MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL
Renato Becker
2 OBJETIVO Transmitir ao participante as formas de evolução do dinheiro com o tempo nas aplicações e empréstimos e instrumentos para análise de alternativas de investimentos, enfatizar também aspectos teóricos para desenvolver a capacidade de resolução de novos problemas. Capacitar o participante a utilizar o Microsoft Excel na solução de problemas que envolvam a Matemática Financeira.
RENATO BECKER Formação:- Matemática, Economia, Pós-Graduação em Administração de Empresas e Controladoria. Experiência:- 10 anos como Analista de Sistemas na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 2 anos como Chefe de Planejamento de Materiais na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 4 anos como Assessor Técnico do PCP na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 4 anos como Coordenador do Projeto MRP II na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 9 anos como Gerente de Informática na Indústria de Fundição Tupy Ltda. 6 anos como Gerente de Tecnologia da Informação na Termotécnica Ltda. Professor Universitário da cadeira de Matemática Financeira na FURJ desde 1978. 8 anos como Instrutor do SENAC para os seminários de Matemática Financeira e Calculadora HP-12C. Instrutor da ABAM, FAE e FEJ.
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3 PROGRAMA FUNDAMENTOS Conceituação Simbologia Funções financeiras do Excel JUROS COMPOSTOS .Caracterização Fórmulas .Principal .Montante .Taxa de juros .Numero de períodos PRESTAÇÕES Caracterização Prestações iguais Taxa de juros .Quantidade de parcelas Prestação antecipada Prestação com carência (diferida) .Prestações com parcelas adicionais .Saldo devedor FLUXO DE CAIXA Valor presente líquido Taxa interna de retorno Taxa Interna de retorno modificada TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Conceituação Fórmulas e exemplos Exercícios
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4 INTRODUÇÃO A Matemática Financeira é utilizada em função de valor emprestados ou aplicados e no mundo dos negócios o processo de aquisição de bens e serviços pode produzir duas transações, a comercial e a financeira. A primeira é o ato de compra e venda e a segunda é gerada quando a compra/venda não é quitada integralmente e existe a necessidade da intervenção de um agente financeiro (formal ou não) GERAÇÃO DE UMA TRANSAÇÃO FINANCEIRA Todo produto ou serviço possui um valor de referência, que quando vamos a uma loja poderíamos comparar com o preço da ETIQUETA; Normalmente este primeiro valor é alvo de uma negociação, que pode ser reduzido através de um desconto, resultando no que chamamos de preço À VISTA; Quando o preço à vista não é pago integralmente, chamamos este valor parcial de ENTRADA, resultando um plano de pagamentos acordado entre as partes para a diferença; O plano de pagamentos é que gera a TRANSAÇÃO FINANCEIRA onde juros e montante serão calculados a partir da quantia financiada (P). Em resumo: Transação Comercial Valor de referência ou etiqueta Valor de referência - Desconto = Valor à Vista Valor À Vista - Entrada = Valor Financiado (P) Transação Financeira Valor Financiado + Juros - Pagamentos = Pagamento da dívida.
JUROS CONCEITUAÇÃO A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos - recursos naturais, trabalho e capital. Assim organizando a produção temos a geração de bens e serviços. A sua venda gera a renda que é distribuída na forma de salários, alugueis, lucros e juros, este último destinado aos proprietários do capital. No cálculo financeiro JURO é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por um determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. Dinheiro que se paga pelo uso de dinheiro emprestado
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5 SIMBOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA P (VP) = Principal, valor do capital no início de uma transação financeira, ou seja, é a quantia transacionada, também chamada de valor atual, valor presente, capital, etc.. i (TAXA) = Taxa de juros por período de capitalização, expresso na forma decimal (%/100), também conhecida como taxa unitária de juros. n (NPER)= Número de unidades de tempo do investimento, ou seja, é a duração da transação financeira, (representa a quantidade de capitalizações). j = Valor dos juros produzidos (recebidos/pagos) durante uma transação financeira. S (VF) = Montante, valor do capital no final do investimento acrescido de juros, também conhecido como valor nominal, valor futuro, valor final, etc.. R (PGTO) = Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga de forma parcelada. TIR = Taxa interna de retorno
Diagrama de Fluxo de Caixa
$ $ | | receitas 0 1 2 3 4| n-1| n +---+---+---+---+ .............---+---+---+---> período | | | | | | | | despesas $ $ $ $ Cuidados nos cálculos com Juros • A taxa de juros deve sempre ser transformada para o seu período de capitalização. • A taxa de juros e o número de períodos de uma transação financeira devem sempre ser expressos na unidade de tempo da taxa de juros.
