PRACTICAS GUIA DE FISICA PARA EL EXAMEN DE INGRESO CARRERAS: ING PETROLEO Y GAS NATURAL E ING PETROQUÍMICA Conversión de unidades: Ejemplo: Se quiere expresar 8 metros [m] en pulgadas [in]. Se sabe que:
1 in = 2.54 cm (1)
y
1 m = 100 cm (2)
Buscaremos la relación entre metros y pulgadas
8m= 8m*
100 cm 1m
*
1 in = 314.96063 [in] 2.54 cm
Ejemplo: Se quiere expresar 1 248 cm3 en dm3. Primero se determina la relación entre cm3 y dm3, para luego hacer el reemplazo. Se sabe que 1 dm = 10 cm. Elevando al cubo se tiene: 1 dm3 = (10 cm)3 = 1000 cm3 Despejando 1 cm3 = 1 dm3/1000. Por lo tanto, reemplazando cm3 por su equivalente, en la cantidad 1 248 cm3, se tiene: 1 248 cm3 = 1 248 x 1dm3/1000 = 1.248 dm3. Ejemplo: Expresar 60 m/s en km/h, considerando que 1 km = 1000 m ; 1 h = 3600 s. Se requiere eliminar m y que aparezca km y eliminar s y que aparezca h, entonces: 1 km 1h =1 y = 1 , luego 1000 m 3600 s
60
m m 1 km 3 600 s 60 x 3 600km km = 60 x x = = 216 s s 1 000 m 1h 1 000 h h
Ejemplo: Considerando las equivalencias siguientes: 1 l.y. = 9,461 x 1015 m; 1 pc = 3,086 x 1016 m; 1 AU = 1,496 x 1011 m. (l.y. = año luz, pc = pársec, AU = Unidad astronómica) Expresar 50 Mpc en: Tm, M l.y., kAU. Recuerde que los prefijos
M = 106,
T = 1012
y
k = 103.
a) Entonces, procedamos a expresar 50 Mpc en Tm. 50 Mpc = 50 x 106 pc = 50 x 106 x 3,086 x 1016 m = 1,543 x 1024 m = 1,543 x 1012 x 1012 m = 1,543 x 1012 Tm. Lo que se hizo fue reemplazar los prefijos y la unidad por las equivalencias. b) Expresemos 50 Mpc en M l.y.
1 l. y. ≈ 1,63 x108 l. y. 15 9,461x10 m 2 6 2 = 1,63 x 10 x 10 AU = 1,03 x 10 M l. y. En este ejercicio se reemplazaron los prefijos por los equivalentes y se multiplicó por un 1 expresado a partir de las equivalencias, pero de manera que se simplificara la unidad m y apareciera la unidad Al. Posteriormente se separó la potencia de diez en dos factores siendo uno de ellos equivalente al prefijo M (mega). 50 Mpc = 50x106 pc = 50x106 x 3,086 x 1016 m x
c)
Finalmente, determinemos 50 Mpc en función de kAU. 1AU 50 Mpc = 50 x 10 6 pc = 50 x 10 6 x 3,086 x 10 6 m x ≈ 1,03 x 1013 AU 11 1,496 x 10 m
= 1,03 x 1010 kAU A continuación se dan algunos ejemplos de números experimentales indicándose el número de cifras significativas. 23,048 [m] : tiene 5 cifras significativas. 0,028 [s] : tiene 2 cifras significativas. 1,6 [kg] : tiene 2 cifras significativas. 1,600 [kg] : tiene 4 cifras significativas. Lo anterior se generaliza con las siguientes reglas para los números experimentales:
• • •
•
Los ceros a la derecha se escriben sólo si resultan del proceso de medición y en tal caso se consideran cifras significativas. Los ceros a la derecha que no son significativos deben obviarse utilizando para ello las potencias de diez adecuadas. Los ceros a la izquierda pueden obviarse o no con potencias de diez. En el caso que se escriban, no se consideran cifras significativas, ya que sólo permiten dar el orden de magnitud de la cantidad. Los ceros entre dos cifras distintas de cero son del resultado de la medición y por ellos son significativos.
Otros ejemplos: 0,000405 [s] tiene 3 cifras significativas. 8204,693 [km] tiene 7 cifras significativas. 30,00 [kg] tiene 4 cifras significativas. 2 3 x 10 [m/s] tiene 1 cifra significativa. Notación científica. Una forma de estandarizar la escritura de los números experimentales es escribirlos con una sola cifra entera, dejando el resto como decimales. Para lograr esto se utiliza la potencia de diez adecuada para cada caso.
Ejemplos:
Ejemplo:
0,000405 [s] = 4,05 x 10-4 [s]. 8204,693 [km] = 8,204693 x 103 [km]. 30,00 [kg] = 3,000 x 10 [kg]. 2 3 x 10 [m/s] = 3 x 102 [m/s]. Calcule (4,8 x 10-2) + (1,391 x 10) – (2,06 x 10-3)
Solución: Entre 10-2, 10 y 10-3, la mayor potencia es 10. Así, todas las cantidades se expresan dejando como factor la potencia 10. (0,0048 x 10) + (1,391 x 10) – (0,000206 x 10) = (0,0048 + 1,391 – 0,000206) x 10 = 1,396 x 10. Ejemplo: (2,45 x 103) x 0,001936 x (3,107) 1/2) /13,645 = 0,612729… El número con menos cifras significativas es 2,45 x 103, el cual tiene tres cifras significativas. Entonces, el resultado se expresa aproximándolo a sólo tres cifras significativas. Por lo tanto queda: 0,613. Orden de magnitud. El orden de magnitud de una cantidad se define como la potencia de diez más cercana a dicha cantidad. A continuación se citan algunos ejemplos en los que se indica el orden de magnitud de ciertas cantidades. 300.000.000 = 3,00000000 x 108 es del orden de magnitud de 108. 93.000 = 9,3000 x 104 es del orden de magnitud de 105 0,00015 = 1,5 x 10-4 es del orden de magnitud de 10-4 0,0083 = 8,3 x 10-3 es del orden de magnitud de 10-2 0,05 = 5 x 10-2 es del orden de magnitud 10-2 o 10-1 Realizar los siguientes ejercicios. 1. Indique cuántas cifras significativas tiene cada uno de los siguientes números experimentales: a) 8 ; b) 80 ; c) 8000,0 ; d) 0,08 ; e) 0,080 ; f) 808 ; g) 4,16221 h) 8,1609 ; i) 7,28; j) 9,80. 2. Realice las siguientes operaciones con números experimentales y exprese el resultado con las cifras significativas correspondientes. a) (4 x 105) x (2,56 x 104) b) (4,6 x 10-5) – (6 x 10-6) c) (5,4 x 102) + (3,2 x 10-3) d) (4,84 x 10-5)/(2,42 x 10-7) e) 48,6 x (0,524 x 10-2)/(2,2 x 10-3). 3. Exprese en notación científica las siguientes cantidades:
a) 4,59 105.
