Tema 1. Cinematica - ocw.usal.es

F´ısica I. Curso 2010/11 Departamento de F´ısica Aplicada. ETSII de B´ ejar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Dom´ınguez y Jes´ us Ovejero S´ anchez

´ tica Tema 1. Cinema Índice 1. Introducci´ on

3

2. Movimiento en una dimensi´ on

4

2.1. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Velocidad instantánea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado . . . .

7

3. Movimiento en dos y tres dimensiones

11

3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3. Componentes de la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4.1. Movimiento circular

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4.2. Movimiento parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Movimiento relativo

19

4.1. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Aceleración relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Problemas

22

Tema 1. Cinem´ atica

2


1.

3

Introducci´ on La Mecánica es una parte de la F´ısica que tiene por objeto estudiar el estado de movimiento

de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos movimientos. Dependiendo de la naturaleza del estudio, la Mecánica se divide en dos partes Cinemática y Dinámica. La Cinemática estudia de forma genérica el movimiento independientemente de las causas que lo producen. Sin embargo, la Dinámica atiende también a las causas que lo provocan. Dentro de la Dinámica, existe otra parte, de especial interés en Ingenier´ıa, denominada Estática . Trata de estudiar en que circunstancias los cuerpos están en reposo, aunque estén sometidos a varias fuerzas. Los elementos básicos de la Cinemática son el espacio, el tiempo y el móvil. La Cinemática Clásica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y continuos. Este espacio es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula también la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo el Universo y que es el mismo para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. De este modo el tiempo se puede representar como una variable real. Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la Mec´ anica Clásica, cabe decir que existen otros modos dentro de la F´ısica de entender el espacio y el tiempo. En Mecánica Relativista esos conceptos no son absolutos sino que están relacionados entre s´ı y con el observador y su estado de movimiento. Es la mecánica apropiada para el estudio de problemas en que aparecen velocidades próximas a la de la luz. Existe otro tipo de descripción mecánica de la naturaleza apropiada para sistemas de dimensiones peque˜ nas, como átomos y n´ ucleos. Se denomina Mecánica Cuántica. En ella la posición y la velocidad de una part´ıcula no se pueden determinar simultáneamente con precisión arbitraria (Principio de Incertidumbre). Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una part´ıcula cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus desplazamientos. As´ı por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al estudiar su movimiento respecto al sol, puesto que su diámetro son aproximadamente 10,000 km y la distancia media al sol son 1013 km. Es por lo tanto, un concepto relativo relacionado con el observador. En Mecánica se considera que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia en el espacio con relación a otros que consideramos fijos y que sirven de referencia. Pero también

4


puede suceder que no sólo el cuerpo se mueva sino que también lo haga el sistema de referencia. Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene un sentido relativo. El mejor modo de establecer la relación entre el cuerpo en estudio y su referencial es utilizando un sistema de coordenadas. Para un punto material bastará determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo extenso habrá que determinar las coordenadas de todos sus puntos. Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfectamente determinado por una u ńica coordenada, x = x(t). Esa ecuación matemática describe la trayectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asigna un´ıvocamente una posición de la part´ıcula. Este tipo de movimiento se denomina a veces rectil´ıneo. Existen muchos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio tridimensional ordinario, que pueden entenderse como unidimensionales, pues de alg´ un modo sólo una de las coordenadas de posición var´ıa apreciablemente en el tiempo. Ejemplos de esto son un movimiento de ca´ıda libre o el de un tren sobre unos ra´ıles en l´ınea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evolución de dos coordenadas para describir correctamente la evolución de la part´ıcula. En este caso es como si el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional ). Ejemplos de estos movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En general, para describir el movimiento de una part´ıcula en el espacio tridimensional se requiere una trayectoria de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma vectorial, el vector de posici´ on de la part´ıcula es una función del tiempo de la forma: ~r = ~r(t).

2.

Movimiento en una dimensi´ on

2.1.

Velocidad media

Consideremos una part´ıcula o punto material moviéndose sobre una l´ınea recta representada por la coordenada x. Supongamos que en el instante ti se encuentra en la posición xi y en el tf en la posición xf . Se define la velocidad media de la part´ıcula en ese intervalo de tiempo como: v¯ =

xf − xi ∆x ≡ tf − ti ∆t

[¯ v ] = LT −1

5


x

x(t)

xf ∆x α xi

∆t

ti

tf

t

La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la part´ıcula, sólo depende del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una part´ıcula parte de un determinado punto y vuelve a él después de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. Geométricamente, la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final. v¯ =

2.2.

