933r
1.1 Apa yang akan kamu pelajari? À Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak seba ngun, dengan menye but syaratnya. À Menghitung panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.
Syarat Dua Bangun Datar Sebangun Jika kamu amati uang pecahan Rp. 50,00 dan Rp. 100,00 yang terbuat dari logam aluminium akan tampak bahwa gambar burung Garuda di dua uang logam itu sama tetapi ukurannya berbeda.
Kata Kunci: • •
Sebangun Faktor skala
Amatilah bangun-bangun berikut ini. a. b.
c.
Gambar 1.1
d.
Dari gambar bangun-bangun tersebut, kalian dapat melihat ada 2 bangun yang bentuknya berbeda dan ada 2 bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda. Gambar a dan d merupakan gambar 2 bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda. Dua bangun yang mempunyai bentuk sama tetapi ukurannya berbeda disebut sebangun.
Bagaimana dua bangun datar dikatakan sebangun? Apakah segiempat ABCD dan segiempat EFGH di bawah ini sebangun? E
9 cm
A
F
B
6 cm
6 cm
D
12 cm
7,5 cm
8 cm
C H Gambar 1.2
8 cm
10 cm
G
Sudut-sudut yang bersesuaian dari ABCD dan EFGH sama besar yaitu: ∠ A = ∠ E , ∠ B = ∠ F , ∠ C = ∠ G , ∠ D = ∠ H. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama yaitu : EH EF FG HG 4 AD AB BC DC 3 atau = = = = = = = = . EH EF FG HG 4 AD AB BC DC 3 Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang seletak sebanding maka segiempat ABCD sebangun dengan segiempat EFGH. Menurut kamu, apakah syarat dua bangun datar sebangun? Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding
Apakah dua persegipanjang yang masing-masing berukuran 12 cm x 8 cm dan 6 cm x 4 cm sebangun? Jawab :
12 cm 6 cm 4 cm
8 cm
Gambar 1.3
Semua sudut persegipanjang masing-masing siku-siku dengan demikian sudutsudut yang bersesuaian besarnya sama yaitu 90 o . 12 = 2. Perbandingan panjang = 6 8 = 2. Perbandingan lebar = 4 Karena sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama maka kedua persegipanjang tersebut sebangun. Dari contoh dan penjelasan di depan diperoleh bahwa untuk menunjukkan apakah dua bangun itu sebangun perlu dicari terlebih dahulu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
Bentuk apakah kedua segitiga pada gambar di bawah? Selidiki sisi-sisinya yang bersesuaian (sisi terpanjang, sedang, dan terpendek) apakah sebanding? Apakah kedua segitiga pada gambar di bawah sebangun? R L
13
3 M
4
Q
5
5 K
12 P
Menghitung Panjang Salah satu Sisi yang belum diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun
Segibanyak ABCDE sebangun dengan segibanyak RSTUV dengan panjang sisi seperti gambar berikut.
A R
x 9
4
B 6
E
S
V y D
C
5 U
T
Gambar 1.4 a Hitunglah faktor skala dari segibanyak ABCDE terhadap segibanyak RSTUV b Hitung nilai dari x dan y. Penyelesaian : a Faktor skala adalah perbandingan panjang dua sisi yang bersesuaian yaitu : AE 9 3 = = . RV 6 2 b Gunakan perbandingan sisi yang bersesuaian yang sudah diketahui panjangnya pada RSTUV dan yang dinyatakan dengan variabel x pada ABCDE. VR RS 6 4 ⇔ 6x = 36 ⇔ x = 6. = ⇔ = EA AB 9 x Gunakan perbandingan sisi yang bersesuaian yang panjangnya pada RSTUV dan yang dinyatakan dengan ABCDE. VR UT 6 5 = ⇔ = ⇔ 6y = 45 ⇔ y = 7,5. EA DC 9 y
sudah diketahui variabel y pada
7,5 F 1.
Tiga persegipanjang pada gambar di samping sebangun. Hitunglah x dan y B
8
C
G
x
3 A
D E
H
y
10
1.
