Relación 4. Modelos discretos de distribuciones. 1.– Si se lanzan dos dados diez veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de que en más de la mitad de las ocasiones se obtenga una suma par de puntos? 2.– Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo ofrece dos formas de pago: al contado o a plazos. Se sabe que el 20% de las unidades adquiridas lo son al contado. a) Supuesto un número de ventas n, un beneficio de 1.000 pts. en las ventas al contado y uno de 1.100 en las ventas a plazos, obtenga el beneficio esperado. b) Si han sido vendidas cinco unidades, obtenga la probabilidad de haber vendido al menos dos al contado. 3.– El porcentaje de tabletas de aspirina defectuosas verificadas en una máquina automática es del 1%. a) Si las pastillas se colocan en tubos de 20 tabletas, ¿cuál es la probabilidad de que un tubo contenga x defectuosas? b) Si los tubos se colocan en cajas de 25 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga exactamente 20 tubos con ninguna tableta defectuosa? 4.– Un cierto proceso de fabricación se considera aceptable si produce un porcentaje de artículos defectuosos inferior al 1%. Para inspeccionar si se mantiene este nivel, se extrae una muestra de n artículos cada hora, se examina y si se encuentra algún artículo defectuoso se detiene la producción. En el caso concreto de que se llegara a producir un 5% de artículos defectuosos, el fabricante desearía que la producción se detuviera con un 95% de probabilidad. ¿Qué valor debe tener n para que se cumplan los deseos del fabricante? 5.– Una empresa dedicada a la fabricación de motores desea adquirir una máquina para la fabricación de cierto elemento. Supongamos que la máquina produce una proporción p de artículos defectuosos. Se desea estimar p para contrastar la calidad de la misma. Se propone usar como una aproximación a p, la proporción de piezas defectuosas en una muestra de tamaño n. Determine el valor mínimo de n para asegurar que el error cometido al estimar p sea menor de 0.1, al menos con una confianza del 99%. 6.– En la central telefónica de una ciudad se recibe un promedio de 480 llamadas por hora. Si la central tiene una capacidad tal que puede atender a lo sumo doce llamadas por minuto, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto determinado no sea posible dar línea a todos los clientes que lo soliciten? 7.– Supongamos que la demanda mensual de televisores de una cierta marca, sigue una distribución de Poisson de parámetro 10, y que el beneficio neto por unidad es de 5.000 ptas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio neto mensual que obtenga un comerciante sea, al menos, de 60.000 ptas.? b) ¿Qué stock debe almacenar el comerciante a principio de mes para tener una probabilidad de 0.95 de satisfacer toda la demanda durante dicho mes?
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8.– Sean X e Y vv.aa. P(λ1) y P(λ2), respectivamente, independientes entre si. Determine la distribución de X condicionada a que X+Y=n. 9.– El proceso de fabricación de una pieza puede llevarse a cabo en una cualquiera de las dos cadenas de montaje cuyo funcionamiento es incompatible. La primera opera a un ritmo medio de 1 montaje/hora y la segunda a uno de 2, siguiendo en ambos casos leyes de Poisson las correspondientes variables. a) Si en una jornada de 8 horas se van alternando las cadenas de trabajo de manera que al final del día cada una de ellas ha estado funcionando la misma cantidad de tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que en toda la jornada se hayan superado los 20 montajes? b) ¿Cuál sería el coste diario de fabricación esperado si las cadenas se van alternado entre si cada dos horas y el coste de producción de la primera es de 3.000 u.m. por inicio de funcionamiento y de 2.000 u.m. por pieza fabricada, mientras que para la segunda es de 10.000 u.m. por pieza y el mismo que la otra por inicio de funcionamiento? 10.– A un hotel llegan dos carreteras A y B. El número de llegadas diarias por cada carretera sigue una distribución de Poisson de parámetro 8 para la primera y 9 para la segunda. Ambas variables son independientes entre si. a) Si un día llegaron 12 personas, ¿cuál es la probabilidad de que 7 llegaran por la carretera A? b) Si el coste de manutención por cliente es de 2.000 pts., en los días en lo que haya menos de 5, y de 1.500, en los que haya 5 o más, halle el coste total esperado diario. 11– Suponga que el número de llamadas que recibe una operadora entre las 9 y las 9:05 horas de cualquier día sigue una distribución de Poisson de parámetro 5. Determine la probabilidad de que después de dos días, el número total de llamadas recibidas en dicho intervalo de tiempo sea 8. 12.– Un proceso de control de calidad se caracteriza porque la inspección implica la destrucción de la pieza examinada. El proceso de inspección se detiene cuando se obtiene una pieza defectuosa. Se sabe de experiencias similares que la probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es del 5%. a) Calcule el número medio de piezas que se destruyen en una inspección de calidad. b) Halle la probabilidad de que en el proceso se destruyan más de dos piezas en buen estado. 13.– En un proceso de control de calidad se procede a la rotura sucesiva de piezas para comprobar su resistencia. Se conoce que la probabilidad de que una pieza sea correcta es 0,8 y cada pieza cuesta 100 u.m. El proceso de control se detiene cuando se encuentra la primera defectuosa. a) Determine la distribución del número de piezas destruidas en el proceso de control. b) ¿Cuál sería el coste medio del proceso?. c) ¿Cuál sería el coste medio si el proceso se detuviera al encontrar la tercera pieza defectuosa? 