∆x = tan α. ∆t

Velocidad instant´ anea

La velocidad de la part´ıcula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad instantánea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal tan peque˜ no como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado de movimiento durante ese peque˜ no intervalo. Matemáticamente: v = l´ım v¯ = l´ım ∆t→0

∆t→0

dx ∆x = ∆t dt

=⇒

v(t) =

dx(t) . dt

6


0

x

∆t

x(t) xi

t i +∆t

ti

t

La interpretación geométrica se puede entender a partir de la figura. Cuando ∆t → 0, el cociente, ∆x/∆t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en el instante ti . Una vez conocida la velocidad como función del tiempo, v = v(t), es posible determinar la posición de la part´ıcula en cualquier instante sin más que utilizar el concepto de integral. Z x Z v dx v= −→ v dt = dx −→ dx = v(t) dt dt x0 v0 Z t =⇒ x = x0 + v(t) dt (1) t0

A partir de esto, el desplazamiento, x − x0 , se puede interpretar geométricamente como el a´rea bajo la curva v = v(t).

2.3.

Aceleraci´ on

Cuando la velocidad de una part´ıcula permanece constante se dice que realiza un movimiento uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos una part´ıcula que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se define la aceleración media en ese intervalo como : a ¯=

∆v vf − vi = tf − ti ∆t

De esa ecuación se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [¯ a] = LT −2 . En algunos casos la aceleración media es diferente en distintos intervalos temporales y conviene entonces definir una aceleración instantánea como l´ımite de la aceleración media en un intervalo temporal muy peque˜ no. ∆v dv = ∆t→0 ∆t dt

a = l´ım a ¯ = l´ım ∆t→0

=⇒

a(t) =

dv(t) . dt

7


Si conocemos la aceleración instantánea, a = a(t), podemos calcular la velocidad instantánea, v = v(t), as´ı: Z

dv a(t) = dt

−→

v

−→

dv = a dt

Z

t

dv = v0

Z a dt

=⇒

t

v(t) = v0 +

t0

a(t) dt.

(2)

t0

La aceleración, en general, se puede relacionar con la posición del siguiente modo: dv d dx d2 x d2 x a(t) = = = 2 =⇒ a(t) = 2 . dt dt dt dt dt Una relación importante entre velocidad y aceleración se obtiene as´ı: a=

dv dt

−→

−→

dv = a dt

Z

v

Z

x

v dv = v0

2.4.

a dx

dx dt =⇒ v dv = a dx dt Z x 2 2 v = v0 + 2 a(x) dx

v dv = av dt = a =⇒

x0

(3)

x0

Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado

Dos casos anal´ıticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado . El primero se produce cuando v ≡ v0 =cte. y el segundo cuando a ≡ a0 =cte. En el caso particular v = v0 =cte., la integral (1) es trivial y resulta: Z t x = x0 + v0 dt = x0 + v0 (t − t0 ), t0

que es la relación que liga posición con tiempo en un movimiento unidimensional uniforme. Si la aceleración es constante, a = a0 =cte. En este caso a 6= a(t) y a partir de (2), Z t v = v0 + a0 dt = v0 + a0 (t − t0 ) =⇒ v(t) = v0 + a0 (t − t0 ).

(4)

t0

Utilizando las ecuaciones (1) y (4) también se puede obtener para el caso de movimiento uniformemente acelerado: Z

t

x = x0 + t0

1 [v0 + a0 (t − t0 )] dt = x0 + v0 (t − t0 ) + a0 (t − t0 )2 . 2

Por u ´ltimo, a partir de (3) se obtiene: v 2 = v02 + 2a0 (x − x0 ). En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geométricas de las ecuaciones que hemos obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado.

8


+ Movimiento uniforme: a=0 v ≡ v0 = cte. x = x0 + v0 (t − t0 )

v

x v= cte.

x

a=0

x0

~ v0

x-x 0

t0

t

t0

t

t

t

+ Movimiento uniformemente acelerado: a ≡ a0 = cte. v = v0 + a0 (t − t0 ) x = x0 + v0 (t − t0 ) +

a0 (t − t0 )2 2

v x v

v0

~ a0

~v x0

t0

t

t

t0

t

2.1 Ejemplo Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación, x(t) = 2t3 + 5t2 + 5 (S.I.). Determ´ınense:

9


a) La velocidad y aceleración instantáneas. b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s. c) Velocidad y aceleración medias entre t = 2 s y t = 3 s. a) x(t) = 2t3 + 5t2 + 5 dx v(t) = = 6t2 + 10t dt dv a(t) = = 12t + 10 dt b) En t = 2 s, x = 2,23 + 5,22 + 5 = 41 m v = 24 + 20 = 44 m/s a = 34 m/s2 c) En el intervalo t = 2 s → 3 s, vf − vi 84 − 44 = 40 m/s2 = tf − ti 1 xf − xi 104 − 41 v¯ = = 63 m/s = tf − ti 1 a ¯=