Untuk masing-masing pernyataan di bawah, tulis B jika pernyataan selalu benar, K jika pernyataan kadangkala benar dan S jika pernyataan selalu salah. a. Dua persegipanjang sebangun. b. Dua persegi sebangun. c. Segitiga sebangun dengan segiempat. d. Dua jajargenjang sebangun. e. Dua segitiga samasisi sebangun. f. Dua belahketupat sebangun. g. Dua segilima beraturan sebangun. h. Dua segitiga samakaki sebangun i. Dua layang-layang sebangun
2. Segiempat RSTV sebangun dengan segiempat LMNO. Panjang sisi-sisi dari RSTV berturut-turut 6 cm, 10 cm, 12 cm dan 14 cm. Panjang sisi terpendek dari LMNO adalah 9 cm. a Tentukan faktor skala (perbandingan panjang sisi-sis yang sesuai) dari RSTV ke LMNO. b Hitunglah panjang sisi yang lain pada segiempat LMNO. c Hitunglah keliling LMNO. d Hitunglah perbandingan keliling RSTV dan LMNO.
3.
Diketahui trapesium ABCD sebangun dengan trapesium AEFG.
E
A
Besar ∠ AGF = 108 o , GF = 14, AD = 12, DG = 4,5, EF = 8 dan AB = 26. Tentukan faktor skala ABCD terhadap AEFG. Tentukan : a. (i) AG (ii) DC
G
B
F
D C (iii) besar ∠ADC (iv) BC b. Keliling ABCD c. Keliling AEFG d. Perbandingan keliling ABCD dan keliling EFGA. 4. Pasangan segibanyak dalam gambar berikut adalah sebangun. Tentukan nilai x dan y. 12 15 Q P A B 12
15
E
24
y
16
S
R
C
D 5.
T
x
Penalaran. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang perbandingan sisi-sisi bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun?
6. Penalaran. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang
sudut-
sudut bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun?
7. Penalaran . Selidiki apakah dua segitiga yang perbandingan sisi-sisinya yang bersesuaian sama adalah sebangun?
8. Soal
terbuka.
Lukisan
dan
bingkainya pada gambar di samping adalah sebangun. Jika panjang lukisan 80 cm, panjang bingkai 100 cm dan lebar lukisan 60 cm, tentukan lebar bingkainya.
9.. 3
6 y
x
4 6 Jika ketiga gambar di atas sebangun, tentukan x dan y. 10. Segiempat ABCD dan segiempat RSTU gambar di bawah sebangun. Tentukan x, y, dan z. D
z
U
C
4 T
5
3
y A
R
B
6
2 x
S
11. Segiempat RSTU dan segiempat WXYZ gambar di bawah sebangun. Tentukan a, b, c, dan d. R
10 108˚
S
W
95˚ 6
108˚
4 85˚
U
a˚
b
c
d T
Z
X
95˚ 3 6
85˚ Y
12. Soal terbuka. Sebuah pigura foto berbentuk persegipanjang 40 cm x 60 cm dan sebuah foto berbentuk persegipanjang berukuran 30 cm x 40 cm. Apakah bentuk pigura dan foto sebangun? Ubahlah salah satu ukuran pigura agar pigura dan foto sebangun. Berapakah ukurannya? 13. Sebuah map berukuran persegipanjang dengan ukuran 25 cm x 35 cm dan kertas berukuran 21 cm x 32 cm. Apakah bentuk map dan kertas sebangun? Ubahlah salah satu ukuran kertas agar bentuk map dan kertas sebangun?
1.2 Apa yang akan kamu pelajari? À Syarat dua segitiga sebangun. À Menentukan perbandingan sisi dua segitiga yang sebangun dan menghitung panjangnya À Memecahkan masalah yang melibatkan konsep kesebangunan
Kata Kunci: • •
Segitiga sebangun Sisi yang bersesuaian
Syarat Dua Segitiga Sebangun Sejarah hli matematika Yunani, Thales, adalah orang pertama yang mengukur tinggi piramida menggunakan sifat geometri. Dia menunjukkan bahwa perbandingan antara tinggi piramida dengan pekerja sama dengan perbandingan antara tinggi masing-masing bayangannya.
