BAHAN AJAR
METODE NUMERIK D6114006
Disusun Oleh: Zaenal Abidin, S.Si., M.Cs.
JURUSAN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
BAB 1 PENGANTAR METODE NUMERIK Metode Numerik Secara Umum Model matematika fisika, kimia, ekonomi, teknik, dsb Seringkali model matematika tidak ideal / rumit Model matematika rumit tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk mendapatkan solusi eksak. Metode analitik metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).
Contoh ilustrasi : 1. Tentukan akar-akar persamaan polinom:
2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan:
Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.
Solusi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan) polinom menjadi perkalian beberapa suku.
Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.
Soal (2) masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua persamaan.
Metode Analitik VS Metode Numerik
Metode analitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.
Metode analitik hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu.
Nilai praktis penyelesaian metode analitik, terbatas.
Metode Numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa.
Secara harfiah, metode numerik cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.
2
Perbedaan antara metode numeriK dan metode analitik adalah : Metode Numerik
Metode Analitik
Solusi selalu berbentuk angka
Solusi dalam bentuk fungsi matematika
Solusi berupa hampiran atau pendekatan
Solusi eksak
Terdapat galat (error)
Tidak ada galat (galat=0)
Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa
Dalam bidang rekayasa, kebutuhan menemukan solusi persoalan secara praktis adalah jelas.
Masih banyak cara penyelesaian persoalan matematis yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk kurang kongkrit.
Penyelesaian analitik, kurang berguna bagi rekayasawan.
Banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran.
Contoh kasus : Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100oC. Kemudian, pada saat t = 0, bola dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30oC. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi 70oC. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendingin bola logam itu adalah 0,1865. Jawab: Dengan menggunakan Hukum Pendingin Newton
k = tetapan pendingan bola logam = 0,1865 Untuk menentukan suhu bola pada t = 22,78 menit, persamaan differensial harus diselesaikan agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan. Persamaan differensial metode kalkulus diferensial (cari sendiri???). Solusi umumnya adalah: T(t)=ce-kt + 30 Nilai awal yang diberikan T(0) = 100 3
T(t)=70e-0,1865t+30 Dengan memasukkan t=22,78 ke dalam persamaan T, diperoleh T= 31oC. Bagi rekayasawan, solusi persamaan differensial yang berbentuk fungsi kontinu, tidak terlalu penting. Dalam praktik di lapangan, rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola logam setelah t tertentu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan differensial, lalu solusi untuk t dicari secara numerik.
Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika Rumit Saja? Metode numerik berlaku umum, yakni dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik), maupun persoalan matematika yang rumit. Peranan Komputer dalam Metode Numerik
Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan menjemukan.
Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program.
Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter.
Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses untuk menyelesaikan masalah-masalah di dunia nyata.
Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat diselesaikan dengan komputer.
Alasan Mempelajari Metode Numerik
Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis.
Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program.
Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa.
4
Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.
Menangani galat suatu nilai hampirandari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program yang berskala besar.
Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasioperasi matematika yang mendasar.
Tahap Pemecahan Secara Numeris
Pemodelan
Penyederhanan Model
Formulasi Numerik o
menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.
o
Pertimbangan pemilihan metode Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat? Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data.
o
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
Pemrograman (translate algoritma program komputer)
Operasional pengujian program dengan data uji
Evaluasi intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.
Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik
Tahap 1, dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan.
Dimana peran orang informatika?
Infromataikawan berperan dalam tahap 3, 4, dan 5.
Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang informatika juga ikut dilibatkan dalam memodelkan.
Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan para pakar di bidang yang bersangkutan. Bersama-sama pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang diperoleh.
5
Turunan
( y y1 ) m( x x1 ) y y1 x x1
m
m f ' ( x) y f ( x) y1 f ( x1 ) x1 a
f ( x) f (a) xa p ( x) f (a ) f ' (a) 1 xa p1 ( x) f (a) f ' (a)( x a) f ' ( x)
f ( x) e x f ' ( x) e x Log(x)→natural logaritmic(ln(x)) Misal: f ( x) e x , a 0
P1 ( x) f (a) f ' (a)( x a) e a e a ( x a) e 0 e 0 ( x 0) 1 1( x) 1 x
Selesaikan ! 1. d(x²) = 𝟐𝒙 2. d(1+x²-2x³) = 𝟐𝒙 – 𝟔𝒙² 3.
1 ) 1−𝑥
𝑑(
𝑑𝑥
= 𝟏
= (𝟏 − 𝒙)−𝟏 𝟏−𝒙 = 4.
𝒅( (𝟏−𝒙)−𝟏 ) 𝒅(𝟏−𝒙)
.
𝒅(𝟏−𝒙) 𝒅𝒙
= −(𝟏 − 𝒙)−𝟐 −𝟏 = (𝟏 − 𝒙)−𝟐
𝟏 (𝟏−𝒙)𝟐 𝑑( 1+𝑥) 𝑑𝑥
= 𝟏
𝒅(𝟏+𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟏
𝟏
=
𝒅(𝟏+𝒙 𝟐 ) 𝒅(𝟏+𝒙) 𝟏
= 𝟐 (𝟏 + 𝒙)−
𝟐
=𝟐
.
𝒅(𝟏+𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
= 𝟐 (𝟏 + 𝒙)
𝟏 −𝟏 𝟐
𝟏 𝟏+𝒙
6
5.
𝑑( (1+2𝑥 5 )10 )
=
𝑑𝑥
𝒅( (𝟏+𝟐𝒙𝟓 )𝟏𝟎 )
=
𝒅𝒙
𝒅( ( 𝟏+𝟐𝒙𝟓 )𝟏𝟎 ) 𝒅𝒙(𝟏+𝟐𝒙𝟓 )
= 𝟏𝟎 (𝟏 + 𝟐𝒙𝟓 )𝟗
6.
𝑑(
𝑥 −1 ) 2𝑥 +5
𝑑𝑥
.
𝒅(𝟏+𝟐𝒙𝟓 ) 𝒅𝒙
(𝟏𝟎𝒙𝟒 )
=
𝒙−𝟏 𝒅( ) 𝟐𝒙+𝟓 = 𝒅(𝒙−𝟏) 𝒅𝒙 𝒅𝒙
.(𝟐𝐱+𝟓) –
𝒅(𝟐𝒙+𝟓) .(𝐱−𝟏) 𝒅𝒙
(𝟐𝒙+𝟓)𝟐 𝟐𝒙+𝟓 − 𝟐(𝒙−𝟏)
=
7.
(𝟐𝒙+𝟓)𝟐
𝑑 𝑥 2 −1 (2−3𝑥 4 ) 𝑑𝑥
=
𝒅 𝒙𝟐 −𝟏 (𝟐−𝟑𝒙𝟒 )
=
= u'v + v'u
𝒅𝒙 𝒅(𝒙𝟐 −𝟏)
=
𝒅𝒙
(2-𝟑𝒙𝟒 ) +
𝒅(𝟐−𝟑𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙
(𝒙𝟐 − 𝟏)
= 2x(2-𝟑𝒙𝟒 ) + −𝟏𝟐𝒙𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟏) =𝟒𝒙−𝟔𝒙𝟓 + −𝟏𝟐𝒙𝟓 +𝟏𝟐𝒙𝟑 =−𝟏𝟖𝒙𝟓 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙
8.
𝑑 cos 𝑥 2
=
𝑑𝑥
𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟐
𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟐
=
𝒅𝒙
𝒅 𝒙𝟐
𝒅𝒙𝟐 = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =−𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐
9.
𝑑 ln 𝑥
10.
=
𝑑𝑥
𝑑 ln 1−𝑥 𝑑𝑥
𝟏 𝒙
=
𝒅 𝐥𝐧 𝟏−𝒙
.
𝒅 𝟏−𝒙
𝒅 𝟏−𝒙 𝒅𝒙
=
𝟏 𝟏−𝒙
−𝟏
−𝟏 = 𝟏−𝒙
3
11.
𝑑( 𝑥 2 −3𝑥)2 𝑑𝑥
= 𝟐
𝒅((𝒙𝟐 −𝟑𝒙 𝟑 ) 𝒅 𝒙𝟐 −𝟑𝒙
.
𝒅 𝒙𝟐 −𝟑𝒙 𝒅𝒙
=
𝟐 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
−𝟏
7
𝟑
𝟐𝒙 − 𝟑
𝑑
12.
1−𝑥 2 𝑥 +1
𝑑𝑥 𝒅
=
= 𝟏−𝒙𝟐 𝒙+𝟏
𝟏 𝒅(𝟏−𝒙𝟐 ) 𝟐 𝒅𝒙
=
𝒅𝒙
𝟏 𝟏−𝒙𝟐 )−𝟏 𝟐 −𝟐𝒙 𝒙+𝟏 − 𝟏 𝟏−𝒙 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙+𝟏 𝟐
=
𝟏
=
𝟐 𝟏−𝒙𝟐
−𝟏
𝟐
𝟏
−𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙 − (𝟏−𝒙𝟐 ) 𝟐 𝒙+𝟏 𝟐
−𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙−
=
𝟐 𝟏𝒙𝟐 𝒙+𝟏 𝟐
− 𝟏 − 𝒙𝟐 =
−𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙−𝟐+𝟐𝒙𝟐
=
𝟐
𝟏−𝒙𝟐 (𝒙+𝟏)² −𝟐(𝒙+𝟏)
=
−𝟐 𝒙+𝟏
13.
𝟏 𝒅(𝒙+𝟏) (𝟏−𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙+𝟏)𝟐
𝒙+𝟏 −
𝑑 𝑠𝑖𝑛 3 1−𝑥 2 𝑑𝑥
𝟐
=
=
−𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙−𝟐 𝟏−𝒙𝟐 𝟐 𝟏−𝒙𝟐 𝒙+𝟏 𝟐
−𝟐𝒙−𝟐 𝟐 𝟏−𝒙²(𝒙+𝟏)² −𝟏
𝟏−𝒙² (𝒙+𝟏) 𝟏−𝒙²
=
𝒅 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝟏−𝒙𝟐 𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙𝟐 𝒅(𝟏−𝒙𝟐 )
=
𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙𝟐 𝒅 𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙
= 3𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙𝟐 −𝟐𝒙 = -6x 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙𝟐
8
BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Polinomial Taylor Umumnya fungsi f(x) yang ada di matematika tidak dapat dikerjakan secara eksak dengan cara yang sederhana.Sebagai contoh untuk menentukan nilai f(x) = cos(x) , 𝑒 𝑥 atau 𝑥 tanpa menggunakan alat bantu adalah hal yang sangat susah.Salah satu cara yang digunakan untuk mencari nilai f(x) adalah dengan menggunakan fungsi pendekatan yaitu polinomial. Diantara polinomial-polinomial yang banyak digunakan adalah polinomial taylor. Rumus umum dari polinomial taylor adalah sbb: Pn(x) = f(a) + (x − a) f′(a) + (𝑥−𝑎)𝑛
+
𝑛!
𝑛
0
f′′(a)+. ..
2!
(𝑎)
𝑥−𝑎 𝑗 𝑛 𝑗 =0 𝑗 !
= dengan 𝑓
𝑓
(𝑥−𝑎)2
𝑗
𝑓
𝑎
𝑎 =𝑓 𝑎
Contoh 1 : Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 0 maka 𝑓
𝑗
𝑥 = 𝑒𝑥 , 𝑓
𝑗
(0) = 1, ∀j≥ 0
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′
0
+
𝑥−0 2!
2
𝑓 ′′
= 1 + 𝑥 .1 +
𝑎
𝑥2 2!
=1+𝑥+
𝑥−0 𝑛!
+ ⋯+ .1 + ⋯ +
𝑥2 2!
+⋯+
𝑥𝑛 𝑛!
𝑛
𝑓
𝑛
0
.1
𝑥𝑛 𝑛!
Kasus khusus bila fungsi polinomial taylor diperluas disekitar a=0 maka dinamakan deret Maclaurin. Contoh 2 : Diketahui 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 dan 𝑎 = 0 Carilah deret Maclaurin dari fungsi f tersebut ! Penyelesaian : 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑓′′ 𝑥 = −sin (𝑥)
𝑓′′′ 𝑥 = −cos (𝑥) 𝑓
4
𝑥 = sin (𝑥) 9
𝑓
𝑛
𝑥 = cos (𝑥)
(𝑥 − 0)2 (𝑥 − 0)3 𝑥−0 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓′ 0 + 𝑓′′ 0 + 𝑓′′′ 0 + 2! 3! 4! 𝑥−0 + 5!
