2. LAS DECISIONES DE INFORMACIÓN PERFECTA
LAS
FIRMAS
BAJO
COMPETENCIA
E
Hasta ahora, hemos analizado el proceso de decisión de los consumidores, cómo se genera su curva de demanda por un bien y cómo se genera la curva de oferta laboral. En las clases siguientes, se estudiará el proceso de producción de los bienes finales que demandan los consumidores y la demanda por factores, entre los cuales se encuentra el trabajo. Al unir la teoría del consumidor y la firma, se derivará el equilibrio de mercado y se podrá caracterizar el proceso de formación de precio de los mercados. Los modelos son bastante sencillos y asumen que las firmas minimizan costos o maximizan beneficios sujetos a una restricción tecnológica. 2.1. La tecnología de producción La tecnología de producción está compuesta por los factores de producción y la relación tecnológica empleada para producir el bien final. Los factores de producción son entonces instrumentos necesarios para producir un bien. En la literatura económica se han identificado el capital, el trabajo y la tierra como los factores tradicionales de producción. La combinación factible de factores de producción constituye la restricción tecnológica. Todas las posibles combinaciones de factores para producir un bien se denomina como el conjunto de producción. Suponga que para producir un bien y solo se requiere capital (K). El conjunto de producción se representa entonces como la Gráfica 2.1. Gráfica 1.1. Conjunto de producción y
Frontera de producción
y2 y1
O
A Conjunto de producción
K1 K
El área debajo de la curva OA denota todas las combinaciones posibles, no necesariamente eficientes, para producir y. Por ejemplo, el punto K1 representa la cantidad necesaria de capital para producir cierta cantidad de un bien (y1). Esta combinación de capital y producto (K1, y1) no es, sin embargo, eficiente ya que con la 1
misma cantidad es posible producir más del bien hasta alcanzar el punto eficiente que está representado por y2. La envolvente del conjunto de producción, que recoge todos los puntos de “producción máxima posible”, se denomina como la función de producción. La isocuanta representa todas las posibles combinaciones de dos insumos de producción para producir una cantidad constante de un bien. La curvatura y el nivel de las isocuantas están determinados por la tecnología. La isocuanta representa entonces la cantidad necesaria de capital y trabajo para producir una cantidad determinada de un bien. Así una función de producción lineal se representa con la siguiente tecnología
y aK bL En una función de producción lineal, los factores de producción son sustitutos perfectos. Es más, la tecnología exhibe soluciones de esquina por lo que se podría producir con solo trabajo o solo capital. Sin embargo, la sustitución perfecta entre factores de producción es un ideal y es casi imposible encontrar una tecnología en el mundo real con dichas características. Gráfica 2.2. Función de producción lineal
K
y1 Solución de esquina (L>0,K=0)
L
El otro extremo es la función de producción con factores fijos en la cual los factores se utilizan en proporciones fijas. Dicha tecnología se caracteriza con la siguiente ecuación y min(aK , bL) donde a, b 0. Para el caso de la función de producción de factores fijos, la firma siempre va a escoger una proporción constante de los factores de tal modo que no se desperdicie el uso ni de capital ni de trabajo. Por ejemplo, si la firma decide escoger L1 producirá y1 pero para producir y1 puede utilizar menos trabajo y no desperdiciar este factor de producción. L2 representa el punto donde no se estaría desperdiciando trabajo.
2
Gráfica 2.3. Función de producción de proporciones fijas K a b
y1
L2
L1
L
Otras funciones de producción se encuentran en la mitad entre la función lineal de producción y la función de proporciones fijas. La función Cobb-Douglas es una de estas. La función de producción Cobb-Douglas permite la sustitución entre factores de producción, pero dicha sustitución no es en modo alguna perfecta. Con la CobbDouglas, se pueden caracterizar firmas con un mayor uso de capital por cada unidad de trabajo o un mayor uso de trabajo por cada unidad de capital. y AK L
Gráfica 2.4. Función de producción Cobb-Douglas K
y1
Propiedades de la tecnología
L
La tecnología tiene tres propiedades importantes y poco restrictivas que se explican a continuación: monotonicidad, convexidad y productividad marginal decreciente. Los supuestos acerca de la tecnología son:
a. Monótona: con una cantidad igual o mayor de ambos insumos se debe obtener el mismo nivel de producción. En la Gráfica 2.5, la monotonía de la función se muestra en el punto A. En este punto, se tiene una combinación (K1,L1) con capacidad de producir y1, pero dicha combinación está desperdiciando factores de producción. La 3
monotonicidad permite el desperdicio de factores de producción, es decir que los productores escojan combinaciones de factores que no sean eficientes.
Gráfica 2.5. Propiedades de la tecnología – Monótonas
K
Kl
A
y1
L L1
b. Convexa: Cuando existen dos combinaciones de factores para producir y1 - (K1,L1) y (K2,L2)-, su combinación lineal produce al menos y1.
4
Gráfica 2.6. Propiedades de la tecnología – Convexidad k
K1
y
K2
L Ll
L2
c. Productividad marginal decreciente: La productividad marginal de un factor disminuye a medida que se utiliza una mayor cantidad. Ello implica que, por ejemplo, utilizar una mayor cantidad de capital incrementa la cantidad producida, pero el crecimiento es cada vez menor. En la Gráfica 2.7, un cambio equivalente de capital (K1 y K2) no ocasiona el mismo aumento de producción pues a medida que se utiliza más capital su aporte es cada vez menor. Gráfica 1.7. Propiedades de la tecnología – Productividad marginal decreciente y
y 2
y1
y
K 1
K 2
K
En términos matemáticos, la productividad marginal decreciente tiene las dos siguientes implicaciones cuando la función de producción es y=f(K,L)
5
y f 0 . Ello implica que incrementos en la cantidad de capital K K utilizado aumenta la producción del bien. 2 y 2 f 0 pero a una tasa decreciente. K 2 K 2
Para caracterizar las relaciones tecnológicas explicadas de manera intuitiva con las gráficas anteriores, se cuenta con un conjunto de definiciones que se estudiaran en los próximos párrafos: la productividad marginal, la tasa marginal técnica de sustitución, los rendimientos a escala y la elasticidad de sustitución. En estas relaciones tecnológicas se analiza cuánto contribuye un factor de producción a aumentar la producción total de un bien final (productividad marginal), cómo se sustituyen los factores de producción cuando se mantiene constante la función de producción (tasa marginal de sustitución técnica) y cuanto aumenta la producción cuando los dos factores de producción se aumentan en la misma proporción (rendimientos a escala). El producto marginal mide el efecto de aumentar un factor de producción mientras se mantiene el otro factor de producción constante. Por ejemplo, el producto marginal permite establecer el efecto de incrementar el capital sobre la producción del bien. Esto se denomina la productividad marginal del capital. Si suponemos entonces que la función de producción es igual a y f K , L
La productividad marginal de capital equivale a
y f ( K , L) . K K La tasa marginal de sustitución técnica mide como deben variar los factores de producción para mantener constante un nivel de producción. Por ejemplo, muestra en cuanto debe incrementar el capital si se reduce el trabajo y se desea mantener constante el nivel de producción, es decir si se quiere continuar en la misma isocuanta. La curvatura de la isocuanta va a representar entonces la tasa marginal de sustitución técnica. Si se asume que la función de producción se representa con la ecuación y f K , L , la tasa marginal de sustitución técnica se deriva calculando la diferencial total dy
f f dK dL . L K
Dado que la producción se mantiene constante, dy=0. Por lo tanto, f f dK dL . L K
La tasa marginal de sustitución técnica se define como. dK f L . dL f K
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d. Rendimiento a escala: En los rendimientos a escala, se incrementa de manera proporcional TODOS los factores de producción y se establece su efecto sobre la producción total. Supongamos un cambio en los dos factores igual a t de tal modo que