A
Tinggi pekerja EF = 5 kaki
Ti ng gi pir a m ida AB = ?
Bayangan piramida BC = 576 kaki
Bayangan pekerja FD = 6 kaki
Gambar 1.5 Dengan menggunakan keterangan di atas, dapatkah kamu mencari tinggi piramida? (Kamu akan ditugasi menyelesaikan masalah ini pada Latihan 1.2). Segitiga-segitiga yang sebangun dapat membantumu menyelesaikan masalah-masalah seperti di atas. Bagaimana kamu dapat mengetahui dua segitiga sebangun? Pada pelajaran sebelumnya kamu sudah belajar menentukan apakah dua segibanyak sebangun. Sekarang akan dipelajari caracara untuk menentukan apakah dua segitiga sebangun.
Pemodelan Matematika Dengan bantuan penggaris dan busur derajat : ¾ gambarlah Δ DEF dengan besar ∠ D = 35 ° , besar ∠ F = 80 ° , dan DF = 4cm ¾ gambarlah Δ TRS dengan besar ∠ T = 35 ° , besar ∠ S = 80 ° , dan ST = 7cm ¾ ukurlah panjang EF , ED , RS dan RT . ¾ hitunglah perbandingan FD , EF dan ED .
ST RS RT Catat hasil-hasil yang kamu peroleh di atas pada tabel berikut. Panjang sisi pada Δ DEF
Panjang sisi pada Δ RST
EF
RS
ED
RT
Nilai Perbandingan FD ST
EF RS
ED RT
Apakah Δ DEF dan Δ TRS sebangun? Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga sudut-sudut bersesuaian sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian sebanding? Ini berarti bahwa : Jika pada dua segitiga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu sebangun.
Gunakanlah penggaris dan busur derajat. ¾ Gambarlah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. ¾ Gambarlah segitiga PQR dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm dan PR = 3,5 cm. ¾ Ukurlah besar ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ P, ∠ Q, ∠ R. ¾ Apakah besar ∠ A = ∠ P, ∠ B = ∠ Q , ∠ C = ∠ R. Apakah ΔABC dan ΔPQR sebangun? Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka sudutsudut yang bersesuaian sama besar? Ini berarti :
Jika pada dua segitiga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama maka kedua segitiga tersebut sebangun.
Selidiki apakah ΔPQR sebangun dengan ΔMNO. Bagaimana dengan sudut yang bersesuaian? N Q 10
7 R
30
21
15
P
O
M
45
Jawab : PR 15 1 = = MO 45 3 PR PQ 10 1 PQ RQ 1 = = = = = MN 30 3 MO MN ON 3 7 1 RQ Jadi ΔPQR sebangun dengan ΔMNO. = = ON 21 3 Akibatnya besar ∠ R = besar ∠ O, besar ∠ P = besar∠ M dan besar ∠ Q = besar ∠ N
a Selidiki apakah ΔUTV dan ΔUSR pada gambar di bawah sebangun b Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. U
V
R
> >
T
S
Gambar di samping AB // DE
A
B
a Tunjukkan bahwa ΔABC dan ΔEDC sebangun. b Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
C
D
E
Menghitung Salah Satu Sisi Segitiga yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun A
Perhatikan gambar di samping. BC // DE
p
Kamu sudah dapat
x
membuktikan bahwa ΔADE D
E
sebangun dengan ΔABC. Misal panjang AD = p dan
y
q B
Karena ΔADE sebangun C
Gambar 1.6
DB = q.
dengan ΔABC maka : AD AE . = AB AC p x . = p+q x+y p(x + y) = x(p + q). px + py = px + qx. py = qx.
p x = . q y
Jadi perbandingan ruasgaris-ruasgaris pada kedua kaki segitiga ABC adalah : p x = q y
Ini menunjukkan bahwa: Jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga tersebut, maka garis sejajar tersebut membagi kedua sisi lainnya pada segitiga itu atas dua ruas garis dengan perbandingan yang sama
Perhatikan gambar di samping, DE // AB a. Buktikan ΔABC sebangun ΔDEC. b. Hitung x dan y.
