjang AB = 34 mm setara dengan 16 m, jadi AC = 4m/16m x 34mm = 8.5 mm
E”
E’
+1.11
Dikerjakan dengan cara welliot mohr, roll sementara di C
F
C
mm
+1.48 mm
D
58 -0.
-0
.58
mm
+0.63 mm
+1.11 mm
4m
-1.11 mm +0.42 mm
+0.63 mm
3m
m
7 -1.
H
G
-1.11 mm
-0 . 58
mm
A C"
F”
4m
-0 .58 +0.42
-1.11
G’ D’ +1.48
F’ A=A’=A” m 74 -1.
m
+1.11
+0.63
-1.11
-0.5
8
C’
+1.48
4m
+1.48 mm 4m
E
+1.11 mm 4m
B
9)
D m -5
m
C +2.0 4m
B"
Skala delta : 3m 1 cm = 2 mm
B'
delta H diB=6mm
B
CONTOH PERHITUNGAN DEFORMASI KRB DENGAN CARA WELLIOT MOHR DIMULAI DARI BATANG AC E"
F"
delta Vdi E=14.6 mm
-5
F' +1.2 C"
D"
0 -2.0D'
m -5
m
A
+1.2
F -2 +1.2 -5 0 m m E +2.0 +2.0 4m 4m
E' +2.0
A=A'=A" +1.2 +2.0C'+2.0
CONTOH PERHITUNGAN DEFORMASI KRB DENGAN CARA WELLIOT MOHR DIMULAI DARI BATANG AC
10) E
B'
B"
3m
m
c .4 -0
C
3m
-0.1
+0.3
+0
+0.2 D
-1 .0
+0.6
B
.6
A 4m
E"
4m
D"
-1 .0
E'
C" delta H di E = 2.773 cm
+0.2 D'
.6 +0 A=A' -0.1 +0.3 C' .4 -0
+0.6
I.3. PENGGUNAAN SAP2000 PADA KONSTRUKSI RANGKA BATANG Deformasi titik simpul Hitung deformasi yang terjadi pada Konstruksi Rangka Batang akibat beban-beban yang bekerja seperti tergambar berikut ini , abaikan berat sendiri batang, gunakan metoda welliot mohr, metoda unit load dan menggunakan software SAP2000, adapun data – data penampang adalah sebagai berikut : Luas penampang A = 66.45 cm2 Modulus elastisitas bahan E = 7000 kN/cm2
90 kN H 2m
90 kN I
90 kN
2m
G
90 kN J
3m
45 kN C
A 2m
D 2m
50 kN
E 2m
50 kN
F 2m
50 kN
2m
45 kN
B 2m
50 kN
Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka Batang dengan metoda welliot mohr.
Untuk menghitung deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang, langkah-langkahnya adalah : 1. Menghitung gaya-gaya batang (Si), bisa menggunakan metoda Cremona , seperti terlihat pada gambar berikut .
𝑆𝑖 𝑥 𝐿𝑖
2. Menghitung perubahan panjang batang (∆Li) dengan menggunakan rumus ∆Li = 𝐴𝑖 𝑥 𝐸𝑖 , dan hasilnya terlihat pada gambar berikut :
90 kN H
mm
03
7
m
m
90 kN
90 kN
-1.
95
88
.2
2m
-1
I
mm 965 -1. 4
m 7m 11 -2. 6
m D 0.9029mm 2m 50 kN
1 60
8
m
m
E 1.2039mm 2m 50 kN
-2
F
.4
07
5
m
m
1.2039mm 2m
50 kN
45 kN B
2m
9m
50 kN
0.8026mm 2m
90 kN
m
0.215 mm
52
C
m
J
0. 0.8026mm 2m
56
1.0319 mm
6 -0.
A
0.3225 mm
3m 45 kN
80
2m
3.3538 mm
G
-1 .
3. Selanjutnya, menggambar diagram welliot mohr , hasilnya untuk salah satu titik simpul yaitu ke arah bawah .
∆ VH = 8.33 mm
Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka Batang dengan metoda unit load.
Metoda unit load , hanya bisa menghitung deformasi salah satu titik dalam 1 arah saja, misalnya menghitung ∆ VH , maka terlebih dahulu menghitung gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan vertikal di H (alpha i) , dan hasilnya dirangkum dalam tabel berikut , dimana ∆ VH = 8.345 mm ke arah bawah .
Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka Batang dengan menggunakan sap2000 . Untuk menghitung deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan menggunakan SAP2000, langkahlangkahnya yaitu :
1. Menggambar Konstruksi Rangka Batang sebagai berikut :
2. Membuat penampang batang (frame section) sebagai berikut :
Lakukan frame release untuk mengkondisikan struktur rangka batang sebagai berikut :
Selanjutnya, lakukan analisis, hasilnya adalah sebagai berikut, klik kanan pada joint H, untuk melihat hasil secara detail .