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6 SALDO MÉDIO O cálculo do saldo médio de um saldo bancário é o resultado da soma dos saldos diários dividido pelo número de dias de observação.
saldo _ médio =
$ 1 + $2 + $3 + L + $n n
saldo _ médio =
$1 × n1 + $2 × n2 + $3 × n3 + L + $n × nn n1 + n2 + n3 + L + nn
Exemplo
Saldo D/C
Dias de Saldo
600,00 C
5
710,00 C
4
280,00 C
12
110,00 C
9
Saldo x Dias
Saldo Médio
TOTAL
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7 FUNÇÕES FINANCEIRAS DO EXCEL Neste trabalho somente serão abordados cálculos de Matemática Financeira que envolvam Juros Compostos. Para se fazer cálculos financeiros, se pode escrever a fórmula ou então utilizar a caixa de diálogo de auxílio para a composição da fórmula. Para ativar a caixa d diálogo de auxílio, na barra de Menus clicar em Inserir e escolher a opção Função ou de forma rápida clicar em fx conforme indicado pela seta na figura abaixo. Uma caixa de diálogo e escolher a opção Financeira e selecionar a função desejada. O Excel transforma os dados na fórmula desejada.
O Excel trabalha com o conceito de fluxo de caixa, ou seja, a resposta retornará com o sinal contrário do valor informado isto quer dizer que ao informar um valor positivo a resposta será um valor negativo e viceversa. Para a determinação da taxa de juros e do número de períodos os valores envolvidos devem se informados com o sinal trocado. Os valores informados nos cálculos podem ser: valores, fórmulas ou referenciar células. A taxa de juros deve ser informada na forma unitária (%/100) ou o valor acompanhado com o símbolo de porcentagem (%). Exemplo: – 10 % a.m. = 0,1 ou 10%
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8 FORMAS DE PAGAMENTO POR JUROS COMPOSTOS - Pagamento Simples (único) - Série Uniforme de Pagamentos (prestações) - Mistos
PAGAMENTO SIMPLES No sistema de pagamento simples sempre estão envolvidos um principal e um montante, além de evidentemente da taxa de juros e do tempo do investimento. Para P sempre atribui-se o tempo (período) zero e para S o período n. 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | P S
FÓRMULAS
n S = P (1+ i)
P =
S
(1 + i)n
+ juros Capitalização
=VF(Taxa;Número de Períodos;;Principal)
=VP(Taxa;Número de Períodos;;Montante)
- juros Descapitalização
I
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9 Exemplos 1. Um investimento paga 5% a.m. de juros, quanto é possível resgatar após 6 meses, se aplicarmos UM$ 35.000,00? 0 1 2 3 4 .5. . 6 +---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | P S
2. Qual o principal, que aplicado a juros de 11% a.a. produz um montante de US$ 35.000,00 após 12 anos?
3. Um investimento de UM$ 25.000,00 produz UM$ 36.600,00 ao final de 4 meses. Qual a taxa de juros? S i = n P
−1
=TAXA(;Número de Períodos;;Principal;Montante)
4. Durante quanto tempo um capital de UM$ 100.000,00 deve ser aplicado a juros de 10% ao mês para produzir juros de UM$ 61.000,00?