C
x
3 y
D
E 3
2 10
A
Perhatikan gambar di samping. a. b.
Tunjukkan bahwa ΔPQR sebangun UVW. Tentukan pasangan sisi yang bersesuaian yang mempunyai perbandingan yang sama.
B
R
W
40° 70° U P
Q
V
C
E
2. Perrhatikan g gambar di samping
8
9
15 1
A
10
D 6
a. Tun njukkan ΔA ABC seba ngun ΔEF FD. b. Ten ntukan passangan uk kuran sudu ut yan ng sama.
F
12 B
C
kan pasan ngan-pasan ngan 3. Tulisk segiti ga pada gambar g di samping yang sebangun n. Beri alasan a men ngapa passangan segiti ga itu seb bangun. njuk: Petun Urutk kan sudut--sudut yan ng sama besar pada segiitiga yang g sebangun n.
D
A
B
da gambarr di sampi ng 4. Pad kan nan
G
AB // CD C // EF
Leng kapi pern nyataan beerikut : AC C CE a. = BD D ..... E ..... CE b. = IE HI GH H ..... = c. GE E GF
A
C
H I
E
a c, dan n d dari gaambar no. 5 – 9 berik kut ini. Hitung a,b, 5.
> > >
B D F
6.
7.
8.
9.
A
D
10. A, B dan C adalah berturut-turut
F
titik tengah dari sisi DF , DE , dan FE .
a. Jika BC = 11, AC = 13, dan AB =
C
B
15, hitung keliling Δ DEF b. Jika DE = 18, DA = 10, dan FC = 7 hitung AB, BC dan AC. 11. Perhatikan gambar di kanan. Jika besar
E B
∠B = 90 0 c
a. Tunjukkan ΔADB sebangun
a
t
dengan ΔABC dan c 2 = p.b. b. Tunjukkan ΔBDC sebangun
A
q
p
dengan ΔABC dan a 2 = q.b. 12. Jika pada Gambar 1.5 tentang piramida, BC = 576 kaki, FD = 6 kaki ( ingat 1 kaki = 30,48 cm), dengan menggunakan kesebangunan hitung tinggi piramida (dalam kaki).
D
b
C
13. Pada saat upacara bendera, kamu dan bendera mendapat sinar matahari, sehingga panjang bayanganmu 200 cm dan bayangan tiang bendera 700 cm. Jika tinggimu 160 cm, tentukan tinggi tiang bendera. 14.
E A
G
C
D
F B
1.3
Jika ED // AB , AB = 10, BC = 6, AC = 8, CD = 5 dan GE = 3. Hitung EC, GC, dan EF.
Apa yang akan kamu pelajari? À Mengenali dua bangun datar yang kongruen atau tak kongruen, dengan menyebut syaratnya. À Menentukan segitiga yang kongruen. À Membuktikan dua segitiga kongruen À Menentukan perbandiingan sisi-sisi dua segitiga yang kongruen dan menghitung panjangnya. À Menyatakan akibat dari dua segitiga kongruen À Membedakan pengertian sebangun dan kongruen
Kata Kunci:
Syarat Dua bangun Datar Kongruen Amati permukaan dua lembar uang seribu rupiah bergambar Kapitan Patimura maka akan tampak permukaan kedua uang itu sama bentuk maupun ukurannya. Kedua permukaan uang itu dikatakan sama dan sebangun atau sering disebut kongruen. Sekarang perhatikan bangun segiempat di bawah ini. C Q D S A
B
R P
• Kongruen Gambar 1.7
a.
b.
c. d. e.
Bagaimana ukuran sisi-sisi segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sisi-sisi yang bersesuaian dengan menggunakan penggaris. Bagaimana ukuran sudut-sudut segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sudut-sudut yang bersesuaian dengan menggunakan busur derajat. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan! Menurut kamu, apakah syarat dua poligon (segibanyak) kongruen? Jelaskan. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya kamu anggap kongruen. Apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi?