f (tK , tL) . La tecnología presenta rendimientos constantes a escala cuando un incremento en t en ambos factores de producción aumenta de manera proporcional la producción, es decir
f (tK , tL) tf ( K , L). Hay rendimientos crecientes a escala cuando un incremento en t en ambos factores de producción incrementa la producción en una proporción mayor a t de modo que f (tK , tL) tf ( K , L). Por último, hay rendimientos decrecientes a escala cuando un incremento en t en ambos factores de producción incrementa la producción en una proporción menor a t de modo que
f (tK , tL) tf ( K , L). Los rendimientos constantes, crecientes y decrecientes se representan en la Gráfica 2.8. Gráfica 2.8. Rendimientos a escala
K
t
t
t y0 L La principal diferencia entre los rendimientos y la productividad marginal radica en que los rendimientos significan cambios en TODOS los factores de producción mientras la productividad marginal significa el cambio en UN SOLO factor de producción. e. La elasticidad de sustitución
Una herramienta adicional a la tasa marginal de sustitución para medir el grado de sustituibilidad entre dos insumos es la elasticidad de sustitución. La elasticidad de sustitución está determinada por la curvatura de la isocuanta y cambia a lo largo de esta. Para entender el concepto de la elasticidad de sustitución, es importante entender antes como funciona la sustitución entre dos insumos y como esta varía lo largo de la isocuanta. La gráfica 2.9 ilustra el proceso de sustitución a lo largo de la isocuanta. La
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sustitución entre capital y trabajo en el punto A y en el punto B difiere. En comparación con el punto B, en el punto A para remplazar una unidad de trabajo se requiere utilizar más capital. Gráfica 2.9. La sustitución entre capital y trabajo
K
A
TMSTA TMSTB
(K/L)A B (K/L)B
y0
L La manera de medir la sustituibilidad entre insumos de producción sin tener en cuenta la escala de producción, es decir sin necesidad de tener en cuenta las cantidades, es la elasticidad de sustitución. La elasticidad de sustitución mide el cambio proporcional en K/L relativo al cambio proporcional a la tasa marginal de sustitución técnica. Si la función de producción es y f ( K , L)
ln( K / L) d K / L TMST porcentual K / L porcentual TMST d TMST K / L ln(TMST )
La gráfica 2.9 también permite establecer como es la elasticidad de sustitución en los puntos A y B. En la elasticidad de sustitución, se compara los cambios en la TMST frente a cambios en el uso de ambos factores (K/L). Cuando se pasa del punto A al punto B, la TMST y (K/L) están cambiando. La elasticidad de sustitución permite establecer que tan pronunciados son esos cambios. En el punto A, los insumos no son fácilmente sustituibles y, por lo tanto, la elasticidad de sustitución es baja. En el punto B, de otro lado, la sustitución entre los factores de producción es alta y la elasticidad de sustitución es más alta que en el punto A. Los conceptos de productividad marginal, retornos a escala y elasticidad de sustitución se estudian en los próximos párrafos con una función de producción Cobb-Douglas. Asuma la siguiente función de producción
y 10 K 1 / 2 L1 / 2 . La productividad marginal del capital y el trabajo se define respectivamente como
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y L1 / 2 5 1/ 2 K K y K 1/ 2 5 1/ 2 . L L La tasa marginal de sustitución técnica es igual a
dK f L 5 K 1 / 2 L1 / 2 K 1 / 2 K 1 / 2 K TMST 1/ 2 1/ 2 . dL f K 5 L1 / 2 K 1 / 2 L L L La tasa marginal de sustitución técnica de esta tecnología disminuye a medida que incrementa L , es decir a medida que nos desplazamos a lo largo de la isocuanta se requiere sustituir menos capital por cada unidad adicional de trabajo. La elasticidad de sustitución es por lo tanto igual a
d K / L TMST TMST K / L 1 1. d TMST K / L K/L K/L
La elasticidad de sustitución de esta tecnología no varía a lo largo de la isocuanta ya que no depende de la cantidad total de insumos utilizada. Por lo tanto, la elasticidad de sustitución siempre es igual a uno. ¿Cómo son los retornos a escala de esta función de producción?
y 10tK
1/ 2
tL 1 / 2 10t 1 / 2 K 1 / 2 t 1 / 2 L1 / 2
y 10tK
1/ 2
tL 1 / 2 10tK 1 / 2 L1 / 2
t 10 K 1 / 2 L1 / 2 ty . La tecnología tiene, por consiguiente retornos constantes a escala. 2.2. Minimización de costos
La tecnología es uno de los elementos utilizados por las firmas en su proceso de decisión. Sin embargo, la tecnología no involucra aun conceptos de mercados tales como los precios de los insumos y del bien final. Estos conceptos se incorporan en el análisis de la minimización de costos y la maximización de beneficios. La función de costos, tal como se define en economía, son los costos de producción sujetos a una restricción tecnológica y estos reflejan el costo de oportunidad por la utilización de los insumos. Los costos laborales reflejan, por ejemplo, el costo de oportunidad del empleo y los costos de capital son el pago que estaría dispuesto a dar otra firma por el uso del capital (p.ej., una máquina). Por lo tanto, el costo de una máquina no es el costo de inversión, como se reporta en los costos contables, sino la tarifa a la cual se podría alquilar dicha máquina para el mejor uso alternativo. Antes de definir la función de costos y analizar el proceso de decisión, es necesario realizar dos supuestos que se mantendrán a lo largo de toda la clase, salvo cuando se mencione de manera explicita lo contrario. El primer supuesto asume que sólo se utilizan dos insumos de producción el trabajo homogéneo (representado por L) y el capital homogéneo (representado por K). Segundo, se asume que los insumos operan en 9
mercado perfectamente competitivos, por lo tanto, tanto los demandantes como los oferentes de insumos son precio aceptantes. 2.2.1. El problema de minimización de costos
La firma puede tomar una decisión en etapas. En la primera etapa, la firma minimiza los costos de alcanzar una producción dada. En la segunda etapa, la firma decide entonces cuanto producir, dados unos costos óptimos de acuerdo a la combinación de insumos. La función de costos de una firma es igual a c( w, r , y ) min wL rK k ,l
sujeto a y0 f ( K , L). donde L representa la cantidad de trabajo utilizada, K representa la cantidad de capital utilizada, w el costo por cada unidad de trabajo y r el costo por cada unidad de capital. En la decisión de la minimización de costos se escoge la cantidad óptima de insumos, pero no la cantidad total. La decisión de cuanto producir del bien final se realiza en la maximización de beneficios. Las firmas pueden también maximizar sus beneficios los cuales están representados por
( w, r , p) max py wL rK k ,l , y
sujeto a y 0 f ( K , L). Sin embargo, la minimización de costos es más general ya que con la maximización de beneficios se realiza un supuesto más restrictivo: el objetivo final de la firma es maximizar sus beneficios. Pero el objetivo de algunas firmas no necesariamente es la maximización de beneficios. Por ejemplo, ciertas firmas pueden buscar maximizar las ventas o incrementar el precio de sus acciones, o una universidad busca aumentar la calidad de su educación y prestigio académico. No obstante, las firmas siempre buscan minimizar sus costos; por lo tanto, la minimización de costos es un problema más general. El análisis gráfico de la minimización de costos se presenta a continuación. Dada la isocuanta y0 y los costos de los insumos, el objetivo de la firma es encontrar la combinación de K y L que alcance esta producción a un mínimo costo posible. La gráfica 2.10 muestra los costos totales para unos precios constantes de los insumos. A medida que se utilizan más insumos los costos totales se incrementan de tal forma que CT3 CT2 CT1 . La firma debe entonces escoger el mínimo costo para producir y0. Si la firma escoge una combinación de insumos en la curva de costos CT3, la firma alcanza a producir y0 pero estaría desperdiciando insumos. Lo mismo sucede con casi todas las combinaciones que ofrece la curva CT2. Los costos se minimizan cuando la firma escoge el punto de tangencia entre la isocuanta y la curva de costos. Esto sucede cuando se iguala la relación de precios de precios de los insumos con la tasa marginal de sustitución técnica. Para los precios y la producción dada, la minimización de costos se produce en la combinación de insumos K*, L*.
