SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT Kuliah 5 – Transformasi Fourier

Dan dengan menggunakan sifat proyeksi fungsi delta, persamaan tersebut dapat ... Transformasi Fourier merupakan yaitu memiliki sifat yang operator lin...

24 downloads 393 Views 132KB Size
TKE 2403

SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT

Kuliah 5 – Transformasi Fourier (Bagian II)

Indah Susilawati, S.T., M.Eng.

Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009

1

KULIAH 5 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT TRANSFORMASI FOURIER (Bagian II)

Teori Konvolusi Misalkan ada suatu hasil kali dari 2 sinyal, kira-kira seperti apakah transformasi Fourier-nya? ∞

F [ y1 (t ) y 2 (t )] =

∫ y (t ) y 1

2

(t ) e − jω t dt

(86)

−∞

Pertama, yi(t) dituliskan sebagai inverse transformasi Fourier dari Yi(ω) sebagai berikut.

1 yi (t ) = 2π



∫ Y (ω ) e

jω t

i



(87)

−∞

Maka substitusi persamaan (87) ke persamaan (86) menjadi,

⎧ 1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = ∫ ⎨ 2π − ∞⎩ ∞



∫ Y1 (α ) e

−∞

jα t

⎫⎧ 1 dα ⎬ ⎨ ⎭⎩ 2π

⎫ − jω t jΩ t Y ( ) e d Ω Ω ⎬ e dt 2 ∫−∞ ⎭ ∞

Dengan cara mengubah urutan pengintegralan, maka pernyataan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai,

1 2π

⎧1 ∫−∞ −∫∞⎨⎩ 2π ∞



⎫ j ( Ω + α −ω ) t e dt ⎬ Y1 (α ) Y2 (Ω) dα dΩ ∫−∞ ⎭ ∞

Dan suku yang berada di dalam kurung adalah merupakan fungsi delta, sehingga, 2

1 F [ y1 (t ) y2 (t )] = 2π





∫ ∫ δ (Ω + α − ω ) Y (α ) Y (Ω) dα dΩ 1

2

(88)

− ∞ −∞

atau

1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = 2π





−∞

⎧∞ ⎫ ⎨ ∫ δ (Ω + α − ω ) Y1 (α ) dα ⎬ Y2 (Ω)dΩ ⎩−∞ ⎭

Dan dengan menggunakan sifat proyeksi fungsi delta, persamaan tersebut dapat ditulis kembali menjadi,

1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = 2π



∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ 1

2

(89)

−∞

Pernyataan di sebelah kanan tanda sama dengan disebut konvolusi (convolution) dari dua fungsi Y1(ω) dan Y2(ω) dan sering dituliskan dengan notasi sebagai berikut.

1 Y1 (ω ) ∗ Y2 (ω ) = 2π



∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ 1

2

(90)

−∞

Hasil yang sama juga diperoleh jika digunakan

1 Y1 (ω ) ∗ Y2 (ω ) = 2π



∫ Y (α ) Y (ω − α )dα 1

2

(91)

−∞

Persamaan (89) seringkali disebut dengan teori konvolusi. Dengan cara analisis yang sejenis, dapat diperlihatkan bahwa

F [Y1 (ω )Y2 (ω )] = −1





y1 (t − τ ) y2 (τ ) dτ

−∞ ∞

=



y1 (τ ) y2 (t − τ ) dτ

−∞

3

(92)

Teori Parseval Misalkan konvolusi dari fungsi Y(ω) dengan dirinya sendiri sebagai berikut.

1 Y (ω ) ∗Y (ω ) = 2π



∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ

−∞

= F [ y (t ) y (t )] ∞

= ∫ [ y (t )]2 e − jωt dt −∞

Jika ω = 0 maka

1 2π





∫ Y (−Ω) Y (Ω)dΩ = ∫ [ y(t )]

−∞

2

dt

(93)

−∞

Dan jika ∗



Y (−Ω) = ∫ [ y(t )] e

− jΩ t

−∞

⎛∞ ⎞ dt = ⎜⎜ ∫ [ y (t )] e − jΩ t dt ⎟⎟ = Y (Ω) * ⎝ −∞ ⎠

Maka

1 2π



∫ Y ( Ω)



−∞



Y (Ω)dΩ = ∫ [ y (t )]2 dt −∞

Atau dinyatakan

1 2π





−∞



Y (Ω) dΩ = ∫ [ y (t )]2 dt 2

(94)

−∞

Persamaan ini disebut teori Parseval yang menyatakan bahwa jika didefinisikan daya dari sebuah fungsi z(.) sebagai ∞

P[ z (.)] =

∫ z (.)

2

d.

