PENDEKATAN RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT DALAM PERENCANAAN KEBUTUHAN TEMPAT TIDUR RUMAH SAKIT Nama Mahasiswa : Enjela Puspadewi NRP : 1207 100 026 Jurusan : Matematika FMIPA Dosen Pembimbing : Dra. Laksmi Prita W, M.Si Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Abstrak Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang menyediakan pelayanan rawat inap, rawat jalan dan gawat darurat. Perencanaan sistem inventaris rumah sakit khususnya pada pengelolaan jumlah tempat tidur di bagian rawat inap sangat dibutuhkan agar pengelolaan rumah sakit dapat berjalan secara optimal. Jumlah tempat tidur yang kurang memadai akan membuat pasien yang membutuhkan perawatan ditolak dan menimbulkan daftar tunggu rumah sakit semakin panjang serta membuat tingkat kepuasan pasien semakin menurun. Sebaliknya jika jumlah tempat tidur yang tersedia jumlahnya melebihi jumlah pasien yang datang merupakan suatu pemborosan. Pendekatan rantai Markov waktu diskrit (discrete time Markov chain/DTMC) adalah salah satu metode yang dapat digunakan dalam perencanaan kebutuhan tempat tidur rawat inap rumas sakit. Metode DTMC menghasilkan peramalan jumlah penggunaan tempat tidur lebih baik dari hasil peramalan menggunakan metode Box-Jenkins karena memiliki mean absolute percentage error (MAPE) hasil peramalan yaitu 21,982% yang lebih kecil dibandingkan MAPE peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang sebesar 26,444%. Kata kunci: Rantai Markov, transient inpatient inventory, metode Box-Jenkins jauh melebihi jumlah pasien yang datang akan menyebabkan suatu pemborosan. Itulah sebabnya dibutuhkan suatu perencanaan yang baik mengenai pengadaan tempat tidur agar kinerja rumah sakit dapat berjalan secara optimal. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk membantu perencanaan kebutuhan tempat tidur rumah sakit adalah dengan pendekatan rantai Markov waktu diskrit yang dapat menghasilkan suatu peramalan jumlah tempat tidur yang dibutuhkan rumah sakit. Oleh karena itu, permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah bagaimana membentuk model rantai Markov waktu diskrit untuk meramalkan jumlah kebutuhan tempat tidur, dan selanjutnya akan dibandingkan apakah peramalan yang dihasilkan melalui pendekatan rantai Markov lebih baik dari peramalan menggunakan metode Box Jenkins.
1. Pendahuluan Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang menyediakan pelayanan rawat inap, rawat jalan dan gawat darurat. Keberadaan rumah sakit mutlak diperlukan karena setiap orang yang mengalami gangguan kesehatan pasti pasti membutuhkan pengobatan dan salah satu penyedia layanan kesehatan adalah rumah sakit. Seiring dengan bertambahnya jumlah populasi manusia, tidak menutup kemungkinan juga akan meningkatkan jumlah pasien rawat inap rumah sakit. Oleh karena itu pihak manajemen rumah sakit juga harus berupaya meningkatkan tingkat pelayanan serta fasilitas rumah sakit terutama penyediaan tempat tidur. Ketika jumlah tempat tidur yang tersedia tidak mencukupi dengan banyaknya pasien yang datang, akan mengakibatkan daftar tunggu rumah sakit juga semakin panjang akibatnya tingkat kepuasan pasien juga semakin menurun. Sebaliknya jika tempat tidur yang disediakan 1
