Mendeskripsikan Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi A. Kaidah Pencacahan 1. Kaidah pencacahan Pengisian Tempat yang Tersedia Apabila suatu kegiatan pertama dapat dikerjakan dalam m1 cara yang berbeda dan kegiatan kedua dapat dikerjakan dengan m2 cara yang berbeda, serta kegiatan ketiga dapat dikerjakan dengan m3 cara yang berbeda, dan seterusnya maka kegiatan – kegiatan itu dapat dikerjakan secara berurutan dalam m1 x m2 x m3 x … cara yang berbeda. Contoh : Dari sebuah perkumpulan ada 4 calon untuk ketua, 6 calon untuk wakil ketua dan 2 calon untuk sekretaris. Dalam berapa cara ketiga posisi itu dapat diisi ? Jawab : Seorang ketua dapat dipilih dalam 4 cara, wakil ketua 6 cara dan sekretaris dalam 2 cara, sehingga banyak cara ketiga posisi itu dapat diisi = 4 x 6 x 2 = 48 cara. 2. Pengertian dan Notasi Faktorial Definisi : Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n di sebut n factorial, sehingga didefinisikan: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x … x 3 x 2 x 1 0! = 1 1! = 1 Contoh : Hitunglah nilai dari 6! Jawab : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Contoh : 1. Berikut ini jalan yang dapat dilalui pengendara motor dari kota A ke kota C melalui kota B. Ada berapa cara yang dapat dilakukan dari A ke C ? 1 5 2 A B C6 3 7 4 2. Ada berapa cara yang dapat dilakukan dari A ke C ? 1 5 2 B A C6 3 4
7
8 D 5! ! 2! 4. Nyatakan 4 x 3 dalam notasi faktorial !
3. Hitunglah
Kunci Jawaban : 1. Dari A ke B dapat dilakukan dengan 4 cara. Dari B ke C dapat dilakukan dengan 3 cara. Jadi, dari A ke C dapat dilakukan dengan = 4 x 3 = 12 cara, yaitu:
jalan 1,5 ; jalan 1,6 ; jalan 1,7 jalan 2,5 ; jalan 2,6 ; jalan 2,7 jalan 3,5 ; jalan 3,6 ; jalan 3,7 jalan 4,5 ; jalan 4,6 ; jalan 4,7 2. A ke B ada 4 cara A ke C melalui B ada 4 x 3 = 12 cara B ke C ada 3 cara A ke D ada 2 cara A ke C melalui D ada 2 x 1 = 2 cara D ke C ada 1 cara Jadi, A ke C baik melalui B maupun D ada 12 + 2 = 14 cara. 5! 5.4.3.2.1 3. = = 60 2.1 2! 4 x3x 2 x1 4! 4. 4 x 3 = 2 x1 2! B. Permutasi Banyaknya kemungkinan yang terjadi pada dua kejadian atau lebih yang bersamaan adalah perkalian dari banyaknya kemungkinan yang terjadi pada masing-masing kejadian. Permutasi adalah susunan elemen-elemen dari suatu himpunan yang memperhatikan urutannya. Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia
Contoh : 1. Dari 10 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Tentukan banyaknya pasangan ketua, sekretaris dan bendahara tersebut? Jawab:
2. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibentuk suatu bilangan dengan syarat pada setiap bilangan tidak terdapat angka yang sama. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk jika: a. bilangan itu terdiri dari 6 angka b. bilangan itu terdiri dari 5 angka c. bilangan itu habis dibagi 2 terdiri dari 4 angka d. bilangan itu ganjil terdiri 3 angka e. bilangan itu lebih dari 400 terdiri 3 angka Jawab : a. terdiri dari 6 angka 6 5 4 3 2 1 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 bilangan b. terdiri dari 5 bilangan 6 5 4 3 2 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720 bilangan c. habis dibagi 2 terdiri 4 angka 5 4 3 3 = 5 x 4 x 3 x 3 = 180 bilangan d. bilangan ganjil terdiri 3 angka 6 5 3 = 6 x 5 x 3 = 90 bilangan e. bilangan lebih dari 400 terdiri 3 angka 3 6 5 = 3 x 6 x 5 = 90 bilangan
Dari himpunan dengan n anggota terdapat sebanyak p elemen yang sama dan q elemen lain lagi yang sama, akan disusun permutasi n elemen sebagai berikut: A
A
A
p elemen (1 cara)
...
B
B
B
...
C
q elemen (1 cara)
D
E
...
t cara
permutasi p elemen yang berlainan = p! permutasi q elemen yang berlainan = q! permutasi n elemen yang berlainan = n! didapat persamaan : p! x q! x t = n! Jadi permutasi n elemen dengan p elemen sama dan q elemen lagi yang sama adalah:
Contoh: 1. Tersedia 6 ubin yang terdiri 4 berwarna merah dan 2 hijau, akan dipasang dalam satu baris. Berapa banyaknya komposisi pemasangan tersebut? Jawab: Komposisi pemasangan tersebut merupakan permutasi 6 elemen dengan 4 elemen sama dan 2 elemen lagi sama.
= 15 komposisi
=
2. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata
a. MISSISSIPI b. PHILOSOPHICAL Jawab: a.
=
b.
=
= 6300 = 194.594.400
C. Kombinasi Kombinasi adalah susunan elemen-elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya.
Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia
Contoh : 1. Dari 9 siswa tim lomba matematika akan dipilih 7 siswa untuk mengikuti lomba lari. Berapa banyak susunan regu yang dapat dibentuk? Jawab:
2. Berapakah banyak jajar genjang yang dapat dibentuk oleh sebuah himpunan empat garis sejajar yang berpotongan dengan garis-garis pada himpunan 7 garis sejajar lainnya ? Jawab : Setiap kombinasi 2 garis dari 4 garis dapat berpotongan dengan setiap kombinasi 2 garis 7 garis yang membentuk sebuah jajar genjang. Jadi banyak jajar genjang = 4C2 . 7 C2 = 6 x 21 = 126 jajar genjang
3. Suatu team basket akan dipilih dari 15 orang pemain. Berapa macam susunan dapat dipilih dari pemain yang tersedia? Jawab:
= 3.003 4. Dari 10 pemain akan dibentuk suatu tim yang terdiri dari 4 orang. a. Dengan berapa cara dapat dilakukan pemilihan? b. Dengan berapa cara dapat dilakukan pemilihan, jika salah seorang harus selalu ikut? Jawab: a.
= 210
b.
= 84
5. Hitunglah! a. 15C10 Jawab :
c. 18C13 – 7C3
b. 7C3. 6C2
a.
= 3.003
=
b.
= 2.100
=
c. = 8.568 – 35 = 8.533
