Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas

Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas Mario Ortiz García Sergio Valero Verdú Carolina Senabre Blanes

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Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas 2ed Mario Ortiz García Sergio Valero Verdú Carolina Senabre Blanes

I.S.B.N.: 978-84-8454-849-2 Depósito legal: A-136-2009 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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Índice de contenido Prefacio...........................................................................................................5 Capítulo 1 - Transformadores.........................................................................7 Formulario Transformadores.....................................................................8 1.- Circuitos equivalentes......................................................................8 2.- Ensayos del transformador.............................................................11 3.- Caídas de tensión en cortocircuito.................................................11 4.- Regulación de la tensión................................................................12 5.- Potencias e índice de carga............................................................12 Problemas de Transformadores................................................................13 Problema 1...........................................................................................13 Problema 2...........................................................................................15 Problema 3...........................................................................................20 Problema 4...........................................................................................25 Problema 5...........................................................................................30 Capítulo 2 – Máquinas Asíncronas...............................................................45 Formulario Máquinas Asíncronas............................................................46 1.- Circuito equivalente.......................................................................46 2.- Ensayos de la máquina asíncrona...................................................47 3.- Potencias........................................................................................48 4.- Par de rotación...............................................................................48 Problemas de Máquinas Asíncronas........................................................50 Problema 1...........................................................................................50 Problema 2...........................................................................................54 Problema 3...........................................................................................63 Problema 4...........................................................................................71 Capítulo 3 – Máquinas Síncronas.................................................................81 Formulario Máquinas Síncronas..............................................................82 1.- Velocidad de rotación....................................................................82 2.- F.e.m. inducida en vacío................................................................82 3.- Circuitos equivalentes....................................................................82 4.- Potencias (método Behn-Eschenburg)...........................................84 Problemas de Máquinas Síncronas..........................................................85 Problema 1...........................................................................................85 Problema 2...........................................................................................88 Problema 3...........................................................................................94 Problema 4...........................................................................................98

Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas

Capítulo 4 – Máquinas de Continua...........................................................105 Formulario de Máquinas de Continua....................................................106 1. Circuitos equivalentes según el tipo de excitación........................106 2. Tensión en vacío de una máquina de corriente continua...............108 3. F.e.m. inducida de una máquina de c.c. en carga..........................108 4. Potencia y Par................................................................................110 Problemas de Máquinas de Continua.....................................................113 Problema 1.........................................................................................113 Problema 2.........................................................................................117 Problema 3.........................................................................................123 Problema 4.........................................................................................127 Capítulo 5 – Problemas de Máquinas Combinadas....................................135 Problema 1.........................................................................................136 Problema 2.........................................................................................143 Problema 3.........................................................................................148 Problema 4.........................................................................................154 Problema 5.........................................................................................160 Problema 6.........................................................................................166 Problema 7.........................................................................................172 Anexo de Nomenclatura y Subíndices........................................................179 Nomenclatura.........................................................................................180 Subíndices..............................................................................................181

Prefacio

Prefacio Con este libro se pretende ofrecer una herramienta útil para mejorar los conocimientos de máquinas eléctricas. El libro se divide en varios capítulos correspondientes a los distintos grupos más representativos de máquinas eléctricas. Cada uno de los bloques temáticos comienza con un pequeño formulario que facilita la resolución de los problemas. Los problemas poseen diversos apartados que por sí mismos en muchas ocasiones podrían considerarse como problemas independientes. En el último bloque aparece un conjunto de problemas que mezcla distintos tipos de máquinas lo que ayuda a obtener una visión global de conjunto de las máquinas eléctricas. En el capítulo dedicado a máquinas asíncronas aparecen transformadores, su no inclusión en el bloque de problemas combinados responde a la sencillez que presenta la resolución de la parte del transformador y a su tratamiento más como un elemento de transporte que como clave del problema. Al final del libro se incluye un anexo de subíndices y nomenclatura que facilita la comprensión de las expresiones empleadas.

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Capítulo 1 - Transformadores

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Formulario Transformadores 1.- Circuitos equivalentes –

Relaciones de transformación: Relación de transformación de espiras r te =

N1 N2

Relación de transformación de tensiones r t = –

V 1L V 2Lo

Relaciones de transformación según tipo de conexión: Conexión Yy: r t =r te =

N1 N2

Conexión Dy:

rt =

r te

=

N1 N2

3  3

Conexión Dd: r t =r te =

N1 N2

Conexión Yd: r t = 3⋅rte = 3⋅

8

N1 N2


Conexión Yz: rt =

2⋅r te

3

=

2 N1 ⋅ 3 N 2

Conexión Dz: 2 N 2 r t = ⋅r te = ⋅ 1 3 3 N2

–

Circuito equivalente monofásico aproximado referido al primario: Rcc = R1 + R'2

I 1F I0

V 1F

R Fe

X cc = X 1 + X '2 I '2 F V '2 F

Xµ

R' 2=r 2t⋅R2 X ' 2=r 2t⋅X 2  ' 2F=r t⋅V  2F V  I  I ' 2F= 2 rt

9


–

Circuito equivalente monofásico aproximado referido al secundario: R 'cc = R'1 + R2