ii. Length Of Stay (LOS) 2. Metode Peneletian Length Of Stay atau rata-rata lamanya Metode penelitian yang digunakan untuk pasien dirawat digunakan untuk mengukur menyelesaiakan permasalahan dalam tugas efisiensi pelayanan rumah sakit yang tidak akhir ini adalah: dapat dilakukan sendiri tetapi harus 1. Studi pendahuluan dan studi literatur bersama dengan interpretasi BTO dan 2. Pengumpulan data TOI. Standar efisiensi LOS adalah 3-12 3. Menentukan model peramalan jumlah hari dan LOS dianjurkan serendah tempat tidur menggunakan pendekatan mungkin tanpa mempengaruhi kualitas DTMC pelayanan perawatan. 4. Pengolahan data 5. Analisis hasil penyelesaian dan penarikan iii. Bed Turn Over (BTO) Bed Turn Over atau frekuensi penggunaan kesimpulan tempat tidur dalam periode waktu tertentu adalah indikator yang dapat digunakan 3. Tinjauan Pustaka untuk mengetahui tingkat efisiensi 3.1 Rumah Sakit penggunaan tempat tidur rumah sakit. Rumah sakit adalah salah satu sarana BTO ideal untuk periode 1 tahun adalah kesehatan tempat menyalenggarakan upaya lebih dari 30 kali. kesehatan, berdasarkan Undang-Undang No 44 tahun 2009 pasal 1 tentang rumah sakit iv. Turn Over Interval (TOI) Turn Over Interval digunakan untuk disebutkan bahwa rumah sakit adalah menentukan lamanya rata-rata tempat institusi pelayanan kesehatan yang tidur kosong atau rata-rata tempat tidur menyelenggarakan pelayanan kesehatan tersedia pada periode tertentu yang tidak perorangan secara paripurna yang terisi antara pasien keluar atau mati menyediakan pelayanan rawat inap, rawat dengan pasien masuk. Standar efisiensi jalan dan gawat darurat. Rumah sakit umum TOI adalah 1-3 hari, jika nilai TOI mempunyai tugas melaksanakan upaya Semakin besar maka efisiensi penggunaan kesehatan. Upaya kesehatan adalah setiap tempat tidur semakin jelek. kegiatan untuk memelihara dan (Muna, Lailil., 2007) meningkatkan kesehatan yang bertujuan meningkatkan derajat kesehatan masyarakat secara optimal. 3.2 Probabilitas Gagasan utama dalam teori probabilitas Untuk mengetahui apakah kinerja suatu unit rawat inap rumah sakit berjalan optimal adalah percobaan acak, dimana percobaan atau tidak, ada beberapa indikator yang dapat acak adalah sebuah percobaan yang hasilnya tidak dapat ditentukan sebelumnya. digunakan, antara lain: Himpunan hasil yang mungkin terjadi dari i. Bed Occupancy Rate (BOR) Bed occupancy rate atau angka sebuah percobaan disebut ruang sampel dari penggunaan tempat tidur digunakan untuk percobaan dan dinotasikan dengan . mengetahui tingkat pemanfaatan tempat Probabilitas atau suatu ukuran peluang tidur rumah sakit. Angka BOR yang pada adalah sebuah fungsi rendah menunjukkan kurangnya yang memenuhi: pemanfaatan fasilitas perawatan rumah 1. , dengan adalah sakit oleh masyarakat. Angka BOR yang suatu kejadian dan . tinggi (lebih dari ) menunjukkan 2. . tingkat pemanfaatan tempat tidur yang tinggi sehingga perlu pengembangan 3. Peubah Acak rumah sakit atau penambahan tempat Peubah acak adalah suatu fungsi yang tidur. memetakan semua anggota himpunan ruang sampel ke himpunan bilangan real . Fungsi massa peluang (probability density 2
Permasalahan yang mendasar adalah biasanya parameter-parameter tersebut tidak diketahui. Salah satu metode untuk menaksir parameter tersebut adalah menggunakan maximum likelihood estimation yang merupakan bagian dari estimasi titik. Estimasi titik dari suatu parameter adalah sebuah nilai tunggal dari suatu besaran yang biasa dinotasikan dengan .