2.2 Ejemplo La aceleración de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en función de su posición por a(x) = 4x − 2 (S.I.). Suponiendo que v0 = 10 m/s cuando x = 0, obténgase la velocidad en cualquier otra posición. dv dt

a(t) =

−→

dv = a(t)dt =⇒

con lo que integrando: Z

v

Z

v dv = av dt = a

a dx

dx dt dt

v dv = a dx,

x

v dv = v0

−→

=⇒

2

v =

v02

Z

x

+2

x0

a(x) dx. x0

En este caso: 2

v =

v02

Z

x

+2 x0

(4x − 2) dx = v02 + 2(2x2 − 2x)

=⇒

v(x) = [100 + 4x(x − 1)]1/2 .

10


2.3 Ejemplo Ca´ıda libre. Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre adquiere una aceleración aproximadamente g = 9,81 m/s2 cuando se deja en libertad (supondremos que no hay rozamientos y que g no var´ıa con la latitud, altitud u otros factores). Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la aceleración será negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un movimiento uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomarán la forma: v(t) = v0 − g(t − t0 ) 1 y(t) = y0 + v0 (t − t0 ) − g(t − t0 )2 2 2 2 v (y) = v0 − 2g(y − y0 ) Un ejemplo de aplicación de estas ecuaciones de movimiento podr´ıa ser el siguiente. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Obténganse: a) La máxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella. b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a él. a)-b) t0 = 0; Altura máxima: v = 0

v0 = 98 m/s; −→

v0 = g tmax

y0 = 100 m; −→

a = −g

ymax = y0 + v0 tmax − 21 g t2max

v0 = 10 s g = 590 m

tmax = ymax c)-d) Al llegar al suelo y = 0: 1 0 = y0 + v0 t − gt2 2

resolviendo

−−−−−−→

( t tt

= −0,96 s = 20,96 s

vt = v0 − g tt = −107,41 m/s

(sin sentido f´ısico)

11


3.

Movimiento en dos y tres dimensiones

3.1.

Velocidad

Supongamos ahora una part´ıcula moviéndose en el espacio. Denotamos su posición en cada instante de tiempo por medio de un vector posición ~r = ~r(t). En coordenadas cartesianas, la ecuación de la trayectoria vendrá dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). En el caso de movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para describir el movimiento de la part´ıcula. Si la posición de la part´ıcula en el instante ti viene dada por ~ri y en el tf por ~rf , se define su velocidad media en ese intervalo temporal como: ~v¯ =

~rf − ~ri ∆~r = tf − ti ∆t

(5)

z

tf

r(t)

∆r

ti

rf ri x

y

~v¯ es un vector paralelo al desplazamiento ∆~r. Para definir la velocidad instantánea basta tomar el l´ımite cuando el intervalo temporal tiende a cero. ∆~r d~r = ∆t→0 ∆t dt

~v = l´ım

(6)

En componentes tomará la forma: ~v =

dx~ dy ~ dz ~ i + j + k = vx ~i + vy ~j + vx ~k. dt dt dt

La velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria curvil´ınea, es decir, se puede expresar: ~v =| ~v | u~t , donde ~ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.

12


3.2.

Aceleraci´ on

En un movimiento curvil´ıneo, la velocidad puede variar en general, tanto módulo como en dirección ó sentido. Se define la aceleración media como el cambio de velocidad en un intervalo temporal determinado: ~a ¯=

∆~v ∆t

y la aceleración instantánea como: ∆~v d~v dvx~ dvy ~ dvz ~ = = k i+ j+ ∆t→0 ∆t dt dt dt dt

~a = l´ım ~a ¯ = l´ım ∆t→0

Es un vector que tiene la misma dirección que el cambio de la velocidad, pero en general no es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero s´ı es importante destacar, tal y como se comprueba en la figura, que siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva (formalmente, hacia la región que contiene el centro de curvatura) que representa la trayectoria de la part´ıcula, porque esa es la dirección en que cambia la velocidad.