4
𝑓
4
0
5
𝑓
5
0 +⋯
𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 = 0 + 𝑥. 1 + .0 + −1 + 0 + 1 2! 3! 4! 5! 𝑥 3 𝑥 5 −𝑥 7 𝑥 9 = 𝑥− + − + +⋯ 3! 5! 7! 9! Latihan Soal Carilah deret Maclaurin dari 1. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 2. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 1
3. 𝑓 𝑥 = 1−𝑥 4. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
Penyelesaian 1. 𝑓′ 𝑥 = −sin (𝑥)
𝑓′′′ 𝑥 = sin (𝑥)
𝑓′′ 𝑥 = −cos (𝑥)
𝑓
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 +
𝑥 −0 4 4!
𝑓
4
′ 0
4
𝑥 = cos (𝑥)
𝑥−0 + 2!
𝑥−0 5
0 +
5!
𝑓
𝑓
5
2
𝑓
′′ 0
𝑥−0 + 3!
3
𝑓 ′′′ 0
0 +⋯
𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 −1 + .0 + .1 + .0 2! 3! 4! 5!
= 1+𝑥+
𝑥2 𝑥4 = 1− + … 2! 4! 2. 𝑓 ′ 𝑓 ′′ 𝑓 ′′′
𝑥 𝑥
𝑥
1
= 𝑥+1 =− 𝑥+1 =2 𝑥+1
−2
−3
=
=
−1 𝑥+1 2
2 𝑥+1
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓
′ 0
3
𝑥−0 + 2!
2
𝑓
′′ 0
𝑥2 𝑥3 = 0 + 𝑥. 1 + −1 + 2 +⋯ 2! 3!
10
𝑥−0 + 3!
3
𝑓 ′′′ 0
5
𝑥 = −sin (𝑥)
𝑥 2 2𝑥 3 =𝑥− + +⋯ 2! 3! 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 =𝑥− + + − + +⋯ 2 2 3 4 5 3. 𝑓 ′
𝑥
=− 1−𝑥
−2
=−
𝑓 ′′
𝑥
= 2 1−𝑥
−3
=
𝑓 ′′′
𝑥
= −6 1 − 𝑥
−4
2 1−𝑥 3 6 1−𝑥 4
=−
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ = 1 + 𝑥 −1 +
1 1−𝑥 2
𝑥2 2!
0
𝑥−0 2!
+ 𝑥3
2+
2
𝑓 ′′
0
𝑥−0 3!
2
𝑥−0 + 3!
3
+
𝑓 ′′′ 0
−6
3!
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯ 4. 𝑓 ′ 𝑥 = 1 2 1 + 𝑥 𝑓 ′′ 𝑓 ′′′
𝑥
𝑥
1
= −4 1 + 𝑥 3
= 8 1+𝑥
−1 2
−3 2
−5 2
1 2 1+𝑥
=−
=
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓
=
1
2
1 4 1+𝑥
3
2
3 8 1+𝑥
′ 0
3
2
𝑥−0 + 2!
2
𝑓
′′ 0
1
= 1 + 𝑥. 2 + 1
= 1+2𝑥 −
𝑥2 2! 𝑥2 8!
1
−4+ +
3𝑥 2 16!
𝑓 ′′′ 0
𝑥3 3
.
3! 8
+⋯
Galat Pada Polinomial Taylor Diasumsikan bahwa 𝑓(𝑥) mempunyai n+1 turunan kontinu pada interval 𝛼 ≤ 𝑎 ≤ 𝛽, misalkan titik 𝑎 berada pada interval tersebut maka 𝑅𝑛 (𝑥) disebut remainder atau galat atau sisa/residu. Dirumuskan : 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃𝑛 (𝑥) Dengan 𝑃𝑛 (𝑥) adalah Polinomial Taylor 𝑅𝑛 𝑥 =
𝑥−𝑎 𝑛 +1 𝑛 +1 !
𝑓
𝑛+1
(𝐶𝑥 ) , 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽
Dengan 𝐶𝑥 adalah sebuah titik yang berada diantara a dan x. Suku-suku deret Taylor biasanya di tuliskan tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. 11
Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-n disebut deret taylor terpotong. Deret Taylor yang dipotong sampai suku ke-n bisa dituliskan : 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 (𝑥) Contoh : Misalkan 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=1. (𝑥 − 𝑎)2 (𝑥 − 𝑎)4 4 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑥 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓"(𝑎) + ⋯ + 𝑓 (𝑎) 2! 4! Diketahui : ′
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , hampirilah deret taylor orde 4 di a=1. Penyelesaian : 𝑃𝑛 𝑥 = sin 1 + 𝑥 − 1 cos 1 + 𝑅5 𝑥 =
𝑥−1 5 5!
𝑥−1 2
− sin 1
2!
+
𝑥 −1 3 3!
− cos 1
+
𝑥−1 4 4!
sin (1)
cos (𝐶𝑥 )
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 = sin 1 + 𝑥 − 1 cos 1 + 𝑥−1 5 5!
𝑥−1 2 2!
− sin 1
+
𝑥 −1 3 3!
− cos 1
+
𝑥−1 4 4!
sin 1 +
cos (𝐶𝑥 )
dengan 𝑅5 𝑥 =
𝑥−1 5 5!
cos 𝐶𝑥 , 1 ≤ 𝐶𝑥 ≤ 𝑥
Deret taylor terpotong di daerah a = 0 disebut deret Maclaurin terpotong. Contoh : 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥 𝑛 +1 𝑐 𝑒 = 1 +𝑥 + + ⋯+ + 𝑒 2! 𝑛! 𝑛+1 ! 𝑥
Galat Didalam metode numerik selalu digunakan nilai hampiran untuk mencari nilai atau solusi numerik. Nnilai hampiran inilah yang memunculkan galat atau error. Error atau galat terjadi karena beberapa sebab : 1. dari pengamatan 2. dari pengabaian sesuatu 3. dari alat yang digunakan 4. dari metode numeris yang digunakan Galat didefinisikan sebagai : 𝜀 =𝑎−â 12
Keterangan: 𝜀 : dibaca epsilon : galat/error 𝑎 : nilai sejati(true value) : nilai hampiran (approximation value) Galat Relatif yaitu ukuran galat terhadap nilai sejatinya. 𝜀
𝜀
𝜀𝑅 = 𝑎 atau 𝜀𝑅 = 𝑎 100% Keterangan : 𝜀𝑅 : galat relatif 𝜀 : galat 𝑎 : nilai sejati Contoh : Dipunyai nilai π = 3,14159265... Nilai hampiran = 22/7 = 3,1428571... Sehingga galatnya adalah : ε = 3,14159265 - 3,1428571 = - 0,00126 𝜀
ε=𝑎 −0,00126
= 3,14159265 = -0,000402
Galat relatif hampiran yaitu : ukuran galat terhadap nilai hampirannya. 𝜀
εRA = ᾂ Macam-macam galat dalam penghitungan numerik : 1. Galat Pemotongan (Truncation Error) Galat ini mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti solusi eksak. Galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan, sehingga galat ini juga disebut galat metode.
