Sinyal dan Sistem
Transformasi Transformasi Fourier Fourier Sinyal Sinyal Waktu Waktu Kontinyu Kontinyu oleh oleh:: Tri Tri Budi Budi Santoso Santoso DSP -ITS DSP Group, Group, EEPIS EEPIS-ITS Tujuan: - Siswa mampu menyelesaikan bentuk representasi alternatif pada sinyal dan sistem waktu kontinyu. - Siswa menjelaskan kembali penyusunan sinyal dalam berbagai aplikasi.
Sub Bab: 4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology Komponen Frekuensi 4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik 4.3. Trigonometri Deret Fourier 4.3. Fenomena Gibbs 4.5. Transformasi Fourier 4.6. Spektrum amplitudo dan fase sinyal persegi secara umum 4.7. Bentuk Rectangular Transformasi Fourier 4.8. Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil 4.9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier 4.10. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB FC 4.11. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB SC
4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology Komponen Frekuensi N Sebuah sinyal waktu kontinyu x(t ) = ∑ An cos(ω n t + θ n ) dimana: n =1 N = bilangan integer positif An = amplitudo sinyal sinusoida ωn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik) θn = fase sinyal sinusoida
−∞ < t < ∞
Contoh 1: Berikan gambaran sebuah sinyal sinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini: 0 < t < 20 x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + π/3) + A3 cos (8t + π/2) Dari kasus ini gambarkan frekuensi penyusun dari sinyal tersebut. Penyelesaian: Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah: - Amplitudo adalah A1, A2 dan A3. - Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant. - Fase adalah 0, π/3 dan π/2. Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang berfariasi. a) A1 = 0,5 A2 = 1 A3 = 0 b) A1 = 1 A2 = 0,5 A3 = 0 c) A1 = 1 A2 = 1 A3 = 0
Gambarnya
Gambar.4.1 Gambaran nilai x(t) untuk berbagai nilai amplitudo berbeda
Spektrumnya
Gambar 4.2. Spektral amplitudo sinyal penyusun x(t)
Bentuk Eksponensial Komplek
Definisi:
[
]
An j (ω n +θ n ) e + e − j (ω n +θ n ) 2 A A = n e jθ n e jω nt + n e − jθ n e j ( −ω n )t 2 2
An cos(ω n t + θ n )
=
A c n = n e jθ 2
n = 1, 2, ...
An cos(ω n t + θ n ) N
[
x(t ) = ∑ c n e n =1 N
x(t ) = ∑ c n e n =1
jω n t
jω n t
+ c−n e N
= cn e j ( −ω n ) t
+ ∑ c−n e n =1
]
j ( −ω n ) t
c−n =
An − jθ e n = 1, 2, ... 2
jω nt
j ( −ω n ) t
+ c−n e N
x(t ) = ∑ c n e
jω n t
+
n =1
x(t ) =
N
jω n t c e ∑ n
n=− N
−1
j (ω n ) t c e ∑ n
n=− N
4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T x(t + T) = x(t)
untuk semua nilai t x(t) 1 ...
...
-2,5 -2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
Gambar 4.3 Sinyal persegi periodik dengan T = 2
Bentuk jumlahan eksponensial komplek:
x (t ) =
∞
jnω ot c e ∑ n
n = −∞
1 T /2 jnω ot cn = x ( t ) e − dt ∫ T −T / 2
n = 0, ± 1, ± 2
Contoh 2: Dari sinyal persegi periodik pada Gambar 4.3, coba anda cari nilai cn.