S P n= log(1 + i) log
=NPER(Taxa;;Principal;Montante)
5. Um banco remunera as aplicações com juros de 3% a.m.. Se aplicarmos hoje UM$ 8.500,00 e UM$ 10.000,00 daqui a 3 meses qual será o resgate daqui a 6 meses?
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10 PRESTAÇÕES (ou Rendas) Os sistemas de prestações são casos particulares de juros compostos e devido a sua freqüência e características foram desenvolvidas fórmulas para a determinação dos valores. O principio do sistema de prestações é o de que cada parcela é composta por dois valores, amortização e juros. Os principais sistemas são:- Prestações Iguais - Prestações Antecipadas - Prestações com carência ou diferidas - Prestações com pagamentos adicionais (balão)
PRESTAÇÕES IGUAIS OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS É o caso mais comum de sistema de prestações e serve como base para a maioria dos demais sistemas. 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R | | P S
R - parcela de pagamento ou prestação
Antes de usarmos qualquer fórmula ou o Excel para cálculos que envolvam um sistema de prestações iguais é necessário que sejam observadas as suas características. Características 1- O primeiro pagamento de um sistema de prestações iguais ocorre um período após o inicio da transação financeira, ou seja, o período 0 é o início da transação financeira e a ele fica designado o principal. 2- O valor da parcela (R) é constante durante toda a transação financeira. 3- Não existem interrupções de pagamentos durante a transação financeira. 4- O número de períodos a ser considerado como n é igual a quantidade de prestações. 5- A taxa de juros e o intervalo de tempo entre pagamentos de parcelas, devem ser expressos na unidade tempo da taxa de juros. 6- O montante (S) é obtido junto com o pagamento da última prestação. Isto significa dizer que a transação financeira termina com o pagamento da última parcela. 7- O montante (S) de uma série uniforme de pagamentos é igual ao montante do principal que deu origem a ela.
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11 FÓRMULAS
(1 + i)n −1 S = R× i
=VF(Taxa;Nr. Parcelas;Parcela)
i R = S× (1 + i)n − 1
=PGTO(Taxa; Nr. Parcelas;;Montante)
(1 + i)n − 1 P = R× i × (1 + i)n
=VP(Taxa; Nr. Parcelas;Parcela)
i × (1 + i)n R = P× (1 + i)n − 1
=PGTO(Taxa; Nr. Parcelas;Principal)
Exemplos 1. Se depositarmos mensalmente UM$ 2.000,00 em uma conta que rende 5% a.m. de juros, quanto teremos ao final de 8 depósitos? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R | | P S
2. Posso pagar mensalmente de UM$ 1500,00 durante os próximos 10 meses. Que quantia é possível financiar se considerarmos uma taxa de juros de 6% a.m.?
3. Uma compra de UM$ 72.000,00 será paga em 7 prestações mensais e iguais. Qual o valor da prestação, se a taxa de juros é de 11% a.m.?
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12 4. A loja “Vende Fácil” diariamente distribui aos seus vendedores os coeficientes para determinar o valor das prestações no caso de vendas a prazo. Hoje ela determinou que a taxa de juros a ser praticada é de 4,2% ao mês. Ajude o gerente determinar os coeficientes para os planos de 4, 7 e 12 meses.
TAXA DE JUROS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS A taxa de juros de um sistema de prestações iguais normalmente é determinada por meio de calculadoras financeiras ou então por aproximações sucessivas com o uso de interpolação linear.
Exemplo Um financiamento de UM$ 40.000,00 será pago em 24 prestações mensais de UM$ 2.360,00 cada. Qual a taxa de juros usada no financiamento? =TAXA(;número de períodos;Parcela;Principal)
Podemos obter a taxa de juros, de forma aproximada, através da formula de Karppin
Q=
n×R −1 P
r=
200 × Q × (3 + Q ) n × (3 + 2 × Q ) + 3
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13 NÚMERO DE PARCELAS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS O número de parcelas de um financiamento a partir do valor financiado e do valor da prestação é determinado por:R R −P×i log(1 + i)
log n=
=NPER(Taxa;Parcela;Principal)
Exemplo Um financiamento de UM$ 20.000,00 será pago em prestações mensais de UM$ 2.256,00 cada. A juros de 5% a.m qual a duração do financiamento?