13
contoh : cos(x) = 1-
𝑥2 2!
+
𝑥4 4!
-
𝑥6 6!
+
𝑥8 8!
-
𝑥 10 10!
Nilai hampiran
galat pemotongan
pemotongan 2. Galat Pembulatan Galat yang ditimbulkan dari keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real. contoh : 1 6
= 0,1666...
Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit (1 byte = 8 bit) 3. Galat total Atau galat akhir pada solusi numerik. Merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh : cos(0,5) ≈ 1-
0,52 2!
+
0,54 4!
≈ 0,877604...
galat pemotongan
galat pembulatan
contoh : 1. Hitunglah error, relative error, dan digit yang signifikan dibawah ini dengan perkiraan 𝑋𝐴 = 𝑋𝑇
Jawab
𝜀
−17
𝑎
28,254
εR = =
a) Xt = 28,254, XA= 28,271
= -0,000601684717
:
ε = a-â = 28,354-28,271 = -17
b) Xt = 0,028254, XA = 0,028271
𝜀
εR = 𝑎 =
Jawab : ε = a-â = 0,028254 - 0,028271 14
−0,000017 0,028254
= -0,0006016847
= -,000017
c) Xt = e, XA =
19
𝜀
εR= 𝑎 =
7
0,003996113714 3 2,178281828
= 0,0014700880803
Jawab : ε = a-â = 2,178281828 – 2,7142857142857 = 0,0039961137143 𝜀
εR = 𝑎 =
d) Xt = 2, XA = 1,414
0,0002135623731 1,4142135623731
=
0,0001510114022
Jawab : ε = a-â = 1,4142135623731 – 1,414 = 0,0002135623731
Bilangan Titik Kambang Format bilangan real di komputer berbeda-beda bergantung pada perangkat keras dan penerjemah bahasa pemrograman. Bilangan real di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik kambang 𝑎 = ±𝑚𝑥 𝐵ᴾ Keterangan: m = mantis (rill) B = basis sistem bilangan yang di pakai (2, 8, 10, dst) P = pangkat (berupa bilangan bulat)
Contoh: Bilangan rill 245,7654 dinyatakan sebagai 0,2457654 x 103 atau bisa juga ditulis 0,2457654E03
Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi Represensitatif bilangan titik kambang bisa beragam sebagai contoh kita dapat menuliskan sebagai 𝑎 = ± 𝑚𝑥 𝐵ᴾ⁻¹ 15
Misalnya 245,7654 dapat dituliskan sebagai 0,2457654 x 103 atau 2,457654 x 102 atau 0,02457654 x 104 dst. Agar bilangan titik kambang dapat disajikan seragam, maka digit pertama mantis tidak boleh “0”. Bilangan titik kambang yang di normalisasi ditulis sebagai: 𝑎 = ±𝑚𝑥 𝐵ᴾ = ±0 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3 … 𝑑𝑛 𝐵ᴾ Dimana d1, d2 ,d3 ... dn adalah digit matriks terhadap syarat 1 ≤ d1 ≤ b-1, dan 0 ≤ dk ≤ b-1 untuk k>1
Pada syarat desimal: 1 ≤ d ≤ 9 dan 0 ≤ dx ≤ 9
Pada sistem biner: d = 1 dan 0 ≤ dx ≤ 1
Contoh: 1. 0,0563 x 10-3 dinormalisasi menjadi 0,563 x 10-4 2. 0,00023270 x 106 dinormalisasikan menjadi 0,23270 x 103
16
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER Dalam matematika terapan kita sering mencari penyelesaian persamaan untuk f(x)=0, yakni bilangan-bilangan x=1 sedemikian hingga f(x)=0 sehingga f(r)=0; f adalah fungsi tak linier dan r yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik 0 fungsi tersebut. 1. Persamaan Aljabar Contoh: 1) Persamaan Polinom Berordo > 2 𝑎𝑛 𝑥ⁿ + 𝑎𝑛−1 𝑥ⁿ−1 + ⋯ + 𝑎₂𝑥 2 + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ = 0 Dengan 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 > 0 2) Persamaan Rasional 𝑃=
𝑅𝑇 𝐴 − 𝑣 − 𝑥 𝑣′(𝑣 + 𝑥)
Dengan P, R, T, A, v konstanta 2. Persamaan
Transenden,
adalah
persamaan
yang mengandung fungsi-fungsi
trigonometri algoritma atau eksponen. Contoh: 1) e-x + sin(x) = 0 2) hx – 2 = 0 3. Persamaan Campuran, mengandung baik persamaan polinom maupun persamaan transenden. Contoh: 1) x2 sin x + 3 = 0 2) x3 + ln x = 0 Dari contoh di atas tentukan bahwa rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian secara eksplisit hanya akan ada untuk kasus-kasus yang sederhana. Dalam banyak hal kita harus menggunakan metode-metode hampiran khususnya metode-metode iterasi. Metode iterasi numeris adalah metode dimana kita memilih sesuatu (x0) sebagai tebakan awal dan secara beruntun menghitung barisan nilai hampiran nilai (x0)(x1) dan seterusnya secara reprosif dari relasi berbentuk xn+1=g(xn); n=0,1,3 dengan g didefinisikan dalam selang yang
17
memuat (x0) dan rentan g terletak dalam selang tersebut,jadi secara ebruntun kita menghitung. Dari runtunan di atas diinginkan bahwa hampiran tersebut membentuk suatu barisan yang konvergen. Metode iterasi secara khas cocok untuk komputer karena metode ini melibatkan suatu proses. Ada 4 metode dasar untuk memecahkan persamaan non linier yang dikelompokan atas metode terbuka(selalu konvergen) dan metode-metode terututup(tidak selalu konvergen). Keempat metode ini adalah: 1) Metode Bagi Dua ( Bisection Method) 2) Metode Posisis Palsu ( Regula Falsi) 3) Metode Newton-rhapson 4) Metode secant
1. Metode Biseksi (Metode Bagi Dua) Pencarian lokasi akar ( i ) Grafik Tunggal
( ii ) Grafik Ganda y
y
f1 akar a[
]b x
F(x)=x ln (x) 1 f(x)
0,5
-1,34
1
-1
1,5
-0,39
2
0,38
2,5
1,29
akar x
(iii) Tabulasi
x
f2
18
Untuk mencari akar persamaan linier dengan menggunakan metode bagi dua yaitu harus dilakukan pertama kali adalah memperkirakan sebuah selang yang didalamnya mengandung solusi akar. Langkah Algoritma Misalnya: f(x) kontinu pada interval (a, b) Algoritma: 1. Definisikan c =
𝑎+𝑏 2
2. Jika | b – c | ≤ Ɛ, maka c akar persamaan selesai 3. Jika f(b) f(c) ≤ 0 maka a = c lainnya b = c
Contoh: Carilah akar persamaan dari x = e dengan Ɛ = 0,001 Penyelesaian: f(x) = e-x – x Ambil sembarang selang (-1, 1) f(-1) = e + 1 = 3,718 f(1) = e-1 – 1 = 0,632 f = x6 – x – 1 = 0 diambil selang (1, 2) f(1) = 16 – 1 – 1 = -1 f(2) = 26 – 2 – 1 = 61
n
a
b
c
b-c
f(c)
1
-1
1
0
1
0
2
0
1
0,5
0,5
0,1065
3
0,5
1
0,75
0,25
-0,2776
4
0,5
0,75
0,75
0,75
-0,897
Untuk menentukan jumlah literasi untuk mencari akar-akar 𝑛 ≥ 6
f(x) = x – x – 1 = 0
19
𝑏−𝑎 ) Ɛ
ln (
ln (2)
Ɛ = 0,001 pada selang (1, 2), banyak iterasi yang diperlukan untuk mencari akar adalah 𝑛 ≥
𝑏 −𝑎 ) 0,001
ln (
ln (𝑟)
n ≥ 9,97 ≈ 10 iterasi.
