F O R M U LE D E CA L CU L PR E SCU R TA T
M A TE RIA L RE A LIZ A T D E E LE V II CLA SE I a V IIII - a B
ŞCOA LA N R. 6
E XE R CIŢ CI ŢII PR O PU SE ŞI R E Z O L V ĂR I
“ M IH A I E M IN E SCU ” V ASLU I,
PROF. G IA N IN A E LE N A BU SU IOC
Exerciţii în care se foloseşte formula:
(a + b )2
= a 2 + 2ab + b 2 4.Stabiliţi valoarea de adevar:
Standard: 1.Calculaţi: 2 a) (4 + y ) b) c) d) e) f) g) h)
(3 x + 2 )2 (5 y + 3 )2 (4 x + y )2 (3 z + x )2
(
( (
6+3
)
2
6 + 3) 6 x + y)
2
2
2.Calculaţi: 2 a) (4 + 3 ) 2 b) ( x + y ) 2 c) (4 + z ) 2 d) (2 + y ) e) f) g) h)
(3 + x ) (5 + z )2 (2 + 6)2 (5 + x )2
2
3.Calculaţi: 2 a) ( x + 3 ) 2 b) (z + y ) 2 c) (2 y + 3 x ) d) ( 6a + 2 6b ) e) ( x + 7b )2
a) (5 y + 3 )2
= 25 y 2 + 30 y + 9
b)
( x + 9 )2
c)
( x + 2 )2 = x + 4 x + 4
d)
( y + 6 )2 =
= x 2 + 36 + 18
2
y 2 + 12 y + 36
5.Completaţi spaţiile libere cu nr. reale astfel încât egalitaţile sa fie adevărate.
a)
( x + ...)2 = ... + 10 x + 25
b) (... + x ) = 36 + 12 x + ... 2
c) (... + 5)2 = 4 y 2 + 20 y + ... d) (3 y + ... )2 = ... + 24 y + 16
Mediu: 1.Calculaţi: a)
(x + 2 2 ) + ( x + 3 2 ) 2
2
b) (2 x + 3)2 − (3 x + 2 )2 c) d)
( x + 5 )2 − ( x − 4 )2
(x + 2 ) − ( 2
2x + 2
)
2
4.Calculaţi: a) ( 2 y + 3 x )2
2.Calculaţi: a) ( 3 + 7 )2 − ( 7 + 3)2 b)
(
7+ 3
) − (3 + 7 ) 2
2
2 2 2 c) (0,2 x + 0,1 y )
c)
(2
d)
(2 + x ) + (4 + x )
2x + 3 3 y 2 2
)
2
2 2
3. Calculaţi: 2 2 a) (x 3 + 2 y ) − (x 3 + 2 y 2 ) b)
101 2
c)
52 2
b) (0,1 + 0,2 x )2
d) (0,003 x + 0,002 y )2
5.Efectuaţi: a) 0,2 x + 2
(
b)
(0,3 y +
c)
(
)
2
3x2
5 x 5 + 0 ,5 y 4
)
)
2
Avansat: 1.Calculaţi: a) (2 3 − 5)2 − (3
) ( 2
2−4 +
3 −1
)
2
4.Arătaţi că suma a 4 numere întregi consecutive e divizibilă cu 2.
b) (3 x − 1)2 − (5 x 2 − 2)2 + (x 2 − 3)2 2
c)
.