−∞

Maka dayanya dipertahankan (preserved) oleh transformasi Fourier.

4

Pengaruh Ukuran Sampel Berhingga Dalan kenyataan yang sebenarnya, sinyal tidak pernah diukur dari t = −∞ sampai t = ∞. Apa pengaruhnya pada transformasi Fourier jika hanya mengambil suatu bagian waktu tertentu saja dari sebuah sinyal? Dengan menggeser titik asal pada koordinat waktu, dapat diasumsikan bahwa sinyal diukur dari t = −τ / 2 hingga t = τ / 2. Dengan demikian integral Fourier-nya menjadi, τ

X (ω ) =

2

∫τ x(t ) e



− jω t

dt

(95)

2

Atau dapat dinyatakan dengan cara berikut.

X (ω ) =



∫ w(t ) x(t ) e

− jω t

dt

(96)

−∞

Dengan w(t) adalah fungsi jendela (window function), yang dalam hal ini berbentuk kotak (rectangular). Perhatikan Gambar 34.

Gambar 34. Fungsi jendela kotak

5

Persamaan (96) merupakan transformasi sebuah hasil kali, sehingga menurut teori konvolusi maka ∞

1 F [ w(t ) x(t )] = 2π

∫ W (Ω) X (ω − Ω)dΩ

(97)

−∞

Pada pembahasan terdahulu telah ditemukan transformasi Fourier untuk fungsi yang berbentuk seperti pada Gambar 34 yaitu,

⎛ Ωτ ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ W (Ω) = Ω 2

(98)

Sehingga

1 F [ w(t ) x(t )] = 2π





( )

Ωτ 2 Ω 2

sin

−∞

X (ω − Ω) dΩ

(99)

Ini merupakan rumus umum, untuk melihat bagaimana pengaruhnya maka misalkan x(t) adalah gelombang sinus x(t) = sin (αt) dengan spektrum

X (ω ) =

π j

[δ (ω − α ) − δ (ω + α )]

atau secara grafis digambarkan pada Gambar 35. Persamaan (99) memberikan

1 F [ w(t ) x(t )] = 2π





−∞

( )π

Ωτ 2 Ω 2

sin

j

[δ (ω − Ω − α ) − δ (ω − Ω + α )]dΩ

Integral suku yang pertama menghasilkan

6

(100)

( )

(

)

(

)

(ω −α )τ ∞ sin Ωτ sin 1 1 π 2 2 [δ (ω − Ω − α )]dΩ = (ω −α ) Ω ∫ 2 j −∞ 2 2j j 2

Integral suku yang kedua menghasilkan

( )

(ω +α )τ ∞ sin Ωτ sin 1 1 π 2 2 [δ (ω − Ω + α )]dΩ = (ω +α ) Ω ∫ 2 j −∞ 2 2j j 2

Sehingga hasil akhirnya dapat dinyatakan

(

(ω −α )τ

1 ⎧⎪ sin 2 F [ w(t ) sin(αt )] = ⎨ 2 j ⎪⎩ (ω −2α )

)



(

(ω +α )τ 2 ( ω +α ) 2

sin

)⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

Secara grafis persamaan (101) diperlihatkan pada Gambar 36.

Gambar 35. Spektrum fungsi sinus

7

(101)

magnitude Gambar 36. Spektrum gelombang sinus dikonvolusikan dengan jendela kotak Puncak-puncak pada spektrum mempunyai lebar 4π / τ , dan akan semakin lebar saat τ semakin kecil. Sehingga pengaruh jendela kotak terletak pada lebar puncak-puncak pada spektrum yang dihasilkan. Saat τ Æ ∞ maka akan diperoleh karakterisasi frekuensi yang tajam.

Diferensiasi dan Integrasi Misalkan transformasi Fourier sebuah turunan •

F [ x(t )] =



dx

∫ dt e

− jω t

dx sebagai berikut, dt

dt

(102)

−∞

Untuk menyelesaikan persamaan (102) dibutuhkan rumus integrasi bagian per bagian yaitu:

{

} {∫ u(t )dt}dvdt dt

∫ u(t ) v(t ) dt = v(t ) ∫ u(t )dt − ∫

Dengan menggunakan integral bagian per bagian ini pada persamaan (102) dan memisalkan u (t ) =

dx − jω t dan v(t ) = e maka diperoleh dt

8





dx

∫ dt e

F [ x(t )] =

− jω t

dt

−∞

[

= e

− jω t

]





x(t ) −∞ −

[

]

∫ x(t )(− jω ) e

− jω t

dt

−∞

(103)



= e − jω t x(t ) −∞ + ( jω ) X (ω ) Catatan : Sebuah sinyal x(t) akan mempunyai transformasi Fourier jika sinyal tersebut mempunyai daya yang besarnya berhingga, yaitu ∞

