Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 22 – 27 ISSN : 2303–2910 c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
KONVOLUSI DARI PEUBAH ACAK BINOMIAL NEGATIF NUR ADE YANI Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, ade
[email protected]
Abstrak. Dalam penelitian ini dikaji konvolusi dari peubah acak binomial negatif dengan menggunakan metode fungsi pembangkit momen. Kajian ini memberikan fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah peubah acak binomial negatif. Kata Kunci: Distribusi binomial negatif, Deret berpangkat
1. Pendahuluan Misalkan terdapat distribusi binomial negatif dengan peubah acak Yj , j = 1, 2, . . . , n dan parameter (αj , pj ). Fungsi kepadatan peluang dari Yj dapat dirumuskan sebagai berikut,
P (Yj = y) =
Γ(αj + y) αj p (1 − pj )y Γ(αj )y! j
untuk 0 < pj < 1 dan 0 < αj < ∞. Misalkan S = Y1 + Y2 + · · · + Yn adalah jumlah dari peubah acak binomial negatif, dengan masing-masing peubah acak Yj memiliki fungsi distribusi binomial negatif yang kemudian dapat ditentukan nilai harapan, variansi serta fungsi pembangkit momennya. Dalam teori peluang, distribusi dari jumlah peubah acak bebas dinamakan dengan konvolusi. Penggunaan metode konvolusi sering digunakan untuk jumlah dua peubah acak bebas. Untuk menentukan distribusi lebih dari dua peubah acak bebas digunakan proses konvolusi yang tidak mudah untuk ditentukan. Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan distribusi dari jumlah peubah acak bebas adalah dengan metode fungsi pembangkit momen. Dengan metode fungsi pembangkit momen dapat ditentukan fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah peubah acak bebas binomial negatif. 22
Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif
23
2. Konvolusi dari Peubah acak Binomial Negatif dengan Parameter yang Berbeda Misalkan Yj ∼ BN (αj , pj ) memiliki fungsi kepadatan peluang, maka fungsi pembangkit momen dari Yj adalah −αj 1 − qj et MYj (t) = . (2.1) pj Dengan memisalkan rj = qj /pj dan e t = et − 1, maka fungsi pembangkit momen dari Yj dapat ditulis kembali dalam bentuk −αj MYj (t) = 1 − rj e t , dan fungsi pembangkit momen S dapat diperoleh MS (t) =
n Y
−αj 1 − rj e t .
j=1
Selanjutnya akan ditentukan fungsi kepadatan peluang S, yang akan dijelaskan pada teorema berikut ini. Teorema 2.1. Misalkan Yj , j = 1, 2, . . . , n adalah peubah acak binomial negatif Pn dengan parameter (α + k, p1 ), S = j=1 Yj , p1 = maxj (pj ), dan α = α1 + α2 + α3 + · · · + αn , maka fungsi kepadatan peluang dari S adalah P (S = s) = R
∞ X
δk
k=0
Γ(α + s + k) α+k s p (1 − p1 ) , Γ(α + k)s! 1
untuk s = 0, 1, 2, · · · dan 0 untuk yang lainnya. Bukti. Notasikan R=
−αj n Y qj p1 j=1
(2.2)
q1 pj
untuk δ0 = 1, k+1
δk+1 =
1 X iξi δk+1−i , k + 1 i=1
ξi =
k = 0, 1, · · · ,
n X αj (1 − q1 pj /qj p1 )i j=1
i
.
Dengan mengasumsikan r1 = minj (rj) dan menotasikan rj r1 e e e 1 − rj t = (1 − r1 t) 1− 1− /(1 − r1 t r1 rj
(2.3)
(2.4)
(2.5)
24
Nur Ade Yani
maka diperoleh −αj n Y rj r1 e e MS (t) = . (1 − r1 t) 1− 1− /(1 − r1 t r1 rj j=1
(2.6)
Dengan fungsi pembangkit kumulan maka dapat ditulis logMS (t) = log
∞ −α i X 1 − r1 e t R + ξk (1 − r1 e t)−k .
