Sección 7.2
La ley del coseno
Footer Text
4/5/2013
1
La ley de cosenos • La ley de cosenos se puede aplicar para encontrar las partes restantes de un triángulo oblicuo(resolver el triángulo) dado cualquiera de los siguientes: dos lados y el ángulo entre ellos tres lados
La ley de cosenos • Cuando un triángulo oblicuo se nombra como se muestra, la ley de cosenos dice
Comentarios • Si A = 90 ° en la fórmula,
entonces cos A = 0 y la ley de los cosenos se reduce a a2 + b2 = c2. • Dado dos lados de un triángulo y el ángulo incluido, podemos usar la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado. • Luego, se puede utilizar la ley de los senos para terminar de resolver el triángulo. • Cuando un ángulo se encuentra por medio de la ley de los cosenos, no hay ningún caso ambiguo, ya que siempre se obtiene un ángulo único entre 0 ° y 180 °.
Ejemplo • Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 10 cm, y el ángulo que forman es de 120°. Resuelva el triángulo. • Solución: • Supongamos que a = 6, b = 10, C =120° , y el lado desconocido es c. • Usaremos la ley de cosenos
Continuación del ejemplo • Para hallar ángulo B, usaremos la ley de los senos sin(𝐶) sin(𝐵) = c b 𝑏sin(𝐶) sin(𝐵) = 𝑐 10sin(120°) sin(𝐵) = 14 5 3 sin(𝐵) = ≈ 0.61 14 5 3 −1 ≈ 38.2° 𝐵 = sin 14
Para hallar A, usamos la propiedad A + B + C = 180. Entonces, A = 180 – (120 + 38.2) A ≈ 21.8°
4/5/2013
6
Ejemplo
• Usando la ilustración, con los elementos conocidos del triángulo ABC, hallar la medida del ángulo B.
Solución: En este caso debemos trabajar con la ley del coseno y despejar para el ángulo, es decir: 𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2𝑎𝑐 182 + 92 − 252 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2(18)(9) 55 𝑐𝑜𝑠𝐵 = − 81 55 ≈ 132.8° 𝐵 = cos −1 − 81
Area de un triángulo • Las leyes del seno y del coseno se pueden utilizar para derivar fórmulas para calcular el área del triángulo. Dado el triángulo nombrado como se muestra:
1. El área de un triángulo es la mitad del producto del largo de dos lados cualesquiera y el seno del ángulo incluido entre ellos. 1 1 1 𝐴𝑟𝑒𝑎 = b ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐴 = a ∙ 𝑏 ∙ sin 𝐶 = a ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐵 2 2 2 2. Fórmula de Herón 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑠∙ 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐
donde 𝑠 =
1 2
𝑎+𝑏+𝑐
s es llamado el semi-perímetro
Ejemplo • Aproximar el área del triángulo ABC si a = 2.20 cm, b = 1.30 cm, and C = 43.2°. • Solución
Ejemplo Un campo triangular tiene lados con longitudes de 125 m, 160 m , y 225 m. Calcule su área con la fórmula de Herón.
Solución: Encontrar primero el semi-perímetro del campo y los valores de s – a, s – b, and s – c .
Solución (cont) 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑠∙ 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐
