x 2 1. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije x 1

1 1. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije 2 ln 1 x y x − = + Oblast definisanosti (domen) Sve iza ln mora da je veće od 0. 2 0 1 x x − > + Koristi...

61 downloads 757 Views 182KB Size
1. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije

y = ln

x−2 x +1

Oblast definisanosti (domen)

Sve iza ln mora da je veće od 0.

Koristimo tablicu... 2

-1

8

-

8

x−2 >0 x +1

x-2 x+1

x-2 x+1

Domen funkcije je x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞) . Ovo nam govori da funcija ne postoji između -1 i 2, na skici je to

y

N E M A -5 -4 -3

-2

-1

F U N K C I J E

2 3

4

5

x

Nule funkcije

Da vas podsetimo : ln Θ = 0 ↔ Θ = 1 y=0 x−2 =1 x +1 x − 2 = x +1 −2 = 1 Dakle nema nule , a to nam govori da funkcija ne seče x osu. Znak funkcije

Opet malo podsećanje : ln Θ > 0 ↔ Θ > 1 ln Θ < 0 ↔< 0 < Θ < 1 www.matematiranje.com

1

Dakle: y>0 x−2 >1 x +1 x−2 −1 > 0 x +1 x − 2 − 1( x + 1) >0 x +1 x − 2 − x −1 >0 x +1 −3 > 0 pomnožimo sa -1 x +1 3 <0 x +1 x +1 < 0 x < −1

Ako je y > 0 za x < -1 ( grafik iznad x ose) onda je jasno da je y < 0 za x > 2 (grafik ispod x ose) y

N E M A -5 -4 -3 -2

NEMA F-JE

-1

F U N K C I J E

NEMA F-JE 2 3

4

5 x

Parnost i neparnost

Funkcija nije ni parna ni neparna. To nam je jasno i iz oblasti definisanosti… Ako baš mora , onda je f (− x) = ln

−x − 2 ≠ f ( x) −x +1

Ekstremne vrednosti (max i min) i monotonost ( rašćenje i opadanje)

Pazi, radi se o izvodu složene funkcije... x−2 x +1 x + 1 ( x − 2)`( x + 1) − ( x + 1)`( x − 2) x + 1 1( x + 1) − 1( x − 2) x + 1 − x + 2 1 x−2 ⋅ = ⋅ y`= = ( )`= x − 2 x +1 x−2 x−2 ( x + 1) 2 ( x − 2)( x + 1) ( x + 1) 2 x +1 3 y`= ( x − 2)( x + 1) y = ln

2

y` = 0 za 3=0 , pa zaključujemo da nema ekstremnih vrednosti.

2

-1

8

-

8

Dalje razmišljamo od čega zavisi znak prvog izvoda? Оd (x-2)(x+1).

x-2 x+1

y`

nema f-je

Ova tablica je ista kao i ona za oblast definisanosti. To nam govori da je funkcija stalno monotono rastuća.

Prevojne tačke i konveksnost i konkavnost x−2 x +1 3 1 ⎛1⎞ pazi ⎜ ⎟`= − 2 ⋅ ⊗` y`= ( x − 2)( x + 1) ⊗ ⎝⊗⎠ 3 [( x − 2)( x + 1)]` y``= − 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3 [1( x + 1) + 1( x − 2)] y``= − 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3 (2 x − 1) y``= − 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3(1 − 2 x) y``= ( x − 2) 2 ( x + 1) 2 y = ln

y`` = 0 za 1-2x = 0 pa je x =

1 , ali PAZI , ova tačka NE PRIPADA oblasti definisanosti , pa funkcija nema 2

prevoj. 1 → x < −1 2 1 y``< 0 → 1 − 2 x < 0 → x > → x > 2 2 y``> 0 → 1 − 2 x > 0 → x <

-1

2

www.matematiranje.com

3

Asimptote funkcije ( ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti)

vertikalna asimptota x−2 = [Kako je ln neprekidna funkcija, ona može da zameni x +1 2+ε −2 ln = ln 0 = −∞ (crvena crta) 2 +1 lim ln

x → 2 +ε

lim ln

x → −1−ε

mesto sa lim ]=

−1 − 2 −3 x−2 = ln = ln = ln ∞ = ∞ (zelena crta) x +1 −1 − ε +1 −ε y

x=2

x=-1 . -1

. 2

0

x

horizontalna asimptota:

lim ln

x → ±∞

x−2 x−2 = ln lim = ln 1 = 0 Dakle y = 0 (x- osa) je horizontalna asimptota.(plave crtke) x → ±∞ x + 1 x +1 y

x=2

x=-1 . -1

0

. 2

x

y=x+1

Kako smo našli da horizontalna asimptota postoji, zaključujemo da nema kose asimptote. Još da sklopimo konačan grafik...

www.matematiranje.com

4

x=2

x=-1

y

5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2

-1

0 1 -1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

2. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije

y=

-1

2

-1

2

1 + ln x 1 − ln x

Oblast definisanosti (domen)