h
k=1
selanjutnya dengan memperhatikan kembali MS (t), ∞ X −α MS (t) = 1 − r1 e t R · exp ξk (1 − r1 e t)−k
!
k=1
=R
∞ X
−(α+k) δk 1 − r1 e t .
k=0
Dengan menjabarkan kembali fungsi pembangkit momen S, diperoleh ∞ ∞ X X α+k+s−1 (α+k) s ts Ms (t) = e R δk p1 (1 − p1 ) . s s=0
k=0
Maka sesuai dengan definisi fungsi pembangkit momen, persamaan (3.10) memuat fungsi kepadatan peluang dari S yang dapat ditulis sebagai P (S = s) = R
∞ X
δk
k=0
Γ(α + k + s) (α+k) p (1 − p1 )s . Γ(α + k)s! 1
(2.7)
Selanjutnya akan ditentukan fungsi distribusi kumulatif dari S yang akan ditentukan dari fungsi kepadatan peluang yang diperoleh pada bahagian sebelumnya. Sehingga untuk menentukannya diberikan dalam suatu akibat dari Teorema 2.1. Akibat 2.2. Misalkan Yj , j = 1, 2, · · · , n adalah peubah acak binomial negatif dePn ngan parameter (α + k, p1 ), S = j=1 Yj , α = α1 + α2 + · · · + αn ,p1 = maxj (pj ) Qn q p −αj , maka fungsi distribusi kumulatif dari S adalah dan R = j=1 q1j p1j FS (s) = R
∞ X
δk
k=0
s X Γ(α + s˜ + k) s˜=0
Γ(α + k)˜ s!
p1α+k (1 − p1 )s˜
untuk s˜ = 0, 1, 2, · · · . Bukti. Jika FS (s) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi S apabila deret yang dibentuk konvergen seragam, selanjutnya akan dibuktikan deret tersebut konvergen seragam dengan menggunakan teorema M-Weierstrass. Perhatikan kembali fungsi distribusi kumulatif peubah acak S FS (s) = R
∞ X k=0
δk
s X Γ(α + s˜ + k) s˜=0
Γ(α + k)˜ s!
pα+k (1 − p1 )s˜. 1
(2.8)
Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif
25
Notasikan (1 − q1 pj /qj p1 ) > 0 untuk j = 2, 3, · · · , n dan untuk i = 1, 2, · · · , η = max2≤j≤n (1 − q1 pj /qj p1 ), dan dari persamaan (2.4) X n αj (1 − q1 pj /qj p1 )i |ξi | = i j=1 |ξi | ≤ α
ηi . i!
1 k+1 X iξi δk+1−i |δk+1 | = k + 1 i=1
≤
α k+1
k+1 X
η i |δk+1−i | .
i=1
Selanjutnya dengan menggunakan induksi akan terlihat α η 1 |δk | + η 2 |δk−1 | + · · · + η k+1 |δ0 | |δk+1 | ≤ k+1 η k+1 α(k+1) ≤ , (k + 1)! Sehingga prs ≤
s˜ Γ(˜ s + α)Rpα 1 (1 − p1 ) , s ˜ +α Γ(α)˜ s!(1 − η)
ini berarti bahwa deret dari fungsi distribusi kumulatif memenuhi kekonvergenan seragam. Dari Akibat 2.2 dapat disimpulkan bahwa ∞ X
Rδk = 1,
k=0
dengan kata lain Rδk adalah suatu fungsi kepadatan peluang dari suatu peubah acak, sehingga S merupakan peubah acak dari distribusi tertentu melalui proses pencampuran peubah-peubah acak, yang dapat dijelaskan pada teorema berikut ini. Teorema 2.3. Peubah acak S adalah peubah acak dari distribusi negatif binomial campuran dengan parameter (α+K), K adalah peubah acak dengan fungsi kepadatan peluang P (K = k) = Rδk ,
k = 0, 1, · · ·
dimana
R=
−αj n Y qj p1 j=1
q1 pj
,
(2.9)
26
Nur Ade Yani
dan k+1
δk+1 =
1 X iξi δk+1−i , k + 1 i=1
k = 0, 1, · · · untuk δ0 = 1.
