Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
Tarea
0.1.
La ley de Coulomb
Marcelo F. Lugo L
1
Tareas
Facultad de Química, UNAM
0.2.
Tarea, Física II
El campo eléctrico
1 La magnitud del campo eléctrico como función de la distancia entre una carga puntual y puntos distintos de la posición de la carga se describe por
E(r) =
1 q 4π²0 r 2
o bien, en un sistema de coordenadas rectangulares
E(x) =
1 q . 4π²0 x2
Nótese que no se ha mencionado pero la carga puntual se ha situado en el origen del sistema de coordenadas. Si la carga puntual estuviese en un punto x0 6= 0, entonces la expresión sería
E(x.x0 ) =
1 q 4π²0 (x − x0 )2
y cualquiera de las tres expresiones se puede usar para determinar la magnitud del campo en cualquier sitio, excepto en la posición de la carga. Suponga que en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares se encuentra una carga puntual q = 1nC. (a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en las posiciones siguientes: x = (−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5) cm, es decir, calcule E(−5 cm), E(−4 cm),... E(4 cm), E(5 cm). Marcelo F. Lugo L
2
Tareas
Facultad de Química, UNAM
0.3.
Tarea, Física II
La ley de Gauss
1. En la figura 1 aparecen varias superficies con geometría bien definida. Trace vectores perpendiculares a dichas superficies.
Figura 1
2. La superficie cuadrada que se muestra en la figura 2, mide 3.2 mm por lado. Se encuentra inmersa en un campo eléctrico uniforme E = 1800 N/C. El campo eléctrico forma un ángulo de 65° con la normal que apunta como se muestra en la figura. Calcule el flujo a través de esta superficie. Repita el ejercicio cuando el ángulo sea de 20°, 30°, 40° y 90°.
Figura 2
3. Un cubo con aristas de longitud a =1.4 m, está orientado como se muestra en la figura 3, dentro ˆ N/C. (d) Calcule el flujo de un campo eléctrico dado por (a) 6 î N/C, (b) −2 ˆj N/C y (c) (−3 î + 4 k) total a través de cada una de las caras del cubo en cada caso. Para resolver este ejercicio hay que tomar en cuenta lo siguiente: el cubo tiene seis caras planas, cada una dirigida en una dirección específica y única, por lo que el producto escalar E · dA está bien definido en cada punto de cada cara del cubo. z
y a x Figura 3
4. El flujo neto a través de cada una de las caras de un dado tiene una magnitud, en unidades de 103 N/C, igual al número N de marcas en la cara plana (de 1 a 6). El flujo apunta hacia adentro del cubo en las caras en las que N es impar y apunta hacia afuera en las caras en las que N es Marcelo F. Lugo L
3
Tareas
Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
par. (a) ¿Cuál es la carga neta encerrada dentro del dado? (b) ¿Cuál es la carga neta cuando se invierte el sentido del flujo en cada cara? 5. Experimentalmente se ha encontrado que en cierta región de la atmósfera terrestre, el campo eléctrico está dirigido verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m el campo es de 58 N/C y a una altitud de 200 m es de 110 N/C. Encuentre la carga neta contenida en un cubo con arista de 100 m localizado a una altitud entre 200 y 300 m. Omita el efecto de la curvatura de la Tierra. 6. Una placa de metal de 8.0 cm cada lado, porta una carga total de 6.0 µC. (a) Usando la aproximación de la placa infinita, calcule el campo eléctrico a 0.50 mm encima de la superficie de la placa y cerca de su centro. (b) Estime el campo a una distancia de 30 m. 7. Una línea infinita de carga produce un campo eléctrico de 4.52×104 N/C a una distancia de 1.96 m. Calcule la densidad lineal de carga. 8. Una pequeña esfera de masa m=1.12 mg, porta una carga q=19.7 nC. Dentro del campo gravitacional de la Tierra, cuelga de un hilo de seda que forma un ángulo θ =27° con una hoja grande, no conductora y uniformemente cargada, como en la figura 4. Calcule la densidad de carga uniforme, σ sobre la hoja.
