MEKANIKA KUANTUM
5.1 Pendahuluan Mekanika Kuantum Mekanika kuantum dikembangakan melalui pendekatan-pendekatan oleh Erwin Schrodinger, Warner Heisenberg dan lain-lain pada tahun 1952-1926 di tempat yang terpisah. Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu menjelaskan banyaknya fakta eksperimen yang menyangkut perilaku sistem yang berukuran atom, bahkan teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang salah radiasi dari suatu rongga yang dipanasi. Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi prinsip ketidaktentuan menyebutkan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda dalam kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum kedudukan dan momentum awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup. Perbedaan mekanika Newton dan Mekanika Newton: Mekanika Newton 1. Kedudukan awal dapat ditentukan 2. Momentum awal 3. Gaya – gaya yang bereaksi padanya 4. Kuatitas teramati dengan teliti 5. Keadaan awal dan akhir dapat ditentukan dengan teliti Mekanika Kuantum: 1. kuantitas dapat teramati 2. Kuantitas teramati bersifat berbeda dengan atomik 3. Kedudukan dan momentum awal tidak dapat dipereoleh dengan ketelitian yang cukup Untuk suatu partikel (elektreon proton). Kedudukannya tidak terukur dengan pasti. ∆p≥ 2 ∆hXo ∆p> Xo≥ h2 ∆p= m ∆V ∆X=∆V t
∆V =
∆p m
=
h 2 m∆Xo
5.2 Persamaan Gelombang Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Ψ dari benda itu. Walaupun Ψ sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak Ψ2 ( atau sama dengan ΨΨ* jika Ψ kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu.
Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Ψ. Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan Ψ untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Biasanya untuk memudahkan kita ambil Ψ2 sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh Ψ, hanya berbadinng lurus dengan P. Jika Ψ2 sama dengan P, maka betul bahwa :
∫
x
∫
x
−x
Ψ 2 dV = 1
normalisasi
karena
Ρ dV = 1
−x
ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , Ψ harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu. Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel Ψ. ∂ 2Υ 1 ∂ 2Υ = ( persamaan gelombang ) ∂Χ 2 V 2 ∂t 2 Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.
Untuk gelombang monokromatik Y= A e
−iω (t − vx )
= A cos ω ( t − vx ) − iA sin ω ( t − vx )
y merupakan kuantitas kompleks
5.3 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Ψ bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap Ψ dalam arah x dinyatakan oleh : Ψ = Ae-2πI(Vt-x/λ)
sehingga : Ψ = Ae-(i/ħ)(Et-px)
Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Ψ hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas. Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Ψ dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger. Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya. Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki. ∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ ih =− + VΨ ∂t 2m ∂x 2
ih
(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ =− + 2 + 2 + VΨ ∂t 2m ∂x 2 ∂y ∂z
(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi)
dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait.
Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu ψ ~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum ψ : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur
−iω(t−vx )
ψ= A e
ψ=A e
maka
, ω= 2πf, V =λf
−2πi ( ft − λx )
,
energi totalnya E=hν =
F=
hc
λ
, dengan λ=
2πh h 2πh , p= = p p λ
E E = h 2πh
Persamaan gelombangnya menjadi ψ= Ae
− ( hih )( Et − px )
∂ 2Ψ ∂2 p2 − ( hi )( Et − px ) − ( i )( Et − px ) = ( Ae ) = − [ Ae h ] 2 2 2 ∂x ∂x h
∂Ψ p −( i )( Et − px ) ∂ 2Ψ p2 = iA e h jadi = − Ψ ∂x h ∂x 2 h2 ∂Ψ ih =− Ψ ∂t h
Kita tahu bahwa energi total E= Ek+Ep (non relativistik) p2 + V ; dikali dengan ψ = 2m Eψ=
p2Ψ ∂Ψ iE + VΨ , karena = − Ψ , maka ∂t 2m h
Eψ=
h ∂Ψ i ∂t
∂ 2Ψ p2Ψ = − ∂x 2 h2 ∂ 2Ψ p Ψ = −h ∂x 2 2
-−
2
h ∂Ψ h2 ∂ 2Ψ =− + VΨ i ∂t 2m ∂x 2
sehingga menjadi :
i 2 = −1 →
i i = 2 1 − (1)
∂Ψ h2 ∂ 2Ψ ih =− + VΨ ∂t 2m ∂x (persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
5.4 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis Ψ = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x = ψ e-(iE/ħ)t ini berarti, Ψ merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang bergantung kedudukan ψ . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas.
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi ∂ 2ψ 2m + (E − V )ψ = 0 ∂x 2 h 2 Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2m + + + (E − V )ψ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 h 2 Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Ψ yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian ψ n disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen : En = -
1 32π ε h n 2 me 4 2
2 0
2
n = 1,2,3……
Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu Ψ2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.