Sve iza ln mora da je veće od 0, pa je odatle x > 0. Kako imamo i razlomak, sve u imeniocu mora da je različito od 0. 1 − ln x ≠ 0 ln x ≠ 1 x≠e

Oblast definisanosti je : x ∈ (0, e) ∪ (e, ∞)

www.matematiranje.com

5

Na skici, to bi izgledalo ovako: x=e

y

3 2

nema -5 -4 -3

-2

1

e

0 1 2 -1

-1

funkcije

3

4

5

x

-2 -3

Nule funkcije

y = 0 → 1 + ln x = 0 → ln x = −1 → x = e −1 =

1 e

y

2 1 0 11 -1 e

2

3 4 5

x

0

1 -1 e =e

e

8

Znak funkcije

1+lnx 1-lnx

Na skici to bi izgledalo ovako: y

2 1 0 -1

1 2

e3 4

5 x

Funkcija se nalazi samo u obeleženim oblastima. Parnost i neparnost

Funkcija nije ni parna ni neparna. Zašto? Pa nema smisla ni tražiti f(-x) jer funkcija nije ni definisana za x<0 www.matematiranje.com

6

Ekstremne vrednosti (max i min) i monotonost ( rašćenje i opadanje)

1 + ln x 1 − ln x (1 + ln x)`(1 − ln x) − (1 − ln x)`(1 + ln x) y`= (1 − ln x) 2 1 1 (1 − ln x) − (− )(1 + ln x) 1 x izvučemo u brojiocu kao zajednički... y`= x 2 (1 − ln x) x 1 [(1 − ln x) + (1 + ln x)] 1 − ln x + 1 + ln x 2 x = = y`= 2 2 (1 − ln x) x ⋅ (1 − ln x) x ⋅ (1 − ln x) 2 y=

Kako je 2 ≠ 0 funkcija nema ekstremnih vrednosti. Razmišljamo dalje: x > 0 uvek ( iz oblasti definisanosti) i (1 − ln x) 2 > 0 tako da je uvek y`>0, pa je funkcija stalno rastuća. Prevojne tačke i konveksnost i konkavnost

1 + ln x 1 − ln x 2 y`= x ⋅ (1 − ln x) 2 2 ⋅ [ x ⋅ (1 − ln x) 2 ]` y``= − 2 4 x ⋅ (1 − ln x) 2 ⋅ [ x`(1 ⋅ − ln x) 2 + ((1 − ln x) 2 )`x] y``= − 2 x ⋅ (1 − ln x) 4 2 1 ⋅ [1⋅ (1 − ln x) 2 + 2(1 − ln x)(− ) x] y``= − 2 4 x ⋅ (1 − ln x) x 2 2 ⋅ [(1 − ln x) 2 − 2(1 − ln x)] ⋅ [1⋅ (1 − ln x) 2 + 2(1 − ln x)(−1)] = − 2 y``= − 2 4 4 x ⋅ (1 − ln x) x ⋅ (1 − ln x) 2 2 ⋅ (1 − ln x) [1 − ln x − 2] = − 2 ⋅ [− ln x − 1] y``= − 2 4 x ⋅ (1 − ln x)3 x ⋅ (1 − ln x) 2(1 + ln x) y``= 2 x ⋅ (1 − ln x)3 1 y``= 0 → 1 + ln x = 0 → ln x = −1 → x = e −1 = e −1 1 + ln e 1 −1 = =0 y= −1 1 − ln e 1+1 y=

1 Tačka P ( , 0) je tačka prevoja. e

www.matematiranje.com

7

Od čega zavisi znak drugog izvoda? Od 1+lnx i od 1-lnx. Idemo u tablicu… 1 -1 e =e

e

8

0

1+lnx 1-lnx

y``

odnosno

0

1 e

e

Asimptote funkcije ( ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti)

vertikalna asimptota 1 1 + ln x 1 + ln(0 + ε ) ∞ lim = = = lopital = lim x = −1 ( strelica na skici) x → o + ε 1 − ln x x →o +ε 1 1 − ln(0 + ε ) ∞ − x 1 + ln x 1 + ln(e + ε ) 2 lim = = = −∞ ( zelena crta) x → e +ε 1 − ln x 1 − ln(e + ε ) −ε 1 + ln x 1 + ln(e − ε ) 2 = = = +∞ ( crvena crta) lim x → e −ε 1 − ln x 1 − ln(e − ε ) +ε x=e

y

3 2 1 -5 -4 -3 -2

-1 0 -1

1

2

e

3

4

5

x

-2 -3

horizontalna asimptota: 1 1 + ln x ∞ lim = = lopital = lim x = −1 x →∞ 1 − ln x x →∞ 1 −∞ − x y = −1 je horizontalna asimptota , pa kose nema...

I da skolopimo konačan grafik

www.matematiranje.com

8

y

x=e

5 4 3 2

1

x

P(1/e,0)

0 -1

1 2e3 4

5

y=-1

-2 -3 -4 -5

0

01/e

e

www.matematiranje.com

9

10