10
Gráfica 2.10. Minimización de costos
CT3
K
CT2
w TMSTk ,l r
K*
.
y0
CT1 L*
L
El lagrangiano para la minimización de costos está definida por c( w, r , y0 ) L wL rK ( y0 f ( K , L)). Las condiciones de primer orden para el proceso de minimización de costos son iguales a 1.
L f w 0 L L
2.
L f r 0 K K
3.
L y 0 f ( K , L) 0
La explicación intuitiva de las condiciones de primer orden es la siguiente. La firma iguala el costo de una unidad adicional de trabajo o capital (w,r) con el aumento en f f ) producción que le significa usar más de cualquiera de los dos factores ( , L K multiplicado por el costo de aumentar en una unidad el producto final ( )1, es decir el f f costo marginal del producto w ; r . La condición 3 significa que la L K firma se va a ubicar en el punto máximo de la frontera de producción y, por ende, no desperdiciará recursos y 0 f ( K , L) .
La condición 1. y 2. se pueden despejar como
1
Para derivar el significado de
, se utiliza el teorema de la envolvente donde c L . y0 y0 11
w f L
r f K
Cuando se igualan las dos ecuaciones, se tiene que
w r f L f K
Lo cual equivale a w f L . r f K Es decir, la firma va a igualar la relación de los precios de los insumos con la tasa marginal de sustitución técnica. Esta condición también implica que la productividad marginal por dólar gastado de todos los insumos se iguala
w r f L f K
Cabe anotar que las curvas de costos están condicionadas por el nivel de producción del bien final decidido por la firma. De este proceso de minimización, se obtienen entonces las funciones de demanda condicionadas de los factores, es decir las demandas que minimizan los costos de producir un nivel dado del bien final. Las demandas condicionadas de factores son iguales a Lc Lc (r , w, y 0 ) y K c K c (r , w, y 0 ) .
En los ejemplos anteriores, el nivel de producción del bien final escogido por la firma es y0. ¿Que pasa con la combinación de insumos cuando la firma decide expandir la producción del bien final y el precio de los insumos permanece constante? La gráfica 2.11 muestra un ejemplo de un sendero de expansión. A medida que se incrementa la producción escogida y el precio de los insumos permanece constante, el uso de capital y trabajo se incrementa tal como muestra el sendero de expansión de la gráfica. El sendero de expansión indica, por lo tanto, todas las combinaciones óptimas de insumo cuando varía la cantidad total producida.
12
Gráfica 2.11. El sendero de expansión de la firma
K
y3 y2 CT1 CT2 CT3
y1
L
El sendero de expansión de la gráfica anterior es un caso particular en el cual incrementos en la producción del bien final se traducen en un mayor uso de ambos insumos. Sin embargo, hay casos, poco comunes, en los cuales un incremento en la producción deriva en la reducción del uso de uno de los insumos de producción. Estos insumos se denominan insumos inferiores. 2.2.2. Las funciones de costos
Las funciones de costo de las firmas se pueden analizar desde distintos ángulos: los costos totales, los costos medios y los costos marginales. Esta sección define y analiza los tres tipos de costos. Los costos totales representan el costo total óptimo, es decir después de minimizar, dados unos precios de los insumos y la cantidad a producir. El costo medio es el costo por unidad producida y el costo marginal es el costo de producir la última unidad. La función de costos totales representa el mínimo costo dado unos precios de los insumos y un nivel de producción y se define como CT CT w, r , y .
Los costos totales denotan, por lo tanto, las decisiones óptimas de la firma dado un vector de precios y una producción predeterminada. Para analizar cambios en los costos por unidad de producción del bien final, se definen los costos medios y los costos marginales. El costo medio representa el costo promedio por unidad producida y el costo marginal representa el costo de producir una unidad adicional. Los costos medios están definidos por
13
CT w, r , y . y
CMe Los costos marginales están definidos por CMg
CT w, r , y . y
Las anteriores definiciones asumen que los precios de los insumos permanecen constantes y que la tecnología no se modifica. Un ejemplo gráfico de las relaciones entre los costos totales, los costos medios y los costos marginales se presenta en la gráfica 2.12. Asuma una función de costos que proviene de una tecnología con retornos constantes a escala. Para producir una unidad del producto final, se requiere K1 unidades de capital y L1 unidades de trabajo. Por lo tanto, CT ( y 1) rK 1 wL1 .
Dado que la función tiene retornos constantes a escala, es decir es una función homogénea de grado uno, para producir m unidades del bien final se necesita utilizar mK1 unidades de capital y mL1 unidades de trabajo. La función de costos es igual a CT ( y m) rmK 1 wmL1 CT ( y m) mrK 1 wL1
CT ( y m) mCT ( y 1) . Los costos totales son entonces proporcionales a la cantidad de producto tal como se representa en la gráfica. Para derivar los costos medios y costos marginales, los costos totales se pueden definir como CT ( y ) ay donde a= CT ( y 1) rK 1 wL1 , es decir el costo de producir una unidad del bien final. El costo medio está definido entonces por CMe
CT ( y ) a y
y el costo marginal es igual a CMg
CT ( y ) a. y
Ambas funciones de costos se presentan en la gráfica.