Obs. Quando o valor de “n” for um número não inteiro, será necessário recalcular o valor da parcela pois, neste tipo de transação financeira não existem períodos fracionários.
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14 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS Neste caso a primeira prestação é paga no dia da tomada do empréstimo, podemos dizer que estamos pagando uma entrada de valor igual ao da prestação. Este tipo de plano de pagamentos é muito usado no comércio. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | R R R R R R R R | | | P S
FÓRMULA
i × (1 + i)n − 1 R = P× (1 + i)n − 1
=PGTO(Taxa;Nr. de Parcelas;Principal;;1)
Exemplo Foram financiados UM$ 5.000,00, em 10 (1 + 9) prestações iguais, onde o primeiro pagamento ocorre no ato do financiamento. Qual o valor das prestações se a taxa aplicada é de 8% a.m.?
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15 PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA OU DIFERIDAS Este tipo de plano de pagamentos prevê que o pagamento da primeira prestação ocorre um certo número de períodos após a contratação do empréstimo, ou seja existe uma carência. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | R R R R R | P
Aqui devemos considerar dois períodos distintos q - número de períodos sem pagamentos (3) n - número de parcelas (5) FÓRMULA
i × (1 + i)n + q R = P× (1 + 1)n − 1
Exemplo Para fazer uma promoção de venda, será necessário elaborar um plano de 6 prestações iguais, onde a primeira prestação vence 4 meses após a venda. Determinar o valor das prestações de uma venda de UM$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5,4% a.m.? 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+-> | | | | | | | | | | R R R R R R | | 5000 ?
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16 PRESTAÇÕES COM PARCELAS ADICIONAIS São planos de pagamentos onde um ou mais pagamentos são maiores ou menores que a prestação a ser paga normalmente. q 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R | | P ± Adic.
Podem ocorrer duas situações: - é conhecido o valor do adicional - é conhecido o valor da prestação com o adicional
PRESTAÇÕES ONDE É CONHECIDO O VALOR DO ADICIONAL Neste caso calcular primeiramente o valor atual (P) do adicional
PADIC =
S
(1 + i)n
Em seguida calcular a diferença entre o valor atual da dívida e o valor atual do adicional, obtendo-se o saldo. SALDO = P – PADIC
PR
Finalmente calcular o valor da prestação tomando-se o SALDO por principal.
i × (1 + i)n R = PR × (1 + i)n − 1
PR = SALDO
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17 Exemplos Uma compra de UM$ 9.000,00 será paga em 7 prestações, todas iguais, menos a quarta prestação que será UM$ 1.000,00 maior que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 10% a.m.. q 0 1 2 3 4 5 6 7 +---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | R R R R R R R | | 90000 +1000
- valor atual do adicional
- valor do saldo
- valor da prestação
Uma compra de UM$ 40.000,00 será paga em 9 prestações, todas iguais, menos a quinta prestação que será UM$ 1.200,00 menor que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 6% a.m..
Observação: Para planos de pagamentos onde é conhecido o valor da parcela com adicional não existe fórmula específica para resolver.
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18 SALDO DEVEDOR DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES Consiste em determinar a parcela do principal, ainda não paga em determinada ocasião. P = 20000 r = 10% a.m. n = 12 parcelas R=? Saldo devedor no vencimento da 5a prestação
Mês 0
Juros
Saldo Devedor antes do pgto
Parcela
Saldo Devedor após pgto
Amortização
20.000,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Exemplos Uma compra esta sendo paga através de 17 prestações de UM$ 5.000,00. Considerando uma taxa de 6% a.m., qual o saldo devedor antes e após o pagamento da sétima prestação?
