IntegralIntegral - gatot adi nugroho

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial). Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka : ∫ f(x) dx = F(x) + c ⇒ (c = konstanta) Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas) 1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR ∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ≠ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI ∫ sin x dx = - cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c

sifat-sifat: a. ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx b. ∫ ( f(x) ± g(x) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx c. jika

∫ f(x) dx = F(x) + c

maka ∫ f(ax) dx = 1/a F(ax) + c ∫ f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan : ∫ (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = ∫ f(x) dx substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du I = ∫ f(Q(u)) Q`(u) du jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) (ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI 1. Bentuk √ a2 - x2 misalkan x = a sin θ → θ = arc sin x/a dx = a cos θ dθ θ

∫ √ a2 - x2 dx = a ∫√ = a2 ∫

1 - sin2θ (a cos θ dθ)

cos2θ dθ

= ½a2 ∫ (1 + cos2θ) dθ = ½a2 (θ + sinθ cosθ) + c = ½a2 ∫ [arc sin x + x √a2 - x2 ] + c a

a

a

∫ √ a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x √ a2 - x2 + c

2. Bentuk ∫ √a2 + b2x2 Gunakan substitusi : x = a/b tgθ dx = a/b sec2θ dθ

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

3. Bentuk ∫ √b2x2 - a2 Gunakan substitusi : x = a/b secθ dx = a/b tgθ sec2θ

c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasilperkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yanglain.

I = ∫ f(x) g(x) dx Misalkan : u = f(x) du = ..... dx

; dv = g(x) dx ;

v = ∫ g(x) dx = ..... maka :

∫ u du = u v - ∫ v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ∫ v du jadi lebih mudah Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

B. Integral tertentu

(Dengan batas)

1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi a

a

∫ c dx = c(x) = F(b) - F(a) b

b

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

2. Sifat

b

a.

b

∫ c dx = c(x) = c(b - c) a

a

b

b.

c = konstanta

a

∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx a

c = batas ditukar

b

a

c.

∫ f(x) dx = 0

c = batas sama

a

b

d.

a

b

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx a

b

c

c = ( a < c < b)

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

MENCARI NILAI INTEGRAL Substitusi Contoh soal:

Cari nilai dari:

Integrasi parsial Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

Contoh soal: Cari nilai dari:

Gunakan rumus di atas

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

Substitusi trigonometri Bentuk

Gunakan

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

Cari

nilai

dari:

substitusi

Masukkan kan nilai tersebut:

Nilai sin A adalah

dengan

menggunakan

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

Integrasi pecahan parsial Contoh soal:

Cari nilai dari:

Akan an

diperoleh

dua

persamaan

yaitu

dan Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh

hasil

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral

RUMUS INTEGRASI DASAR Umum

(n ≠ -1)

(a adalah konstanta)

(a > 0, a ≠ 1)

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

Gatot adi nugroho 0504015079

Integral