b) 0,0035
c) 45 900 800
d) 0,0000597 e) 345 700 000 f) 0,03 x
4. ¿Cuántas cifras significativas debe aparecer en los resultados de las siguientes operaciones? a) 5 x 0,006 b) 0,05 x (9,5 x 102) c) 100 x 6 d) 0,5/0,02 e) 0,08/(2 x 10-2). 5. El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo sobre tierra seca es de unos 12 000 000 000 000 000 segundos. Expresar este tiempo como potencia de diez aproximándolo a una sola cifra significativa. ¿Cuál es el orden de magnitud? 6. La velocidad de propagación de la luz en el vacío es c = 2,99774 x 105 [km/s], ¿cuál es el orden de magnitud de esta cantidad? 7. Efectúe las siguientes operaciones expresando los resultados en cifras significativas. a) (1,29 x 105) + (7,56 x 104); b) (4,59 x 10-5) – (6,02 x 10-6); c) (5,4 x 102) x (3,2 x 10-3). 8. Exprese en notación científica las siguientes cantidades experimentales: a) 45,9 b) 0,00359 c) 45 967 800 d) 0,0005976. e) 345 690 000 000 f) 0,00011 x 105. 9. Cuatro personas han medido por tramos consecutivos el largo de una cuadra. Los resultados obtenidos son: 24,8 m, 14,34 m, 51m y 70 m. Obtenga el largo de la cuadra. 10. Con el propósito de determinar el volumen de una placa rectangular se han obtenido las medidas siguientes: largo = 30,28 cm, ancho = 17,21 cm y espesor 2,1 mm. Calcule el volumen de la placa y expréselo en cm3. 11. La altura h y el diámetro D de un cilindro son respectivamente 10,24 cm y 7,32 cm. Calcule: a) Su volumen V =
πD 2 h πD 2 y b) Su superficie total S = + πDh 4 2
12. Para determinar la densidad de una bolita de rodamiento se ha medido una vez su masa, siendo su valor M = 42,3 [g], y nueve veces su diámetro, obteniéndose las medidas que se indican. D[cm
2,183
2,179
2,181
2,180
2,178
2,182
2,181
2,182
2,180
] Calcule el diámetro promedio y con dicho valor y el de la masa M calcule la densidad de la bolita utilizando la expresión: d = 6 M3 , (Obs. 6 y p son números matemáticos).
πD
13. Un vehículo recorre una distancia de 8,4 [km] en 11,7 minutos. Determine su rapidez media v (aplique criterios de cifras significativas) y exprésela en [m/s]. 14. En un experimento se obtiene el siguiente registro de las posiciones x de un carro para cada instante t que indica el cronómetro. t [s]
0,7418
0,8691
0,9743
1,0401
1,0980
1,1503
1,1884
x[m]
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
Calcular para cada pequeño tramo de 0,015 [m] la rapidez media del carro y considerándola como instantánea adjudíquesela a cada instante medio del intervalo correspondiente. Anote sus resultados en una tabla de valores v/t. 15. Considere la tabla del problema anterior y calcule: a) la distancia total recorrida por el carro, y b) La rapidez media para todo el recorrido. Resultados a los ejercicios propuestos. 1.- a) 1 b) 2 c) 5 d) 1 e) 2 f) 3 g) 6 h) 5 i) 3 j) 3. 2.-
a) 1x 1010 b) 4,0 x 10-5
3.a) 4,59 3,45700000 x 108 b) 1
c) 5,4 x 102
b) 3,5 x 10-3 f) 3 x 103 c) 1
d) 1
d) 200
e) 1,2 x 102
.
c) 4,5900800 x 107 d) 5,97 x 10-5
4.-
a) 1
5.-
1 x 1016, orden de magnitud 1016 [s].
6.-
105 [km/s].
7.-
a) 2,05 x 105
e)
e) 1.
b) 3,99 x 10-5
c) 1,7.
8.- a) 4,59 x 10; b) 3,59 x 10-3 ; c) 4,5967800 x 107; d) 5,976 x 10-4; e) 3,45690000000 x 1011 f) 1,1 x 10. 9.-
160 [m].
10.- 11 x 10 [cm3]. 11.- a) 431 [cm3]
b) 319 [cm2].
12.- D promedio = 2,181 [cm] y d = 7,79 [g/cm3]. 13.- 12 [m/s]. 14.t [s] v [m/s] 15.- a) 0,090 [m].
0,8054 0.9217 1,0072 1,0691 1,1242 1,1694 0,12 0,14 0,23 0,26 0,29 0,39 b) 0,20 [m/s].