s q m, q Figura 4
9. Dos cilindros largos y coaxiales tienen radios de 3.22 y 6.18 cm. La densidad de carga superficial en el cilindro interno es de 24.7 µC/m2 y la del externo es −18.0 µC/m2 . Encuentre el campo eléctrico en (a) r =4.10 cm y (b) r=8.20 cm. 10. Una superficie plana y grande, no conductora, porta una densidad de carga superficial uniforme σ. En el centro de la superficie se ha hecho una perforación circular de radio R, como se muestra en la figura 5. Ignore los efectos de borde y calcule el campo eléctrico en el putno P, a una distancia z del centro del agujero y a lo largo de su eje.
P
z R Figura 5
Marcelo F. Lugo L
4
Tareas
Facultad de Química, UNAM
0.4.
Tarea, Física II
La energía eléctrica y el potencial eléctrico
1. En el modelo de quark de las partículas elementales, un protón se compone de tres quark: dos quark “arriba”, cada uno con una carga + 23 e y un quark “abajo”, con una carga − 13 e . Supóngase que los tres quarks equidistan entre sí. Suponga que la distancia es 1.32×10−15 m y calcule a) la energía potencial de la interacción entre los dos quarks “arriba” y b) la energía eléctrica potencial total del sistema. 2. Obtenga una expresión del trabajo requerido por un agente externo para colocar juntas las cuatro cargas como se indica en la figura 6. Los lados del cuadrado tienen una longitud a. +q
-q
-q
+q
a
Figura 6
3. Una década antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J. J. Thomson propuso que el electrón podría estar constituido por pequeñas partes y que su masa provenía de la interacción eléctrica de ellas. Más aún, sostuvo que la energía es igual a me2. Haga una estimación aproximada de la masa de los electrones en la siguiente forma: suponga que el electrón se compone de tres partes idénticas reunidas del infinito y colocadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son iguales al radio clásico del electrón, 2.82×10−15 m. a) Determine la energía eléctrica potencial de este arreglo, b) Divida entre c2 y compare su resultado con la masa aceptada del electrón (9.11×10−31 kg). El resultado mejora si se suponen más partes (Prob. 2). Hoy se piensa que el electrón es una partícula simple e indivisible. 4. Las cargas mostradas en la figura 7 están fijas en el espacio. Calcule el valor de la distancia x, de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero. 25.5 nC
17.2 nC
14.6 cm Figura 7
-19.2 nC
x
5. La figura ?? contiene una representación idealizada de un núcleo de 238 U (Z = 92) a punto de experimentar una fisión. Calcule a) la fuerza de repulsión que opera en cada fragmento y b) la energía potencial eléctrica mutua de los dos fragmentos. Suponga que tienen el mismo tamaño y carga, que son esféricos y que apenas si se tocan. El radio del núcleo inicialmente esférico 238 U es 8.0 fm. Suponga que el material que sale de los núcleos presenta una densidad constante. 6. Dos superficies conductoras paralelas y planas de espaciado d=1.0 cm tienen una diferencia de potencial ∆V de 10.3 kV. Se proyecta un electrón de una placa hacia la segunda. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón si se detiene exactamente en la superficie de esta última? No tenga en cuenta los efectos relativistas. 7. En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre los puntos de descarga es de unos 1.0×109 V y la carga transferida es de 30 C aproximadamente, a) ¿Cuánta energía se libera? b) Si toda la que se libera pudiera usarse para acelerar un automóvil de 1200 kg a partir del reposo, ¿cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera usarse para derretir hielo, ¿cuánto se derritiría a 0°C? Marcelo F. Lugo L
5
Tareas
Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
8. La diferencia de potencial entre cargas puntuales durante una tormenta es 1.23 ×109 V. ¿De qué magnitud es el cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se desplaza entre ellos? Exprese su respuesta en a) joules y b) en volts. 9. Mantenemos una partícula de carga q en posición fija en el punto P y una segunda de masa m, que tiene la misma carga, la mantenemos en reposo a una distancia r 1 de P. Esta última se libera entonces y se aleja de la primera. Determine su velocidad en el instante en que se halla a una distancia r 2 de P. Suponga que q = 3.1 µC, m = 18 mg, r 1 = 0.90 mm y r 2 = 2.5 mm. 10. Proyectamos un electrón con una velocidad inicial de 3.44 ×105 m/s hacia un protón esencialmente en reposo. Si al principio éste está muy lejos del protón, ¿a qué distancia de él su velocidad será instantáneamente el doble de su valor original? 11. Calcule a) el potencial eléctrico creado por el núcleo de un átomo de hidrógeno en la distancia promedio del electrón circulante (r = 5.29 ×10−11 m); b) la energía potencial eléctrica del átomo cuando el electrón está en este radio; c) la energía cinética del electrón, suponiendo que describe una órbita circular de este radio centrado en el núcleo, d) ¿Cuánta energía se necesita para ionizar el átomo de hidrógeno? Exprese todas las energías en electrón-volts y suponga que V=0 en el infinito. 12. En el rectángulo de la figura 28-31, los lados tienen las longitudes de 5.0 cm y 15 cm, q 1 = −5.0 µC y q 2 = +2.0 µC. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los vértices B y A? (Suponga que V =0 en el infinito.) b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover una tercera carga q3 = +30 fiC de 5 a A a lo largo de una diagonal del rectángulo? c) En este proceso, ¿se convierte el trabajo externo en energía electrostática potencial o a la inversa? Explique su respuesta. 13. Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.90 ×10−15 N. a) Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón, b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? 14. Una hoja infinita tiene una densidad de carga σ= 0.12 µC/m2 . ¿Qué distancia hay entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V? 15. Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de 2.10 cm de diámetro a lo largo de cuyo eje se extiende un alambre de 1.34×10−4 cm de diámetro. Si entre ellos se aplican 1855 V, determine el campo eléctrico en la superficie de a) el alambre y b) el cilindro. (Sugerencia: utilice el resultado del Prob. 10, Cap. 27.) 16. En el experimento de la gota de aceite de Millikan (Sec. 26-6), un campo eléctrico 1.92 ×105 N/C es mantenido en equilibrio entre dos placas separadas por 1.50 cm. Obtenga la diferencia de potencial entre ellas. 17. Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un radio de 7.0 fm (Prob. res. (28-7). Una partícula alfa (constituida por dos protones y dos neutrones) tiene una energía cinética K en puntos lejanos del núcleo y se dirige directamente a él. La partícula alfa apenas si toca la superficie del núcleo donde se invierte la dirección de su velocidad. á) Calcule K. b) Tenía una energía de 5.0 MeV la segunda partícula alfa que Rutherford y sus colegas usaron en su experimento y que condujo al descubrimiento del concepto del núcleo atómico. ¿Qué conclusión obtiene usted de eso? Marcelo F. Lugo L
6
Tareas
Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
18. Calcule la velocidad de escape de un electrón en la superficie de una esfera uniformemente cargada, de radio 1.22 cm y con una carga total 1.76 ×10−15 C. Prescinda de las fuerzas gravitacionales. 19. Una carga puntual tiene q = +1.16 µC. Considere el punto A, que está a 2.06 m de distancia y el punto B que se halla a 1.17 m de distancia en una dirección diametralmente opuesta, como se ve en la figura 28-32a. a) Calcule la diferencia de potencial VA − VB . b) Repita el ejercicio si los puntos A y B están situados de igual manera que en la figura 28-32b. 20. Gran parte del material presente en los anillos de Saturno (Fig. 28-33) son diminutos granos de polvo, cuyo radio es del orden de 1.0 µm. Los granos se encuentran en una región que contiene un gas ionizado diluido; recogen el exceso de electrones. Si el potencial eléctrico en la superficie de uno de ellos es −400 V (en relación con V=0 en el infinito), ¿cuántos electrones en exceso ha recogido? 21. Al pasar una nave espacial por el gas ionizado y diluido de la ionosfera de la Tierra, su potencial suele cambiar en −1.0 V antes que complete una revolución. Suponga que la nave es una esfera de radio 10 m, estime la carga que recoge. 22. Suponga que la carga negativa en una moneda de centavo de cobre se lleva muy lejos de la Tierra –quizá a una galaxia distante– y que se distribuye uniformemente la carga positiva en la superficie terrestre. ¿Cuánto cambiará el potencial eléctrico en ella? (Prob. 25-1). 23. Un campo eléctrico de 100 V/m aproximadamente se observa a menudo cerca de la Tierra. Si este campo fuera igual en toda la superficie, ¿cuál sería el potencial eléctrico de un punto en ella? Suponga que V=0 en el infinito. 24. La molécula de amoníaco NH3 tiene un momento permanente de dipolo eléctrico de 1.47 D, donde D es la unidad debye con un valor de 3.34 ×10−30 C·m. Calcule el potencial eléctrico generado por una molécula en un punto a 52.0 nm de distancia a lo largo del eje del dipolo. Suponga que V=0 en el infinito. 25. a) En la figura 28-34 obtenga una expresión para VA − VB . b) ¿Se reduce el resultado a la respuesta expresada cuando d=0? ¿cuando a=0? ¿cuando q=0? 26. En la figura 28-35, localice los puntos, si los hay, a) donde V=0 y b) donde E=0. Considere sólo puntos en el eje y suponga que V=0 en el infinito. 27. Dos cargas q=+ 2.13 µC están fijas en el espacio y separadas por una distancia d=1.96 cm, como se aprecia en la figura 28-36. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C? Suponga que V=0 en el infinito, b) Se trae una tercera carga Q=+1.91 µC lentamente desde el infinito hasta C. ¿Cuánto trabajo se debe realizar? c) ¿Cuál es la energía potencial U de la configuración cuando interviene la tercera carga? 28. ¿A qué distancia en el eje de un disco uniformemente cargado de radio R es el potencial eléctrico igual a la mitad de su valor en la superficie del disco en el centro? 29. Una carga eléctrica de −9.12 nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo de 1.48 m de radio, el cual se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Una partícula que transporta una carga de −5.93 pC se halla en el eje x con x=3.07 m. Calcule el trabajo efectuado por un agente externo al mover la carga puntual hacia el origen. Marcelo F. Lugo L
7
Tareas
Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
30. Suponga que el potencial eléctrico varía en el eje x como se indica en la gráfica de la figura 28-37. De los intervalos mostrados en ella (no tenga en cuenta el comportamiento en los puntos finales de los intervalos), determine aquellos en que E x tiene a) su máximo valor absoluto y b) su mínimo valor, c) Grafique E x en función de x. 31. Dos grandes placas metálicas paralelas están separadas por una distancia de 1.48 cm y tienen cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. La placa negativa está aterrizada y se supone que su potencial es cero. Si el potencial a la mitad entre las placas es + 5.52 V, ¿cuál es el campo eléctrico en esta región? 32. A partir de la ecuación 28-30 obtenga una expresión para E en los puntos axiales de un anillo con carga uniforme. 33. Calcule el gradiente radial de potencial, ∂V /∂ r, en la superficie de un núcleo de oro (Prob. res. 28-7). 34. El ejercicio 39 del capítulo 26 se refiere al cálculo que Rutherford hizo del campo eléctrico a una distancia r del centro de un átomo. También obtuvo el potencial eléctrico como V=
