MATEMÁTICA ENEM 2009 PROF. MARCELO CÓSER
www.anglors.com
DESAFIO DO NOVO ENEM: Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.
www.anglors.com
01) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050: a) taxa de crescimento populacional da China será negativa. b) a população do Brasil duplicará. c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA. d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. x e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.
397 283 116 0,41 41% 283 283 311 212 Taxa INDONESIA 0,47 47% 212 Taxa EUA
www.anglors.com
02) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003. Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões: Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome. Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda. Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País. Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es): A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 1 e 3.
E) 2 e 3.
www.anglors.com
www.anglors.com
03) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é: a) 5,15 b) 5,45 c) 5,75 d) 6,00 e) 6,15
Notas
Número de Alunos
De zero até 5
12
Acima de 5, até 7
20
Acima de 7, até 10
8
12 2,5 20 6 8 8,5 218 M 5,45 12 20 8 40 www.anglors.com
ATENÇÃO: nem toda média é aritmética. As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações. Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição.
A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes. Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano. Número de visitas ao dentista por ano
0
1
2
3
4
5 ou mais
Número de pessoas
63
105
39
47
16
10
www.anglors.com
VARIAÇÃO PERCENTUAL
FATOR DE VARIAÇÃO O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.
Exemplos: + 15% f = 1,15 + 234% f = 3,34 -23% f = 0,77 Ainda, a idéia de um fator decimal para porcentagem se mostra útil para equacionar problemas. Por exemplo, 23% de determinado valor corresponde a 0,23V.
www.anglors.com
04) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida?
Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.
f JAN f FEV f MAR fTRIMESTRE 1,06 1,05 f MAR 1,15 f MAR
1,15 1,033 1,06 1,05 3,3%
www.anglors.com
05) (CÓSER) No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média?
Temos que duas variações acumuladas devem equivaler a uma variação de 21%. O fator de variação correspondente a um aumento de 21% é 1,21. Assim, dois fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 1,21.
f f 1,21 f 2 1,21 121 11 1,1 100 10 10%
f 1,21
No exemplo dado anteriormente, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. O aumento mensal médio pode ser calculado por:
f f f 1,20 1,25 1,45 f 3 2,175 f 3 2,175 1,2956 29,56% www.anglors.com
06) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição: Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial. Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas? Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas. Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:
f . f 0,5 f 2 0,5 1 1 0,707 2 1,4143 Q 60 . 0,707 42,42 mg f 0,5
www.anglors.com
07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em 20 milhares) é aproximadamente N . 0,5 t 1 19.10
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: ( F ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. ( V ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas. ( F ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
t=2
t=0
20 1 19.100,5.0 20 N 1 19.1 20 N 1 20 N
20 1 19.10 0,5.2 20 N 1 19.10 1 N
20 20 N 6,89 1 1,9 2,9
t=4 20 N 1 19.10 0,5.4
N = 20 20 20 1 19.10 0,5 t
N
20 1 19.10 2
1
N
20 20 16,8 1 0,19 1,19
1 19.10 0,5 t 1
1 1 19.10 0,5 t
19.10 0,5 t 0 10 0,5 t 0
Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.
www.anglors.com
20 N 1 19.10 0,5 t
www.anglors.com
Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes. x
1
2
4
8
16
32
64
log2 x
0
1
2
3
4
5
6
Escala em PG Escala em PA
www.anglors.com
08) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? a) 3 vezes b) 10 vezes c) 30 vezes d) 1.000 vezes X e) mais de 1.000 vezes
A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.
Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.
www.anglors.com
www.anglors.com
www.anglors.com
www.anglors.com