a

v(t) v(t+∆t)

v a

v

a

a v

a v

La aceleración instantánea también se puede expresar as´ı: 2 d~v d d~r d2~r d x d2 y d2 z ~a = = = 2 = , , . dt dt dt dt dt2 dt2 dt2 3.1 Ejemplo Una part´ıcula se desplaza en el espacio y su vector posición, en cada instante de tiempo, toma en el SI la siguiente forma: ~r(t) = (t2 − 2)~i + cos t ~j + e2t ~k Obténganse:

13


a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, ~v (t). b) La velocidad inicial de la part´ıcula y su velocidad en t = 1 s. c) Su aceleración, ~a(t). d) Su aceleración en el instante inicial y su módulo. a) ~v (t) =

d~r = 2t~i − sen t ~j + 2e2t ~k dt

b) ~v (0) = (0, 0, 2)

~v (1) = (2, − sen 1, 2e2 )

c) ~a(t) =

d~v = 2~i − cos t ~j + 4e2t ~k dt

b) ~a(0) = (2, −1, 4) |~a| = (22 + 1 + 42 )1/2 = 4,58

3.3.

Componentes de la aceleraci´ on

Consideremos una part´ıcula que describe una trayectoria curva. Supondremos por simplicidad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta sección son válidos en general. Considerando que el vector aceleración siempre está dirigido hacia el lado cóncavo de la curva siempre se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria, ~at , y otra componente normal dirigida hacia el interior de la curva, ~an . Veremos en esa sección que cada una de estas componentes tiene un significado f´ısico claro.

at r (t) an

a

14


* Aceleración tangencial , ~at

!

cambios del módulo de la velocidad, | ~v |

* Aceleración normal o´ centr´ıpeta, ~an

!

cambios en la dirección de ~v

Se puede demostrar (aunque no lo haremos aqu´ı en detalle) que la aceleración siempre se puede descomponer as´ı: ~a =

d~v d dv d~ut dv v 2 = (v~ut ) = ~ut + v = ~ut + ~un dt dt dt dt dt ρ

(7)

donde ~ut es un vector unitario (de módulo unidad) tangente a la trayectoria de la part´ıcula, ~un es un vector unitario normal a ella y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria (es decir, el radio de la circunferencia que mejor se aproxima a la curva en cierta región). De esa igualdad queda claro que la componente tangencial tiene por módulo la derivada del módulo de la velocidad, es decir, está asociada al cambio del módulo de ~v . Y el segundo está asociado a la variación de la dirección de la velocidad. Otra forma de expresar la Ec. (7) es la siguiente: ~a = ~at + ~an donde dv ~ut dt v2 ~an = ~un ρ En el caso particular de un movimiento rectil´ıneo, la dirección de la velocidad es constante ~at =

y entonces la componente normal es nula. En el caso de un movimiento uniforme es nula la componente tangencial. El módulo de la aceleración en general se puede expresar como: " 2 2 #1/2 2 dv v a = (a2t + a2n )1/2 = + . dt ρ

3.4. 3.4.1.

Ejemplos particulares Movimiento circular

Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria circular. Si el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un ańgulo θ, s = Rθ. ~v = v~ut =

ds ~ut dt

−→

v=

ds dθ =R dt dt

15


La función dθ/dt se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimensiones y unidades en el S.I. son: [ω] = T −1 ;

S.I.

rad s

−→

Con esta definición: v = ωR. La velocidad angular también se puede definir como una magnitud vectorial, asociandole una dirección y sentido. Por definición se considera su dirección como perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función del sentido del movimiento, tal y como muestra la figura. z

ω v

R

γ

r x

y

R = r sen γ

−→

v = ωr sen γ;

ω ~ =

dθ ~ k dt

=⇒

~v = ω ~ × ~r.

Esta relación sólo es válida para el movimiento circular, porque sólo en él r y γ son constantes. Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la velocidad angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es un movimiento periódico puesto que la part´ıcula vuelve a pasar cada cierto tiempo por el mismo punto. Para este tipo de movimiento es u ´til definir los siguientes conceptos. - Periodo, T : tiempo que tarda la part´ıcula en regresar al mismo punto. Si la part´ıcula realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son [T ] = T . - Frecuencia, ν: n´ umero de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T . Sus dimensiones son [ν] = T −1 y su unidad en el S.I. es s−1 que recibe el nombre de herzio (Hz).

16


Para este tipo de movimiento (ω ≡ ω0 = cte.) es sencillo obtener la posición angular de la part´ıcula a partir de la definición de ω: Z t Z t Z θ dθ dt ω0 dt = ω0 dθ = ω= −→ dt t0 t0 θ0

=⇒

θ(t) = θ0 + ω0 (t − t0 ).

