Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit periodik

 Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit  Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit periodik  Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit aperiodik

 Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik x(n  N)  x(n) x (n ) 

N 1

j2 kn / N c e   k k 0

sk  e

N  perioda dasar

j k n

N 1

c s k 0

k k

2k k     k   N k 1 1 fk    fk  N 2 2

1 N 1 c(k )   x (n )e  j2 kn / N N n 0

ck  N  ck

Contoh Soal 7.3 Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.

n a ). x (n )  cos 3

b). 1, 1, 0, 0

Jawab :

n 1 a ). x (n )  cos  cos 2 n 3 6 1 fo   N6 6

N4

c(k ) 

N 1

 j2 kn / N x ( n ) e   n 0

5

 j2 kn / 6 x ( n ) e  n 0

1 1 j2 n / 6 1  j2 n / 6 x (n )  cos 2 n  e  e 6 2 2

x (n ) 

N 1

j2 kn / N c e   k k 0

1 c1  2

c 1

1  2

c5  c 1 6  c 1

1  2

N 1

j2 kn / 6 c e  k k 0

c o  c 2  c3  c 4  0

1 c1  2

c 1

1  2

c5  c 1 6  c 1

1  2

c o  c 2  c3  c 4  0

b). 1, 1, 0, 0

N4

1 N 1 c(k )   x (n )e  j2 kn / N N n 0



1 3 1  j2 kn / 4 c(k )   x (n )e  1  e  jk / 2 4 n 0 4

1 co  2

1 c1  (1  j) 4

c2  0



1 c3  (1  j) 4

1 co  2

1 c1  (1  j) 4

c2  0

1 c3  (1  j) 4

Contoh Soal 7.4 Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini. 2 2 x (n )  cos n  sin n 3 5

Jawab : 2 2 5 3 x (n )  cos n  sin n  cos 2 n  sin 2 n 3 5 15 15

x (n ) 

e

j2  ( 5 / 15) n

e 2

 j2  ( 5 / 15) n



e

j2  ( 3 / 15) n

e 2j

 j2  ( 3 / 15) n

j j2 (3 / 15) n j  j2 (3 / 15) n 1 j2 (5 / 15) n 1  j2 (5 / 15) n x (n )   e  e  e  e 2 2 2 2

j j2 (3 / 15) n j  j2 (3 / 15) n 1 j2 (5 / 15) n 1  j2 (5 / 15) n x (n )   e  e  e  e 2 2 2 2

x (n ) 

N 1

c e k 0

c5

1  2

j2 kn / N

k

c3



14

c e k 0

j  2

j2 kn / 15

k

j c3   2

1 c5  2

ck 1/2

c k 90o

- 90o

 Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik 

X() 

 jn x ( n ) e 

Bentuk Deret Fourier

n  

X(  2k ) 



 j(   2 k ) n x ( n ) e 

n  





 jn  j2 kn x ( n ) e e  

n   

1 jn x (n )  X()e d  2  



 jn x ( n ) e  X() 

n  

Contoh Soal 7.6 Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya adalah :

 1, X()    0,

  c c    

Jawab : 

1 jn x (n )  X()e d  2  

n0



c

c 1 x (0)  d   2  c 

n0



1 e x (n )  n

c

1 1 1 jn jn x (n )  e d  e  2  c 2 jn j c n

e 2j

 jc n

sin c n c sin c n   n  c n

c  c

X() 



 x ( n )e

n  

 jn

sin c n  jn X N ()   e n n N N

Contoh Soal 7.8 Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :

A, x (n )   0,

Jawab :

0  n  L 1 n lainnya

 jL 1  e X()   Ae jn  A  j 1  e n 0  j(  / 2 )( L 1) sin(L / 2)  Ae sin( / 2) L 1

 j(  / 2 )( L 1)

X()  Ae

sin(L / 2)  X() e j( ) sin( / 2)

sin(L / 2) X ( )  A sin( / 2)

( )  X ( )  

 2

Respon magnitude

( L  1)

Respon fasa

A=1 L=5

Spektrum magnituda

Spektrum fasa

 Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier Transformasi Fourier :

X( z ) 



z x ( n ) e  

n  

z  re

j

r z

z 1 r 1



j  n x ( n )( re )  

n  



n  jn [ x ( n ) r ] e 

n  

  z



X( z ) 



 jn x ( n ) e  X() 

n  

Transformasi Fourier pada lingkaran satu = Transformasi Z

Contoh Soal 7.9 Tentukan transformasi Fourier dari : x(n)  (1)u(n)

Jawab :

1 z X( z )   1 1 z z 1 1 z re j X()    j 1 1 z z  1 re  1 (e j / 2 )(e j / 2 )  j / 2 j / 2  j / 2 (e )(e e ) j / 2

e  2 cos( / 2)

  2(k  1 / 2)

 Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi Sinyal frekuensi rendah (Low Pass):

Sinyal frekuensi tinggi (High Pass) :

Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :

 Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli Sinyal-sinyal biologi :

Tipe sinyal Electroretinogram Electronystagmogram Pneumogram Electrocardiogram (ECG) Electroencephalogram (EEG) Electromyogram Aphygmomanogram Speech

Daerah frekuensi (Hz) 0 - 20 0 - 20 0 - 40 0 - 100 0 - 100 10 - 200 0 - 200 100 - 4000

Sinyal-sinyal seismik :

Tipe sinyal Wind noise Seismic exploration signals Earthquake and nuclear explosion signsld Seismic noise