VECTORES Y ESCALARES Los científicos e ingenieros utilizan las matemáticas como herramientas básicas para describir el comportamiento de los sistemas físicos. Las cantidades físicas que tienen propiedades de magnitud y de dirección son representadas por vectores en los sistemas coordenadas y marcos de referencia. Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son la fuerza, la velocidad y la aceleración. Definición de escalar: magnitud física que queda completamente especificada mediante un número real y las unidades apropiadas. Es decir un escalar tiene únicamente magnitud y no dirección. Ejemplos: Temperatura, volumen, masa, etc estos solo tienen magnitud por tanto son escalares. Definición de vector: magnitud física que debe ser especificada mediante un modulo, una dirección, un sentido y su correspondiente unidad. Es decir un vector es una cantidad física especificada en magnitud y dirección. Por ejemplo si nos referimos a la fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, etc estos tienen magnitud y dirección por tanto son vectores. CARACTERISTICAS DE UN VECTOR Un vector está definido como ya se ha dicho por tres características: magnitud, dirección y sentido. uuur Magnitud: La magnitud o módulo de un vector AB es la medida, en las unidades de uuur uuur longitud que corresponde, del trazo AB . La magnitud AB se designa por: uuur AB = Unidad de medida B
A
uuur Dirección: La dirección del vector AB es el ángulo α que forma la recta LAB que lo contiene con alguna otra recta L elegida como referencia. B
L A
α
LAB
uuur Sentido: El sentido del vector AB es una de las dos orientaciones de recorrido posible que hay al estar situado sobre la recta que lo contiene.
ALGUNAS PROPIEDADES DE VECTORES Igualdad de vectores: Dos vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y apuntan a la misma dirección, esto es, ⇔ A =B A = B y actúan en direcciones paralelas.
Suma de vectores: Cuando se suman dos o más vectores, todos deben tener las mismas unidades. Cuando se suma un vector A a un vector B, la suma vectorial resultante R es el vector que va del origen de A a la punta de B.
R B
A Si usamos componentes: a + b = (ax + bx, ay + by) La suma de vectores verifica la propiedad conmutativa: a+b=b+a
y la asociativa:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
RESTA DE VECTORES Geométricamente se corresponde con la suma de un vector con el opuesto de otro vector (vea figura siguiente). Si usamos componentes: a − b = (ax − bx, ay − by)
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Geométricamente se corresponde con un vector de igual dirección y sentido (si el escalar es negativo el sentido cambia) que el original y con un módulo igual al producto del módulo original por el valor del escalar en valor absoluto. Si usamos componentes: λa = (λax, λay) El producto de un escalar por un vector verifica la propiedad distributiva: λ(a + b) = λa + λb PRODUCTO ESCALAR Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es un escalar, a · b = |a||b| cos θ, Donde θ corresponde al ángulo que forman a y b. PRODUCTO VECTORIAL Operación que se realiza con dos vectores y cuyo resultado es otro vector. Esta operación sólo puede hacerse con vectores en tres dimensiones. Esta operación se designa mediante: a × b Su módulo vale: | a × b | = |a| |b| sin θ Donde θ corresponde al ángulo que forman a y b. Su dirección es perpendicular al plano que forman los vectores a y b y su sentido viene definido por el uso de la regla del sacacorchos al hacer girar a sobre b por el camino más corto. Mediante el uso de componentes, el producto vectorial se calcula mediante un determinante:
i j k a × b = ax by cz = (a y bz − az by )i − (axbz − az bx ) j + (axby − a y bx ) z bx by cz
COSENOS DIRECTORES
Z
P(x, y, z)
γ
β
Y
α X
cos α =
x x2 + y 2 + z 2
cos β =
y x2 + y 2 + z 2
cos γ =
z x2 + y 2 + z 2
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 EJERCICIOS 16. Sean los vectores: a = (5, 6) y b = (7, 2). Calcule el módulo de dichos vectores, su vector suma y el módulo del vector suma. Realice también la suma gráficamente. 17. Sean los vectores: a = (2, 9) y b = (−7,−2). Calcule el modulo de dichos vectores, su vector suma y el modulo del vector suma. Realice también la suma gráficamente.
uuur uuur 18. Sean los puntos P = (5, 4) y Q = (9, 2). Calcule los vectores PQ y QP así como sus uuur uuur respectivos módulos. Calcule también PQ + QP . 19. Un coche viaja en línea recta del punto P = (5, 2) al Q = (3, 2), donde todas las coordenadas están expresadas en m. ¿Qué distancia ha recorrido? 20. Un coche viaja en línea recta del punto P = (5, 2) al Q = (3, 2) y finalmente al punto P=(5, 2) de nuevo, donde todas las coordenadas están expresadas en m. ¿Qué distancia ha recorrido? ¿Cuál ha sido su desplazamiento, dirección y sentido? 21. Sean los vectores: a = (2, 0) y b = (5, 2). Calcule el modulo de dichos vectores, la diferencia de ambos vectores, a − b y el módulo del vector diferencia. Realice también la resta gráficamente. 22. Sean los vectores: a = (2, 9, 5) y b = (−5,−2, 3). Calcule el módulo de dichos vectores, la diferencia de ambos vectores, a − b y el módulo del vector diferencia. Realice también la resta gráficamente. 23. Sea un vector que parte del origen de coordenadas y tiene un módulo r = 10 y un ángulo polar θ = 30º. Calcule sus coordenadas cartesianas. Una vez obtenidas las coordenadas, calcule su módulo. 24. Sea el vector a = (2, 2). Calcule sus coordenadas polares.
