1 Curso: 1° Medio
¿PARA QUE NOS SIRVE EL ALGEBRA?
Pregunta que siempre nos hacemos . En la practica el Algebra es una extensión de la Aritmética y nos sirve de ayuda en la resolución de problemas y búsqueda de relaciones cuando no sabemos los valores exactos de las variables que ocupamos. Otra frase celebre entre los alumnos , esta aquella que dice : ”Si , ya me veo usando algebra para ir al súper” . Esto puede ser verdad en la mayoría de los casos, pero si pides una factura y necesitas el IVA desglosado, tendrás que confiar ciegamente en las habilidades del empleado , a menos que sepas como despejar la ecuación que te da el precio después del IVA . ¿No vas a necesitar una factura nunca en tu vida? Aun así el Algebra te puede llegar a servir. Seguramente algún día querrás comprar un automóvil nuevo o una casa , y te enfrentaras con empleados bancarios o vendedores de autos que te hipnotizaran con promesas de cero intereses y pagos chiquititos para pagar poquito, pero en realidad ¿Sabes cuanto estas pagando por el crédito?. Comúnmente entre mas benigno parezca un esquema de crédito, es muy probable que la tasa de interés implícita sean mas alta, para calcularla necesitas solo algebra y un poco de paciencia. En estos casos como en muchos otros , el papel que juegan la matemática y especialmente el algebra en la vida cotidiana es el de detectar mentiras y engaños . Para ello necesitamos primero definir los conceptos básicos asociados al Algebra
I.-Conceptos Básicos 1) Término algebraico : Son expresiones matemáticas que distingue dos componentes, un “coeficiente ” ( factor numeral) y un “factor literal” compuesta de una o más letras con sus respectivos exponentes Coeficiente o Factor numérico
Factor Literal 3
b
2) Ttérminos semejantes. Son aquellos que tienen el mismo factor literal exponentes correspondientes). Ejemplos: 2mn con 5mn ; 7a2b con 0,9a2b ;
(mismas letras con los mismos
3) Expresión algebraica. Es la combinación de números y letras relacionadas mediante ( + o ) para expresar expresar una situacion. Ejemplos: 4x + y
;
a2 – ab + b2 ;
a 2 b2
operaciones aritméticas
c2 .
II.- Clasificación de las expresión algebraicas: Según en número de términos que la forman: Monomios ( Expresión algebraica de un solo término ): Ej.: 9x5 ; Polinomios ( Expresión algebraica de dos o más de un términos ) Binomios ( dos términos ) : Ej.: 8 x2 ; a2 + b2 ; n + 12. 2 Trinomios ( tres términos ) : Ej.: a + ab + b2 ; ax3+ bx2 – cx.
III.- Reducción de términos semejantes. Es la operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes que se están sumado (o restando) , manteniendo el mismo factor literal.
2 Curso: 1° Medio Ejemplos resueltos :
Reducir los siguientes términos semejantes:
(1) –3a2b3 + 12a2b3 =
(2)
2a
9a2b3
3 a2 b 3 + 5 a 2 b 3 + 7 a
Los dos términos son semejantes , luego se restan los coeficientes numéricos manteniendo el mismo factor literal = ( 2a + 7a ) + ( -3 a2 b3 + 5 a2 b3 ) =
9a
+
reuniendo los términos semejantes
2 a2 b 3
Observacion : Visualmente para identificar los términos semejantes usamos un subrayado diferente En el ejemplo (2) Subrayado simple ( _____) para los términos que tienen factor literal “a” Subrayado doble ( === ) para los términos que tienen factor literal “a2b3“ Recuerda que los coeficientes numérico de distinto signo se restan conservando el signo del mayor de ellos
IV.- Uso del Paréntesis En Algebra , los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás , decir , que es lo primero que debes realizar Para eliminar ( suprimir ) los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas - Si un paréntesis es precedidos por el signo +, se deja cada uno de los términos que sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos a + (b – c + d) = a + b – c + d -
En caso contrario , si un paréntesis es precedidos por el signo los términos que están dentro del paréntesis a (b – c + d) = a b + c d.
se cambia cada uno de los signos de
Ejemplos resueltos Elimine paréntesis y luego reduzca términos semejantes: (1) + (3n – 14m) + 12n
(5m – 11n)
= 8m + 3n – 14m + 12n
5m + 11n
= (8m - 14m – 5m ) + ( 3n + 12n + 11n ) =
(2)
V.(1)
3a + [11b – ( 4a + 15b ) ]
11m + 26n.