Persamaan gelombang partikel bebas Ψ = Ae
− ( hi )( et − px )
= Ae
− ( hi ) Et
= Ψe
− ( iEh ) t
+e
ip
( h )x
, dengan ψ= Ae
Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu, ih
∂Ψ h2 ∂2Ψ =− + vΨ ∂t 2m ∂x 2
−( )t h 2 − ( iEh )t h 2 −( h )t ∂ 2 Ψ e =− e + VΨ e h 2 2m 2m 2x 2 2 h ∂ Ψ 2m EΨ = − + VΨ → X 2 2 2m ∂x h
EΨ e
− ( iEh ) t
iE
iE
=−
∂ 2 Ψ 2m + 2 ( E − V )Ψ = 0 , tidak bergantung waktu ∂x 2 h Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang keduanya terikat. ∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ = ,Ψ = Y ∂x 2 V 2 ∂t 2 2L λn = , n=0,1,2,… n +1 Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen En = −
me 4 1 ( 2 ), 2 2 2 32π to h n
n=1,2,3…..
Momentum sudut ditentukan
Li = (l (l + 1))
1/ 2
h , l = 0,1,2,…..
dengan harga ekspektasi ~
< G > ∫ GΙΨΙ 2 dx, Ψ −~
5.4
Harga Ekspestasi ψ(x,y,z,t): Mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan oleh prinsip ketidaktentuan.Informasi ini dinyatakan dalam satu peluang dan bukan merupakan kuantitas yang sudah pasti. Misal, mencari kedudukan rata-rata x dari sejuml;ah partikel identik yang terdistribusi sehingga terdapat N1 partikel X1 dan seterusnya.
−
x=
N1XI + N 2 X 2 + ..... ∑ NiXi = N1 + N 2 + ..... ∑ Ni
Ganti bil;angan Ni dari partikel Xi dengan pelung Pi yang bisa diperoleh dalam selang dx di Xi .
Pi = ΙΨΙ 2 dx, sehinggaP( x)dx = ΙΨ( x ) Ι 2 dx Probabilitas untuyk menemukan partikel antara X1 dengan X2 x2
x2
∫ p( x)dx = ∫ ΙΨ ( x)Ι
x1
2
dx1
x1
Jika suatu partikel dapat tentukan 100% maka; x2
∫ ΙΨ ( x)Ι
2
dx = 1
x1
Harga ekspestasi kedudukan partikel tunggal ~
=
∫ xΙΨΙ dx ∫ ΙΨΙ dx 2
−~ ~
2
−~
~
dari persamaan
∫ ΙΨΙ
2
dx partikel akan ditemukan antara x=-~ dan x=~
−~
sehingga;
~
∫ ΙΨΙ
2
dx =1
−~
< x > av =
~
~
−~
−~
2 2 ∫ xΙΨΙ dx = ∫ ΙΨΙ xdx,
Harga ekspensi dari suatu kuatitas seperti energi potensial ~
= ∫ G ( x)ΙΨΙ 2 dx −~
5.6 Partikel Dalam Kotak Daerah bebas : partikel tersebut bergerak dalam medan potensial V = 0, dalam koordinat kartesis memenuhi persamaan harga eigen. ÔΨ=λψ, dimana : Ô = Operator eigen Ψ = Fungsi eigen λ = Nilai eigen dari Ô terhadap ψ
−
h2 ∂2Ψ ∂Ψ h2 ∂ 2Ψ ∂Ψ + V Ψ = i h → + + ih =0 2 2 ∂t ∂t 2m ∂x 2m 2 x
∂ 2 Ψ 2m + 2 EΨ = 0 ∂x 2 h Solusi umumnya berbentuk
Ψ ( x, t ) = ΨE ( x)e − iEt / h Solusi persamaan harga eigen ΨE ( X )
ΨE ( X ) = e IKX Energinya h2K 2 , E= 2mo
1 k= (2moE )1 / 2 h
Hal ini dapat dibuktikan E= K + V =0 2 = ½ mV 2 = 2Pm h h h 2L P= , λ = atauv = denganλ = λ mv mλ n Jadi K= ½ mv2=1/2 m (
h 2 ) mλ
h2 2L n 1 , λ= → = 2 n 2L λ 2mλ 2 2 2 2 n h n (2πh ) (2πh ) 2 = = k= 8mL 8mL2 2mλ2 K=
E=k= E=
(2πh ) 2 2π , dengank = 2 λ 2mλ
k 2h 2 2m
Jadi k =
1 (2mE )1 / 2 h
Menurut Einstein E=hv, maka bentuk fungsi gelombang geraknya ψ = ( xt ) = e i ( kx −ωt ) , untuk t = 0
ψ ( x) = e ikx 2me 2me x + b sin x h h Pada x = 0 ψ ( x) = 0 , tetapi suku kedua tidak sama dengan nol maka b sama dengan nol Tetapiψ hanya akan enjadi nol di X = L hanya jika : = A cos
2me L = nπ : dimana n:1,2,3………. h Energi yang dapat diiliki partikel mempunyai harga tertentu yaitu eigen yang membentuk tingkat energi system besar yaitu
n 2π 2 h 2 , dengan n= 1,2,3….(partikel dalam kotak) 2mL2 Jadi tingkat energi yang dimiliki oleh partikel yang terperangkap dalam kotak adalah E=n2Eo, jadi E1=Eo, E2 =4E0, E3=9Eo dst En =
Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenrgi En adalah 2mE n n 2π 2 h 2 ψ n = A sin X En = h 2mL2 nπx ψ n = A sin L Dengan ψ n adalah fungsi eigen yang sesuai dengan harga eigen E n Jika keadaan suatu partikel berada x= 0 samapai x=L , maka L
2
L
nπx dx L
2 2 ∫ ψ n dx = A ∫ sin
O
O
A=
2 L