Dengan menggunakan syarat dua bangun kongruen yang telah kamu tetapkan, carilah pasangan-pasangan bangun berikut yang kongruen.
C A
D
B E
G
H
F Gambar 1.8 Pernahkah kamu melihat dasi ? Bermacam-macam warna dasi, ada yang polos, bermotif bunga, bermotif garis dan ada juga yang bermotif segitiga. Gambar 1.9(a) dan 1.9(b) di bawah ini merupakan dua contoh kain bahan untuk membuat dasi.
(a)
Gambar 1.9
(b)
Kedua kain di atas bermotif segitiga. Jika kamu perhatikan, bentuk dan ukuran segitiga-segitiga pada setiap kain tersebut adalah sama. Segitigasegitiga pada setiap kain di atas merupakan contoh dari segitiga-segitiga yang kongruen. Untuk lebih jelasnya tentang segitiga yang kongruen, simaklah uraian di bawah ini. Perhatikan Gambar 1.10. A B L K
D
C
N
Gambar 1.10
M
Jika persegipanjang ABCD digeser ke kanan sepanjang AK , maka titik A berimpit dengan K, titik B berimpit dengan L, titik C berimpit dengan M dan titik D berimpit dengan N. Sehingga persegipanjang ABCD tepat menempati (menutupi) persegipanjang KLMN. Dikatakan bahwa persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang KLMN dan disimbolkan dengan ABCD ≅ KLMN. Q
F
P
E
S
H R
G
Gambar 1.11 Jiplaklah bangun PQRS (lihat Gambar 1.11) pada kertasmu dan gunting. Jika model trapesium yang anda buat dan anda balik kemudian anda geser maka akan menempati EFGH. Sehingga PQRS ≅ EFGH. Jiplaklah ΔABC (pada gambar 1.12) pada kertasmu dan gunting. . Jika model segitiga yang anda buat dan anda balik kemudian anda geser maka akan menempati ΔPQR, maka ΔABC kongruen dengan ΔPQR ditulis ΔABC ≅ ΔPQR. R
C
A
Q
B h
P
Gambar 1.12
Berikut ini adalah beberapa contoh segitiga-segitiga yang kongruen.
Pada gambar 1.13 berikut ini, segitiga manakah yang kongruen dengan ΔABC? Kemudian sebutkan perlakuan yang dikenakan pada ΔABC agar tepat menempati segitiga yang kongruen dengannya.
Penye lesaian : Segitig ga yang ko ongruen ded ngan ΔABC
a adalah ΔJIIH
MKL. dan ΔM ΔABC
tepat
menempaati
ΔJIH jiika ΔABC digeser ΔAB BC menemp pati
tepat
ΔABC jika Δ digeseer
ΔMK KL
d ibalik
d an
Kaitan d dengan du unia nyataa Perh hatikan fotto sebuah tenda di bawah b ini .
bentuk seg gitiga sepeerti Bagia n depan t enda berb gamb ar berikutt ini.
A
Apak ah ΔACP ≅ ΔAMP? (jelaskan)). Penyeelesaian :
C
P
M
ΔACP P ≅ ΔAM MP, karen na ΔACP dapat tepat menemp pati ΔAM P dengan n cara menceerminkan ΔACP terrhadap AP P.
Sifat Dua D Seg itiga yan ng Kongrruen Peerhatikan gambaar jemb batan d di saamping. Su upaya ku uat, jembaatan itu diberi beesi yaang bag gian-bagiaannya membentu m uk seegitiga. Peerhatikan ΔMPO dan d ΔNQK K. Jik ka digam mbar kemb bali dan diperbesaar, ak kan tampa ak seperti gambar berikut b ini .