function) atau biasa disingkat pdf dari suatu peubah acak didefinisikan sebagai dan fungsi peluang kumulatif (cumulatif distribution function) atau biasa disingkat CDF dari sebuah peubah acak didefinisikan sebagai . (Bain, LJ, Engelhardt,M., 1991) Suatu peubah acak dibedakan menjadi: 1. Peubah acak diskrit 2. Peubah acak kontinu
Definisi 3.1 : Maximum Likelihood Estimation Misalkan , adalah pdf bersama dari . Untuk himpunan observasi yang diberikan , suatu nilai dalam dengan adalah MLE dari yang memenuhi
3.2.2 Nilai Harapan Nilai harapan atau mean suatu peubah acak dinotasikan dengan memiliki definisi: Jika
peubah acak diskrit
. Jika
peubah acak kontinu
Teorema 3.2 : Sifat Invarians Misalkan diberikan suatu nilai adalah parameter estimator dari parameter , berlaku: 1. Jika adalah MLE dari dan adalah fungsi dari . Maka adalah MLE dari . 2. Jika adalah MLE dari maka MLE dari adalah
Teorema 3.1 : Sifat-sifat nilai harapan Jika adalah sebuah peubah acak dengan pdf , dan adalah konstanta serta dan adalah fungsi bernilai real yang memuat nilai yang mungkin dari , berlaku 1. 2. 3.
3.2.3 Varian Jika adalah sebuah peubah acak, maka varian dari didefinisikan sebagai: . Teorema berikut menjelaskan tentang sifatsifat dari varian. Teorema 3.2 : Sifat-sifat varian Jika adalah peubah acak dengan pdf dan adalah konstanta, maka berlaku
untuk . (Bain, LJ, Engelhardt,M., 1991). 3.4 Discrete Time Markov Chain (DTMC) Menurut proses stokastik waktu diskrit, dimana peubah acak adalah variabel acak diskrit didefinisikan pada state space yang dapat dihitung disebut juga proses Markov. Pada proses Markov hanya bergantung pada satu langkah sebelumnya dan tidak bergantung pada langkah-langkah historis, definisi formal untuk proses Markov adalah
,
1.
2. (Bain, LJ, Engelhardt,M., 1991). 3. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) Parameter merupakan karakteristik dalam suatu populasi, seperti rata-rata ( ), varians ( ), proporsi ( ), dan lain-lain.
Definisi 3.2 Rantai Markov Suatu proses stokastik waktu diskrit disebut memiliki sifat markov jika
3
dimana
3.5 Metode Box-Jenkins Metode peramalan Box-Jenkins adalah suatu metode untuk meramalkan data dengan analisi deret berkala. Metode ini juga sering disebut sebagai metode ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average) yang menggabungkan dua model yaitu model autoregresi dan model moving average. Notasi untuk model adalah ARIMA adalah ARIMA untuk kasus non musiman sedangkan untuk model musiman dinotasikan dengan ARIMA
nilai
dari untuk . Proses stokastik tersebut disebut Rantai Markov (Markov chain) atau secara spesifik disebut rantai markov Waktu diskrit (discrete time Markov chain). Probabilitas dari juga biasa dinotasikan sebagai yang berarti proses berada pada state ke pada waktu ke . yang direlasikan dengan proses pada waktu ke dikenal sebagai probabilitas transisi. Jika proses pada state pada waktu , dan di langkah selanjutnya , tetap pada state atau berpindah pada state , maka perubahan seperti ini didefinisikan sebagai probabilitas transisi satu langkah (Allen, LJS., 2003).
(Makridakis, Spyros , dkk.,1995), dengan: : orde untuk model autoregresi unsur non musiman : orde differencing unsur non musiman : orde untuk model moving average unsur non musiman :orde untuk model autoregresi unsur musiman : orde differencing untuk unsur musiman :orde untuk model moving average unsur musiman : jumlah periode per musim.
Definisi 3.3 : Probabilitas satu langkah Probabilitas satu langkah dinotasikan oleh didefinisikan menurut kondisi probabiltas .