25. Sea el vector a = (−2, 2). Calcule sus coordenadas polares. 26. Sean los puntos P = (5, 4) y Q = (9, 2). Calcule las coordenadas polares de los vectores PQ y QP. 27. Dos coches parten del origen. Uno se desplaza 20 km a lo largo del eje OX, mientras que el otro se desplaza 50 km a lo largo del eje OY. ¿A qué distancia se encuentran en el instante final uno del otro? 28. Dos coches parten del origen. Una se desplaza 20 km a lo largo de una dirección que forma 45º con el eje OX, mientras que el otro se desplaza 50 km a lo largo de una dirección que forma −45◦ con el eje OX. ¿A qué distancia se encuentran en el instante final uno del otro? 29. Se observa desde el origen una torre que tiene 100 m de altura y está situada en el punto (30, 40) m. ¿A qué distancia está la punta de la torre del origen?. 30. Un patinador describe un cuarto de circunferencia de 10 m de radio. ¿Cuánto vale la distancia que ha recorrido? ¿Y el módulo del vector desplazamiento? 31. Un avión vuela desde su base hasta el lago A, recorriendo una distancia de 280 km en una dirección que forma 45º con el eje OX. Lanza unos suministros y vuela hasta el punto B que se encuentra a 200 km del punto A a lo largo de una dirección que forma 135º con el eje OX. Finalmente retorna a su base. Represente gráficamente el recorrido del avión y calcule la distancia recorrida así como el módulo del vector desplazamiento. 32. Sean los vectores: a = (2, 0) y b = (5, 2). Calcule el vector 5a + 6b así como su módulo. 33. Sean los vectores: a = (2, 7) y b = (−5, 2). Calcule el vector 9a − 5b así como su módulo y ángulo polar. 34. Sean los vectores: a = (2, 7, −3) y b = (−5, 2, como su módulo.
8). Calcule el vector 9a + 2b así
35. Sean los vectores: a = (2, 7) y b = (−5, 2). Calcule su producto escalar. 36. Sean los vectores: a = (2, 7, 10) y b = (3, −5, 2). Calcule su producto vectorial. 37. Sean los vectores: a = (−2, 7, 10) y b = (3, 0, 1). Calcule el ángulo que forman. 38. Sean los vectores: a = (−2, 7, 10) y b = (3, 0, 1). Calcule a x b y el módulo del vector. 39. Sean los vectores: a = (1, 2, 10) y b = (3, 2, 1). Calcule a x b, dirección y sentido 40. Sean dos torres de telefonía que tienen una altura de 100 m y están situadas en los puntos (30, 40) km y (20, −80) km respectivamente. Desde el origen de coordenadas
se apunta con un rayo laser al extremo superior de ambas torres. ¿Qué ángulo forman dichos rayos? 41. ¿A qué distancia están las torres del problema anterior?
EJERCICIOS DE CINEMATICA EJEMPLO MOVIMIENTO UNIFORME: El avión Tu-154 cubre la distancia de Moscú a Tashkent, igual a 2736 km, en 3.8 h. Determinar la velocidad del avión, suponiendo que su movimiento era uniforme. En física, la anotación y solución de un problema se realiza así: Datos Solución s = 2736 km v = s/t v = 2736 km/3.8 h = 720 km/h t = 3.8 h Expresamos la velocidad obtenida en metros por segundo. Con este fin, convertimos los kilómetros en metros y las horas en segundos: 720 Km = 720 000 m, 1h = 3 600 s Entonces v= 720 km/h = 720 000 m/3 600 s = 200 m/s De esta forma, el valor numérico de la velocidad, como el de otra cualesquiera magnitud física (longitud, volumen, etc.) depende de la unidad de medición elegida. 42. Expresa en km/h: 100 m/s, 80 m/s, 20 m/s. 43. Expresa en m/s: 36 km/h, 72 km/h, 108 km/h. 44. Calcular la velocidad en km/h de un coche que recorre 450 hm en 90 min. 45. Calcular el tiempo que tarda una moto en recorrer 20 km si circula a 100 km/h. 46. Calcular en km el espacio que recorrerá un tren que viaja a 120 km/h si el viaje dura 3 horas y media. 47. Calcular la velocidad en km/h y en m/s de un móvil que recorre 100 m en 20 min. 48. Calcular la aceleración que llevaría un vehículo que pasa de 30 km/h a 80 km/h en 10 s. 49. Calcular la velocidad final de un coche si partiendo del reposo acelera durante 1 min a razón de 5 m/s2. 50. Calcular la aceleración de un coche si en 20 s consigue parar y sabemos que inicialmente iba a 72 km/h. 51. Calcular el espacio recorrido por un excursionista que camina a 5 km/h durante 2 horas. 52. Calcular el tiempo que tarda un ciclista en subir un puerto de montaña de 30 km de longitud con una velocidad de 15 km/h. 53. Calcular el espacio total que recorre un automóvil que viaja durante media hora a 90 km/h. Posteriormente viaja durante una hora a 100 km/h y por último durante dos horas a 120 km/h. 54. Calcular la aceleración de un coche que arranca y adquiere en 20 s una velocidad de 108 km/h. 55. Un ciclista que pedalea a 36 km/h tarda 10 s en parar. ¿Qué aceleración de frenado aplica? 56. Calcula la aceleración de un móvil que va a una velocidad de 40 m/s y pasa a 90 m/s en 5 s.