Penyelesaian: Sinyal ini merupakan periodik dengan periode T =2, dan frekuensi fundamentalnya adalah ωo = 2π/2 = π radian/detik. Sinyal ini memenuhi kondisi Derichlet, sehingga dapat diberikan representasi Fourier. Konstanta dapat dicari:
11 11 1 co = ∫ x(t )dt = ∫ (1)dt = 2 −1 2 −1 2
Untuk nilai n secara umum:
cn
11 = ∫ x(t )e − jnπt dt 2 −1 1 0,5 − jnπt dt = ∫e 2 − 0, 5 1 e − jnπt =− j 2nπ
t = 0,5 t = −0,5
nπ nπ ⎞ 1 ⎛ − j sin ⎜ − j sin ⎟ j 2 nπ ⎝ 2 2 ⎠ 1 nπ = sin , n = ±1, ± 2, ... nπ 2 n = ±2, ± 4,.... ⎧0 ⎪ =⎨ 1 n = ± 1, ± 3,... ⎪⎩ nπ =−
4.3. Trigonometri Deret Fourier ∞ 1 x(t ) = + ∑ 2 c n cos(nω o t + ∠c n ) −∞ < t < ∞ 2 n=1
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri
n ganjil
dimana: |cn| = magnitudo dari cn ∠c n = sudut dari cn Contoh 3: Coba anda cari bantuk trigonometri deret Fourier pada Contoh.2. Penyelesaian: ⎧0 ⎪ cn = ⎨ 1 ⎪⎩ nπ
⎧0 ⎪ ∠c n = ⎨ π (n −1) / 2 ( ) − − 1 1 ⎪⎩ 2
untuk n = 2, 4, ...
[
untuk n = 1, 3, ...
Representasi trigonometri dari Deret Fourier
[
]
]
∞ 1 2 π⎞ ⎛ ( ) cos⎜ nπt + (− 1) n−1 / 2 − 1 ⎟ x(t ) = + ∑ 2 n=1 nπ 2⎠ ⎝ n ganjil
untuk n = 2, 4, ... untuk n = 1, 3, ...
−∞ < t < ∞
4.3. Fenomena Gibbs
[
]
N 1 2 π⎞ ⎛ (n −1) / 2 cos⎜ nπt + (− 1) x N (t ) = + ∑ −1 ⎟ 2 n=1 nπ 2⎠ ⎝
−∞ < t < ∞
n ganjil
Gambar 4.4. Sinyal x(t) pada N=9
Gambar 4.5. Sinyal x(t) pada N=21
4.4. Spektral Garis Komponen-komponen frekuensi disajikan dalam terminologi amplitudo dan fase Ægambar |c0| dan 2|cn| sebagai fungsi ω = nω0 untuk n = 0, +1, +2,… Dalam spectral garis hanya frekuensi non negatif. Contoh 4: Pertimbangkan suatu pulsa persegi seperti pada Gambar 4.5, dalam hal ini c0=0,5. Berikan koefisienkoefisien cn pada deret Fourier-nya. Penyelesaian: Koefisien-koefisien cn deret Fourier diberikan sebagai:
⎧0 cn = ⎨ ⎩1 nπ
n = 2, 4,... n = 1, 2,..
⎧0 ⎪ ∠c n = ⎨ π ( n −1) / 2 [( 1 ) 1 ] − − ⎪⎩ 2
n = 2, 4,... n = 1, 3,..
Bentuk spektrum amplitudo dan fase
Gambar 4.6 Spektral garis deretan pulsa persegi
4.5. Transformasi Fourier Deret fourierÆ untuk sinyal periodik saja, Transformasi FourierÆ sinyal periodik dan non periodik x(t) 1
t -2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Gambar 4.7 Pulsa persegi satu detik
Evaluasi untuk n = 0
1 T /2 1 0,5 1 = = c0 = x t dt dt ( ) T −T∫/ 2 T −0∫,5 T
Untuk n yang lain:
cn
1 = T =−
0 ,5
− jn ω 0 t e dt ∫
− 0 ,5
[ jn ω T
]
− jn ω 0 t t = 0 , 5 e t = −0 ,5
1
0
=−
[ e jn ω T 1
− jn ω 0 / 2
− e jn ω 0 / 2
]
0
nω 0 ⎞ ⎛ =− ⎜ − j 2 sin ⎟ 2 ⎠ jn ω 0 T ⎝ nω 0 2 2 sin = ; n = ± 1, ± 2 ,.. 2 nω 0T 1
Gambar 4.8. Spektrum terskala pada xT(t) untuk atas T=2, tengah T=5, bawah T=10
4.6 Spektrum Amplitudo dan Fase Sinyal Persegi
Gambar 4.9. Spektrum Amplitudo Sinyal Persegi
Fase X(ω)
180o −10π −8π −6π −4π −2π 0 2π -180o