(2.10)
3. Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif dengan Parameter yang Sama Selanjutnya akan dikaji konvolusi dari peubah acak negatif binomial dengan parameter yang sama, dalam hal ini nilai parameter (α, p) dari setiap kejadian sama. Fungsi pembangkit momen dari peubah acak Yj ∼ BN (α, p) adalah −α 1 − qet MYj (t) = . p Teorema 3.1. Misalkan Yj adalah peubah acak binomial negatif dengan parameter Pn (Λ, p), S = j=1 Yj , Λ = nα maka fungsi kepadatan peluang dari S adalah P (S = s) =
Γ(s + Λ) (1 − p)s pΛ , Γ(Λ)s!
untuk s = 0, 1, 2, · · · dan 0 untuk yang lainnya. Bukti. Misalkan r = q/p, t˜ = et − 1 dan Λ = nα, maka fungsi pembangkit momen dari Yj dapat ditulis kembali dalam bentuk −α 1 − qet MYj (t) = p −α = 1 − rt˜ . Untuk menentukan fungsi pembangkit momen S digunakan teorema dari fungsi pembangkit momen dari jumlah peubah acak bebas, sehingga fungsi pembangkit momen S dapat ditulis MS (t) = (1 − rt˜)−Λ Selanjutnya akan ditentukan fungsi kepadatan peluang dari S dengan parameter yang sama. MS (t) = (1 − rt˜)−Λ = pΛ (1 − qet )−Λ . Berdasarkan teorema Binomial, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi MS (t) = pΛ (1 − qet )−Λ ∞ X (s + Λ − 1)! (1 − P )s pΛ . = ets (Λ − 1)!s! s=0 Sehingga fungsi pembangkit momen S memuat fungsi kepadatan peluang dari S.
Konvolusi dari Peubah Acak Binomial Negatif
27
4. Kesimpulan Misalkan Yj , j = 1, 2, · · · adalah peubah acak yang berdistribusi negatif binomial Yj ∼ BN (αj , pj ), maka fungsi kepadatan peluang Yj adalah P (Yj = y) =
Γ(αj + y) αj p (1 − pj )y . Γ(αj )y! j
Jika S = Y1 + Y2 + · · · + Yn adalah jumlah dari peubah acak bebas berdistribusi negatif binomial atau disebut juga dengan konvolusi, maka MS (t) =
n Y
−αj , 1 − rj e t
j=1
dengan fungsi kepadatan peluang P (S = s) = R
∞ X
δk
k=0
Γ(α + s + k) α+k s p (1 − p1 ) . Γ(α + k)s! 1
Dan dari fungsi distribusi yang diperoleh maka distribusi dari S ∼ BN (α + K, p1 ) adalah jumlah dari peubah acak bebas ninomial negatif dengan jumlah parameter α + K dengan K peubah acak bebas, fungsi kepadatan peluangnya adalah P (K = k) = Rδk ,
k = 0, 1, · · · .
Apabila peubah acak binomial negatif dikonvolusikan dimana parameter setiap peubah acak sama yaitu (α, p) maka fungsi kepadatan peluang adalah P (S = s) =
Γ(s + Λ) (1 − p)s pΛ . Γ(Λ)s!
5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Ibu Dr.Maiyastri, Bapak Dr.Muhafzan, Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan dan Ibu Ferra Yanuar yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Bain, L.J. dan M. Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition. Duxbury Press, California. [2] Barnet, S dan R, G, Cameron. 1985. Introduction to Mathematical Control Theory Second Edition. Clarendon Preess. Oxford. [3] Brown,J.W. dan Churchill, R.V. 1996.Complex Variables and Applications.Ed. Ke- 6, Mc. Grawhill, Singapore. [4] Furman, E. 2006. On the convolution of the negative binomial random variables. Statistic and probability letters, Elsevier Academic Press, California. [5] Gnedenko, B. V. dan A. N. Kolmogorov. 1968. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. 2nd ed, Addison-Wesley, London. [6] Rosen, H. K. 2003. Discrete Mathematics and its Applications. 5th ed. McGrawHill, New York.