Daerah frekuensi (Hz) 100 - 1000 10 - 100 0.01 - 10 0,1 - 1

Sinyal-sinyal elektromagnetik :

Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz) Radio broadcast 3x104 – 3x106 Shortwave radio signals 3x106 – 3x1010 Radar, sattellite comunications 3x108 – 3x1010 Infrared 3x1011 – 3x1014 Visible light 3,7x1014 – 7,7x1014 Ultraviolet 3x1015 – 3x1016 Gamma rays and x-rays 3x1017 – 3x1018

 Sifat-sifat transformasi Fourier      

Linieritas Pergeseran waktu Pembalikan waktu Teorema konvolusi Pergeseran frekuensi Diferensiasi frekuensi

 Linieritas F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x ( n )  a 1 x1 ( n )  a 2 x 2 ( n ) F{x (n )}  X()  a1X1 ()  a 2 X 2 () Contoh Soal 7.11

Tentukan transformasi Fourier dari : x(n)  a

n

Jawab :

x ( n )  x1 ( n )  x 2 ( n ) a n , x1 ( n )   0,

n0 n0

a  n , x 2 (n )   0,

n0 n0

1  a  1

X1 () 



 jn x ( n ) e   1

n  



n  jn a  e  n 0



 j n ( ae )  n 0

1   j 1  ae X 2 () 



 jn x ( n ) e   2

n  

1

 n  jn a  e 

n  

1

j  n ( ae  )

n  

j ae j k   (ae )  j 1  ae k 1 

1 ae j X()  X1 ()  X 2 ()    j 1  ae 1  ae j 1  ae j  ae j  a 2 1  a2   j  j 2 1  (ae  ae )  a 1  2a cos   a 2

 Pergeseran waktu F{x1 (n )}  X1 () x ( n )  x1 ( n  k )



F{x (n )}  e

 jk

X1 ()

 Pembalikan waktu F{x1 (n )}  X1 () x ( n )  x1 (  n )



F{x (n )}  X1 ()

 Teorema konvolusi F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x ( n )  x1 ( n ) * x1 ( n )



F{x (n )}  X1 ()X 2 ()

Contoh Soal 7.12

Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan : x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}

Jawab :

X1 () 



 jn x ( n ) e   1

n  

1 e

 j

e

 j

1

 jn e 

n  1

 1  2 cos 

X1 ()  X 2 ()  1  2 cos  X()  X1 ()X 2 ()  (1  2 cos ) 2  1  4 cos   4 cos  2

 1  cos 2   1  4 cos   4  2    3  4 cos   2 cos 2  3  2(e j  e  j )  (e j2   e  j2 ) X() 



 jn  j2   j j j2  x ( n ) e  e  2 e  3  2 e  e 

n  

x(n)  {1 2 3 2 1}

 Pergeseran frekuensi F{x1 (n )}  X1 () x (n )  e jo n x1 (n )



F{x (n )}  X1 (  o )

 Diferensiasi frekuensi F{x1 (n)}  X1 ()

X1 () 

x(n)  nx1 (n)



 jn x ( n ) e  1

n  

dX1 () d   jn  x 1 ( n )e   d d n   

  j  nx1 (n )e n  

dX1 () F{x (n )}  j d

 jn



d  jn x1 ( n ) e  d n  

  jF{nx1 (n )}

 Domain frekuensi sistem LTI  Fungsi respon frekuensi  Respon steady-state  Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon frekuensi  Komputasi dari fungsi respon frekuensi

 Fungsi respon frekuensi y( n ) 



Eigen function

 h (k ) x (n  k )

k  

Input kompleks y( n ) 



 h(k)Ae

 j ( n  k )

k   

H() 

 jk h ( k ) e 

k  

Eigen value

x (n )  Ae jn 

 A  [h (k )Ae

 jk

]e

jn

k  



y(n )  AH()e jn

Contoh Soal 7.12 Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah : n

1 h (n )    u (n ) 2

Tentukan outputnya bila mendapat input :

x(n)  Ae jn / 2

Jawab : 

n



n

 1   jn  1  j  Fh (n )  H()     e   e   n   2  n   2 1 1 1 H()   H()   1  j 1  j / 2 1 1 e 1 e 1 j 2 2 2

1

2  j26, 6o H()   e 1 5 1 j Amplituda 2 y(n )  AH()e jn

Fasa

2  j26,6o jn / 2 2A ( n / 2  26, 6o ) A e e  e 5 5 Frekuensi

x (n )  Ae

jn

2 y(n )  Ae jn 3



1 1 2 H()    1  j 1 3 1 e 1 2 2

H ( )  H R ( )  jH I ( ) 





h(k )e  jk 

k  

H R ( ) 



 h(k ) cosk



 h(k )(cosk  j sin k )

k  

 H R ( )  H R ( )

k  

H I ( )  



 h(k ) sink

 H I ( )   H I ( )

k  

H ( )  H R2 ( )  H I2 ( ) H ( )  ( )  tg

1

H I ( ) H I ( )

x1 (n)  Ae jn



x2 (n)  Ae jn 

y1 (n)  A H ( ) e j( ) e jn y2 (n)  A H ( ) e j(  ) e  jn  A H ( ) e  j( ) e  jn

1 1 x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae jn ]  A cosn 2 2 1 y (n)  [ y1 (n)  y2 (n)]  A H ( ) cos[n  ( )] 2

1 1 x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae jn ]  A sin n j2 j2 1 y (n)  [ y1 (n)  y2 (n)]  A H ( ) sin[n  ( )] j2