2. Metode Regula-Falsi (Metode Posisi Palsu) Meskipun metode dibagi 2 ( Bisection ) selalu berhasil dalam menemukan akar tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensinya dapat di tingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga diperhitun gkan. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) disebut metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu ( False Position Method). Dengan metode Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yang menghubungkan titik ( a, f(a) ) dan ( b, f(b) ). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tersebut seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar. 𝑏, 𝑓 𝑏
y
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐴𝐵 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐵𝐶
(x)
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 −0 = 𝑏−𝑎 𝑏−𝑐 𝑓 𝑏 (𝑏−𝑎)
𝑏−𝑐 =𝑓
(c,0)
𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑓 𝑏 (𝑏−𝑎)
𝑐 =𝑏−𝑓 b
a
𝑏 −𝑓(𝑎)
c
x A 𝑎, 𝑓 𝑎
Algoritma Misalkan dipunyai sebuah interfal [a, b] yang memenuhi 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏) < 0 dan sebuah toleransi galat 𝜀 maka Regulasi-Falsi dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Definisikan
𝑓 𝑏 𝑏−𝑎
𝑐 =𝑏−𝑓
𝑏 −𝑓 𝑎
2. Jika 𝑏 − 𝑐 ≤ 𝜀 maka c adalah akar dan proses selesai. 3. Jika 𝑓 𝑏 . 𝑓(𝑎) ≤ 0 maka a adalah ( a=c ). Untuk kondisi yang lain (jika kondisi itu tidak terpenuhi) b adalah akar ( b=c ).
20
Contoh 𝑓 𝑥 = 𝑥 6 − 𝑥 − 1 = 0 dengan 𝜀 = 0,001 pada selang 1,2
Diketahui : Iterasi
a
B
c
f(a)
f(b)
f(c)
b-c
1
1
2
1,02
-1
61
0,89
0,98
2
1,02
2
1,04
-0,94
61
-0,77
0,96
3
1,04
2
1,06
-0,77
61
-0,64
0,94
4
1,06
2
1,07
-0,64
61
-0,56
0,93
5
1,07
2
1,08
-0,56
61
-0,49
0,92
6
1,08
2
1,09
-0,49
61
7
1,09
2
0,91
dst
e 2 2 2 0,983870967 1,016129032
Metode Terbuka Metode Terbuka dibagi menjadi 3 yaitu: 1. Metode Iterasi Titik Tetap 2. Metode Newton – Rhapson 3. Metode Secant
1. Metode Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, metode langsung, atau metode substitusi beruntun. Jika dipunyai persamaan
secara aljabar dapat dibentuk menjadi
prosedur iterasi yang berpadanan adalah
.
21
. Maka
Selanjutnya membuat nilai awal
, kemudian menghitung nilai
sedemikian
hingga konvergen ke akar sejati
agar memenuhi
dan
.
Iterasi akan berhenti jika : <ℇ
atau
<δ
dengan ℇ dan δ telah ditetapkan sebelumnya Contoh : Carilah akar persamaan
gunakan metode iteresi titik tetap dengan
ℇ=0,000001 Penyelesaian : Diket
:
Ditanya : akar persamaan ? (i).
prosedur iterasi yang bersesuaian
Untuk mencari =
22
=3,31662479 :
=0,68337 r 0
4
-
1
3,316625
0,683375
2
3.103748
0,212877
3
3.034385
0,069362
4
3,011440
0,022945
5
3,00,3811
0,007629
6
3, 001270
0,002541
7
3, 000423
0,000847
8
3, 000141
0,000282
9
3, 000047
0,000094
10
3,000016
0,000031
11
3,000005
0,000010
12
3,000002
0,000003
13
3,000001
0,000001
14
3,000000
0,000000
Hampiran akar = 3 (konvergen monoton) (ii).
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
23
Tebakan awal
r 0
4.000000
-
1
1.500000
2,500000
2
-6.000000
7,500000
3
-0,375000
5,625000
4
-1,263158
0,888158
5
-0,919355
0,343803
6
-1,027624
0,108269
7
-0,990876
0,036748
8
-1,003051
0,012175
9
-0,998984
0,004066
10
-1,000339
0,001355
11
-0,999887
0,000452
12
-0,000038
0,000151
13
-0,999987
0,000050
14
-1,000004
0,000017
15
-0,999999
0,000006
16
-1,000000
0,000002
17
-1,000000
0,000001
Hampiran akar = -1,00000 (konvergen berosilasi) (iii).
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
r 0
4,000000
-
1
6.500000
2.500000 24
2
19.625000
13.125000
3
191.070313
171.445312
4
18252.432159
18061.361847
…..dst…..