14
Gráfica 2.12. Costos totales, costos medios y costos marginales de una tecnología con retornos constantes a escala
CT CT
y CMe CMg
CMe=CMg
y
Un ejemplo de función de costos más complicada se presenta en la gráfica 2.13. Esta función es en el primer rango de producción cóncava y en el punto de inflexión, y*, se convierte en una función convexa. Los costos marginales hasta el punto de inflexión son decrecientes y una vez se alcanza el punto de inflexión los costos son crecientes. Para derivar la curva de costos medios se deben llevar a cabo varios pasos. En primer lugar, para la primera unidad producida los costos medios y los costos marginales son idénticos. En segundo lugar, una vez se expande la producción, los costos medios son superiores a los costos marginales. Esto se produce porque los costos medios no solo reflejan el costo de la última unidad producida, como los costos marginales, sino los costos promedios de todas las unidades producidas hasta el momento, es decir el costo agregado dividido por la cantidad producida. Como los costos marginales son decrecientes, la acumulación de los costos, reflejada en los costos medios, es mayor que los costos marginales. En tercer lugar, los costos marginales no siempre son decrecientes. A partir del punto de inflexión los costos marginales se tornan crecientes. Por lo tanto, hay un punto donde los costos marginales exceden los costos medios. Esto sucede a partir de la igualación de los costos medios y los costos marginales. La igualación de los costos medios y los 15
costos marginales se presenta en el punto mínimo de los costos medios como se demuestra a continuación. El mínimo de los costos medios está definido por CMe CT y 0 y y CMe y CT y CT 0 y y2 CMe y CT y CT 0 y y2 y
CT CT 0 y CT CT y y CMg CMe
Gráfica 2.13. Costos totales, costos medios y costos marginales de una curva de costos totales cúbica
CT CT
y* CMe CMg
y
CMg CMe
y y*
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2.2.3. Cambios en los precios de los insumos
¿Que pasa con los costos cuando varían los precios de los insumos? Para analizar los cambios en los costos de los insumos, se analizan dos casos. En primer lugar, se examina el efecto de un cambio simultáneo e idéntico en el costo de ambos insumos. En segundo lugar, se analiza el efecto del cambio en el costo de uno de los dos insumos. Un cambio en el costo de ambos insumos por la misma proporción se traduce en una variación por la misma proporción en la función de costos. Esto significa que la función de costos totales es homogénea de grado uno tal como se demuestra a continuación. Si la firma utiliza K1 y L1 para producir y1, la función de costos está definida por CT1 rK 1 wL1 . Un incremento de los costos de ambos insumos en t tiene el efecto siguiente sobre la función de costos CT1' trK 1 twL1 t rK 1 wL1 tCT1 . Por ende, la firma continúa utilizando la misma cantidad de capital y trabajo que antes del cambio pero ahora los costos se multiplican por t. Los costos medios y los marginales son también homogéneos de grado 1. Los nuevos costos medios se define como CMe1'
CT1' CT t 1 tCMe1 . y y
Asimismo, los costos marginales son CMg1'
CT1' CT1 t tCMg 1 . y y
La variación en el costo de un solo insumo de producción genera unos procesos más complejos ya que modifica su combinación de insumos para ajustarse a este nuevo entorno económico. Un cambio en precios tiene dos efectos; por un lado, modifica los costos y, por otro, induce a un proceso de sustitución de insumos. Una variación en el costo de un insumo modifica el nivel de la función de costos. Por ejemplo, si el costo del capital se incrementa, los costos totales aumentan. Para demostrar este efecto, se puede utilizar el teorema de la envolvente. Tal como se demostró anteriormente la función de costos totales está definida por el lagrangiano CT rK wL y 0 f ( K , L). Por el teorema de la envolvente, CT K 0, r r es decir, un mayor costo del capital significa un incremento en los costos totales. Los costos medios también se incrementan como resultado de un mayor costo del capital. El efecto sobre los costos marginales es indeterminado y depende de si el insumo es normal o inferior. Nuevamente, por el teorema de la envolvente, el efecto de un cambio en el precio del capital es igual a 17
K CMg . r yr ry y Cuando el insumo es normal, el sendero de expansión es positivo y K y 0 . Cuando el insumo es inferior, el sendero de expansión es negativo y K y 0 . La variación en el precio de los insumos no solo afecta los costos también induce un cambio en la combinación de insumos utilizada. Para examinar el efecto del cambio en el precio de los insumos sobre la combinación de insumos, se puede calcular la siguiente medida K L . w r Esto mide como se desplaza la firma a lo largo de la isocuanta debido a cambios en el costo de los insumos. Con el fin de eliminar los efectos de escala, se puede convertir a una elasticidad s
K L w r ln( K / L) . w r K L ln(w / r )
Cuando el cambio en s es significativo, implica que las firmas reaccionan fuertemente a cambios en los precios mientras que un s pequeño significa que variaciones en los precios de los insumos no inducen cambios fuertes en el uso de insumo. Esta medida se denomina elasticidad parcial de sustitución y es similar a la elasticidad de sustitución. Sin embargo, la elasticidad de sustitución está atada a la función de producción, a través de la tasa marginal de sustitución técnica, mientras la elasticidad parcial de sustitución simplemente analiza como se alteran las decisiones óptimas con variaciones en los precios. Además, la elasticidad de sustitución asume que los otros insumos de producción permanecen constantes mientras que la elasticidad parcial permite que el uso de otros insumos también se modifique. Una definición más general de la elasticidad parcial de sustitución es s ij
X i X j w j wi
w j wi X i X j
ln( X i X j ) ln( w j wi )
.
El efecto total de la variación de un precio del insumo sobre los costos totales depende entonces de la importancia del insumo en el proceso de producción y del grado de sustituibilidad del insumo. En el primer caso, si el insumo es importante en el proceso de producción, el efecto de un incremento en el precio significará un aumento importante en los costos totales. En el segundo caso, si el insumo puede ser fácilmente sustituido, el impacto sobre el costo total no es necesariamente significativo.
2.2.4. La diferencia entre el corto y el largo plazo La diferenciación entre el corto y el largo plazo radica en la flexibilidad de decisión de los agentes económicos. En el corto plazo, los agentes económicos enfrentan conjuntos de decisión más restrictivos y, por lo tanto la flexibilidad para decidir es menor mientras en el largo plazo la libertad para tomar decisiones es bastante mayor. Una definición de corto plazo más rigurosa es que en el corto plazo se mantienen constantes algunos factores de producción y la firma puede únicamente tomar decisiones acerca de los factores de producción variables.
18
Por ejemplo, asuma que en el corto plazo el capital se mantiene fijo en K1 y la función de producción del corto plazo es igual a y f ( K 1 , L) .
Los costos totales de corto plazo están entonces definidos por SCT rK 1 wL .
Por lo tanto, en el corto plazo, la firma está enfrentando un costo que varía de acuerdo a las decisiones de la firma y un costo que se mantiene fijo independientemente de los cambios en el comportamiento de la firma. Los primeros se denominan costos variables (SCV) y los segundos se denominan costos fijos (SCF). En el corto plazo, la firma tiene discrecionalidad sobre los costos variables, es decir, la firma puede decidir no incurrir en los costos variables. De otro lado, la firma no tiene discrecionalidad sobre los costos fijos en el corto plazo. Ello implica que si la firma decide no producir bien final debe, de todos modos, incurrir en los costos fijos. Estos son costos entonces que se deben pagar independientemente de si el proceso de producción se llevó a cabo. En el largo plazo, todos los costos son variables ya que ninguno de los insumos permanece fijo. Por ejemplo, los costos de un restaurante son los costos laborales, el pago de insumos como la comida y el alquiler del local. Si el dueño del restaurante decide no abrir el día siguiente, puede obviar el pago de los costos laborales (si son empleados pagados por hora) y el pago de los insumos. Sin embargo, el alquiler del local deberá seguir siendo pagado así el restaurante no abra ese día. Los costos variables serán entonces los costos laborales y el pago de los insumos y los costos fijos serán el alquiler del local y el pago de los servicios. La obligación de mantener fijo uno o varios insumos de producción impone una restricción adicional a las firmas e impide, en la mayoría de los casos, que la firma tome decisiones óptimas; por lo tanto, en el corto plazo es posible que la firma no iguale su tasa marginal de sustitución técnica a la pendiente de los precios. Esto se ilustra en la Gráfica 2.14. En el corto plazo, el capital está fijo en K1. Como consecuencia, la firma solo podrá escoger la cantidad de trabajo para minimizar los costos totales de corto plazo. Si la firma decidió producir y1 y el capital está fijo en K1, los costos totales de corto plazo no se minimizan ya que el uso posible de trabajo es L1 y en este punto no se iguala la tasa marginal de sustitución técnica con la pendiente de los precios de los insumos.