II. DEFORMASI PADA BALOK DAN PORTAL II. 1. MENCARI DEFORMASI PADA BALOK /PORTAL DENGAN METODA UNIT LOAD Salah satu metoda yang digunakan untuk mencari deformasi yang terjadi pada balok akibat gaya-gaya dalam yang terjadi yaitu metoda unit load . Deformasi yang terjadi pada balok akibat gaya-gaya dalam yang terjadi berupa defleksi (ΔV), translasi (ΔH) dan rotasi (θ). Adapun rumus-rumus unit load untuk mencari deformasi tersebut adalah sebagai berikut : 1. Defleksi ΔVi =∫
𝑀 𝑚𝑖 𝐸𝐼
dx , dimana :
M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan vertical di titik i 2. Translasi ΔHi =∫
𝑀 𝑚𝑖 𝐸𝐼
dx , dimana :
M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan horisontal di titik i 3. Rotasi θi =∫
𝑀 𝑚𝑖 𝐸𝐼
dx , dimana :
M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan momen di titik i
Contoh Soal : Balok Statis Tertentu mendapat beban – beban seperti tergambar ; P = 4 ton q = 2 t/m
EI
A 3m
Ditanyakan : a. b. c. d.
Hitung ΔVC ! Hitung ΔVD ! Hitung θA ! Hitung θB !
C
B
3m
EI 2m
D
Penyelesaian : Karena ada 4 deformasi yang ditanyakan, maka perlu 4 persamaan momen unit load (mi) dan 1 persamaan momen akibat beban luar (M), sebagai berikut :
Akibat beban luar : P = 4 ton q = 2 t/m
EI
A
C
3m
EI
B
3m
VA= 4/3 ton
D
2m VB= 20/3 ton
Aibat beban 1 satuan vertical di C : 1
EI
A
C
3m
EI
B
3m
VA= 1/2
D
2m VB= 1/2
Akibat beban 1 satuan vertical di D : 1
EI
A
C
3m
EI
B
3m
VA= 1/3
D
2m VB= 4/3
Akibat beban 1 satuan momen di A : 1
EI
A 3m
C
B
3m
VA= 1/6
Akibat beban 1 satuan momen di B :
EI 2m
VB= 1/6
D
1
EI
A
C
EI
B
3m
3m
D
2m
VA= 1/6
VB= 1/6
Selanjutnya, untuk mempermudah kita buat tabel persamaan sebagai berikut : Balok
AC
CB
BD
Titik Awal
A
B
D
0-3
0-3
0-2
Batas-batas (dlm m) Persamaan M ( ton m )
4
Persamaan mi (ΔVC) (m)
1
3
20
x
3
1
x 2
2
Persamaan mi (ΔVD) (m)
−
Persamaan mi (θA) (m)
1-6x
1 3
x
4 3
1 6
x
0
x
-x
1
x – 1(x+2) = 3 x - 2
1
Persamaan mi (θB) (m)
-X2
8
x – 4 (x+1) = 3 x – 4
1 6
x
0
1
0
1-6x
Menghitung deformasi : ΔVC =∫
𝑀 𝑚𝑖 (𝛥𝑉𝐶) 𝐸𝐼
1
3 4
1
dx = 𝐸𝐼 ∫0 { 3 x . 2x } dx +
1 3 8 ∫ {[ 3 𝐸𝐼 0
1
1
2
x – 4 ] . 2x } dx + 𝐸𝐼 ∫0 { −x2 . 0 } dx
9
ΔVC = 𝐸𝐼
Jika dikerjakan dengan Microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut :
ΔVD =∫ 1
3 4
𝑀 𝑚𝑖 (𝛥𝑉𝐷) 𝐸𝐼 1
∫ { x . − 3x } dx + 𝐸𝐼 0 3
dx = 3
1
8
1
∫ {[ 3 x – 4 ] .[ 3x – 2] } dx + 𝐸𝐼 0
1
2
2
∫ { −x2 . -x } dx = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0
Jika dikerjakan dengan Microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut :
θA =∫
𝑀 𝑚𝑖 (𝜃𝐴) 𝐸𝐼
1
3 4
1
dx = 𝐸𝐼 ∫0 { 3 x .(1- 6x) } dx +
1 3 8 ∫ {[ 3 x 𝐸𝐼 0
1
1
2
– 4 ] . 6 x } dx + 𝐸𝐼 ∫0 { −x2 . 0 } dx
5
θA = 𝐸𝐼 Jika dikerjakan dengan microsoft mathematics , hasilnya sebagai berikut :
θB =∫
𝑀 𝑚𝑖 (𝜃𝐵) 𝐸𝐼
1
3 4
1
dx = 𝐸𝐼 ∫0 { 3 x . 6x } dx +
1 3 8 ∫ {[ 3 𝐸𝐼 0
1
1
2
x – 4 ] [1 − 6 x]} dx + 𝐸𝐼 ∫0 { −x2 . 0 } dx
1
θB = 𝐸𝐼 Jika dikerjakan dengan microsoft mathematics , hasilnya sebagai berikut :