57. Un móvil lleva una aceleración constante de 3 m/s2. Si parte del reposo, escribe la velocidad al final de cada uno de los 4 primeros segundos. 58. ¿Qué altura tendrá un edificio si al dejar caer una piedra tarda 4 s en llegar al suelo? 59. Un móvil lleva una velocidad constante de 5 m/s. Haz una tabla e-t cada 2 segundos y construye una gráfica e-t. Observa la forma de la gráfica, ¿qué conclusión sacamos? Representa la gráfica v-t y a-t. 60. Desde un puente se deja caer una piedra que tarda 4 s en llegar al río que hay debajo. ¿Qué altura tiene el puente? ¿Con qué velocidad llega la piedra a la superficie del agua? 61. Dibuja las gráficas v-t, e-t y a-t correspondientes al movimiento de un excursionista que camina 2 h a 5 km/h. 62. Un coche parte del reposo y alcanza una velocidad de 72 km/h en 10 s. a. Calcula la aceleración. b. ¿Qué distancia habrá recorrido? 63. Sabiendo que un coche partiendo del reposo lleva una aceleración de 10m/s2, construye una tabla v-t, otra e-t y la de a-t. Representa las gráficas correspondientes para los siguientes tiempos: 0, 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. 64. Calcula el espacio recorrido por un móvil que partiendo a una velocidad de 10 m/s, en 5 s alcanza 30 m/s. 65. Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en parar? ¿Cuánto tiempo permanecerá en el aire? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? 66. Se deja caer una piedra de 3 kg desde lo alto de un edificio de 30 m de altura. ¿Con qué velocidad llegará al suelo? ¿Cuánto tiempo tardará en caer? ¿Y si su masa fuera de 6 kg? 67. Un móvil circula a 30 m/s. Si frena con una aceleración de 5 m/s2. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 50 m? ¿Qué velocidad tendrá en ese instante?
MOVIMIENTO UNIORMEMENTE VARIADO 1.
Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 metros con la aceleración de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante. a) Deduce cinemáticamente si salvará su piel el conejo. b) Razona matemáticamente que sucedería si la madriguera estuviese 100 metros más lejos. 20m/s
200m
40m 240m
a) S = Vt 200 =20 . t
tconejo =10s
S = Vo . t + ½ at2 90 =0t + ½ 5t2 90/2.5 = t2 t90 = 6s Vperro =at Vperro =5 . 6 V perro=30 m/s S =Vt 150 = 30t t150 = 5s b) S = Vt 300 = 20t
No le coge el perro al conejo.
t90 + t150 = 11s
tperro = 11s S =Vt 250 = 30t
tconejo = 15s
tperro = 8.33 + 6
t = 8.33s tperro = 14.33
Le cogería el perro al conejo 2.
Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 300 m/s, deja caer una bomba. Calcular: a) El tiempo que tardará la bomba en llegar al suelo. b) El alcance máximo del disparo. c) La velocidad de la bomba en el instante de llegar al suelo.
2000 m
x
a) h = ho + ½ gt2
0 = 2000 + ½ (-10)t2
-2000 = -5t2 t = 200s
Para llegar al suelo
b) X = Vxt = 300 . 20 =
6000 m
c) Vx = 300 m/s
Vy = gt = -10 . 20 = -200m/s
Vx2 + Vy2
V=
3002 + (-200)2
V = 360.5 m/s
α = -33º41 24.24”
3.
V=
Un coche de 2000 kg marcha a la velocidad de 144 km/h. Frena y en un recorrido de 25 m se pone a 54 km/h. ¿Qué fuerza ejercieron los frenos?¿A que aceleración estuvo sometido el coche?¿Cuánto duro el frenado?
144 km/h = 40 m/s 2000 kg
54 km/h = 15 m/s
25 m
V = Vo + at 15 = 40 + at a = 15-40 / t
a = -27.7 m/s
S = Vo t + ½ at2 25 = 40t + ½ (15-40 / t)t2 El frenado duró
t = 0.9s
F=m.a F = 2000 (-27.7) F = -55555.55N
La fuerza de los frenos es de 4.
Desde lo alto de un plano inclinado 60º sobre la horizontal desliza un cuerpo con una aceleración constante de 6.66 m/s2. ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento?¿Qué fuerza paralela al plano habría que aplicar al cuerpo para cayese con velocidad constante? La masa del cuerpo es de 10 kg. N
Px
Fr a P
Py
60º eF = ma Px – Fr = ma Px = Psenx = mg . senx
mg . senx – y . mg . cosx = ma
Py = Pcosx = mg . cosx
10sen60º – y . 10cos60º = 6.66 8.66 – 5m = 6.66 8.66 – 6.66 = 5m 2 = 5m . 2/5 µ = 0.4
V = cte. SF = ma Px – Fr – F = ma
Coeficiente de rozamiento
a =0 N = Py
Mg . senx - m . mg . cosx – F = 0 10 . 10sen60º - 0.4 . 10 . 10cos60º = F F = 66.6N
Vale positivo pero no va en contra del movimiento Habría que hacer 66.6N para que fuera V = Cte.
68. Un automóvil, partiendo del reposo, acelera uniformemente para alcanzar una velocidad de 20 m/s en 250 m de recorrido; a partir de este instante y manteniendo constante la velocidad recorre una distancia de 1 500 m, para detenerse a continuación en 50 m, mediante un movimiento uniformemente retardado, caracterizado por una aceleración negativa de 400 cm/s2. Determinar los tiempos empleados en cada una de las tres fases del movimiento. Solución: t1 = 25 s; t2 = 75 s; t3 = 5 s.