Gráfica 2.14. La minimización de costos en el corto plazo
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K
K1
y2 SCT2 L1
SCT1 L2
y1
L
Los costos medios y marginales de corto plazo están definidos respectivamente por SCMe
SCT SCV SCF y y y
SCMg
SCT SCV . y y
Dado que en el corto plazo la firma tiene restringida sus decisiones, en pocas ocasiones la decisión de la firma en el corto plazo coincide con la minimización de costos. La gráfica 2.14 muestra un caso donde coinciden. Asuma que el capital está fijo en K1 y la firma decide producir y2. En este caso, la cantidad fija de capital y la producción deseada permiten escoger una cantidad de trabajo óptima donde se iguale la tasa marginal de sustitución técnica y la pendiente de los precios. No obstante la posibilidad de esto, es una coincidencia que no siempre se presenta. Las curvas de costos totales de largo plazo son entonces una envolvente de las curvas de costos totales de corto plazo. Las curvas de corto plazo son siempre mayores que las curvas de largo plazo; debido a las restricciones en el corto plazo, la firma no siempre puede alcanzar el mínimo costo posible tal como se mostró en la Gráfica 2.14. Las curvas únicamente coinciden cuando la decisión en el corto plazo coincide con la minimización de costos en el largo plazo como sucede en la combinación de factores (K1,L2). Un ejemplo de la relación entre curvas de corto y largo plazo se presenta en la gráfica 2.15.
20
Gráfica 2.15. Relación entre curvas de costos totales de corto y largo plazo SCT(K2)
CT
SCT(K1) SCT(K0)
y0
CT
Y1
Y2
y
2.3. La maximización de beneficios La minimización de costos, pese a ser más general, no define de manera explícita el proceso para decidir cuanto se produce del bien final y, en últimas, se ofrece. Esta decisión es entonces dada y exógena al modelo de minimización de costos. Por lo tanto, es necesario caracterizar el proceso de decisión de la firma que conlleva a la decisión de producción del bien final. La regla de decisión más utilizada es la maximización de beneficios. En la maximización de beneficios, las firmas escogen la cantidad de insumos y productos que maximicen los beneficios de la firma, es decir la firma maximiza la brecha entre los ingresos y los costos totales. Esta sección analiza como se lleva a cabo el proceso de maximización de beneficios. En primer lugar, se examina como las firmas escogen la cantidad de producción del bien final y, en segundo lugar, como las firmas escogen la cantidad de insumos a utilizar. 2.3.1. La decisión de producción del bien final La función de beneficios de la firma está definida por
( y ) IT ( y ) CT ( y ) donde IT(y) representa los ingresos totales de la firma y CT(y) los costos totales. Los ingresos totales están representados por
IT ( y ) P( y ) y . El término P(y) denota la función inversa de demanda y muestra como la cantidad total producida puede afectar el precio del bien final. Cuando la firma está en competencia perfecta, es precio aceptante y, por lo tanto, no puede influenciar el precio del bien final con cambios en la producción. De otro lado, cuando el mercado está compuesto por una o pocas firmas en el sector, estas pueden influenciar el precio del bien final. Ambos casos se estudiarán este semestre. La firma escoge la cantidad del bien final tal que maximice su función de beneficios. Esto sucede cuando 21
( y ) IT ( y ) CT ( y ) 0 y y y IT ( y ) CT ( y ) y y
IMg CMg . Los beneficios se maximizan una vez el ingreso por producir una unidad adicional del bien se iguala a los costos de producir una unidad adicional, es decir cuando los ingresos marginales y los costos marginales se igualan. Las condiciones de primer orden no son suficientes para maximizar los beneficios también es necesario que se cumplan las condiciones de segundo orden 2 ( y ) 0. y 2 La gráfica 2.16 ilustra un ejemplo de maximización de beneficios. En dos puntos de la gráfica (y*, y1) se observa que el ingreso marginal es igual al costo marginal y, por lo tanto, las condiciones de primer orden se cumplen. Sin embargo, el punto óptimo es y*. Si la firma decide producir menos que y*, por ejemplo y1, donde IMG=CMG, los costos totales serán mayores que los ingresos totales y la firma enfrentará beneficios negativos. En este punto, pese a que las pendientes del ingreso y costo total son iguales (es decir los ingresos y costos marginales son iguales), no hay maximización de beneficios porque no se cumplen las condiciones de segundo orden. La expansión de la producción incrementa los ingresos y, dado que en ese punto los costos son decrecientes, la brecha entre el ingreso y los costos se reduce. A partir del punto y2, los ingresos son superiores a los costos y entre y2 y y* los incrementos en la producción aumentan los beneficios totales de la firma. Estos beneficios se maximizan cuando la brecha entre el ingreso y el costo total es más alta. Ello sucede en y*, punto en el cual la brecha es la más amplia y los costos e ingresos marginales son idénticos.
Gráfica 2.16. La maximización de beneficios
CT
IT CT
y1
y2
y*
y
22
2.3.2. El ingreso marginal Los ingresos marginales de una firma representan el ingreso adicional por vender una unidad adicional del bien final. El ingreso marginal difiere cuando las firmas son precioaceptantes y cuando las firmas pueden influenciar el precio del bien final y ambos casos se analizan a continuación. El ingreso total está definido como IT ( y ) P( y ) y . El ingreso marginal es entonces igual a IMg
IT ( y ) dP ( y ) P( y) y. y dy
Las firmas precio aceptantes no pueden influenciar el precio del bien final, por lo tanto, dP 0 y el ingreso marginal está representado por el precio de mercado que enfrenta la dy firma. IMg P( y ) . Ello significa que por cada unidad adicional vendida la firma obtiene un ingreso adicional de P. De otro lado, si la firma puede modificar el precio de mercado el ingreso marginal es igual a IMg P( y )
dP( y ) y. dy
dP . Este dy término representa la derivada de la función inversa de demanda, es decir como cambios en la cantidad producida afecta el precio de demanda del bien. Si la función de demanda tiene una pendiente negativa, el efecto de cambios en la producción sobre el precio es dP 0 , es decir una mayor cantidad del bien reduce los precios. Esto se da negativo dy porque cuando el bien es abundante los precios caen. Cuando las firmas pueden influenciar el precio, escogen la cantidad con el objetivo de maximizar los beneficios. Las firmas no pueden, sin embargo, escoger los precios con total libertad pues estarán restringidas por la elasticidad precio de la demanda.
Para analizar este ingreso marginal, es necesario entender el significado de
Un ejemplo de esto se presenta en la gráfica 2.17. Asuma que en un periodo inicial el precio del bien final es P*. La demanda por el bien final a un precio P* es igual a y*. Si la firma desea ampliar sus ventas más allá de y* a un punto y1, debe reducir el precio del bien final a P1. Por el contrario, si la firma desea incrementar el precio del bien a P2, debe restringir la producción a y2. Por lo tanto, la discrecionalidad de la firma para fijar el precio del bien final está restringida por la función de demanda prevalente en el mercado. La función inversa de demanda, al mostrar como reaccionan los consumidores a cambios en los precios del bien final, representa esta restricción.