Probabilitas proses pada state pada waktu diberikan pada proses pada state pada waktu sebelumnya yaitu , untuk (Allen, LJS., 2003). Probabilitas satu langkah dari rantai Markov dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang disebut dengan matriks transisi.
Dalam peramalan menggunakan metode Box-Jenkins ada beberapa tahap strategi pendekatan, antara lain: Tahap 1 : Identifikasi Tahap 2: Estimasi dan Pengujian Tahap 3: Pemeriksaan Diagnostik
Definisi 3.4 : Matriks transisi Matriks transisi dari rantai Markov waktu diskrit dengan state space dan probabilitas transisi dinotasikan dengan,
Jika
4. Pembahasan 4.1 Pembentukan Model DTMC Pada model rantai Markov waktu Diskrit (DTMC) ada beberapa variabel yang digunakan dalam merumuskan model tersebut. Variabel-variabel tersebut terdiri atas variabel input dari data historis, variabel model dan variabel fitted, daftar variabel yang akan digunakan seperti ditunjukkan pada Tabel 1.
statenya
berhingga, misalkan maka matriks transisi dari akan berukuran . Beberapa sifat matriks transisi antara lain: 1. , 2. untuk 4
Tabel 1. Deskripsi variabel model Simbol Keterangan Jumlah tempat tidur rawat inap yang digunakan pada waktu ke- , Jumlah tempat tidur yang terpakai pada waktu dan masih digunakan pada waktu
Kemudian adalah peubah acak berdistribusi poisson, maka fungsi probabilitasnya adalah untuk
untuk
Jumlah tambahan penggunaan tempat tidur kosong antara waktu ke- dan Ekspektasi laju kedatangan selama waktu Jumlah tempat tidur yang digunakan untuk perawatan Ekspektasi laju pelayanan selama waktu
Persamaan (1), persamaan (2) dan persamaan (3) dapat dituliskan kembali menurut empat kondisi yang diakibatkan oleh perubahan batas indeks dari jumlahan persamaan (1). Dua kondisi diantaranya merupakan kombinasi hubungan antara dan dan yang lainnya merupakan kombinasi hubungan antara dan seperti pada Gambar (1).
4.4.1 Perumusan Probabilitas Transisi Perumusan Jumlah tempat tidur rawat inap yang digunakan pada waktu ke( ) adalah Jumlah tempat tidur yang terpakai pada waktu dan masih digunakan pada waktu ( ) dan Jumlah tambahan pemakaian tempat tidur kosong antara waktu ke- dan ( ), atau dapat dituliskan menjadi
Pada kondisi (1), persamaan (1) menjadi
Sehingga fungsi probabilitasnya adalah =
(1)
.
dan adalah peubah acak yang saling independen sehingga probabilitas keduanya juga saling independen. Pada peubah acak , fungsi probabilitasnya dipengaruhi oleh laju pelayanan ( ), dan probabilitas dari dipengaruhi oleh laju kedatangan ( ). Dengan mengasumsikan adalah peubah acak berdistribusi binomial dengan parameternya berdistribusi kumulatif eksponensial , maka pdf dari adalah
(4a)
Pada kondisi (2), persamaan (1) menjadi
(4b) untuk
Pada kondisi (3) persamaan (1) menjadi
(2)
5
dan
parameter ini diestimasi menggunakan maximum likelihood estimation (MLE). Dalam mengestimasi parameter tersebut ada beberapa variabel yang diperlukan seperti ditunjukkan oleh Tabel 2.