69. Deducir las velocidades, supuestas constantes, de dos móviles A y B, separados por una distancia de 30 Km, sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido, se encuentran a 10 Km de B, pero que si se mueven en sentidos opuestos, tardan 40 minutos en encontrarse. Solución: vA = 10 m/s; vB = 2,5 m/s. 70. Dos cuerpos, A y B, separados por una distancia de 2 Km, salen simultáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente variado, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 cm/s2. El encuentro se realiza a 3,025 Km de distancia del punto de partida de B. Calcular: a) El tiempo invertido por ambos móviles. b) La aceleración de A. c) Las velocidades de ambos en el instante del encuentro. Solución: a) t = 1 375 s; b) aA = 0,0053 m/s2; c) vA = 7,3 m/s, vB = 4,4 m/s. 71. Un coche lleva una velocidad de 72 Km/h y los frenos que posee son capaces de producirle una deceleración máxima de 6 m/s2. El conductor tarda 0,8 segundos en reaccionar desde que ve un obstáculo hasta que frena adecuadamente. ¿A qué distancia ha de estar el obstáculo para que el conductor pueda evitar el choque en las circunstancias citadas? Solución: S = 49,3 m. 72. En un movimiento uniformemente variado los espacios recorridos por el móvil en los instantes 1, 3 y 5 segundos son, respectivamente, 55 cm, 225 cm y 555 cm. Calcular el espacio inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Solución: So = 0,3 m; vo = 0,05 m/s; a = 0,4 m/s2. 73. En el minuto 32 del primer tiempo, correspondiente al partido de fútbol EspañaEire, jugado el día 16 de noviembre de 1 988, Andrinúa lanzó un balón a ras de suelo, en pase recto, a una velocidad de 27 Km/h. Butragueño, que se encontraba 10 m más atrás de Andrinúa, en la misma dirección de lanzamiento del balón, salió tras él con intención de alcanzarlo y pasárselo a Manolo. La velocidad de Butragueño era de 36 Km/h. ¿Qué distancia hubo de recorrer “El Buitre” para alcanzar el balón? ¿Cuánto tiempo empleó? Dato: El rozamiento del balón contra el suelo le produjo a éste una deceleración constante de 2 m/s2. Solución: S = 21,5 m; t = 2,15 s. 74. Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 Km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 m con la aceleración de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante. Deducir cinemáticamente si salvará su piel el conejo. Razonar matemáticamente qué sucedería si la madriguera estuviera 100 m más lejos. Solución: a) El conejo se salvará; b) El conejo será capturado por el perro.
75. Desde un punto situado a 10 m sobre el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m/s. ¿Con qué velocidad llegará al suelo? Solución: v = 33,17 m/s. 76. Se lanzan dos piedras verticalmente hacia arriba: una desde 20 m más arriba que la otra. Si ambas piedras alcanzan la misma altura máxima, ¿qué relación existe entre sus velocidades iniciales? Solución: vo´/ vo = √(1 + (20/h)). 77. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada. b) El tiempo que tarda en alcanzar dicha altura. c) El tiempo mínimo que tarda en alcanzar una velocidad de 10 m/s. (Tómese g = 10 m/s2). Solución: a) hmáx = 20 m; b) t = 2 s; c) t = 1 s. 78. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con velocidad inicial de 80 m/s. ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren? ¿A qué altura sucederá? ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento? (Tómese g = 9.8 m/s2). Solución: t = 3,62 s; h = 116,74 m; v1 = 14,52 m/s; v2 = 64,12 m/s. 79. Un globo que se eleva verticalmente con una velocidad de 4,8 m/s abandona un saco de lastre en el instante en que el globo se encuentra a 19,2 metros sobre el suelo. Calcular la posición y la velocidad del saco de lastre al cabo de ¼ s, ½ s, 1 s y 2 s. ¿Al cabo de cuántos segundos llegará al suelo? ¿Cuál será su velocidad en ese instante? Solución: a) t = ¼ s, h = 20,09 m, v = 2,35 m/s (hacia arriba); t = ½ s, h = 20,37 m, v = - 0.1 m/s (hacia abajo); t = 1 s, h = 19,1 m, v = - 5 m/s (hacia abajo); t = 2 s, h = 9,2 m, v = - 14,8 m/s (hacia abajo); b) t = 2,53 m/s; c) v = 20 m/s (hacia abajo) 80. Dos móviles se encuentran sobre una misma horizontal separados 20 metros. En el mismo instante se lanzan verticalmente hacia arriba con velocidad de 100 y 150 m/s. a) ¿A qué distancia se encontrarán uno de otro al cabo de 10 segundos de iniciarse el movimiento? b) ¿En qué instante se encontrarán a la misma altura? ¿Cuál es esta altura? Solución: a) d = 500,4 m; b) t = 0, h1 = h2 = 0 m. 81. Desde un punto situado a una altura de 78,4 m por encima de un plano horizontal se deja caer una pelota de goma, que tras chocar con el plano, rebota, conservando la mitad de su velocidad. Calcular: a) La altura que alcanza la pelota en su rebote. b) El tiempo total transcurrido desde que se dejo caer la pelota hasta que choca por segunda vez con el plano.