23
Gráfica 2.17. La función inversa de demanda
P
P2 P*
P1
y2
y*
y1
y
El ingreso marginal es, por consiguiente, menor que el precio de vender una unidad adicional de bien (P) ya que para vender esa unidad adicional es necesario reducir el precio de todas las unidades IMg P( y )
dP( y ) y P. dy
La capacidad de las firmas para modificar el precio depende de cuan elástica es la función de demanda por el bien final. Las firmas que enfrentan demandas elásticas tienen facilidad para influir sobre los precios ya que un cambio pequeño en la cantidad producida induce una variación sustancial en la cantidad demandada y, por ende, en el precio. Las firmas que enfrentan, por otro lado, una demanda inelástica no tienen mucha injerencia sobre el precio puesto que para modificarlo es necesario variar la producción en una cantidad considerable y esto produce ingresos negativos a la firma. Esta explicación intuitiva se deriva a continuación. El ingreso marginal se puede reescribir como dP ( y ) y . IMg P( y )1 dy P ( y ) Por lo tanto, las condiciones de primer orden se pueden reescribir como
1 IMg P1 e y, p
CMg
Dado que la elasticidad precio de la función de demanda está definida como e y, p
dY P , dP y 24
1 e y, p
dP ( y ) y . dy P( y )
El ingreso marginal es entonces igual a 1 IMg P( y )1 e y, p
.
La relación entre la elasticidad de la función de demanda y el ingreso marginal depende de: 1. Si la firma opera en la porción elástica de la función de demanda, e y , p 1, IMg 0 , es decir un incremento en la cantidad producida implica un incremento en el ingreso total. 2. Si la firma opera en la porción inelástica de la función de demanda, e y , p 1, IMg 0 , es decir un incremento en la cantidad producida implica una caída en el ingreso total. 3. Si la función de demanda exhibe una elasticidad unitaria
e
y, p
1,
IMg 0 , es decir un incremento en la cantidad producida no modifica el ingreso total. Al analizar este mismo proceso con las condiciones de primer orden, se obtiene lo siguiente: 1. Si la firma opera en la porción elástica de la función de demanda e y , p 1 , 1 P 1 e y, p
CMg 0 .
2. Si la firma opera en la porción inelástica de la función de demanda e y , p 1, P1 1 CMg 0 , es decir el costo marginal sería negativo e y, p lo cual es imposible. Esto implica que la firma solo opera en la porción elástica de la función de demanda, rango en el cual el ingreso y el costo marginal son positivos. La firma buscará maximizar la brecha entre el ingreso y el costo total, lo cual sucede cuando el ingreso marginal y el costo marginal se igualan y las condiciones de segundo orden se cumplen. Para esto, la firma buscará imponer un precio muy por encima de su costo marginal. Para analizar la relación entre el tamaño de la brecha y la elasticidad, 1 IMg P1 e y, p
P
P e y, p
CMg
CMg
25
P CMg P CMg
P e y, p P e y, p
1 P CMg . P e y, p
La elasticidad determina, por ende, el tamaño de la brecha entre el precio y el costo marginal. Es obvio que para las firmas es conveniente tener una brecha amplia, y positiva, entre el precio y el costo marginal ya que esto significa mayores beneficios totales. A medida que la demanda es más elástica, la brecha entre el precio y el costo marginal se reduce hasta llegar a ser igual a cero lo cual sucede cuando la demanda es infinitamente elástica e yp y la firma no tiene, por consiguiente, ningún efecto sobre el precio (competencia perfecta) tal como se demuestra a continuación lim
e yp
1 e y, p
0.
Por lo tanto,
P CMg 0 P
P CMg . En competencia perfecta, cuando las firmas son precio aceptantes, la maximización de beneficios se da en el punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Dado que el ingreso marginal es igual al precio de mercado, esto sucede cuando el precio de mercado se iguala al costo marginal. ¿Cuál es la relación entre la curva de ingreso marginal y la curva de demanda? Cuando las firmas pueden influenciar los precios, la curva de ingreso marginal siempre se ubica por debajo de la función de demanda ya que
IMg P( y )
dP( y ) y P( y ). dy
La gráfica 2.18 presenta un ejemplo de una curva de demanda y su respectiva curva de ingreso marginal. Tal como se demostró la curva de ingreso marginal se encuentra siempre ubicada debajo de la curva de demanda. El ingreso marginal es positivo en la región elástica de la curva de demanda. En la región inelástica, el ingreso marginal se torna negativo. Este punto se representa en la gráfica con y1.
26
Gráfica 2.18. La curva de demanda y la curva de ingreso marginal
P
eyp<-1
IMg P1
dd
y1
y
2.3.3. La oferta de corto plazo La curva de oferta de corto plazo refleja cuanto produce la firma para distintos opciones de precios. Dicha oferta se deriva del proceso de maximización de beneficios anteriormente analizado y se deriva en esta sección. La gráfica 2.19 presenta un ejemplo del proceso de maximización de beneficios en el corto plazo, el cual permite derivar la función de oferta. Dado que se está analizando la curva de oferta en el corto plazo, la firma enfrenta costos totales de corto plazo (SCT), costos medios de corto plazo (SCMe) y costos marginales de corto plazo (SCMg).
SCMe
SCT SCV SCF y y y
SCMg
SCT . y
Asuma una firma tomadora de precios y operando en el corto plazo. El precio de mercado es P*. Los costos de esta firma se ilustran en la gráfica 2.19. Estos costos permiten derivar la curva de oferta de corto plazo. Las firmas producirán cuando los beneficios son positivos o cuando la firma alcanza a cubrir los costos variables y un porcentaje de los fijos. Si la firma no puede cubrir siquiera los costos variables, prefiere no producir. A este precio, la firma igualan los ingresos y costos marginales. Dado que la firma es tomadora de precios, el ingreso marginal es P* y el punto de optimización es y*, es decir en el cual el ingreso marginal (P*) se iguala con el costo marginal de corto plazo (SCMg). Los beneficios de la firma serán en este punto positivos porque el precio excede los costos medios de producción. Si el precio es menor que los costos medios totales, los beneficios son negativos tal como sucede en el punto y1. Los beneficios en este punto son negativos porque los ingresos ganados no alcanzan a cubrir los costos fijos de producción pero si alcanzan a cubrir los costos variables. Cuando el precio se ubica en la porción decreciente de la porción de costos, como en el punto y2, la firma no 27
está en un punto de maximización de beneficios porque producir una unidad adicional reduce los costos, incrementa los ingresos y, por lo tanto, los beneficios son mayores. Esto implica que la firma nunca se ubica en la porción decreciente de la función de costos marginales. Gráfica 2.19. La maximización de beneficios en el corto plazo
P SCMg SCMe P* SCV/y P1 P2
y2
y*
y1
y
Esta explicación intuitiva también se puede demostrar de manera formal con las condiciones de primer y segundo orden. Las condiciones de primer orden de la maximización de beneficios cuando la firma es precio aceptante son iguales a
P CMg 0 . y Las condiciones de segundo orden son
CMg 2 0. 2 y y Por lo tanto, en el punto de maximización de beneficios es necesario que la curva de costos marginales sea creciente. Las funciones de costos anteriores y el precio permiten derivar la curva de corto plazo de la firma. La firma produce en la región creciente de la curva de costo marginal de corto plazo y produce a partir del punto donde se cubren los costos variables medios. En la Gráfica 2.20, si los precios caen debajo de P1, la firma no alcanza a cubrir los costos variables medios y prefiere, por ende, no producir. La firma tiene entonces producción positiva a partir de P1. De otro lado, cuando el precio está entre la curva de costo medio variable y la curva de costo medio fijo, la firma alcanza a cubrir los costos variables pero no los costos fijos. En este punto, la firma si produce para cubrir los costos variables y una porción de los costos fijos. En el largo plazo, la firma puede cerrar su 28
operación pero en el corto plazo no lo puede hacer, por lo tanto, es mejor producir. La curva de oferta está representada por las líneas gruesas de la gráfica 2.20. Gráfica 2.20. La curva de oferta de corto plazo
P SCMg SCMe
SCV P1
y2
y1
y*
y
2.3.4. La maximización de beneficios y la demanda por insumos El análisis anterior se concentró en explicar la elección de la producción total del bien final. En esta sección, se analiza como la firma escoge la producción del bien final y los insumos demandados. Para esto, se asume Un mercado perfectamente competitivo para el bien final y los factores; e Información perfecta.