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19 Uma compra esta sendo paga através de 20 prestações de UM$ 8.000,00. Considerando uma taxa de 14% a.m., determinar: a- Qual o valor à vista da compra? b- Qual o saldo devedor antes e após o pagamento da nona prestação? c- Quanto deveria ser dado de entrada para liquidar a dívida em 12 prestações de UM$ 8.000,00? À vista
a
Saldo Devedor 9 Prestação
Valor Entrada
JUROS/AMORTIZAÇÃO DE UMA PARCELA Juros de uma parcela – IPGTO(Taxa;Período;Nr. Parcelas;Principal) Amortização de uma parcela – PPGTO(Taxa;Período;Nr. Parcelas;Principal) Quais os juros e a amortização da oitava parcela de um financiamento de UM$ 10.000,00 com juros de 5% em 24 parcelas.
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20 FLUXO DE CAIXA Quando um plano de pagamentos não é um Plano convencional (Pagamento Simples ou Série Uniforme de Pagamentos), dizemos que se trata de um Sistema Misto e para determinar o Principal ou a Taxa de Juros o Excel utiliza um recurso denominado Fluxo de Caixa representado. Quando um ou mais períodos não apresentarem valor, para eles deve-se informar o valor zero tantas vezes quanto ele se repete. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 | P
VALOR PRESENTE LÍQUIDO =VPL(Taxa;{Valor1;Valor2;......}) =VPL(Taxa;Intervalo) Receitas e despesas devem ter sinal contrário Exemplo Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 | P =?
TAXA INTERNA DE RETORNO =TIR({Principal;Parcela1;Parcela3;......}) =TIR(intervalo) Receitas e despesas devem ter o sinal contrário Determina a taxa interna de juros do fluxo de caixa. Obs. – Receitas e despesas devem ser informadas com sinais contrários.
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Exemplo Determinar a taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 | 2100
TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA Retorna a taxa interna de retorno modificada para uma série de fluxos de caixa periódicos. MTIR considera o custo do investimento e os juros recebidos no reinvestimento do capital. =MTIR({Principal;parcela1;parcela3;......};Taxa do financiamento;taxa de reinvestimento) Receitas e despesas devem ter o sinal contrário Obs. – Receitas e despesas devem ser informadas com sinais contrários. Exemplo Determinar taxa interna de retorno modificada do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa do financiamento igual a 7,87% a.m. e a taxa de reinvestimento de 9% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 | 2100
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22 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Quando uma taxa de juros é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no final de um número de períodos são maiores do que os calculado pela taxa oferecida. Por exemplo, se um principal de UM$ 10.000,00 for aplicado a 20% ao ano capitalizados trimestralmente, temos:i = 20 / 4 = 5% ao trimestre P = 10000,00 n = 1 ano = 4 trimestres S = 10000 (1 + 0,05 )4 = 12.150,00
Assim os juros realmente pagos são de 21,5%. Com isto 20% ao ano capitalizados trimestralmente, representa a taxa nominal e 21,5% ao ano representa a taxa efetiva. FÓRMULAS
i e = (1 + i)n − 1
in = n × i
n = número de capitalizações a acumular
Exemplos 1. Quais as taxas nominal e efetiva anual equivalente a 11% ao bimestre?
2. Para 10% a.m. calcular as taxas efetiva equivalente a:1 trimestre
1 semestre
1 ano 2 anos 5 anos
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23 3. Sendo a taxa anual de 381,7% ao ano, qual a taxa mensal equivalente? ie = 381,7% ao ano n = 12 meses
i=
( 1+ i )− 1 n
e
4. Um banco cobra juros de 4% a.m.. Qual a taxa de juros para uma operação de 48 dias?
5. Uma operação financeira de 66 dias cobrou juros equivalentes 7,2%. Qual a taxa mensal correspondente?
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