Solución: a) h = 19,6 m, b) t = 4 s. 82. Determinar la profundidad de un pozo cuando el sonido producido por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar con su fondo, se oye 3 segundos después. (Considérese: g = 10 m/s2; velocidad del sonido en el aire = 340 m/s). Solución: h = 41,4 m. 83. Una pelota cae desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar por delante de una ventana de 2,5 m de alto (longitud de la ventana). ¿A que distancia de la cornisa se encuentra el marco suprior de la ventana? Solución: h = 2,3 m. BLOQUE 3. (Tiro parabólico y tiro horizontal) 84. Desde un acantilado de 60m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20m/sg. Calcular: a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2sg después? (40,20) b) ¿Qué velocidad tienen en ese instante? 28’28m/sg 45º c) ¿Cuánto tiempo tarde en llegar a la superficie del agua? 3’4sg d) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? 59´53º e) ¿Cuánto vale el alcance máximo? 69’2m f) ¿En que punto de la trayectoria la velocidad real forma un ángulo de 45º con la horizontal? (40,20)
85. Un avión de bombardeo vuela a 4500m de altura sobre el suelo con una velocidad constante de 360km/h y pretende bombardear un objetivo inmóvil situado sobre el suelo. a) ¿A que distancia del objetivo medida a partir de la vertical del pie del avión debe soltar la bomba? 3000m
86. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400m/sg y un ángulo de elevación de 30º. Calcular: a) Posición y velocidad del proyectil a los 5sg.(1732’05,875) 377´48m/sg 23´41º b) En que instante o instantes el proyectil se encuentra a 1000m de altura y que velocidad tiene en esos puntos. 34’14sg 5’86sg c) Altura máxima alcanzada por el proyectil. d) Velocidad en ese instante. e) Alcance máximo. f) Velocidad en el punto de alcance máximo. 87. Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45º con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a 180m del punto en que se
lanzó. Calcula su velocidad inicial y el tiempo en que ha estado en el aire. 6sg Vo=42’43m/sg 88. Se dispara un proyectil con un ángulo de tiro de 60º. El proyectil alcanza una colina situada a 2km en un punto de 800m de altitud, respecto al punto de lanzamiento. a) ¿Con que velocidad se disparó el proyectil? 174’07m/sg b) ¿Qué velocidad tiene el proyectil al alcanzar la colina? 118’21m/sg 42’58º c) ¿Cuánto tiempo ha estado el proyectil en movimiento? 22’97sg 89. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de 400m/sg, formando un ángulo de 30º con la horizontal. a) ¿Altura máxima sobre el nivel del mar? 120m b) Velocidad a los 3sg de lanzamiento. 36’05m/sg c) ¿En qué punto y con que velocidad se producirá el choque del objeto en el agua? 6’828sg 59’96m/sg 90. Se tiene un río de 100m de ancho y se pretende cruzar remando una barca. La barca se mueve en dirección perpendicular a la orilla con una velocidad constante de 8m/sg. Paralelamente el agua del río desciende con una velocidad constante de 5m/sg. Calcular: a) ¿En que punto desembarcaría la barca? 62’5m b) Posición y velocidad a los 5sg.(25,40) 9’43m/sg c) Posición y velocidad a los 10sg.(50,80) d) Ecuación de la trayectoria.y=5 x/8
9’43m/sg
e) En virtud de los resultados anteriores, indicar que tipo de movimiento es el movimiento resultante. Rectilineo uniforme
91. Lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30m/sg. Paralelamente el aire experimenta sobre el cuerpo una fuerza hacia la derecha que le implica una aceleración constante de 2m/sg2. Calcular: a) Altura máxima alcanzada. b) Posición y velocidad a los 2sg de lanzamiento. c) Posición y velocidad del punto de choque con el suelo. d) Ecuación de la trayectoria. 92. Sobre un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de 50m/sg, formando un ángulo de –30º con la horizontal. Calcular: a) Posición y velocidad a los 3sg de lanzamiento. b) Alcance máximo. c) Velocidad en el punto de alcance máximo. d) Ecuación de la trayectoria.
93. Dos aviones están situados en la misma vertical. La altura en la que se encuentra uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden bombardear un objetivo común. ¿Que relación debe de haber entre las velocidades de ambos aviones? 94. Se dispara un cañón con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad de 200m/sg. Calcular: a) El alcance horizontal del proyectil. b) Velocidad del proyectil al llegar al suelo. c) Si a la mitad del recorrido hubiese una colina de 600m de altitud, ¿tropezaría con ella? d) En caso afirmativo, ¿qué solución daríamos para hacer blanco en el mismo objeto lanzando el proyectil con la misma velocidad y desde el mismo punto? 95. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, y al llegar a su extremo queda en libertad con una velocidad de 10m/sg. La altura del edificio es de 60m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30m. Calcular: a) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta? b) Tiempo que tarda en llegar al suelo. c) Velocidad en ese momento. d) En que posición la velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal. PROBLEMAS DE DINÁMICA 96. Un cuerpo se deja caer libremente desde lo alto de un rascacielos. Al cabo de un tiempo tA, pasa por un punto A. Cinco segundos más tarde, pasa por un punto B. La energía cinética de ese cuerpo en B es 36 veces mayor que en A. Hallar: El tiempo tA. Distancia que están separados entre sí los puntos A y B. Rta.: 1 s, 172 m (P.A.U. Sep 92) 97. Partiendo del reposo, una esfera de 10 g cae libremente, sin rozamientos, bajo la acción de la gravedad, hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. En ese instante comienza a actuar una fuerza constante hacia arriba, que consigue detener la esfera en 5 segundos. ¿Cuánto vale esta fuerza? ¿Cuál fue el tiempo total transcurrido en estas dos etapas?. Dato g = 10 ms-2. Rta.: 0’12 N, 6 s (P.A.U. Sep 94)