3 1 2 − x − 2 3 x − 2 3 3
2.Dacă:
x+
1 = 5, x
2
aflaţi:
3.Comparaţi numerele: a) 5 + 8 şi 6+ 7 b) 7 + 18 şi
20 + 5
5.Ştiind că
x8 +
1 x8
a)
a2 +
1 a2
b) a 4 + 1 4 a
a+
1 =6 a
calculaţi:
Exerciţii în care se foloseşte 2 formula: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
3)Determinati valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii pentru orice x, y ∈ R : a) x 2 + y 2 = ( x + y )2 b) (3 x + 1)2 = 9 x 2 + 6 x + 1 2 c) ( 3 + 2 ) = 5 + 2 6
Standard: 1)Calculati: 2 a) (5 x − 11 y ) b) a − 2 3 2 c) (5 x − 3b )2
(
)
2) Efectuati folosind formule de calcul presscurtat: a) b)
(12 x − 7 y )2
( x − 3 )2
4)Copiati si completati cu termenii care lipsesc, astfel încât propoziţii să devină adevărate: a) ( x − ...) = ... − 10 x + ... 2 b) (3... + 2) = 9 x 2 + ... + ... c) ... − 5 2 = x 2 + ... + ... 2
(
)
5) Efectuati: a) b) c) d)
( x − 3 )2 (4 x − 3b )2 (10 y − 6 x )22 (15 x − 5 y )
4) Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:
Mediu 1)Calculati:
a)
a) (− 5 y + 10 x )2 b) [(27 x − 14 x − 13 y ) + (4 y − 5 x )]2 c)
[(11 x − 13 xy + 7 y + 7 xy ) − (3 x + 6 xy + 9 y )]2
2 ( 0,2 − x ) = 0,04 − 0,4 x + x 2 c)
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
a) 2 2 2 2 2 4 4 b) ( x + y ) − 2( x + y )( y − x ) − x − y 3y
2 2 b) (2a − b ) = 4a − 2ab + b
5) Calculati folosind formula:
2) Efectuati:
(x +
1 1 − x + 3 = x 2 − 3x + 9 2 4
) − (x − 2
3y
)
2
3) Următoarele egalităţi conţin greşeli. Calculaţi şi precizaţi care sunt greşelile: a) b) ( 2 − y − 1)2 = 4 + 1 + y 2 − 2 y − 2
(− 1 − 2 x − 2 y )
2
= 4 x + 4 y − 2 x + 4 xy − 4 + 1
2 a) (2 x − 5 ) b) (− 2 x − 1)2 2
c)
x − 3 2
d)
1 4 x − y 2 3
e)
(
)
2 −1
2
2
4)Aratai ca numerele:
Avansat
5 + 7; sunt irationale.
1)Efectuati: a) b) c)
(
)
(
)
) −(
2− 3
2 − x (− x ) − 2 − 2 x
(2 x − 5)2 − (5 x − 2)2
(2
2+3 3
2
2
5)Comparati numerele:
)
2
a) b)
2)Calculati:
(
)
2
(
2 2 a) x x − 2 − x x + 2 b) ( x − 1)2 − x ( x + 2 ) − 2( x + 2 )2
3)Daca a + unde
5 − 3;
1 = 5 , calculati a
a∈R
a4 +
)
2
1 1 8 si a + a4 a8
5 + 8 si
6+ 7
7 + 18 si
20 + 5
2+ 7
Exerciţii în care se foloseşte formula: (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc ) Standard: 1.Alegeţi răspunsul corect. Doar un singur răspuns este corect! 2 Care este rezultatul calculului: (3 x + 2 y 2 + z )? 2 2 a) 3 x + 4 y + z 2 4 2 2 2 b) 9 x + 4 y + z + 12 xy + 4 y z + 6 xz c) 4 x ( x + 3) 2.Completaţi spaţiile libere cu termenii care lipsesc: a) (... + b + ...)2 = 4 x 2 + b 2 + ... + 4 xb + 4bc + 8 xc b) (a + ... + z )2 = a 2 + 9 y 2 + z 2 + ... + ... c) (4x + 3 y + ...)2 = 16x 2 + ... + 25z 2 + .... + .... + .... 2
3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor următoare: a) (3a + 2b + 6c )2 = 9a 2 + 4b 2 + 36c 2
b) (4 x + 7 y + 8c ) = 16 x 2 + 49 y 2 + 64c 2 + 56 xy + 112 yc + 64 xc 2
c)
( x + y + z )2
= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz
4. Calculaţi:
( b) (5 +
)
2
a) 8 + x + 3 =
c)
(
)
2
2+z =
7 + 2+ 5
)
2
5. Calculaţi:
a) ( b) c)
2+ 6+x
=
)
2
=
(a + b + 7 )2 =
( 10 +
3+z
)
2
=
Mediu: 1.Calculaţi: 2 a) (2 x + 3 y + 4 z ) = 2
b) c)
1 + x + 2 = 2
4.Completaţi spaţiile libere cu termenii lipsa: a) (... + ... + ...)2 = x 2 + y 2 + 4 z 2 + ... + ... + ... b) (... − b + ...)2 = 4 x 2 + b 2 + ... − 4bx − 2by + ... c) (3 x + ... + 2 z )2 = ... + ... + ... + 6 xy + 4 zy + ...