I '1F I0 V '1F

R' Fe

X 'cc = X '1 + X 2 I 2F

X 'µ

V 2F

 1F V rt I ' 1F=r t⋅I 1F V ' 1F=

R' 1= X ' 1=

R1 r t2 X1 r 2t

I ' Fe=r t⋅I Fe I ' =r t⋅I 

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2.- Ensayos del transformador –

Ensayo de vacío: V 1F I oF⋅cos o V 1F X = I oF⋅sen  o PoFe P oFe cos  o= = 3⋅V 1L⋅I oL 3⋅V 1F⋅I oF V r t= 1L V 2Lo RFe =

–

Ensayo de cortocircuito: V 1CCF ⋅cos CC I 1nF V X CC = 1CCF⋅sen CC I 1nF PCC P CC cos  CC= =  3⋅V 1CCL⋅I 1nL 3⋅V 1CCF⋅I 1nF RCC=

3.- Caídas de tensión en cortocircuito V 1CCF Z ⋅I ⋅100= CC 1nF⋅100 V 1nF V 1nF V R ⋅I  RCC = 1RCC⋅100= CC 1nF⋅100 V 1nF V 1nF V X ⋅I  XCC = 1XCC⋅100= CC 1nF⋅100 V 1nF V 1nF CC =

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4.- Regulación de la tensión C =

V −V ' 2 V 2o−V 2 ⋅100= 1n ⋅100 V 2o V 1n

5.- Potencias e índice de carga P Fe=P o 2  Pcu n=P cc=3⋅Rcc⋅I 1nF ∗ ∗   1F⋅I 1F S =3⋅V =  3⋅V 1L⋅ I 1L I '2 I2 C= ⋅100= ⋅100 I 1n I ' 1n

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Problemas de Transformadores Problema 1 Se posee un transformador trifásico con 1000 espiras en el devanado primario y con un devanado secundario dividido en 2 partes de 20 espiras. Calcule las distintas relaciones de tensión para cada una de las conexiones posibles si se desea una tensión de fase en el secundario de 230V. Calcule también la tensión en el primario. Solución: Conexión Yy rt =

V 1L  3⋅V 1F  3⋅4,44⋅N 1⋅f ⋅a N 1 1000 = = = =r = =25 V 2Lo  3⋅V 2Fo  3⋅4,44⋅N 2⋅f ⋅ a N 2 te 40 V 1L =r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo =25⋅ 3⋅230=9959,3 V

Conexión Yd rt =

V 1L  3⋅V 1F  3⋅4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a  3⋅N 1 = = = =  3⋅25 V 2Lo V 2Fo 4,44⋅N 2⋅ f ⋅ a N2 V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅V 2Fo=25⋅ 3⋅230=9959,3V

Conexión Yz rt =

V 1L  3⋅V 1F = = V 2Lo  3⋅V 2Fo

3⋅4,44⋅N 1⋅f ⋅a

= N2 N2  3∥4,44⋅ 2 ⋅f ⋅a−4,44⋅ 2 ⋅f ⋅b∥ N 1⋅a N 1⋅a 2 N 2 2 = = = ⋅ 1 = ⋅r te = ⋅25 N N N 3 N 2  3 3 ∥ 2⋅a− 2⋅b∥  3⋅ 2⋅a 2 2 2 2 V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo= ⋅25⋅ 3⋅230=11500 V 3 13


Conexión Dy rt =

V 1L V 1F 4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a 1 N1 1 25 = = = ⋅ = ⋅r te= V 2Lo  3⋅V 2Fo  3⋅4,44⋅N 2⋅f ⋅ a  3 N 2  3 3 25 V 1L =r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo = ⋅ 3⋅230=5750V 3

Conexión Dd

V 1L V 1F 4,44⋅N 1⋅f ⋅a N 1 = = = =r =25 V 2Lo V 2Fo 4,44⋅N 2⋅f ⋅a N 2 te V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅V 2Fo=25⋅230=5750V

rt =

Conexión Dz V 1L V 1F = = V 2Lo  3⋅V 2Fo

4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a = N2 N2  3∥4,44⋅ 2 ⋅f ⋅a−4,44⋅ 2 ⋅f ⋅b∥ N 1⋅ a N 1⋅a 2 2 N1 2 = = = ⋅ = ⋅r te= ⋅25 N2 N2 3 N2 3 3 N2 3⋅∥ 2 ⋅a− 2 ⋅b∥  3⋅ 3⋅ 2 ⋅a 2 V 1L =r t⋅V 2Lo =r t⋅ 3⋅V 2Fo= ⋅25⋅ 3⋅230=6639 V 3 rt =