∫ x(t )

2

dt = C < ∞

(104)

−∞

Jika x(t) adalah fungsi sinus maka sinyal sinus merupakan sinyal yang dayanya tak berhingga, namun di pembahasan yang lalu diketahui bahwa transformasi Fourier-nya adalah fungsi delta (yang merupakan fungsi yang sebenarnya bukan fungsi). Dengan demikian maka suku pertama pada persamaan (103) akan menjadi nol sehingga, ∞



F [ x(t )] =

dx

∫ dt e

− jω t

dt = ( jω ) X (ω )

(105)

−∞

Dari persamaan (105) diketahui bahwa diferensiasi atau penurunan pada domain waktu ekivalen atau sama dengan perkalian dengan faktor jω dalam domain frekuensi. Dalam hal ini juga berlaku bahwa,

⎡⎛ d n x ⎞⎤ F [ x ( n ) (t ] = F ⎢⎜⎜ n ⎟⎟⎥ = ( jω ) n X (ω ) ⎣⎝ dt ⎠⎦

(106)

Misalkan, t

z (t ) =

∫ x(τ ) dτ

−∞



sedemikian sehingga z (t ) = x(t ) , maka ini berarti bahwa dari persamaan (105),

9

⎡t ⎤ F ( z ) = X (ω ) = ( jω ) F [ z (t )] = ( jω ) F ⎢ ∫ x(τ ) dτ ⎥ ⎣−∞ ⎦ •

Atau

⎡t ⎤ X (ω ) F ⎢ ∫ x(τ ) dτ ⎥ = jω ⎣−∞ ⎦

(107)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa integrasi dalam domain waktu ekivalen dengan pembagian oleh jω dalam domain frekuensi.

Tanggapan Frekuensi dan Tanggapan Impuls Tinjau sistem berikut, ••



m y + c y + k y = x(t )

(108)

Persamaan di atas dicirikan dalam domain waktu oleh fungsi diferensial orde dua yang bergantung pada x(t) – menjadikannya cukup sulit untuk diselesaikan. Bagaimana jika diselesaikan dalam domain frekuensi? Dengan mengambil transformasi Fourier pada kedua sisi pada persamaan (108) maka diperoleh, • ⎡ •• F ⎢m y + c y + k ⎣

⎤ y ⎥ = F [x(t )] ⎦

(109)

Transformasi Fourier merupakan operator linier yaitu memiliki sifat yang dinyatakan pada persamaan berikut. F [ax1 (t ) + bx 2 (t )] = aF [ x1 (t )] + bF [ x 2 (t )]

= aX 1 (ω ) + bX 2 (ω )

(110)

Aplikasi persamaan (110) pada persamaan (109) menghasilkan

⎡ •• ⎤ ⎡•⎤ mF ⎢ y ⎥ + c F ⎢ y ⎥ + k F [ y ] = F [x(t )] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

10

(111)

Dan dengan menggunakan persamaan (106) diperoleh m (jω)2 Y(ω) + c (jω) Y(ω) + k Y(ω) = X(ω) atau

(−m ω2 + j c ω + k) Y(ω) = X(ω)

(112)

1 − mω + jcω + k

(113)

Jika didefinisikan

H (ω ) = maka diperoleh

2

Y(ω) = H(ω) X(ω)

(114)

Fungsi H(ω) sering disebut dengan istilah tanggapan frekuensi atau frequency response. Misalkan dicari inverse transformasi Fourier dari persamaan (114), maka diperoleh ∞

y (t ) =

∫ h(τ ) x(t − τ ) dt

(115)

h(t ) = F −1 [H (ω )]

(116)

−∞

dalam hal ini

Apakah h(t) mempunyai arti yang penting? Misalkan x(t) = δ(t) maka dari persamaan (115), ∞

y (t ) =

∫ h(τ ) δ (t − τ ) dt = h(t )

−∞

Maka dengan demikian h(t) adalah penyelesaian dari ••



m h + c h + k h = δ (t )

(117)

Fungsi h(t) sering disebut dengan istilah tanggapan impuls atau impulse response.

11

Misalkan bahwa x(t) = ejωt, maka substitusi pada persamaan (115) menghasilkan ∞

y (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ ) dt −∞ ∞

= ∫ h(τ ) e jω ( t −τ ) dt −∞

=e

jω t



∫ h(τ ) e

(118) jωτ

dt

−∞

= H (ω ) e jω t Dengan demikian jika x(t) merupakan suatu fungsi harmonik ejωt, maka keluarannya adalah ejωt dikalikan dengan tanggapan frekuensinya.

12