= 3a + [ 11b + 4a 15b ] = 3a + 11b + 4a – 15b = 7a 4b.
Se suprimen parêntesis redondos Reuniendo términos semejantes Reducir términos semejantes
Se suprimen paréntesis redondos Se suprimen paréntesis cuadrados Reducir términos semejantes
Multiplicación de Expresiones Algebraicas Monomio por Monomio: Para multiplicar un monomio por un monomio, se aplica la propiedad asociativa de la multiplicación.
Ejemplo: 3ab •
5a = (3• 5) • (a•a) • b = 15 a2 b Factor numérico Factor literal
(2) Monomio por polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición (o sustracción). Por ejemplo: 4xy • (3x2 – 7xy + 5y2) = 4xy • 3 x2 + 4xy -7xy + 4xy • 5y 2 = = 4• 3 • x2 • x • y + 4 • 7 • x • x • y • y + 4 • 5 • x • y • y2 = 12x3y 28x2y2 + 20xy3
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(3) Polinomio por polinomio: ( x – y + z ) • ( x + y – z ) = x • ( x + y – z ) – y • ( x + y – z ) + z • ( x + y – z ) Multiplicar monomio por polinomio = x2 + x y – x z – y x – y2 – y z + z x + z y – z2 Reducir términos semejantes = x2 y2 z2 OBSERVACION :- (1) En el producto de un polinomio por un polinomio si hay términos semejantes deben ser reducir. ( sumar y/o restar ) (2) 2ab significa 2 • a • b. (3) a significa 1 • a (4) x y = y x , x z = z x , y z = z y corresponde a la propiedad conmutativa , es decir , el orden de los factores no afecta al producto ( 5) Recuerda que producto es el resultado de una multiplicación , suma es el resultado de una adición , diferencia o resta es el resultado de una sustracción Ejemplos resueltos : Multiplicar y reducir términos semejantes si es posible: (1) 3mn • (5n – 4mn + m) = ( 3mn • 5n ) + ( 3mn • 4mn ) + ( 3mn • m )
se plantea cada uma de las multiplicaciones = (3•5•m•n•n)+(3• 4•m•n•m•n)+(3•1•m•n•m) = 15mn2
(2)
12m2n2 + 3m2n
( 2x – y ) (3x + y) = ( 2x • 3x ) + ( 2x • 1y) + ( 1y • 3x ) + ( 1y • 1y ) = 4x2 + 2xy – 2xy – y2 , reduciendo términos semejantes, 2 2 = 4x – y .
ACTIVIDAD INSTRUCCIONES: - Lee comprensivamente la guía de contenidos con sus respectivos ejemplos. - Lee comprensivamente cada ejercicio antes de resolverlo.
I.- MONOMIO POR MONOMIO 1) 4x • 9x = 2)
3x3y2z • 4y2z =
3)
x·x
4)
2x2 · 4x
5)
6x2y2z2·7x2y3z3
6)
(-3x)(3xyz)
7)
2x2y·2xy
II.- MONOMIO POR POLINOMIO
1) 2 (3x + 4y) =
4 Curso: 1° Medio 2) –5xy ( x – 2xy + y ) = 2
3)
x(x+y)
4)
y2(z+y)
5)
3(z2+y2)
6)
-3y(y2+y)
2
III.- POLINOMIO POR POLINOMIO 7) ( a + 5 ) (
)=
8) (x+y)(x+y) 9) (x2 +y)(x+y) 10) (x+3)(x-3) 11) ( 3x3 + 2y2 ) ( 6x + 3y ) =