Si se asume que la firma produce solo un bien final y utiliza dos factores de producción, el proceso de decisión de la firma se define como max py wL rK y , k ,l
sujeto a y f K , L .
.
Al sustituir la función de producción en la función de beneficios, se obtiene max pf K , L wL rK . k ,l
La firma, por ende, maximiza los ingresos de vender el bien final al precio P y minimiza los costos de utilizar los insumos K y L a los precios w y r. Las condiciones de primer orden son
29
p
f r K
p
f w. L
Las condiciones de primer orden implican que el productor iguala el valor del producto marginal de cada factor a su precio. Es decir, el productor iguala el valor que le significa f producir una unidad adicional del bien final ( p ) al costo de usarlo (w). Cuando L f p w , producir una unidad adicional incrementa los ingresos por encima del costo L de producirla y todavía se pueden extraer beneficios adicionales. Ello significa que la firma realiza un análisis costo-beneficio por cada unidad producida. Las condiciones de primer orden se pueden reescribir como
p
r f K
p
w f L
Dado que los precios del bien son idénticos
p
w r f L f K
w f L TMST . r f K
Esto significa que, cuando la firma maximiza beneficios, también minimiza los costos ya que se iguala la pendiente de los precios de los insumos con la tasa marginal de sustitución técnica. Las condiciones de segundo orden en este caso son
KK 0 LL 0 2 KK LL KL 0
El proceso de maximización anterior permite derivar la oferta del bien final y las demandas de insumos como función del precio del bien final y el precio de los insumos. Las demandas de insumos están representadas por las funciones siguientes
K * K * P, w, r L* L * P, w, r
Estas difieren de la demanda condicionada pues no está determinada por la cantidad producida. 30
La función de oferta se obtiene remplazando las demandas de insumos en la función de producción de la firma y f K * P, w, r , L * P, w, r y y * P, w, r .
La función de oferta refleja la cantidad de bien final que maximiza los beneficios de la firma dados el precio del bien final y el precio de los insumos. Las funciones de oferta y demanda de los insumos se presentan en la gráfica 2.21. Los cambios en los precios del bien final o de los insumos provocan variaciones en la demanda de los factores y en la oferta del producto. Gráfica 2.21. Demanda de factores y oferta del bien final
w
p L=f(w,r,p1)
y=f(w1.r.p)
0
L=f(w,r,p )
y=f(w0.r.p)
donde p1>p0 donde w1>w0
L Demanda de trabajo
y Oferta del bien final
Los dos métodos de decisión de la firma, la maximización de beneficios y la minimización de costos, son importantes. Por un lado, la maximización de beneficios permite derivar el nivel óptimo de producción. De otro lado, la minimización de costos permite identificar la combinación de factores óptima para una cantidad determinada del bien a un costo mínimo. Sin embargo, la maximización de beneficios subsume la minimización de costos. El cuadro 2.1 compara los dos procesos de decisión.
31
Cuadro 2.1. Maximización de beneficios vs. Minimización de costos Maximización de Minimización de costos beneficios Objetivo de la decisión
Hallar el nivel óptimo de producción y de insumos
Hallar combinación óptima de factores para alcanzar el costo mínimo de una cantidad determinada del bien final
Funciones derivadas
y y ( P, r , w)
Lc Lc (r , w, y 0 )
L L( P, r , w)
K c K c (r , w, y 0 ) .
K K ( P, r , w)
2.3.5 Cambios en los precios de los insumos Con el fin de establecer el efecto de cambios en los precios de los insumos sobre la demanda de factores, es necesario realizar ejercicios de estática comparativa. La estática comparativa permite establecer el efecto del cambio de una variable exógena, tal como el precio del producto o los precios de los insumos, sobre una variable endógena, tal como la demanda de un factor o la oferta del bien, cuando las demás variables permanecen constantes. Es decir, se analiza cómo se modifica el equilibrio cuando cambian las condiciones exógenas. El primer ejemplo de estática comparativa asume que la firma solo utiliza un factor de producción. Primero, se analiza cual es el efecto de un cambio en el salario sobre la demanda de trabajo. Dado que solo hay un factor de producción y no hay posibilidades de sustitución por otro insumo, un incremento en el salario conlleva a una disminución inequívoca de la demanda por trabajo. Sin embargo, es importante realizar la derivación matemática con el fin de entender la derivación cuando hay más de un factor de producción. Para derivar el signo de L w cando sólo se usa un factor de producción, es necesario utilizar las condiciones de primer orden del problema de maximización de beneficios. Ello debido a que las condiciones de primer orden denotan las condiciones de equilibrio.
P
f w. L
Si se deriva la diferencial total respecto a w,
dw P
2 f L dw L2 w
dw 2 f L 1 P 2 dw L w L 1 . 2 w P f L2 32
Para establecer el signo de esta derivada,
L signo signo P 2 f L2 . w
El signo del efecto de un cambio en el salario sobre la demanda por trabajo depende entonces de la productividad marginal del trabajo. Las características de la productividad marginal del trabajo son: (i) un aumento en la cantidad de trabajo incrementa la cantidad producida; pero (ii) cada unidad adicional aporta menos a la producción. La productividad marginal decreciente implica que P 2 f L2 0 . Por lo tanto, L 0 . Otra forma de analizar el signo de la demanda por trabajo respecto al salario es w analizando las condiciones de primer orden de la maximización de beneficios.
P
f w. L
Si w disminuye y la igualdad se debe mantener es necesario que
f varíe ya que P es L
f f debe disminuir. Para que disminuya, es necesario que L aumente L L debido a la productividad marginal decreciente del trabajo. fijo. Entonces
Cuando hay dos factores y la firma enfrenta cambios de precios en los insumos, tiene la posibilidad de sustituir entre factores de producción. Por ejemplo, si el salario disminuye, la firma puede sustituir capital por trabajo y continuar produciendo la misma cantidad. La demanda por trabajo aumenta, al igual que en el caso de un solo factor de producción. La diferencia entre el caso de un insumo y dos insumos es la magnitud del cambio de la demanda por trabajo. Un cambio en el salario induce dos efectos sobre el proceso productivo. Si la producción se mantiene constante, se produce un efecto sustitución en el cual la firma sustituye capital por trabajo. Pero de manera paralela se produce un efecto producto en el cual la disminución del salario deriva en un incremento de la producción total. La gráfica 5.2. muestra un ejemplo del efecto de una disminución del salario sobre la demanda por trabajo. En un punto inicial, la firma escoge la cantidad de capital y trabajo que minimice los costos de la empresa lo cual equivale al punto de tangencia A tal que se produzca un total de y1. Una disminución en el salario cambia la pendiente de w r de modo tal que si el salario varía de w a w* se tiene la pendiente w * r . Esta nueva pendiente traslada el punto de tangencia de A a B. En el punto de tangencia B se utiliza una mayor cantidad de trabajo y una menor cantidad de capital si se mantiene la cantidad de producción constante en y1.
33
Gráfica 5.2. Efecto sustitución.
K
wr
A K1 B y1
K2
w* r
L1
L
L2
Cuando solo se considera el efecto sustitución, los signos de los cambios en las demandas de capital y trabajo son inequívocos
L w
y y1
K w
y y1
0
0.
Sin embargo, suponer que la producción total no cambia es demasiado restrictivo. Una caída en el salario modifica los costos de la firma y, como consecuencia, las decisiones de producción también. Esto se observa en la gráfica 5.3. La caída en el costo del salario disminuye los costos marginales de la firma de CMg1 a CMg2. Los costos menores inducen a un incremento en la producción del bien de modo tal que varía de y1 a y2. La disminución en los costos afecta la demanda de factores. Cuando solo se tiene en cuenta el efecto sustitución, la combinación de factores es (L2,K2). Con aumentos de producción, la demanda por trabajo aumenta aún más. De otro lado, el cambio en capital es el siguiente:
Por el efecto sustitución, un descenso en el salario induce a la firma a sustituir capital por trabajo. Por lo tanto, disminuye la cantidad de capital utilizada.
Por el efecto producción, un descenso en el salario reduce los costos marginales lo cual ocasiona un incremento de la producción y, por ende, es necesario utilizar más capital.
Ello implica que los dos efectos son contradictorios y
K 0. w
34
El signo del efecto sobre el capital depende de la magnitud de la reducción en el salario, la magnitud de la reducción en los costos y la sustituibilidad entre capital y trabajo. Gráfica 5.3. Efecto producto.
K
CMg1 CMg2
wr
K1
P y2
K3 K2
y1
L1
L 2 L3
w* r
L
y1
y2
y
La derivación matemática del efecto sustitución y el efecto producto se describe a continuación. La demanda de factores está determinada por L LP, w, r K K P, w, r .
Para conocer el efecto total de un cambio del salario sobre la demanda laboral L w , se divide el cambio en dos efectos
L L L ( y constante) (debido a variaciones de y) . w w w El primer término es el efecto sustitución y el segundo término es el efecto producto. Para derivar el efecto sustitución, se utiliza el teorema de la envolvente de la función de costos pues en esta se mantiene constante la producción. La función de costos se define como
cw, r , y min wL rK K ,L
sujeto a y f K , L . El lagrangiano se define como L wL rK y f K , L .
Por el teorema de la envolvente, se puede obtener la demanda de trabajo derivando la función de costos respecto al salario
35
c L L y, w, r . w w Esto se conoce como el Lema de Shephard. Si se deriva de nuevo respecto al salario, se obtiene la ecuación siguiente
2c 2 L L . w2 w2 w Las características de las funciones de costos son
c 0; y w
2c 0. w2
Por lo tanto,
L 0. w
La demostración anterior nos permite afirmar que el efecto sustitución es negativo. Ello implica que aumentos en los salarios, cuando se mantiene constante el producto, derivan en una disminución en la demanda por trabajo. Ahora es necesario derivar el efecto producto. Para derivar este efecto, es fundamental tener en cuenta que dicho efecto se produce a través de cambios en el producto.
L L y P CMg y (debido a variaciones de y) . w y P CMg y w La intuición de esta derivada es la siguiente, sin asumir competencia perfecta: 1. Un cambio en el salario induce un cambio en el costo marginal respecto al CMg y producto . w 2. Cambios en costo marginal respecto al producto produce cambios en el precio de equilibrio de acuerdo a la estructura de la industria (p.ej. competencia P perfecta, monopolio,etc) . CMg y 3. Los cambios en los precios ocasionan cambios en la demanda del producto
y . P
4. Por último, cambios en el producto induce a cambios en la demanda de trabajo L . y Para definir el signo del efecto producto, es entonces necesario establecer el signo de cada uno de los componentes de la ecuación anterior. Por la maximización de beneficios, cuando una firma opera en competencia perfecta se tiene que
P CMg y 36
P 1. CMg y
La expresión anterior se convierte, por lo tanto, en L y CMg y L . (debido a variaciones de y) y P w w
y representan los cambios en la demanda como consecuencia de cambios P y en los precios, 0. P Dado que
Ahora es necesario demostrar que
L CMg y . Por el teorema de la envolvente, y w c L L w w 2c 2L L . wy wy y
De otro lado, el costo marginal del producto es igual a
c CMg y y CMg y 2c . yw w
Por simetría, 2c 2c . yw wy
Por lo tanto,
L CMg y . y w Esto implica que
CMg y L . signo signo y w Dado que los dos signos son iguales,
L CMg y 0. y w Entonces
37
L L y CMg y (debido a variaciones de y) 0. w y P w Por lo tanto, la suma del efecto sustitución y efecto producto es negativa L L L ( y constante) (debido a variaciones de y) 0. w w w El análisis gráfico y matemático anterior permite establecer el efecto de cambios en los precios sobre la demanda de factores. Este análisis, sin embargo, no permite definir la magnitud del cambio que depende de muchos factores. Los determinantes del efecto sustitución son:
La capacidad de sustituir un factor de producción por otro determina completamente el efecto sustitución. Cuando después de un incremento salarial la firma puede sustituir fácilmente trabajadores por máquinas, el efecto sustitución puede ser alto. De otro lado, si la firma tiene tecnologías de proporciones fijas, el efecto sustitución es igual a cero.
El corto y largo plazo es otro factor importante. Es posible que en el corto plazo los factores de producción no sean sustitutos pero en el largo plazo pueden ser sustitutos.
La magnitud del efecto producción depende de:
Magnitud del cambio en los costos marginales por cambios en los salarios. Dicha magnitud depende principalmente de la importancia que tiene el costo del trabajo en la estructura de costos totales. Si los costos laborales constituyen un porcentaje importante, un descenso del salario provoca una disminución importante en los costos totales y, como consecuencia, un efecto producción considerable.
Cambios en la cantidad demandada por cambios en los precios.
2.3.3. El excedente del productor Al igual que en el caso del consumidor, es necesario definir una medida de bienestar para el productor. Las medidas de bienestar, como su nombre lo indican, permiten establecer el bienestar, para la sociedad, de la existencia de ese mercado. En el caso del consumidor, el bienestar se aproxima con el excedente del consumidor. Para el productor, el bienestar se mide con el excedente del productor, el cual en el corto plazo equivale a los beneficios de la firma más los costos fijos. La intuición para esto es sencilla. Si la firma no tiene permitido transar en el mercado en el corto plazo, deberá de todos modos incurrir en los costos fijos de producción ya que estos son inevitables. En este caso, la firma enfrenta pérdidas equivalentes a los costos fijos. Los beneficios percibidos por la firma una vez le es permitido transar serán entonces el beneficio por producir y* más los costos fijos * SCF . Esto se representa formal y gráficamente de la siguiente manera. Si la firma produce y*, el excedente del productor es igual a los beneficios percibidos por producir y* menos los costos cuando no se produce nada (-SCF), lo cual se representa formalmente de la manera siguiente
38
EP
y*
0
P * CMg ( y)dy
EP P * y CT ( y )0
y*
EP P * y * CT ( y*) P * 0 CT (0) EP * SCF .
La representación gráfica del excedente del productor se presenta en la gráfica 2.22.
Gráfica 2.22. El excedente del productor
P,CMg S=CMg
Excedente del productor
0
y
39