Notasi divergen (nilai semakin membesar)
Teorema Kekonvergenan Misalkan
adalah solusi dari
dalam selang
dan andaikan
mempunyai turunan kontinue
yang memuat
Maka jika
dalam selang tersebut , proses iterasi yang didefinisikan akan konvergen ke
maka iterasi
Sebaliknya jika
akan divergen dari
Jika terdapat selang
dengan sebagai titik tetap, maka berlaku :
(i) .
→ Iterasi konvergen monoton.
(ii) .
→ Iterasi konvergen berosilasi.
(iii).
→ Iterasi divergen monoton.
(iv) .
→ Iterasi divergen berosilasi.
Contoh : a.
dalam selang tersebut ,
=
25
Karena
maka iterasi konvergen monoton
b. Tentukan selang agar
konvergen ?
Penyelesaian :
Syarat konvergen
Untuk
( tidak mungkin)
Untuk
Jadi iterasi akan konvergen
26
2. Metode Newton-Rhapson Y Y=f(x)
(X 0, f (X 0 )
X1
X0
X
Perhatikan grafik y f (x) di atas! Akar terjadi ketika grafik memotong sumbu x,estimasi untuk digunakan garis singgung yang menyinggung garfik y f (x) di x0 . Gradien garis singgung dapat dicari dengan turunan pertama fungsi f (x) . Dari gambar tersebut gradien garis singgungnya adalah: Gradien garis singgung ( xo , f ( xo )) dan ( x1 ,0) m
y2 y1 x2 x1
m f ' ( x)
f ' ( x0 )
f ( x0 ) 0 x0 x1
x0 x1
f ( x0 ) f ' ( x0 )
x1 x0
f ( x0 ) ……………..(*) f ' ( x0 )
Secara umum,bentuk rumus (*) bisa digeneralisasi menjadi: xn 1 xn
f ( xn ) ; n 0,1,2,3,4..., f ' ( x) 0 . . . (**) f ' ( xn )
Formula atau rumus (**) digunakan untuk prosedur iterasi metode Newton-Rhapson. Iterasi Newton-Rhapson akan berhenti pada kondisi:
xn 1 xn dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan. xn 1 Catatan: 1. Jika f ' ( xn ) 0 , ulangi kembali hitungan iterasi dengan x0 yang lain. 2. Jika persamaan f ( x) 0 memiliki lebih dari satu akar pemilihan x0 yang berbedabeda dapat menemukan akar yang lain. 27
3. Dapat terjadi iterasi konvergen keakar yang berbeda dari yang diharapkan. Contoh: Carilah akar dari f ( x) x6 x 1 dengan menggunakan metode Newton-Rhapson. Untuk menyelesaikan soal diatas maka terlebih dahulu mencari selang yang mengandung akar. Batas atas dan batas bawah selang sebaiknya menghasilkan nilai dengan
perubahan
tanda
ketika
dimasukkan
Selanjutnya,pilih satu nilai didalam selang tersebut. xn 1 xn
f ( xn ) f ' ( xn )
f ( x) x 6 x 1; x0 1,5 f ' ( x) 6 x 5 1 xn 1 xn
xn6 xn 1 6 x5 1
Jadi akar dari persamaan diatas adalah 1,134724 Tentukan hampiran akar untuk persamaan berikut: 1.
f ( x) x3 x 3 Dengan tebakan awal x0 (1,1)
2.
f ( x) x 4 x3 2 x 34 Dengan tebakan awal x0 3
Penyelesaian: 1.
f ( x) x 3 x 3 f ' ( x) 3 x 2 1 n
xn
f(xn) -0.569
f'(xn)
0
1.1
4.63
1
1.222894 0.051696 5.48641
0.122894
2
1.213472 0.000325 5.41754
-0.00942
3
1.213412 1.31E-08 5.417104 -6E-05
4
1.213412 0
5.417104 -2.4E-09
5
1.213412 0
5.417104 0
6
1.213412 0
5.417104 0
Jadi akar persamaannya adalah=1,213412 2.
xn-xn-1
f ( x) x 4 x3 2 x 34 f ' ( x) 4 x 3 3 x 2 2 28
kedalam
fungsi
tersebut.
n
xn
f(xn)
f'(xn)
14
xn-xn-1
0
3
79
1
2.822785 1.353001 64.06474 -0.17722
2
2.801666 0.01745
3
2.801386 3.02E-06 62.39517 -0.00028
4
2.801386 9.24E-14 62.39516 -4.8E-08
5
2.801386 0
62.39516 0
6
2.801386 0
62.39516 0
62.4168
-0.02112
Jadi akar persamaannya adalah=2,801386
Kriteria Konvergen Newton Raphson. Untuk memperoleh iterasi konvergen maka harus memenuhi harga mutlak
g’(x) < 1
Karena metode Newton Raphson adalah metode terbuka maka dapat dirumuskan g(x)
maka turunan pertama g(x)adalah :
g‟(x)=1= g‟(x)= karena syarat konvergensi g‟(x) maka
<1
<1
Dengan syarat f‟(x) 0 3. Metode Secant
29
Prosedur iterasi Newton Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi,sayangnya,tidak semua fungsi mudah dicari turunanya terutama fungsi yang bentukya rumit.Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen.modifikasi metode Newton Rhapson dinamakan metode secant. Diamsumsikan terdapat 2 nilai tebakan awal yaitu
dan x1. 2 titik (x0,f(x0)) dan (x1 ,f(x1))
pada kurva y =f(x) dibuat garis lurus,yang disebut garis secant.formmula untuk metode secant dapat dicari dengan menggunakan metode Newton Rapshon dengan menyamakan gradient yang ditentukan oleh : {(x0,f(x0));(x1,f(x1))} dan {(x1,f(x1)),(x2,0)}
F(X1)-f(x0)
= 0-f(x1)
X1-x0
x2-x1
X2-x1=X2=x1- f(x1)(x1-x0) f(x1)-f(x0)
„‟‟‟‟‟‟(*)
secara umum formula( *) dapat digeneralisasi menjadi: xn+1 = xn-f(xn)(xn-xn-1) f(xn)-f(xn-1)
30
akar persamaan f(x)=x6 –x -1
dengan x0=2,x1=1
n
xn
f(xn)
Xn-xn-1
0
2
61
1
1
-1
-1
2
1,016129
-0,91537
0,06129
3
1,190578
0,657466
0,174449
4
1,117656
-0,16849
-0,07291
5
1,132532
-0,02244
0,014876
31
BAB 4 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER a. Metode Iterasi Jacobi Tinjau kembali sistem persamaan linier 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 Dengan syarat 𝑎𝑘𝑘 ≠ 0, k =1, 2, ..., n. (0)
(0)
(0)
(0)
Misalkan diberikan tebakan awalnya 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 . Maka lelalaran pertamanya adalah : (0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(1) 𝑥1
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 − ⋯ − 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎11
(1) 𝑥2
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 𝑎23 𝑥3 − ⋯ − 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎21 ⋮ (0)
(1) 𝑥𝑛
(0)
(0)
𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1 𝑥1 − 𝑎𝑛2 𝑥2 − ⋯ − 𝑎𝑛𝑛 −1 𝑥𝑛−1 = 𝑎𝑛1
Lelaran kedua (1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2) 𝑥1
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 − ⋯ − 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎11
(2) 𝑥2
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 𝑎23 𝑥3 − ⋯ − 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎22 ⋮ (1)
(2) 𝑥𝑛
(1)
(1)
𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1 𝑥1 − 𝑎𝑛2 𝑥2 − ⋯ − 𝑎𝑛𝑛 −1 𝑥𝑛−1 = 𝑎𝑛𝑛
32
Secara umum : (𝑘+1) 𝑥𝑖
=
𝑏𝑖 −
(𝑘) 𝑛 𝑗 =1,𝑗 ≠𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑎𝑖𝑖
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘 = 0,1,2 …
b. Metode Iterasi Gauss-Seidel Lelaran pertama : (1)
(0)
(0)
(1)
(0)
(1)
(1)
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 𝑎11
𝑥1
=
(1) 𝑥2
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 𝑎23 𝑥3 = 𝑎22
(1) 𝑥3
𝑏𝑛 − 𝑎31 𝑥1 − 𝑎32 𝑥2 = 𝑎𝑛𝑛
Jadi hasil yang telah diperoleh langsung digunakan pada perhitungan berikutnya.