14.– Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica. Demuestre que P(X>n+m/X>m)=P(X≥n). 15.– La probabilidad de un lanzamiento con éxito es 0,8. Supongamos que se realizan sucesivos ensayos hasta obtener el tercer éxito. Estadística aplicada a la empresa I.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios menos de 6 intentos? b) Si cada uno de los ensayos cuesta 5.000 u.m. y cada fracaso produce un coste adicional de otras 500 u.m., calcule el coste total esperado de la experiencia. 16.– Sean X e Y vv.aa. independientes que siguen distribuciones geométricas de parámetros p y p' respectivamente. Calcule: a) P(X=Y) b) P(X+Y=n) c) P(X=m/X+Y=n) 17.– En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamblaje. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0,05. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa? b) ¿Cuántas unidades se tienen que inspeccionar, por término medio, hasta encontrar cuatro defectuosas? c) Calcule la desviación típica del número de unidades que se deben inspeccionar hasta encontrar la cuarta defectuosa. 18.– Un fabricante de chips de silicio los empaqueta en lotes de 25. El comprador inspecciona los lotes antes de aceptarlos. Para ello, toma una muestra de 3 chips de cada lote. Si en la muestra encuentra menos de 2 chips defectuosos, acepta el lote. Al comprador le interesa que los lotes aceptados no contengan demasiados chips defectuosos. a) Sabiendo que en un lote hay M defectuosos, calcule la probabilidad de aceptarlo. b) ¿Es muy grande dicha probabilidad si M=6? c) ¿Se reduce mucho esta última probabilidad si sólo aceptáramos un lote cuando en la muestra no se encontrara ningún chip defectuoso? 19.– Una empresa se dedica a forrar tresillos. El porcentaje de tresillos con el forro colocado defectuosamente es del 5%. a) Calcule la probabilidad de que entre 20 no haya ninguno defectuoso. b) Al cargar una partida de 10, se sabe que hay dos defectuosos entre ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que examinados 5 al azar, aparezcan los dos defectuosos? 20.– Una compañía de transportes por carretera observa que tiene una tasa de averías de 3 camiones/día. El tiempo de reparación necesario por camión es el trabajo de un día de equipo. ¿Cuántos equipos son necesarios para tener una probabilidad, por lo menos del 95%, de que un cierto día, todas las reparaciones demandadas serán atendidas? 21.– Sea X una variable aleatoria que mide el número de piezas defectuosas que aparecen en una caja de 20 unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es del 5%. Sobre una muestra de 10 cajas se calcula una nueva variable Z definida como el número medio de piezas defectuosas por caja. a) Determine la distribución de Z. b) Encuentre la expresión P(Z<3). 22.– Las cajas de naranjas de una cooperativa tienen una probabilidad del 15% de contener un mínimo de 4 unidades en mal estado. En un embarque de 17 cajas, halle la probabilidad de: Estadística aplicada a la empresa I.
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a) que 3 de ellas contengan 4 o más naranjas defectuosas. b) que 12 de ellas contengan menos de 4 naranjas defectuosas. 23.– Una persona hace 5 lanzamientos independientes de un dardo a un blanco. Sea p la probabilidad de dar en el blanco en una tirada. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer tiro haya dado en el blanco si se sabe que hizo exactamente tres blancos en las cinco tiradas?. 24.– Una compañía de líneas aéreas tiene aviones de 2 y 4 motores. Para todos los aviones, la probabilidad de que falle un determinado motor es p=0,1 y estos fallan independientemente unos de otros. Un vuelo sólo puede finalizar con éxito si al menos la mitad de los motores del avión funcionan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo finalice con éxito si el avión que lo realiza tiene dos motores?. ¿Y si tiene cuatro? b) Si en una determinada ruta se usan los aviones bimotores el doble de veces que los cuatrimotores, ¿qué proporción de vuelos de esa ruta finalizará con éxito?. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer vuelo que no finalice con éxito sea después del décimo? c) En las condiciones del apartado b), si un vuelo llegó sin novedad a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un bimotor? 25.– Supongamos que el número de llamadas recibidas en la central telefónica de una cierta empresa sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Supongamos que la probabilidad de que una llamada cualquiera provenga del extranjero es p, con independencia de las demás. Determine la distribución del número total de llamadas recibidas que provienen del extranjero.
SOLUCIONES: 1.– a) 0,377 2.– a) 1080n b) 0,2627 20 3.– a) 0,01x 0,9920–x si x=0,1,2,...,20; b) 0,1909 x 4.– n≥59 5.– n≥2500 6.– 0,0638 7.– a) 0,3032 b) ≥ 15. 8.– B(n,λ1/(λ1+λ2)) 9.– a) 0,0116 b) 100.000 10.– a) 0,1683 b) 25.500,34 11.– 0,1126 12.– a) 20 b) 0,8574 13.– a) P(X=x)=0,2(0,8)x-1 b) 500 c) 1.500 15.– a) 0,94208 b) 19.125 16.– a) (pp’)/(1-qq’) b) pp’(qn+1-(q’)n+1)/(q-q’) c) qm(q’)n–m(q-q’)/(qn+1-(q’)n+1) 17.– a) 0,01887 b) 80 c) ó= 38,9872 18– a) (25–M)(24–M)(23+2M)/13.800 b) 0,8674; c) P(aceptar)= 0,4213 19.– a) 0,3585 b) 2/9 20.– Más de cinco. Estadística aplicada a la empresa I.
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29 200 200 0,05x 0,95200–x 21.– a) p(Z=z)= 0.0510z 0.95200–10z si z= 0, 0,1,..., 19,9, 20 b) ∑ x x =0 10 z 22.– a) 0,2359 b) 0,0668 23.– 3/5 24.– a) 0,99, 0.9963 b) 0,9921, 0,9238 c) 0,6653 25.– P(λp)
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