2
1 + x + 2 = 2
d) ( x − 2 y + 1)2 = 2.Stabiliţi dacă următoarele egalităţi sunt adevărate: 2 a) 3 + 1 + 2 = 12 + 2 3 + 4 3 = 12 + 6 3
( b) ( x
2
) + x − 2)
2
= x 4 + x 2 + 4 + 2x 3 − 4x − 4x 2
c) (x 3 + x + 5 )2 = x 6 + x 2 + 25 + 2 x 4 + 2 5 x + 2 5 x 3 d) (3 + x4 + 2y)2 = 9+ x8 + 4y2 + 6x4 + 4yx4 +12y 3.Efectuaţi următoarele calcule: 2 a) (2 x + y + 3z ) = 2 b) x+ 3+ 2 =
(
)
5. Corectaţi greşelile din următoarele egalităţi : 2 a) (2 − x + y) = 4 − x2 + y2 − a − 2x − 4y + 2xy 2 b) (2a + 3b − 3) = 2a2 + 6b2 − 9 + 12ab− 6a + 9b2 c) 2 − y − 1 2 = 5 + y 2 − 2 y + 2 y − 2
(
)
Avansat:
a= 3+ 2 1.Dacă: , calculaţi: b= 5− 2 c= 7
4. Se stie că a, b, c ∈ R , şi ab + bc + ca; = 12
(a + b + c)
2.Să se efectueze:
2
Să se calculeze: a + b + c 2
(
a) (5x + 3y + z) − 3(2x − 7 y)(2x + 7y) − 13x + z 2
2
2
)
b) (2 3 + 4 2 −1) + (2 2 + 3 3)(2 2 − 3 3) + + 2( 6 + 2) − (3 − 2 6) c) 4(3 + 2 2 − 3) − (6 − 7 2)(6 + 7 2) + 2 2(3 + 2 3) 2
2
2
2
a∈N 3.Să se arate că oricare ar fi ,atunci numărul A este un patrat perfect,unde:
(
)(
)
A = a2 + a + 1 a2 + a + 3 + 1
a + b + c = 21
5.
2
2
a , b, c ∈ R. Să se arate ca dacă
(a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2 ) a=b=c
, atunci
c) (a + ....)⋅ (5 − ....)= 25− a2 ; d) (20 + ....) ⋅ (20 − ....) = .... − x 2 ;
Exerciţii în care se foloseşte formula: (a + b ) ⋅ (a − b ) = a
2
− b2
Standard 1.Calculati: a) ( 2 x + 5 ) ⋅ ( 2 x − 5 ); b) (4x + 5 y) ⋅ (5 y − 4x); c) (12 + x ) ⋅ ( x − 12); d) (2 8 + 3 5) ⋅ (2 8 − 3 5);
4. Calculaţi în două moduri: a)
b) c) d)
( 3 + 1) ⋅ ( 3 − 1); (
1 x− 2
3)⋅( 3 +
( 2 + x) ⋅ (x −
1 x ); 2
2 );
( 4 − x ) ⋅ ( x + 4 );
5.Calculati folosind formula: (a + b ) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
2.Stabiliti valoarea de adevar a propozitiilor: a) (a + b) ⋅ (b − a) = a2 − b2 ; b) (5 x + 5 y) ⋅ (5 y − 5 x) = 25 y 2 − 25x 2 ; 2 2 c) (15x − 4 y) ⋅ (4 y + 15x) = 16y − 225y ; 2 d) (4x + 3) ⋅ (3 − 4x) = 9 − 4x 3. Completati spatiile libere astfel încât următoarele egalităţile să fie adevărate: a) (8 + ...) ⋅ (... − 8) = 100 − 64; b) (....+ ....)⋅ (2a − ....) = 4a 2 − 49;
a) b) c) d)
( 2 x − 3 ) ⋅ ( 2 x + 3 );
( 3 x − 2 y ) ⋅ ( 3 x + 2 y ); ( 100 − 25 ) ⋅ ( 25 + 100 ); (
x −
y)⋅(
x +
y );
Mediu
4. Calculaţi folosind formula:
(a+b)⋅ (a−b) = a2 −b2 1.Completaţi spaţiile libere astfel încât să fie adevărate egalităţile: a) ( x − ....) ⋅ ( x + ....) = .... + 9; b) ( x − .....) ⋅ ( x + .....) = x 2 − 3; 2 2 c) (.... + 2 x ) ⋅ (.... − 2 x ) = 25 y − 4 x ; 2 d) (100 + .....) ⋅ (...... − 100) = x − .....; 2. Calculaţi: a) ( 2ab 2 − 3 xz ) ⋅ (2ab 2 + 3 xz ); b) (5 x − 2 y ) ⋅ (5 x + 2 y ); c) ( x − y + 1) ⋅ ( x + 1 + y ); d) (1 − x + y + z ) ⋅ ( x − y + z + 1); 3. Stabiliţi dacă următoarele egalităţi sunt Adevărate: a) ( x − y ) ⋅ ( y + x ) = x 2 − y 2 ; b) (5 + x ) ⋅ ( x − 5) = 25 − x 2 ; 2 c) (4a − 8) ⋅ (8 + 4a ) = 16a − 64; 2 2 d) ( xy + 3) ⋅ (3 − xy ) = 9 − x y ;
a) b) c) d)
( 2ab − c ) ⋅ ( 2ab + c ); ( 2 x + 1 − y ) ⋅ ( 2 x + 1 + y ); ( 3 x − y + 2) ⋅ ( 3 x − 2 + y );
( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 4);
5.Corectati greselile din urmatoarele egalitati : a) (4 x + 7) ⋅ (4 x − 7) = 4 x 2 − 49; b) (25 + x ) ⋅ ( x − 25) = 225 − x 2 ; c) (5 + x ) ⋅ (5 − x ) = 5 − x 2
4. Calculaţi
Avansat
( x + y) ⋅ ( x − y)
pentru:
x = (a + b)⋅ (a − b), y = ( c + d ) ⋅ ( c − d ) 1.Calculati (x+y)(x-y) daca: a) b)
x=
3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 6,
x = 20
( 2 ⋅ 3) , 20
şi a = 5 + 5 y=
y = 1000
3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2;
c= 6+ 6 d = 2 + 2 2;
( 2 ⋅ 4) 1000
2. Fie numerele:
a = ( 2 −1) ⋅ ( 3 + 2) ⋅ ( 4 − 3) ⋅ ( 5 + 4) ⋅ ( 6 − 5);
b = ( 2 +1)⋅ ( 3 − 2)⋅ ( 4 + 3)⋅ ( 5 − 4)⋅ ( 6 + 5); Calculaţi media geometrică a celor două numere. 3. Calculaţi:
( x ⋅ 3−1 + y ⋅
b = 3 + 3;
iar
2 x ) ⋅ ( − y ⋅ 2−1 ); 2 3
5. Scrieţi expresia următoare ca o diferenţă de pătrate:
4( x + y)2 − 4( x2 − y2 ) + ( x − y) − z2;
Testul 1
2 ( x + y ) 3.Calculaţi ştiind că : şi y = 5 − 4 x= 5+ 4
4.Calculaţi :
( 3 x − 1) 2 + ( 2 x + 3) 2
1.Să se calculeze : a)
(a + 7 ) 2
b) ( b − 3) 2 c) ( 2 x − 3 ) ⋅ ( 2 x + 3 ) d)
( − x − 4) 2
5.Calculaţi suma a + b = 5 şi ab
a2 + b2 = 15.
ştiind că :
6.Calculaţi suma a+b stiind ca : 2 2 a − b = 10 şi a − b = 40 ;
2. Calculaţi: a)
( 3ab − c ) ⋅ ( 3ab + c )
b)
( x − y + 2) ⋅ ( x + y + 2)
c)
(2a − 3b + c ) ⋅ (c − 3b + 2a )
d)
4 x ( x + 3) − ( x + 2) 2 + ( x 2 − 2 x ) : x
7.Calculaţi produsul 2 a + b = 9 şi a
a⋅b + b
ştiind că: 2
= 81
Testul 2 1. Calculati : a)
(7 + 2 x ) 2
b)
( 3 − x)2
( 2 − b) ⋅ ( 2 + b) 2 d) ( x + 3 y + 2 x ) c)
3.
2 2 Calculaţi (: 3 − 7 ) + ( 3 + 7 )
4.
Efectuaţi :
5.
( 2 x − 3) 2 − 2( x + 2)( x − 2) + ( 3 x + 2) 2
Calculati : ( −4 y ) ⋅ ( y − 1) 2 a+
6. Ştiind că 2 calculaţi a +
1 a2
2 =6 , a
2. Completaţi cu termenii lipsă spaţiile Punctate astfel încât să obţineţi propoziţii adevărate. a) ( x + 5) 2 = ... + 10 x + ... b) ( 5 − y ) 2 = 5 − ... + y 2 2 2 c) ( 4 − 3a ) = 4 − ... + ...
d) ( 2 y − 2 ) 2 = ... − ... + 2
7.
Calculaţi suma a+b ştiind că : a−b= 4 şi a 2 − b 2 = 56 .