Gambar 1.14
N
M
P
O
Q
K
Gambaar 1.15 Jika J ΔMPO O digeserr sepanjan ng dan seaarah deng gan
PQ , maka ΔM MPO
tepa t menemp pati ΔNQK K. Oleh kaarena itu, dua segittiga pada Gambar 1.19 1 adal ah kongru uen. Jika ΔMPO diigeser sep panjang d dan searah h PQ , maka m
PO berimpit dengan siisi QK , siisi PM beerimpit deengan sisi QN dan sisi OM berimpit dengan siisi KN . Siisi-sisi yan ng berimp pit itu diseebut sisi yang y QK , berseesuaian (sseletak). Ja adi, sisi PO P bersessuaian (selletak) den ngan sisi Q
PM bersesuaaian (selettak) deng gan QN dan OM bersesuaaian (selettak) deng gan KN . Hal H itu meenunjukkaan bahwa : Dua Se egitiga kongru uen
Dua ssegitiga yang y kong gruen me mpunyai sifat yaiitu sisi-sisi yang sele etak sama a panjang g.
Karena titik A berimpit dengan P, titik B berimpit dengan Q dan titik C berimpit dengan R, maka besar ∠ CAB = besar ∠ RPQ, besar ∠ ABC = besar
∠ PQR dan besar ∠ ACB = besar ∠ PRQ. Sehingga ∠ CAB bersesuaian (seletak) dengan ∠ RPQ,
∠ ABC bersesuaian (seletak) dengan ∠ PQR dan ∠ ACB
bersesuaian (seletak) dengan ∠ PRQ. Hal itu menunjukkan bahwa : Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sudut-sudut yang seletak sama besar.
Sifat dua segitiga yang kongruen
ΔUVW dan ΔDEF berikut adalah kongruen. Tentukan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar. D
U V
W
F
E
Penyelesaian : Karena ΔUVW kongruen dengan ΔDEF, menurut sifat dua segiti-ga yang kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Jadi : UV = DE, UW = DF dan VW = EF.
Di samping itu, sudut-sudut yang bersesuaian Gambar 1.16 juga sama besar. Jadi : besar ∠U = besar ∠D, besar ∠V= besar ∠E, dan besar ∠W = besar ∠F.
Syarat Dua Segitiga yang Kongruen dan Akibatnya Perhatikan Gambar berikut. AB = PQ, AC = PR dan BC = QR. Jika ΔABC digeser sepanjang dan
R
C
searah AP , maka : titik A berimpit dengan P, titik B berimpit dengan Q, titik C berimpit dengan R, Q
B
ΔABC
tepat
menutup
ΔPQR. Dengan demikian ΔABC ≅ ΔPQR.
P
A
sehingga
Gambar 1.17 Kesimpulannya adalah : Syarat dua segitiga yang kongruen
Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi yang bersesuaian pada segitiga yang kedua (s, s, s)
Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanya ditulis (s, s, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itu kongruen menurut (s, s, s)? Perhatikan gambar di bawah
C
*
R
*
P
A
Q B
Gambar 1.18
ΔABC dan ΔPQR mempunyai dua sisi yang sama panjang dan sudut yang diapitnya adalah sama besar, yaitu : AB = PQ, AC = PR dan ∠ A = ∠ P. Jika ΔABC digeser sepanjang dan searah AP , maka titik A akan berimpit dengan P. Karena besar ∠A = besar ∠P, maka ∠A berimpit dengan
∠P. Karena AC = PR, maka titik C berimpit dengan R dan
karena AB = PQ, maka titik B berimpit dengan Q. Sehingga ΔABC tepat menempati (berimpit) dengan ΔPQR. Oleh karena itu, ΔABC kongruen dengan ΔPQR. Kesimpulannya adalah : Dua segitiga akan kongruen jika dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan kedua sudut apitnya sama besar (s, sd , s).
Syarat dua segitiga yang kongruen
Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanya ditulis (s, sd, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika panjang dua sisi dan sudut yang diapitnya sama besar. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itu kongruen menurut (s, sd, s)? Kita sudah mendapatkan dua syarat dari dua segitiga yang kongruen. Yang ketiga, kita akan mengamati dua segitiga yang mempunyai satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian yang terletak pada sisi-sisi yang bersesuaian itu sama panjang. Untuk jelasnya, perhatikan gambar di bawah. R
C
A
P
?