4π
Gambar 4.10. Spektrum Fase Sinyal Persegi
6π
8π
10π
ω
Contoh 5 Berikan gambaran spektrum amplitudo dan spektrum fase dari suatu fungsi x(t) = e-jbt u(t). Dimana b merupakan konstanta real, u(t) merupakan fungsi step. Penyelesaian: Untukb=0, akan didapakan x(t) = u(t). Untuk nilai b yang lain, transformasi Fourier X(ω) pada x(t) diberikan sebagai: ∞
disini X (ω ) = ∫ e −bt u (t )e − jωt dt u(t) = 0 untuk t < 0. −∞ u(t) = 1untuk t > 0
∞
X (ω ) = ∫ e −bt e − jωt dt 0 ∞
= ∫ e −(b + jω )t dt 0
Evaluasi integral ini memberikan:
X (ω ) = −
Untuk b > 0, x(t) memiliki transformasi Fourier: X (ω ) = −
1 1 (0 − 1) = b + jω b + jω
[
1 e − ( b + jω ) t b + jω
]
t =∞ t =0
Spektrum amplitudo: X (ω ) =
1 b2 + ω 2
Spektrum fase: ∠X (ω ) = − tan −1 ⎛⎜ ω ⎞⎟
⎝b⎠
Hasilnya
Gambar 4.11. Gambaran spektrum amplitudo dan fase pada fungsi x(t) = exp(-10t)u(t)
4.7 Bentuk Rectangular Transformasi Fourier Transformasi Fourier sinyal x(t)
•Bentuk Rectangular adalah:
∞
− jω t x ( t ) e dt ∫
X (ω ) =
X(ω) = R(ω) + j I(ω)
−∞
Persamaan dasar Euler
X (ω ) =
∞
∫
∞
−∞
x(t ) cos(ωt )dt − j ∫ x(t ) sin(ωt )dt −∞
Dimana: R(ω) = bagian real I(ω) = bagian imajiner
Tandai
R(ω ) =
∞
∫ x(t ) cos(ωt )dt
•Bentuk polar: X (ω ) = X (ω ) exp[ j∠X (ω )]
−∞
∞
I (ω ) = − ∫ x(t ) sin(ωt )dt −∞
Polar ÅÆ Rectangular
X (ω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω ) ⎛ I (ω ) ⎞ ⎟⎟ ∠X (ω ) = tan −1 ⎜⎜ ( ) R ω ⎝ ⎠
dimana |X(ω)| = magnitudo pada X(ω) ∠X (ω ) = magnitudo pada X(ω)
4.8 Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
•Fungsi genap jika x(t) = x(-t)
∞
X (ω ) = R (ω ) = 2 ∫ x(t ) cos ωtdt 0 •Fungsi ganjil jika x(t) = - x(-t)
∞
X (ω ) = I (ω ) = − j 2 ∫ x(t ) sin ωtdt 0
Contoh 7: Suatu nilai positif τ, digunakan untuk pulsa persegi pτ(t) yang memiliki durasi τ detik dan didefinisikan sebagai:
⎧ ⎪1 pτ (t ) = ⎨ ⎪⎩0
τ −τ ≤t ≤ 2 2 t yang lain
Berikan penyelesaian bentuk transformasi Fouriernya. pτ(t) 1
t
-τ/2
0
τ/2
Gambar 4.12 Pulsa persegi dengan durasi τ detik
Penyelesaian Pulsa rectangular (persegi) pτ(t) dapat diberikan seperti pada Gambar 4.12. Dari gambar tersebut jelas bahwa sinyal ini merupakan fungsi genap Transformasi Fouriernya:
τ 2
X (ω ) = 2 ∫ (1) cos ωtdt 0
=
2
ω
⎛ ωτ ⎞ = sin ⎜ ⎟ ω ⎝ 2 ⎠ 2
Dalam terminology sinc: X(ω) = τ sinc(τω/2)
[sin ωt ]tt ==τ0 / 2
Gambar 4.13. Transformasi Fourier sinyal persegi τ detik
4.9 Sifat-Sifat Transformasi Fourier •. Linearitas
Penyelesaian: Menggunakan sifat linearitas kita dapatkan bahwa tansformasi Fourier masing-masing adalah seperti berikut: P4(ω) = 4 sinc 2ω/π P2(ω) = 2 sinc 2ω/π
Jika x(t) ÅÆ X(ω) dan v(t)ÅÆ V(ω) maka: ax(t) + bx(t) ÅÆ aX(ω) + bV(ω)