C. Latihan Tentukan solusi SPL 4x - y + z = 7 4x - 8y + z = -21 -2x + y + 5z = 15 dengan nilai awal P0 = (x0, y0, z0) = (1, 2, 2)
33
BAB 5 INTERPOLASI a. Pencocokan Kurva Pencocokan Kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva (curve fitting) fungsi. Pencocokan kurva dibedakan menjadi dua metode: 1. Regresi
Data memuat galat yang cukup berarti
Kurva cocokan mewakili kecenderungan titik data (tidak perlu melalui semua titik) sehingga selisih antara titik data dan titik hampiran sekecil mungkin
2. Interpolasi
Data dengan ketelitian tinggi
Kurva cocokan melalui setiap titik data
34
Interpolasi •
Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya
•
Fungsi cocokan berupa polinom: Interpolasi Polinom
•
Polinom berbentuk:
Pn ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
b. Interpolasi dengan Polinom Linear dan Kuadrat Interpolasi dengan Polinom Linear •
Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1)
•
Polinom yang menginterpolasi:
Interpolasi dengan Polinom Kuadrat •
Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)
•
Polinom yang menginterpolasi: P2(x)=a0 + a1x + a2x2 …………(*)
a0 dan a1 telah diketahui dari polinom linear Menentukan a2 : Substitusi (xi,yi) ke (*) 35
a0 + a1x0 + a2x02 = y0 (1) a0 + a1x1 + a2x12 = y1 (2) a0 + a1x2 + a2x22 = y1 (3) Dengan cara eliminasi diperoleh:
c. Interpolasi dengan polinom Newton
a0=y0 ,a1=f[x1,x0], a2=f[x2,x1,x0],…… an=f[xn,xn-1,…,x1,x0] Contoh: Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC)
(10-3 Ns/m2)
0
1,792
10
1,308
30
0,801
50
0,549
70
0,406
90
0,317
100
0,284
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur tertentu
36
Jawab: Nilai untuk T=400 •
Jika digunakan titik [30,50,70]:
•
Jika digunakan titik [10,30,50]: 0.643125000
•
Jika digunakan titik [0,10,30,50]: P3(40)=0.67010000
•
Jika digunakan titik [10,30,50,70]: P3(40)=0.652250001
P2(40)=0.6613750000
Polinom Lagrange Polinom linear:
Dapat disusun kembali menjadi:
Polinom kuadrat dapat pula disusun menjadi:
Atau:
Dengan memakai fungsi Lagrange n
Li j 0 j i
(x x j ) ( xi x j )
( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )...( x xi 1 )...( x xn ) ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )...( xi xi 1 )...( x0 xn )
n
Pn ( x) yi Li y0 L0 y1L1 yn Ln i 0
Pn ( x0 ) y0 , Pn ( x1 ) y1 ,....., Pn ( xn ) yn
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi 37
d. Interpolasi Dengan Polinom Newton Gregory Polinom Newton Gregory Maju Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x1= x0+h, x2= x0+2h,… Didefinisikan:
Sehingga
Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh
1. Polinom Newton Gregory Maju:
2. Polinom Newton Gregory Mundur Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x-1= x0-h, x-2= x0 -2h,… Didefinisikan:
38
Polinom Newton dapat ditulis:
Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh Diperoleh Polinom Newton Gregory Mundur:
C. Latihan 1. Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang. Tingkat suku bunga
F/P (n = 20 tahun)
15
16,366
20
38,337
25
86,736
30
190,050
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi Newton Lagrange dan Newton maju, Kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut. 2. Misal diberikan sekumpulan titik data. Bila di dalam tabel selisih maju ditemukan k bernilai hampir konstan (0) maka polinom yang tepat menginterpolasi titik-titik itu adalah polinom derajat k. Berikut ini diberikan pasangan nilai x dan f(x) 39
x
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
f(x)
0.003
0.067
0.148
0.248
0.370
0.518
0.697
a. Berapa derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ketujuh titik data di atas? b. Dengan derajat terbaik dari jawaban a) tentukan nilaiu fungsi di x = 0.58 dengan polinom interpolasi Newton Gregory maju 3. You are given some data: (0,f(0)), (h,f(h)), (2h,f(2h)) and (3h,f(3h)). Find P3 ( 52h ) with Lagrange polynomial 4. Jika sejumlah uang didepositokan dengan suatu kurs bunga tertentu maka tabel di bawah ini dapat digunakan untuk menentukan jumlah uang yang terakumulasi setelah 20 tahun Kurs bunga (%)
15
20
25
30
35
F/P
20,1114
20,4445
20,7777
21,222
21,8884
F/P adalah perbandingan dari keuntungan nanti terhadap nilai sekarang. Misalnya jika p = 1.000.000 didepositokan, maka setelah 20 tahun dengan bunga 32% jumlah uangnya menjadi: F = (F/P).P = 20,4445 x 1.000.000 = 20.444.500. a. Tentukan derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ke-enam titik di atas b. Dengan derajat terbaik pada jawaban a), tentukan jumlah uang setelah 20 tahun dari Rp.30.000.000 yang didepositokan dengan bunga 32%. (Gunakan polinom interpolasi Newton Gregory maju)
5. Sebuah daerah dijangkiti oleh epidemi demam berdarah. Misal f(t) menyatakan banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah setelah t minggu. Seorang petugas mencatat data sebagai berikut
t (minggu)
1
2
4
5
7
f(t)
3
8
15
25
40
a. Tentukan fungsi yang menghampiri data di atas dengan polinom Lagrange b. Gunakan hasil pada a) untuk menaksir banyak orang yang terjangkiti demam berdarah setelah 6 minggu c. Tentukan t jika banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah mencapai 20 orang
40
4 f 0 6. Buktikan bahwa: f [ x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ] 4!.h 4
41
BAB 6 INTEGRASI NUMERIK
Integral: Jika f(x)>0, tafsiran geometrik: luas daerah
Jika fungsi primitif F(x) yaitu f ( x)
dF ( x) dx
diketahui , maka
b
I f ( x) dx F (b) F (a) a
Jika tidak diketahui maka diselesaikan dengan Pengintegralan Numerik
a. Metode Newton-Cotes Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n, maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes b b I ( f ) f ( x) dx f n ( x) dx I n ( f ) a
a
Kaidah Segiempat Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi 42
konstan sepotong-potong)
I ( f ) I 0 ( f ) h[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( xn1 )]
I ( f ) I 0 ( f ) h[ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )]
Kaidah Trapesium Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong a). Satu pias
I ( f ) I1 ( f ) ( x1 x0 )
Et
1 f ( ) ( x1 x0 )3 43 12
f ( x0 ) f ( x1 ) 2
Kesalahan: b). Banyak pias
I ( f ) I1m ( f )
Kesalahan:
Et
n 1 ( xn x0 ) f ( x0 ) f ( xn ) 2 f ( xi ) 2n i 1
1 f ( xn x0 )3 , 12n 2
n
dimana
f ( ) i 1
Kaidah Simpson 1/3 Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong a) Satu pias
I ( f ) I 2 ( f ) ( xn x0 )
Kesalahan:
f ( x0 ) 4 f ( xi ) f ( x2 ) 6
( xn x0 )5 ( 4) Et f ( ) 2880 44
b) Banyak Pias: n 1 n2 ( xn x0 ) I ( f ) I m ( p2 ) f ( x ) f ( x ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) 0 n i i 3n i 1, 3, 5 i 2, 4, 6
Kesalahan:
Et
( xn x0 )5 ( 4) f 180n 4
b. Metode kuadratur Gauss
Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik
Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral
F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval
I=
a
b f(x) dx
= (a-b) [R1 (U1 ) + R2
(u2) + … + Rn (Un)]
U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2]
(U) = f(x) = f[(b-a)u + a b] 2 ab X = (b-a)u + 2 (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)
Latihan Tentkan luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4, dengan kaidah segiempat dan trapesium dan simpson 1/3 Penyelesaian
45
a). Dengan kaidah segiempat
Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1
Luas persegi panjang P1
= 1 * f(1) = 1 * 1
=1
P2
= 1 * f(2) = 1 * 4
=4
P3
= 1 * f(3) = 1 * 9
=9
P4
= 1 * f(4) = 1 * 16 = 16
Luas Total = 30 Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66
Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8 h = (4 - 0)/8 = 0.5
Luas persegi panjang P1
= 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125
P2
= 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1
P3
= 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125
P4
= 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2
P5
= 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125
P6
= 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5
P7
= 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125
P8
= 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8
Luas Total = 26 Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67
Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544
Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas P1
= 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0
P2
= 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125
P3
= 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1
P4
= 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125
P5
= 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4
P6
= 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125
P7
= 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9
P8
= 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125
=1
=2
= 4.5
Luas Total = 18
Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh: 46
Luas P1
= 0.5 * f(0.25) = 0.03125
P2
= 0.5 * f(0.75) = 0.28125
P3
= 0.5 * f(1.25) = 0.78125
P4
= 0.5 * f(1.75) = 1.53125
P5
= 0.5 * f(2.25) = 2.53125
P6
= 0.5 * f(2.75) = 3.78125
P7
= 0.5 * f(3.25) = 5.23125
P8
= 0.5 * f(3.75) = 7.03125
Luas Total
= 21.2000
Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik. b). Dengan kaidah trapesium
Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1
xk
0
1
2
3
4
f(xk)
0
1
4
9
16
Luas total
3 h f(x 0 ) 2 f(x k ) f(x 4 ) 2 k 1
1 0 2 (1 4 9) 16 22 2
D. Lembar kegiatan:
Soal tes formatif dikerjakan oleh tiap mahasiswa untuk tugas rumah dan dikumpulakan pada pertemuan berikutnya
E. Tes Formatif 1. Volume suatu daerah yang dibatasi oleh grafik f(x), a≤x≤b yang diputar terhadap b
sumbu x dapat ditentukan dengan rumus v ( f ( x)) 2 dx . a
Hampiri volume daerah yang dibatasi oleh grafik f ( x) ln x 1 , 0≤x≤1 yang diputar terhadap sumbu x dengan metode Kuadratur Gauss 2 titik
47
3 3 2. The region D is bounded by curve f ( x) (cos x sin x) 2 , x , . 2 2 The volume of the solid generated by revolving about X-axis the region D is given by b 3 3 ,b . Find the volume V with 2 point-Gauss V f ( x) 2 dx , a 2 2 a Legendre method 2.5
3. Hitunglah x 2 cos(x 2 ) dt dengan aturan Gauss Legendre 3 titik 1.5
1
4. Tentukan n sehingga
sin(x)dx jika diselesaikan dengan metode Simpson 1/3 0
galatnya kurang dari -10-4
48
DAFTAR PUSTAKA
Chapra, S. C. and Canale, R. P. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. Conte, S. D. and de Boor, C. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta. Hanselman, D. and Littlefield, B. 1997. Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta. Atkinson, K.E, 1989. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition. Wiley. New York. Munir, R. 2003. Metode Numerik. Penerbit Informatika: Bandung. Scheid, F. 1983. Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.
49