98. Con ayuda de una cuerda se hace girar un cuerpo de 1 kg en una circunferencia vertical de 1 m de radio, cuyo centro esta 10'80 m por encima de un suelo horizontal. La cuerda se rompe cuando la tensión es de 11'2 kg, lo que ocurre en el punto mas bajo de su trayectoria. Calcular: la velocidad que lleva el cuerpo cuando se rompe la cuerda. su velocidad en el instante de chocar contra el suelo. Rta.: 10 m/s; 17'1 m/s (P.A.U.) 99. Un carro de 1 tm avanza horizontalmente y sin rozamiento sobre un carril con una velocidad de 10 ms-1, según se muestra en la figura (posición A). A continuación entra en un lazo vertical de 4 m de radio. Calcular: C
B A
La fuerza que ejerce el carril sobre el carro al pasar éste por el punto B; ¿Lleva el carro suficiente velocidad en A para alcanzar el punto C más alto del lazo? DATO: g = 10 ms-2 Rta.: 5000 N; no (P.A.U. Sep 93) 100. Se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado 30° un bloque de 5 kg con una velocidad inicial de 12 m/s . Transcurridos 2 segundos, el bloque comienza a deslizar hacia abajo hasta el punto de partida. Calcular: el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado. la velocidad del bloque cuando vuelve a la posición inicial. Rta.: 0'13, 9'55 m/s (P.A.U.) 101. Un montacargas inicia su ascenso con una aceleración constante de 5 m/s2. Transcurridos 4 segundos su velocidad se hace constante. Calcúlese la fuerza que ejerce sobre el piso del montacargas una persona de 75 kg antes y después de los 4 segundos. Supóngase ahora que un ascensor partiendo del reposo comienza a descender con una aceleración constante de 5 m/s2 y que al cabo de 4 segundos alcanza una velocidad constante. ¿Qué fuerza ejercerá sobre el piso del ascensor, antes y después de los 4 s, esa misma persona? Rta.: 1.110 N; 735 N; 360 N; 735 N (P.A.U.) 102. Una masa de 4 kg se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento a la velocidad de 3 m/s, y comprime un muelle elástico de masas despreciable y de constante recuperadora 90Nm-1. Determinar : a) la compresión máxima del muelle, b) velocidad de la masa cuando el muelle se ha comprimido 10 cm. Rta :. 0’2 m ; 2’6 m/s ( P.A.U. Jun 97)
103. Un cuerpo de 10 kg de masa, lanzado desde el suelo formando un ángulo de 30º con la horizontal, alcanza 138’6 m. Hallar . El momento angular en el punto más alto de la trayectoria, respecto al punto de lanzamiento La energía mecánica del cuerpo a los 2 s del lanzamiento ( g=10 m/s) Rta a: L=692'8 k kg·m2s-1; b) E=8000 J (PA.U. Sept 98) ELECTROSTÇATICA Parte Conceptual 104. En el gráfico fuerza del resorte vs. Elongación del resorte, la pendiente de la recta representa: £El trabajo del resorte. £La elongación del resorte. £La constante elástica del resorte. £La fuerza del resorte. £Ninguno. 105. Dos cargas puntuales Q1 y Q2 se atraen en aire con cierta fuerza F, suponga que el valor de Q1 se duplica y el de Q2 se vuelve 8 veces mayor. Para que el valor de la fuerza F permanezca invariable, la distancia r entre las cargas Q1 y Q2 deberá ser: £ 32 veces mayor. £ 4 veces mayor. £ 16 veces mayor. £ 4 veces menor. £ Ninguno. 106. Un capacitor de carga “Q”, tiene una capacitancia “C”. Si la carga se duplica, entonces la capacitancia: £ Se duplica. £ Se reduce a la mitad. £ Se mantiene. £ Ninguno. 107. Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba y al cabo de un tiempo alcanza una altura máxima. En ese instante, la partícula se detiene, entonces: £ Carece de aceleración. £ Se encuentra en equilibrio. £ Está acelerada. £ Ninguno. Parte Práctica 108. Se tienen dos esferas iguales, electrizadas con igual cantidad de carga q = -6 10 C pero con signos diferentes, separadas una distancia de 0.1 m; una de ellas está sujeta a una cuerda que hace un ángulo de 37° con la pared vertical y la otra esta fija. Calcular la tensión en la cuerda y la masa de cada esfera Respuesta : T = 1,5 N ; m = 0,12 kg
37º
0,1 m
109. Un alambre tiene una resistencia eléctrica de 5Ω si se estira hasta triplicar su longitud permaneciendo constante su volumen y resistividad eléctrica. Determinar la nueva resistencia. Ao = Área inicial, l o = longitud inicial Respuesta: Rf = 45 Ω 110. Una tabla de 17m de longitud y masa m = 100 [Kg] se coloca al borde de un precipicio, de tal manera que 10m se encuentran apoyados sobre el piso horizontal y el resto sobresalen del borde. ¿Qué distancia, desde el borde del precipicio, podrá caminar sobre la tabla un hombre de 65 [Kg] antes de caer al precipicio? Respuesta: X = 2,31 m Parte Conceptual 111. Un objeto de masa “m” se mueve con una velocidad inicial vo, si su energía cinética se duplica entonces la nueva velocidad será: £ 2vo £ 4vo £ 2 vo £ vo £Ninguno. 112. En un movimiento parabólico, para un ángulo de 45º la relación entre la altura máxima y el alcance horizontal es: £ 1/2. £ 1/3. £ 1/5. £ 1. £ Ninguno. 113. Emparejar los términos de la izquierda eligiendo una definición de la derecha. a) El producto vectorial de dos vectores x) Un vector paralelo al primer vector b) El producto escalar de dos vectores y) Un vector perpendicular a los dos vectores z) Un escalar positivo u) Un escalar £a↔x £b↔x £b↔u £a↔y £a↔z 114. Para lograr un trabajo máximo, la fuerza aplicada y el desplazamiento deben formar un ángulo de: £ 270º. £ 90º. £ 0º. £ 45º. £ Ninguno. Parte Práctica 115. Un bloque de masa m está sujeto a través de una cuerda de longitud L fija por un extremo. La masa se mueve en un círculo horizontal soportada por una mesa pulida (fig. 1). Determinar la tensión en la cuerda si el periodo es P. Respuesta: T = 4π2mL / P2 m L
S
h m
35º
Figura 1. Figura 2.
116. Se dispara un bloque de masa m=1[Kg] a través de un resorte de constante elástica K=800[N/m] comprimido 20[cm] al pie de un plano inclinado como se muestra en la figura 2. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano inclinado es µ=0.2, determinar la altura máxima alcanzada en el ascenso. Respuesta: h = 1,27 [m] 117. Hallar el área de un paralelogramo cuyas diagonales son los vectores A = 3i + j -2k y B = i – 3j + 4k. A
B
Respuesta: Area = 75 unidades de superficie Parte Práctica 118. La velocidad de un móvil que se mueve en línea recta y con aceleración constante es de 5 m/s. cuando el tiempo inicial es t0 = 0 s. y después la velocidad es de 30 m/s cuando t = 5 s. V [m/s] Grafique V vs t, para el intervalo entre 0 y 5 s. 30
5 1
2
3
Ing. Salomón Benito
4
5
t [s]