Maka kita dapatkan untuk Contoh 9: X(ω) = P4(ω) + P2(ω) Perhatikan sebuah sinyal pada Gambar 4.14, tampak = 4 sinc 2ω/π + 2 sinc 2ω/π bahwa sinyal tersebut merupakan jumlahan dari dua pulsa persegi seperti berikut ini: x(t) = p4(t) + p2(t) Dengan memanfaatkan sifat linearitas coba anda berikan bentuk transformasi Fouriernya. p4(t)
x(t) 2
=
1 -2
-1 0
2 p2(t)
2
1
2
t
+
1 -2
-1 0
1
2
t
Gambar 4. 14 Sinyal dalam contoh 9
1 -2
-1 0
1
2
t
• Pergeseran Waktu Jika x(t) ÅÆX(ω), maka untuk suatu nilai real c positif atau negatif: x(t-c) ÅÆX(ω)e-jωc Contoh 10: Sinyal x(t) yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 memiliki ekuivalensi dengan pulsa persegi p2(t) yang mengalami pergeseran 1 detik. Dalam hal ini : x(t) = p2(t-1). Berikan bentuk transformasi Fouriernya Penyelesaian: Transformasi Fourier X(ω) untuk sinyal x(t) hasilnya adalah: X(ω) = 2(sinc ω/π)e-jω. x(t) Sementara kita tahu bahwa: |e-jω| =1 untuk semua nilai ω spektrum aplitudo |X(ω)| pada x(t) = p2(t-1) adalah sesuai dengan spektrum amplitudo pada p2(t).
1
0
1
2
Gambar 4.15 Sinyal pada contoh 10
3
t
• Penskalaan Waktu Jika x(t) ÅÆ X(ω), untuk suatu nilai real positif a, x(at) ÅÆ(1/a)X(ω/a)
p2(t)
-1,0 -0,5
t
0 0,5 1,0
p2(2t)
-1,0 -0,5
0
0,5 1,0
t
Gambar 4.16 Contoh bentuk kompresi waktu pada suatu sinyal Gambar 4.17 Transformasi Fourier pada p2(t) dan p2(2t)
• Pembalikan Waktu Jika x(t) ÅÆX(ω), maka akan kita miliki: x(-t)ÅÆX(-ω)
Contoh 11: Suatu bilangan real b>0 diberikan untuk suatu sinyal sedemikian hingga x(-t) = e-btu(t). Berikan bentuk transformasi Fouriernya Penyelesaian: Transformasi Fourier pada x(-t) adalah 1/(b + jω). Sehingga transformasi Fourier pada x(t) adalah:
X (ω ) =
1 1 = b + jω b − jω
Jika sinyal x(t) bernilai real X (− ω ) = X (ω )
⎧0 x(t ) = ⎨ bt ⎩e
t>0 t≤0
• Perkalian dengan Suatu Bentuk Pangkat Jika x(t)ÅÆX(ω), untuk suatu nilai positif integer n:
t x(t ) ↔ ( j ) n
n
dn X (ω ) dω n
Contoh 12: Tetapkan x(t) = t p2(t) yang diberikan pada Gambar 4.18 Berikan bentuk transformasi Fourier dan spektrum amplitudonya.
Gambar 4.18 Sinyal x(t) = tp2(t)
Penyelesaian: Dengan menggunakan sifat persamaan (4-52) dan pasangan transformasi Fourier (4-44) memberikan bentuk seperti berikut:
Gambar 4.19. Spektrum amplitudo sinyal
ω⎞ ωcosω−sinω d⎛ d ⎛ sincω ⎞ X(ω) = j ⎜2sinc ⎟ = j2 ⎜ ⎟ = j2 π⎠ dω ⎝ dω ⎝ ω ⎠ ω2
• Perkalian dengan Sinusoida Jika x(t) ÅÆ X(ω), maka untuk suatu bilangan ω0, x(t) cos ω0t ÅÆ (j/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)] x(t) sin ω0t ÅÆ (1/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
Contoh 13: Pertimbangkan suatu sinyal x(t) = pτ(t)cosω0t yang diinterpretasikan sebagai sinyal sinusoida. Untuk nilai τ = 0.5 dan ω0 = 60 radiant/dt bentuknya bisa dilihat pada Gambar 4.20. Berikan gambaran transformasi Fouriernya.