µ ¶ Ze 1 3 r2 − + . 4π²0 r 2R 2R 3
a) Demuestre en qué forma la expresión del campo eléctrico dada en el ejercicio 39 del capítulo 26 se deduce de esta expresión de V. b) ¿Por qué esta expresión no se convierte en cero a medida que r → ∞? 35. El potencial eléctrico V en el espacio situado entre las placas de un tubo al vacío, ahora obsoleto, está dado por V=(1530 V/m2 ) x2 , donde x es la distancia de una de las placas. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico cuando x=1.28 cm. 36. Dos cargas lineales son paralelas al eje z. Una, la de carga por unidad de longitud +λ, está a una distancia a a la derecha del eje. La otra, la de carga por unidad de longitud de carga −λ se halla a una distancia a hacia la izquierda del eje (las líneas y el eje z se encuentran en el mismo plano). Dibuje algunas de las superficies equipotenciales. 37. Al pasar de A a B en una línea de campo eléctrico, éste realiza 3.94 ×10−19 J de trabajo para mover a un electrón dentro del campo descrito gráficamente en la figura 28-38. ¿Cuáles son las diferencias de potencial eléctrico a) VB − VA , b) VC − VA y c) VC − VB ? 38. Considere una carga puntual con q = 1.5 ×10−8 C. á) ¿Cuál es el radio de una superficie equipotencial que tiene un potencial de 30 V? Suponga que V = 0 en el infinito, tí) ¿Están espaciadas uniformemente las superficies cuyo potencial difiere en una cantidad constante (digamos 1.0 V)? 39. En la figura 28-39 dibuje cualitativamente a) las líneas del campo eléctrico y b) las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano de la figura. (Sugerencia: considere el comportamiento cercano a las cargas puntuales y a gran distancia del par de cargas.) 40. Tres grandes líneas paralelas de carga presentan las densidades lineales relativas que aparecen en la figura 28-40. Dibuje algunas líneas del campo eléctrico y las intersecciones de algunas superficies equipotenciales con el plano de esta figura. Marcelo F. Lugo L
8
Tareas
Facultad de Química, UNAM
Tarea, Física II
41. Un cascarón esférico delgado conductor de 20 cm de radio externo tiene una carga de +3.0 µC. Dibuje a) la magnitud del campo eléctrico E y b) el potencial V en función de la distancia r respecto al centro del cascarón. (Haga V=0 en el infinito.) 42. Considere dos esferas conductoras muy separadas, 1 y 2; la segunda con una distancia dos veces mayor que el diámetro de la primera. La esfera más pequeña lleva inicialmente una carga positiva q y la más grande no tiene carga inicialmente. En seguida, las conectamos con un alambre largo y delgado, a) ¿Cómo se relacionan los potenciales finales V1 , y V2 de las esferas? b) Calcule las cargas finales q 1 y q 2 en las esferas a partir de q. 43. a) Si la Tierra tuviera una carga neta equivalente a un electrón/m2 del área superficial (suposición muy artificial), ¿cual sería el potencial de la Tierra? (Haga V =0 en el infinito, b) ¿Cuál sería el campo eléctrico generado por la Tierra afuera de su superficie? 44. Una carga de 15 nC puede ser generada mediante simple frotamiento. ¿A qué potencial (en relación con V =0 en el infinito) elevará una esfera conductora aislada de 16 cm de radio? 