(4c) Pada kondisi (4) persamaan (1) menjadi
dan
Tabel 2. Deskripsi variabel estimasi parameter
Simbol Keterangan Ukuran sampel tempat tidur selama waktu . Data pada pengamatan selama periode waktu . Data pada pengamatan selama periode waktu . Ukuran sampel inventaris IP jika selama periode , . Data jika pada pengamatan selama periode . Pada penjelasan sebelumnya, adalah peubah acak yang dipengaruhi oleh laju pelayanan, sehingga untuk mengestimasi laju pelayanan digunakan pdf dengan distribusi bersamanya adalah
(4d) 4.1.2 Matriks Probabilitas Transisi DTMC dan Ekspektasi inventaris Prediksi dari inventaris rawat inap adalah penurunan langsung dari perumusan model persamaan (4). nilai ekspektasi dari inventaris rawat inap untuk periode ke depan adalah (5) dengan adalah martriks probabilitas langkah dari transisi inventaris yang berbentuk matriks berdimensi dan adalah matriks berukuran dengan elemen sehingga persamaan (5) akan menghasilkan suatu matriks yang memiliki dimensi .
Karena jumlahan dari ekivalen dengan , sehingga
sampai
(7)
(6) Pada persamaan (6) matriks transisi langkah adalah matriks berdimensi yang setiap elemennya merupakan persamaan probabilitas seperti pada persamaan (4).
Fungsi log likelihood dari persamaan (7)
(8) Selanjutnya, persamaan (8) akan dimaksimalkan untuk mendapatkan nilai maksimum dari persamaan (7)
4.2 Estimasi Laju Pelayanan Menggunakan Maximum Likelihood Estimation Seperti telah disebutkan diawal, laju pelayanan adalah salah satu parameter yang dibutuhkan untuk meramalkan jumlah tempat tidur rumah sakit. Dalam tugas akhir ini,
Karena nilai , maka mungkin bernilai 0, sehingga 6
tidak
adalah ekpektasi jumlah tempat tidur yang digunakan pada periode bulan jika diketahui jumlah tempat tidur yang digunakan pada periode adalah , dengan . Untuk mendapatkan nilai ekspektasi jumlah penggunaan tempat tidur pada bulan dengan melihat berapa jumlah penggunaan tempat tidur pada saat , sehingga diperoleh ekspektasi jumlah penggunaan tempat tidur perbulan selama tahun 2010 seperti pada Tabel 4.
Dari hasil MLE diperoleh
4.3 Pengolahan Data menggunakan DTMC Pada pembahasan sebelumnya telah ditemukan rumusan probabilitas transisi dari model DTMC serta rumusan ekspektasi jumlah pemakaian tempat tidur untuk waktu , kemudian akan dihitung peramalan tempat tidur dengan pendekatan DTMC. Data yang digunakan adalah data sekunder mengenai jumlah tempat tidur,laju pelayanan dan jumlah pasien yang dirawat selama 1 bulan pada unit rawat inap umum Ruang III RSU haji Surabaya, dengan data sebagai berikut:
Tabel 4. Ekspektasi jumlah penggunaan tempat tidur selama tahun 2010 Jumlah No. Bulan Ekspektasi 1 Januari 21,496 2 Februari 20,259 3 Maret 20,055 4 April 19,847 5 Mei 20,252 6 Juni 20,462 7 Juli 20,354 8 Agustus 23,934 9 September 22,613 10 Oktober 24,275 11 November 22,427 12 Desember 23,669
Tabel 3. Data Jumlah Tempat Tidur, Jumlah Pasien serta Laju Pelayanan Tahun 2009 Laju Jumlah Jumlah pelayanan Bulan tempat pasien (dalam tidur bulan) 24 103 0,178 Januari 24 94 0,229 Februari 24 119 0,200 Maret 24 122 0,183 April 24 96 0,206 Mei 24 84 0,227 Juni 24 104 0,197 Juli 24 83 0,229 Agustus 24 84 0,190 September 24 87 0,190 Oktober 24 92 0,197 November 24 101 0,174 Desember
4.4 Pengolahan Data menggunakan BoxJenkins Langkah awal dalam peramalan menggunakan metode Box-Jenkins adalah membuat plot time series. Time Series Plot of tt 23 22 21
tt
20 19 18 17 16 15 1
Dari data pada Tabel 3, akan diperoleh matrik probabilitas transisi perbulan dan matrik transisi langkah. Dari data pada Tabel 3, akan diperoleh matrik probabilitas transisi perbulan dan matrik transisi langkah. Setiap elemen dari matriks tersebut
5
10
15
20
25 Index
30
35
40
45
Gambar 2. Plot time series data penggunaan tempat tidur Dari plot time series pada Gambar 1 tersebut terlihat bahwa data tidak stasioner 7
terhadap varian, sehingga transformasi Box-Cox.