Gambar 4.20. Deretan sinusoida
Penyelesaian: Dengan pasangan transformasi Fourier diatas: 1⎡ ⎛ τ (ω − ω 0 ) ⎞⎤ ⎛ τ (ω + ω 0 ) ⎞ + c c sin sin τ τ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ 2⎣ 2π 2π ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠
Untuk nilai t = 0,5 dan ω0 = 60 rad/dt, hasilnya
Gambar 4.21. Transformasi Fourier sinyal sinusoida
• Konvolusi dalam Domain Waktu Jika sinyal x(t) dan v(t) memiliki transformasi Fourier X(ω) dan V(ω). x(t)*v(t) ÅÆ X(ω)V(ω)
• Perkalian dalam Domain Waktu Jika x(t)ÅÆX(ω) dan v(t)ÅÆV(ω) maka
1 [X (ω ) * V (ω )] = 1 x(t )v(t ) ↔ 2π 2π
∞
∫ X (λ )V (ω − λ )dλ
−∞
4.10 Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB-FC Informasi Si(t)
Modulasi
Sinyal AM DSB-FC
Carrier Sc(t) Gambar 4.22 Diagram blok sistem DSB-FC
Gambaran Rangkaian AM DSB-FC
Info AM Signal
Carrier
Gambar 4.23 Rangkaian sistem DSB-FC
Gambaran Bentuk Matematika si (t ) = Ai sin (2πf i t )
Sinyal Informasi: Sinyal Carrier:
sc (t ) = Ac sin (2πf c t )
Sinyal AM DSBSC:
S AM = ( Ac + Ai sin (2πf i t ))sin (2πf c t )
Pendekatan Program Matlab Disini kita akan membuat simulasi dimana frekuensi carier sebesar 10 kali frekuensi informasi. Contoh Programnya seperti berikut…. %File Name: AM_DSBFC_01.m clear all; T=1000; fi=1; A=0.5; fc=10; t=1/T:1/T:3; si=0.5*sin(2*pi*fi*t); AM_DSBFC=(1 + si).*sin(2*pi*fc*t);
Gambaran dalam Domain Waktu
Gambar 4.24 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal DSB-FC
Gambaran dalam Domain Frekuensi Spektrum Carrier
Spektrum Informasi Lower Sideband
Upper Sideband
Spektrum AM DSB_FC
Gambar 4.25 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-SC Product Modulation Informasi Si(t)
Sinyal AM DSB-FC
Carrier Sc(t) Gambar 4.26 Diagram blok sistem DSB-SC
Gambaran Rangkaian AM DSB-SC Info DSBSC Output
Carrier Gambar 4.27 Rangkaian sistem DSB-SC
Gambaran Bentuk Matematika Sinyal Informasi:
si (t ) = Ai cos(2πf i t )
Sinyal Carrier:
sc (t ) = Ac cos(2πf c t )
Sinyal AM DSBSC:
S AM = Si (t ) × S c (t ) Dimana: Ai: amplitudo sinyal informasi fi: frekuensi sinyal informasi Ac: amplitudo sinyal carrier fc: frekuensi sinyal carrier
Pendekatan Program Matlab Disini kita akan membuat simulasimirip dengan kasus DSB-FC dimana frekuensi carier sebesar 10 kali frekuensi informasi. Contoh Programnya seperti berikut…. %File Name: AM_DSBSC_01.m clear all; T=1000; f1=1; f2=10; t=1/T:1/T:1; s1=sin(2*pi*f1*t); s2=sin(2*pi*f2*t); AM_DSBSC=s1.*s2;
Gambaran dalam Domain Waktu
Gambar 4.28 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal carrier
Gambar 4.29 Gambaran bentuk sinyal DSB-FC
Gambaran dalam Domain Frekuensi Spectrum Informasi
Suppressed Carrier
Spectrum Carrier
Spectrum AM DSB_SC
Gambar 4.30 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Soal Latihan 1. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal berikut ini: a. 10 sin(2π100t) b. 10 cos(2π100t) 2. Dapatkan bentuk transformasi Fourier dari gambar berikut x(t) 1 ...
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3. Cari sebuah rangkaian demodulasi amplitudo, sederhanakan dalam diagram blok dan coba jelaskan prinsip kerja dan gambaran sinyalnya dalam domain waktu dan domain frekuensi.