45. Determine a) la carga y b) la densidad de carga en la superficie de una esfera conductora de 15.2 cm de radio, cuyo potencial es 215 V. Suponga que V =0 en el infinito. 46. El objeto metálico de la figura 28-41 es una figura de revolución alrededor del eje horizontal. Si lleva carga negativa, dibuje unas cuantas equipotenciales y líneas del campo eléctrico. Utilice el razonamiento físico en vez del análisis matemático. 47. Dos esferas conductoras, una de 5.88 cm y la otra de 12.2 cm de radio, tienen cada una carga de 28.6 nC y están muy separadas. Si después las conectamos mediante un alambre, calcule a) la carga final en ellas y b) el potencial de cada una, suponiendo que V =0 en el infinito. 48. Una esfera metálica cargada de 16.2 cm de radio tiene una carga neta de 31.5 nC. a) Determine el potencial eléctrico en la superficie de la esfera si V =0 en el infinito, b) ¿A qué distancia de la superficie de la esfera el potencial disminuyó 550 V? 49. a) ¿Cuánta carga se requiere para aumentar una esfera metálica aislada de l.0 m de radio a un potencial de 1.0 MV? Suponga que V =0 en el infinito. Repita el ejercicio con una esfera de 1.0 cm de radio, b) ¿Por qué utilizar una gran esfera en un acelerador electrostático cuando el mismo potencial puede conseguirse usando una carga más pequeña y una esfera pequeña? (Sugerencia: calcule las densidades de las cargas.) 50. Supóngase que tiene un valor de 3.41 MV la diferencia de potencial entre la capa interna de alto potencial de un acelerador de Van de Graaff y el punto donde las cargas se esparcen hacia el cinturón en movimiento. Si el cinturón transfiere carga al cascarón con una velocidad de 2.83 mC/s, ¿qué potencia mínima hay que suministrar para impulsarlo?
Marcelo F. Lugo L
9
Tareas
Facultad de Química, UNAM
0.4.1.
Tarea, Física II
Ejercicios adicionales
1. Se tienen dos cargas puntuales q 1 = 1.0 µC y q 2 = 2.0 µC, localizadas en (5.0, 0.0) cm y en (7.0, 0.0) cm, respectivamente. (a) Calcule la energía potencial eléctrica del sistema. (b) Calcule la energía potencial eléctrica cuando q 2 tenga los valores siguientes: (2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0) µC. 2. Se tienen dos cargas puntuales q 1 = 1.0 µC y q 2 = 2.0 µC, localizadas en (5, 0) cm y en (7, 0) cm, respectivamente. (a) Trace ∆U(x) (la diferencia de energía potencial) como función de x, cuando cambia la posición, x, de la carga q 2 , donde x =(0.9, 1.2, 1.5, 1.8, ..., 8.1, 8.4, 8.7, 9.0) cm. (b) Cambie el signo de q 2 y proceda como en el inciso anterior. 3. Calcule la energía potencial eléctrica de los sistemas siguientes: (a) q 1 =1.0 µC, q 2 = −2.0 µC y q 3 = 3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm y (3.0, 0.0) cm, respectivamente. (b) q 1 =1.0 µC, q 2 = −2.0 µC, q 3 =3.0 µC y q 4 = −4.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm y (4.0, 0.0) cm, respectivamente. (c) q 1 =1.0 µC, q 2 − =2.0 µC, q 3 =3.0 µC, q 4 = −4.0 µC y q 5 =5.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm y (5.0, 0.0) cm, respectivamente. (d) q 1 =1.0 µC, q 2 = −2.0 µC, q 3 =3.0 µC, q 4 = −4.0 µC, q 5 =5.0 µC y q 6 = −6.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm, (5.0, 0.0) cm y (6.0, 0.0) cm, respectivamente. 4. Calcule la energía potencial eléctrica de un sistema de tres cargas puntuales: q 1 =1.0 µC, q 2 = −2.0 µC y q 3 =3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 1.0) cm y (3.0, 0.0) cm inicialmente. Calcule la enregía potencial eléctrica del sistema si la posición de q 2 cambia a (2.0, 2.0) cm, (2.0, 3.0) cm, (2.0, 4.0) cm, (2.0, 5.0) cm, (2.0, 6.0 cm), (2.0, 7.0) cm y (2.0, 8.0) cm.
Marcelo F. Lugo L
10
Tareas