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Problema 2 Calcular el índice horario de un transformador trifásico cuyas bobinas se encuentran conectadas del modo siguiente:

A’

A

B’

B

C’

C

a1

a a'

b

b'

c

a'1

b1

b'1

c1

c'1

c'

Solución: La conexión indicada por el problema la vamos a representar mediante un esquema en el que aparecen bobinados los devanados sobre el núcleo ferromagnético trifásico. En el dibujo se observa en la parte superior el primario del transformador conectado en estrella, mientras que en la inferior aparecen los devanados partidos que constituyen el secundario en zigzag. El sentido de los flujos se ha dibujado en concordancia con el sentido de paso de la corriente por cada uno de los devanados.

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φ A

φ

A

IA

IB

B

φ

C’

φ

a

b

Ia

φ

b

c

Ib

E 2a

E 2b

a'

b'

c'

a1

b1 E 2a1

c1

a1'

Ic

b1'

φ

E1C

E 1B

B’

a

IC

C

E1 A

A’

φC

B

c

Ic

E 2c

E 2c1

E 2b1

Ia

c1'

φ b1

a1

Ib

φ c1

Lo primero que deberemos hacer es dibujar el sentido del primario. Al ser una estrella dibujaremos la misma con el borne A apuntando a las 12.

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A E1 A N ≡ A' ≡ B' ≡ C ' E1C C

E1 B

B

Para dibujar el secundario tendremos que tener en cuenta que: 1º Las bobinas situadas en la misma columna tienen idéntica dirección. 2º Si los flujos de dos bobinas se suman, las f.e.m.s tendrán el mismo sentido, si se restan se opondrán. La tensión Neutro-Fase para el borne “a” será la suma vectorial de  2b1   E E 2a .  2b1 tendrá la misma dirección que E oponerse los flujos.

 1B y sentido contrario al E

b'1 E 2b1 N

 2a tendrá la misma dirección y sentido que E a

a' ≡ b'1

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 1A E


Sumándolas nos queda: a

N

Operando de igual modo para los otros bornes: a

b N

c

Uniendo ambos diagramas se obtiene fácilmente el índice horario.

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11

12 A a

1 2

10 N

b

9

3 C 8

B 4

c 7

6

5

 y Oa  es de Como vemos el desfase entre las puntas del segmento OA 330º lo que hace que se encuentre apuntando a las 11 horas la punta del secundario. El esquema de conexión por tanto será un Yz11.

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Problema 3 Un transformador ΔY de 400 KVA con tensiones 20000/400 V tiene una caída de tensión en cortocircuito por reactancia de 6%. Con el transformador se alimenta una instalación de 300 KW no superando el factor de potencia el 0,9 inductivo. Si la potencia de cortocircuito de la red es de 350 MVA. Se pide: a) Intensidad absorbida por la instalación en el caso más crítico y la tensión de salida del transformador. Considere para ello el modelo más simple de transformador. b) Regulación del transformador para dicha tensión. Solución: a) Lo primero que deberemos hacer será obtener el circuito equivalente del transformador. Como nos dice que nos quedemos con el modelo más simple lo representaremos simplemente por su reactancia. Para ello utilizaremos el dato que se nos da de caída de tensión en cortocircuito:  Xcc  %=

X ' ccY⋅I ' 1nFY ⋅100 V ' 1nFY

Vamos a referir todos los elementos al secundario que está en Y. Sabiendo que la relación de transformación de tensiones es: rt =

20000 =50 400

La intensidad nominal absorbida por el transformador será: I ' 1nFY =

S nT 400⋅10 3 = =577.35 A 3⋅V ' 1nFY 20000 3⋅ 50⋅ 3

Sustituyendo: 20


20000 6 50⋅ 3 X ' ccY = ⋅ =24.46 m 100 577.35 Por lo tanto ya tenemos modelado el transformador. Como en el enunciado nos dan la potencia de cortocircuito de la red ya no podremos suponer la red de potencia infinita y deberemos asemejarla a su equivalente Thevenin mediante el uso de dicho dato. X 'Re d

I cc

V '1nFY

Vamos a considerar que sólo tiene parte reactiva la impedancia de la red. V ' 1nF =X ' Red.⋅I cc S cc=3⋅V ' 1nFY⋅I cc S cc I cc= 3⋅V ' 1nFY 3⋅V ' 21nL 2 2 V ' 1nF 3⋅V ' 1nFY V ' 21nL   3 X ' Red. = = = = =0.457 m I cc S cc S cc S cc Por último nos queda llevar al circuito la instalación. Para ello nos serviremos de los datos de potencia de diseño. Como nos dice que hagamos los cálculos para el caso más desfavorable este sucederá cuando tengamos el menor f.d.p., es decir 0,9.

P Inst S Inst cos  I 2FY= =  3⋅V 2LT 3⋅V 2LT

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