Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Taksiran Parameter Distribusi Weibull dengan Menggunakan Metode Momen dan Metode Maksimum Likelihood Arisman Adnan,Eka Meri Kristin, Sigit Sugiarto Laboratorium Statistika, Jurusan Matematika, Universitas Riau E-mail:
[email protected] Abstrak.Taksiran parameter distribusi Weibull dilakukan dengan menggunakan metode momen dan metode maksimum likelihood. Dengan menggunakan beberapa ukuran sampel untuk berbagai parameter bentuk dan parameter skala , simulasi menujukkan bahwa Mean Square Error untuk metode moment lebih kecil dibandingkan dengan metode kemungkinan maksimum. Hal ini sekaligus mendukung hasil simulasi yang diajukan oleh Razali, Salih dan Mahdi [3]. Kata Kunci.Distribusi Weibull, metode momen, metode maksimum likelihood, dan Mean Square Error.
PENDAHULUAN Distribusi Weibull biasanya digunakan dalam pembahasan data uji hidup yang sering digunakan dalam berbagai bidang seperti biomedik dan industri. Fungsi densitas distribusi ini dinyatakan sebagai : x
x 1 f x e x 0, 0, 0 Dengan x adalah variabel random, adalah parameter skala dan adalah parameter bentuk yang keduanya akan ditaksir. Rata-rata distribusi ini adalah 1 1 dan variansi 2 2 1 Var X 1 1 2
Untuk itu dilakukan simulasi menghitung Mean Square Error (MSE) untuk penaksir parameter dengan metode momen dan metode maksimum likelihood.
momen pusat pertama, selanjutnya akan dilakukan penaksiran terhadap parameter [1]: 1 E X 1 Penaksir untuk parameter menggunakan metode momen adalah: ˆ
x 1 1 ˆ
Selanjutnya, untuk mendapatkan taksiran parameter diperoleh dari fungsi parameter cara dengan membandingkan variansi dengan rata-rata dikuadratkan [1], sehingga dapat ditulis
f
Var X
2
Sehingga diperoleh : 2 1 ˆ f ˆ 1 1 2 1 ˆ
PENAKSIR METODE MOMEN Dengan mendapatkan rata-rata distribusi Weibull yang juga merupakan
PENAKSIR METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
Semirata 2013 FMIPA Unila |25
Arisman Adnan dkk: Taksiran Parameter Distribusi Weibull dengan Menggunakan Metode Momen dan Metode Maksimum Likelihood
Misalkan X1, X 2 ,..., X n adalah sampel random berukuran n yang berasal dari distribusi Weibull dengan fungsi densitas pada persamaan (1). Berdasarkan sampel
digunakan perumusan Mean Square Error berikut ini [3]. n
MSE i 1
2
Fˆ xi F xi dengan : ˆ
random X1, X 2 ,..., X n ditaksir parameter dengan menggunakan metode maksimum likelihood. ( ), Ambil vektor
, merupakan kumulatif distribusi Weibull.
asumsikan x1 , x2 ,..., xn adalah saling bebas dalam distribusi Weibull. Maka fungsi likelihood adalah
peringkat waktu gagal dari distribusi Weibull.
Fˆ xi 1 e F xi
x i ˆ
i merupakan n 1
fungsi
pendekatan
n
L( x; , ) f ( xi ; , ) i 1
n xi i 1 1
n n L( x; , ) xi i 1 i 1
e
dan Diasumsikan parameter parameter tidak diketahui, maka penaksir maksimum likelihood dari
parameter
adalah:
ˆ MLE
n ˆ xi i 1 n
1
ˆ
Selanjutnya, fungsi parameter diperoleh dengan mencari turunan
ln L(ˆ; x1 , x2 ,.., xn ) pertama pada persamaan (2) terhadap sehingga dengan cara mengeliminasi maka fungsi parameter diperoleh sebagai berikut :
x ln x n
g ˆ
A.Mean Square Error pada Penaksir Metode Momen Karena penaksir pada persamaan (2) bersifat tak bias, maka Mean Square Error sama dengan Variansi [2] sehingga diperoleh x MS (ˆ ) Var 1 1 ˆ 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ MSE ˆ 1 n 2 1 ˆ
Selanjutnya Mean Square Error untuk taksiran parameter tidak dicari dikarenakan taksiran parameter berada didalam fungsi parameter f .
ˆ
i
i 1
n
x i 1
i
ˆ i
1 1 n ln xi ˆ n i 1
(6)
MEAN SQUARE ERROR
B.Mean Square Error pada Penaksir Metode Maksimum Likelihood Mean Square Error untuk penaksir pada persamaan (6) adalah: MSE ˆ = Var ˆ Bias ˆ , 2 2 E ˆ 2 E ˆ E ˆ 2
Penaksir yang telah diperoleh dari metode momen dan metode maksimum likelihood akan menghasilkan penaksir yang berbeda. Salah satu sifat penaksir terbaik adalah bersifat tak bias. Namun dalam hal ber sifat bias, MSE dapat dikontruksi.Efisiensi pada simulasi
26| Semirata 2013 FMIPA Unila
2 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 1 MSE ˆ n 1 ˆ n
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
2 ˆ
n 2 2 n
ˆ
MSE ˆ = ˆ
2
ˆ
2
STUDI SIMULASI PEMBAHASAN
DAN
Square Errornya juga semakin besar. Simulasi ini menunjukkan bahwa metode momen lebih baik dibandingkan metode maksimum likelihood dalam menaksir parameter distribusi Weibull yang sekaligus mendukung penelitian Razali, Salih dan Mahdi [3]. DAFTAR PUSTAKA
Dengan menggunakan Matlab 7.0.1, telah digenerate data Weibull random dengan n 20 , dan , yang berbeda-beda dan menggunakan nilai
Al-Fawzan, M.A.,(2000). Methods for Estimating the Parameters of the Weibull Distribution, Report ; King Abdulaziz City forScienceandTechnology, Riyadh, Saudi Arabia.
tebakan awal 0 dan 1 yang mendekati nilai parameter . Dilakukan ulangan sebanyak 1000 kali selanjutnyanilai Mean Bain, L.J. and Engelhard. M., (1991). Square Error dari metode momen dan Introduction to Probability metode Maksimum Likelihood dapat Mathematical Statistics, Second Ed. diperoleh dan disajikan pada Tabel 1. Duxbury Press. Belmont, California. Sehingga dapat dilihat bahwa semakin Razali, A.M.,Salih, A.A and Mahdi besar nilai parameter dan maka A.A.,(2009). Estimation Accuracy of nilai Mean Square Error dari metode Weibull Distribution Parameters, momen semakin kecil sedangkan untuk JoASR5(7):790 – 795. metode maksimum likelihood dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter dan maka nilai Mean Tabel 1. Perbandingan MSE antara metode momen dan metode maksimum likelihood
Metode Momen
Metode Maksimum Likelihood
ˆ
ˆ
MSE(1 )
ˆ
ˆ
MSE(2)
1
3
0.9684
4.1630
2.3234
0.9290
2.6670
2.7087
2
5
1.7217
6.3220
4.4481
1.8848
4.8186
5.1113
5
9
4.9812
3.2252
5.7775
9.2724
3.2440
10
20
9.9080
3.1429
11.4937
18.7982
5.3401
30
50
3.5500
37.3650
46.9987
6.5072
40
80
4.1070
44.1675
77.8434
6.5016
50
100
1.5454
73.1496
91.1044
6.5079
30.052 2 39.918 0 49.980 1
13.858 2 28.541 8 72.075 5 117.89 7 142.73 4
Semirata 2013 FMIPA Unila |27