? x
x
B
Gambar 1.19
Q
Besar ∠A = besar ∠P, AB = PQ dan besar ∠B= besar ∠Q.
AB adalah sisi pada besar∠A dan bsar ∠B.
PQ adalah sisi pada besar ∠P dan besar ∠Q. Karena jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180°, maka : Besar ∠A + besar ∠B + besar ∠C = 180° dan Besar ∠P + besar ∠Q + besar ∠R = 180°. Sehingga diperoleh : Besar∠C = 180° - besar ∠A – besar ∠B dan besar ∠R = 180° besar ∠P – besar ∠Q. Karena besar ∠A =besar ∠P dan besar ∠B= besar ∠Q, maka besar∠R = 180° - besar ∠A - besar ∠B. Sehingga besar ∠C = besar ∠R. Akhirnya diperoleh hubungan : Besar ∠A = besar∠P, besar ∠B = besar∠Q, dan besar ∠C = besar ∠R. Dengan demikian ketiga sudut dua segitiga itu sama besar. Karena itu, dua segitiga itu sebangun. Karena dua segitiga itu sebangun, maka akibatnya perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, yaitu : AB = BC = AC . PQ QR PR Diketahui bahwa AB = PQ, maka akibatnya adalah
AB = BC = AC = 1. PQ QR PR Dengan demikian diperoleh hubungan AB = PQ, BC = QR dan AC = PR. Hal itu berarti ketiga sisi pada kedua segitiga tersebut adalah sama panjang. Berdasarkan syarat (s,s,s) seperti yang telah kita bahas, maka Apakah akibatnya?
ΔABC ≅ ΔPQR.
Kesimpulannya adalah :
Syarat dua segitiga yang kongruen
T
Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut sama panjang (sd, s, sd).
Selidiki apakah ΔRQT kongruen dengan ΔSQT. 6m
Pandang ΔRQT dan ΔSQT pada Gambar 1.24. Dan apakah akibatnya?
6m
Jawab R
S
Q2 m
2m
Gambar 1.20
Karena : RT = ST, RQ = SQ dan TQ = TQ, maka ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segi-tiga tersebut sama panjang. Berdasarkan syarat (s, s, s), ΔRQT ≅ ΔSQT. Akibatnya besar ∠R = ∠ S ∠RTQ = ∠STQ dan ∠TQR = ∠TQS
A
3 cm
∴
3 cm
O O
Selidiki apakah ΔDAC kongruen dengan ΔBAC. B Dan apakah akibatnya?
D
Jawab Perhatikan ΔDAC dan ΔBAC. Karena DA = BA, ∠DAC = ∠BAC dan AC = AC, maka berdasarkan syarat (s,sd,s), ΔDAC ≅ ΔBAC. Akibatnya
CD = BC, ∠ADC = ∠ABC,
∠DCA = ∠BCA
Gambar 1.21 C
Pada gambar di samping diketahui bahwa ∠ A
B
= ∠ M dan ∠ B = ∠ L, maka Δ ABC ≅ Δ MLK.
4 cm
Alasan : ∠A = ∠M, ∠B = ∠L
K
A
AB adalah sisi pada ∠ A dan ∠ B.
LM adalah sisi pada ∠ M dan ∠ L. AB = ML Karena ∠ A = ∠ M, AB = ML, dan ∠ B = ∠ L, maka berdasarkan syarat (sd, s, sd),
C L
Gambar 1.22
4 cm M
Δ ABC ≅ Δ MLK. Akibatnya ∠ B = ∠ K, BC = KL, AC = KM
Perhatikan Jajargenjang ERIT di samping
I
T Tunjukkan bahwa TP = RO. Penyelesaian : Untuk menunjukkan bahwa TP = RO, coba kamu ikuti dan lengkapi titik-titik berikut ini.
Pernyataan
Alasan
O P R
E
Perhatikan ΔTIE dan ΔREI.
Gambar 1.22
1. IT = ER, ET = IR, EI = IE
1. Diketahui dari Gambar 1.22
2 a. ΔTIE ≅ Δ . . .
2 a. (s,s,s)
b. besar ∠TIE = besar ∠ … dan besar ∠TEI = besar ∠ …
b. seletak (bersesuaian)
Sekarang perhatikan ΔTPE dan ΔROI. 3. besar ∠TPE = besar ∠ …
3. keduanya 90 0
4. besar ∠TEP = besar ∠ …
4. berdasarkan 2b
5. besar ∠PTE = 90 0 - besar ∠TEP
5. jumlah ketiga sudut segitiga 180 0
6. besar ∠ORI = 90 0 - besar ∠ …
6. jumlah ketiga sudut segitiga 180 0
7. besar ∠PTE = besar ∠ORI
7. berdasarkan 5 dan 6
Karena besar ∠TEP = besar ∠RIO,
ET = RI dan besar ∠PTE = besar ∠ORI,
maka berdasarkan syarat (… ,
, … ),
…
(bersesuaian) dengan RO, maka
ΔTDE ≅ ΔROI. Karena TP seletak
TP = RO. Dengan demikian kita sudah
menunjukkan yang diminta.
Menyelidiki Dua segitiga sebangun apakah kongruen Perhatikan dua segitiga samasisi di bawah ini.
A
B
R
C P
Q
Gambar 1.23
a. Apakah Δ ABC sebangun dengan Δ PQR? Jelaskan! b. Apakah Δ ABC kongruen dengan Δ PQR? Jelaskan! c. Apakah dua segitiga yang sebangun pasti kongruen? Jelaskan!
Menyelidiki: Segitiga yang kongruen adalah sebangun Perhatikan dua segitiga di bawah ini. B
P
A
Q a. Apakah Δ ABC sebangun dengan Δ PQR? Jelaskan! b. Apakah Δ ABC kongruen dengan Δ PQR? Jelaskan! c. Apakah segitiga yang kongruen pasti sebangun? Jelaskan!
R C Gambar 1.24 Carilah pasangan-pasangan segitiga yang kongruen dan pasangan segitiga yang sebangun dari gambar di bawah ini.
1
2
4
3
8 5
6
9
7
10
Gambar 1.25
1. Dengan cara mengukur, tentukan apakah dua segitiga berikut kongruen ? Jika kongruen, kemukakan alasanmu dan tentukan sisi dan sudut yang bersesuaian. M a. b. A K U O
V
T W
L
G
B
R
2. Apakah pasangan segitiga berikut ini alasanmu ! Dan apakah akibatnya? a. A
C
kongruen ? Jika ya,
b.
kemukakan
3
T
7 7
N
5
3
R M G
c.
A
G
E D
d.
C A
5
2. Pada gambar berikut ini, jelaskan mengapa ΔBDF ≅ ΔMKH, kemudian tentukan nilai m dan n.
s
B
H
72 O 9
F
32 O
8 nO
72 O
8
nO
t
M
K
D
t
mO
4. Apakah ΔFKL kongruen dengan ΔKFG? Kemukakan alasanmu. Jika kongruen, tentukan sisi dan sudut yang seletak. F
G
L
K
5. PQRS adalah layang-layang. Sebutkan dua segitiga yang kongruen, kemudian sebutkan sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Q
P
R
S Untuk soal 6 sampai 13, jelaskan dengan menggunakan syarat (s,s,s), (s,sd,s) atau (sd,s,sd) untuk membuktikan setiap pernyataan yang diberikan. 7. besar ∠ OME = besar ∠ ERO
6. AB = CB B
M A
C
O
E
R
D
8. besar ∠ TSP = besar ∠ TOP S O T
9. KP =LM L
K
Y
P
P
10. besar ∠ ORE = besar ∠ OPE O R P
M
11. CT = RP C
R
N
E T
P
12. Jika garis l tegak lurus AB dan CA = CB, tunjukkan bahwa PA=PB. P
A
B C
13. Misalkan ABCD adalah jajargenjang. Dengan kongruensi, tunjukkan bahwa ΔABC ≅ ΔCDA.
A
D
B
C