Dari Gambar 4, plot ACF terllihat bahwa data sudah stasioner terhadap mean, dan juga terlihat ada 1 lag yang keluar dari batas signifikansi yang menunjukkan bahwa data mengandung unsur moving average (MA1). Dari Gambar 6, plot PACF terlihat ada 2 lag yakni lag ke-1 dan lag ke-4 keluar dari batas signifikansi sehingga data juga mengandung unsur autoregresi (AR 1, AR[1][4]).Modelmodel yang mungkin adalah (1 0 0), (0 0 1), (1 01), ([4] 0 0), ([1][4] 0 0), ([4] 0 1) dan ([1][4] 0 1). Dari hasil uji signifikansi dan residual white noise, model yang memenuhi hanya model (1 0 0). Selanjutnya dilakukan uji residual normal untuk melihat apakah model berdistribusi normal atau tidak.
dilakukan
Box-Cox Plot of C3 Lower CL
100000
Upper CL Lambda (using 95,0% confidence)
90000 80000
StDev
70000
Estimate
1,00
Lower CL Upper CL
0,16 1,94
Rounded Value
1,00
60000 50000 40000 30000 20000
Limit
10000 -5,0
-2,5
0,0 Lambda
2,5
5,0
Gambar 3. Plot transformasi Box-Cox data yang stasioner terhadap varian Setelah ditransformasi 1 kali dari plot transformasi Box-Cox diatas terlihat bahwa satelah transformasi satu kali data sudah stasioner terhadap varian. Langkah selanjutnya adalah membuat plot ACF dan PACF untuk melihat apakah data stasioner tehadap mean dan apakah data mengandung unsur moving average dan autoregresi atau tidak.
Probability Plot of RESI1 Normal
99
Mean StDev N KS P-Value
95 90
1334 22496 48 0,082 >0,150
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
Autocorrelation Function for C3
(with 5% significance limits for the autocorrelations) 1,0
Autocorrelation
0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 5
10
15
20
25 Lag
30
35
40
45
Gambar 4. Plot ACF data transformasi penggunaan tempat tidur Partial Autocorrelation Function for C3
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 1,0
Partial Autocorrelation
0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 1
5
10
15
20
25 Lag
30
35
40
-25000
0 RESI1
25000
50000
Gambar 6. Plot uji asumsi residual normal menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov Dari Gambar 6 diketahui bahwa model memenuhi uji residual normal. Hasil peramalan dengan model (1 0 0) ditunjukkan pada Tabel 5. Tabel 5. Peramalan jumlah penggunaan tempat tidur Jumlah tempat Bulan tidur Januari 23,356 Februari 23,233 Maret 23,110 April 22,988 Mei 22,866 Juni 22,746 Juli 22,626 Agustus 22,506 September 22,387 Oktober 22,269 November 22,152 Desember 22,035
0,8
1
-50000
45
Gambar 5. Plot PACF data transformasi penggunaan tempat tidur 8
Tabel 7. Data MAPE peramalan dengan metode Box-Jenkins Data Data Bulan aktual ramalan Januari 17,290 23,356 35,083 % Februari 19,613 23,233 18,455 % maret 20,388 23,110 13,35 % April 19,601 22,988 17,279 % Mei 20,453 22,866 11,800 % Juni 20,033 22,746 13,542 % Juli 19,613 22,626 15,361 % Agustus 17,419 22,506 29,205 % September 13,334 22,387 67,897 % Oktober 16,001 22,269 39,173 % November 18,199 22,152 21,719 % Desember 16,387 22,035 34,464 % MAPE 26,444 %
4.5 Perbandingan Hasil Peramalan Menggunakan DTMC dan BoxJenkins Dari hasil peramalan jumlah penggunaan tempat tidur dengan metode DTMC dan metode B0x-Jenkins, selanjutnya akan dibandingkan metode mana yang menghasilkan peramalan dengan MAPE (mean absolute percentage error) terkecil, dengan rumusan MAPE adalah
dengan
Keterangan : percentage error periode ke: data aktual pada periode ke: data ramalan pada periode ke-k Data MAPE hasil peramalan menggunakan metode DTMC seperti ditunjukkan pada Tabel 6 dan data MAPE hasil peramalan menggunakan metode Box-Jenkins seperti ditunjukkan pada Tabel 7
Berdasarkan tabel 6 dan Tabel 7 dapat dilihat bahwa peramalan menggunakan DTMC memiliki MAPE lebih kecil dari peramalan menggunakan metode BoxJenkins, sehingga dapat disimpukan bahwa hasil peramalan menggunakan metode DTMC lebih baik dari peramalan menggunakan metode Box-Jenkins.
Tabel 6. Data MAPE peramalan dengan metode DTMC Data Data Bulan aktual ramalan Januari 17,290 21,496 24,327 % Februari 19,613 20,259 3,294 % maret 20,388 20,055 1,635 % April 19,601 19,847 1,257 % Mei 20,453 20,252 0,981 % Juni 20,033 20,462 2,143 % Juli 19,613 20,354 3,776 % Agustus 17,419 23,934 37,403 % September 13,334 22,613 69,59 % Oktober 16,001 24,275 51,711 % November 18,199 22,427 23,229 % Desember 16,387 23,669 44,435 % MAPE 21,982 %
5. Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan Berdasarkan analisa dan pengolahan data jumlah penggunaan tempat tidur dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Rumusan model untuk peramalan jumlah penggunaan tempat tidur adalah Dengan adalah matriks probabilitas langkah dengan rumusan
adalah matriks probabilitas pada periode ke- dan setiap elemennya adalah fungsi probabilitas
2. Hasil perhitungan MAPE peramalan menggunakan pendekatan DTMC adalah 21,982 dan hasil perhitungan MAPE 9
Bain, L.J. and Engelhardt,M.1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.California:Duxbury Press Broyles, James R,Jeffery K. Cochran, Douglas C. Montgomery. 2010. a Statistical Markov Chain Approximation of Transient Hospital Inpatient Inventory. European Journal of Operation Research Lasono, Eka Sigi. 2009. Model Antrian dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit.Surabaya: Tugas Akhir, Jurusan Matematika ITS Makridakis, Spyros, Steven C.W,Victor E. McGee. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga Muna, Lailil. 2007. Usulan Perbaikan Kualitas Pelayanan Rawat Inap Rumah Sakit Islam Surakarta Menggunakan Model Servqual dan Analisis Faktor: Tugas Akhir, Jurusan Teknik Industri Uniersitas Sebelas Maret Surakarta Ross, S.M.1996.Stochastic Processes second edition.Canada: john Wiley & Sons
3. peramalan menggunakan metode BoxJenkins 26,444, sehingga hasil peramalan dengan pendekatan DTMC untuk kasus ini lebih baik daripada peramalan menggunakan Box-Jenkins. 5.2 Saran Saran yang dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya adalah: 1. Pada tugas akhir ini studi kasus yang diambil memiliki jumlah sampel yang masih relatif kecil, oleh karena itu pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan untuk kelas rumah sakit yang lebih besar. 2. Pada tugas akhir ini perhitungan probabilitas transisi masih dilakukan secara manual, sehingga diharapkan pada peneliat selanjutnya dapat dibuat suatu program yang dapat memudahkan proses perhitungan probabilitas, terutama jika jumlah sampel yang diambil relatif besar. 6. DAFTAR PUSTAKA Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Application to Biology. New Jersey : Pearson Education,inc
10