Si se toma la condición inicial, θ0 = 0 en t0 = 0, resulta: θ = ω0 t. Tras una vuelta completa a la circunferencia: t = T;

θ = 2π

−→

2π = ω0 t

−→

ω0 =

2π = 2πν. T

Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la part´ıcula cambia con el tiempo. Se define la aceleración angular como:¡ d~ω . dt

α ~=

Como el movimiento tiene lugar en un plano, la dirección de ω ~ no var´ıa y se verifica la ecuación anterior también para los módulos de las magnitudes involucradas. α=

d2 θ dω = 2. dt dt

Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En este caso, α ≡ α0 = cte.:

Z

ω

Z

t

α0 dt = α(t − t0 )

dω = ω0

ω(t) = ω0 + α0 (t − t0 ).

=⇒

t0

Esta ecuación es análoga a la correspondiente para el movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado.

dθ ω= dt

Z =⇒

t

θ − θ0 =

Z

t

[ω0 + α0 (t − t0 )] dt.

ω dt = t0

t0

Resolviendo la integral resulta: 1 θ = θ0 + ω0 (t − t0 ) + α0 (t − t0 )2 . 2

17


Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimensión, sin más que hacer las sustituciones: x

−→

θ

v

−→

ω

a

−→

α

(8)

Veamos ahora cómo son las componentes de la aceleración en el caso del movimiento circular: dv dω d2 θ =R = R 2 = Rα dt dt dt 2 v = ω2R = R

at = an

En el movimiento circular uniforme, at = 0 pero an 6= 0. En este caso además se puede calcular la aceleración de otro modo: ~v = ω ~ × ~r

−→

d~v d~r = ~a = ω ~× =ω ~ × ~v , dt dt

porque d~ω /dt = 0. Entonces, ~a = ω ~ × (~ω × ~r). Pero, en general, para un movimiento circular no uniforme la derivada de la velocidad lineal para obtener la aceleración hay que realizarla del siguiente modo: ~a =

d~v d d~ω d~r = (~ω × ~r) = × ~r + ω ~× =α ~ × ~r + ω ~ × ~v dt dt dt dt

(9)

Esta ecuación es válida para cualquier movimiento circular. 3.4.2.

Movimiento parab´ olico

Uno de los casos particulares más interesantes de movimiento uniformemente acelerado es el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento plano en que la aceleración es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del movimiento de ca´ıda libre en este caso consideramos que la velocidad inicial, ~v0 , puede formar un cierto ángulo con la horizontal y as´ı el movimiento tiene dos componentes. Igual que hicimos en el movimiento de ca´ıda libre, despreciando las fuerzas de rozamiento y las anomal´ıas gravitatorias, podemos considerar que la aceleración gravitatoria es aproximadamente constante y se puede expresar como ~a = ~g = −g~j. Si el proyectil se lanza con una

18


velocidad inicial ~v0 que forma un ańgulo α con el eje x, su movimiento bidimensional es una composición de un movimiento uniforme en el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleración) y un movimiento uniformemente acelerado en el eje vertical.

y v=v0x

ym

v (t)

v0x vy(t)

v(t )

v0 g α

R

x

Condiciones iniciales: t0 = 0

→

~v0 = v0x ~i + v0y ~j = v0 cos α~i + v0 sen α ~j.

~r0 = (0, 0);

Velocidad en cualquier instante de tiempo: ~v (t) = vx ~i + vy ~j, donde:

( vx vy

= v0x = v0 cos α = cte. = v0y − gt = v0 sen α − gt

Vector posición en cualquier instante: ~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j, donde:

( x(t) = v0x t = v0 cos α t y(t) = v0y t − 21 gt2 = v0 sen α t − 21 gt2

- Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la máxima altura, tm . La condición de máxima altura viene dada porque en ella vy = 0. Entonces v0y = gtm y despejando tm : tm = v0 sen α/g.

19


- Altura máxima, ym . Basta sustituir tm en la ecuación que da y = y(t). 2 v0 sen α 1 v0 α ym = y(tm ) = v0 sen α − g g 2 g

=⇒

ym =

1 v02 sen2 α 2 g

- Tiempo de vuelo, tv . Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0. 1 0 = v0 sen α t − gt2 2

=⇒

tv =

2v0 sen α = 2tm g

- Alcance, R. Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(tv ). R = x(tv ) = v0x

2v0 sen α v2 v2 = 0 (2 sen α cos α) = 0 sen 2α. g g g

Esta función toma un valor máximo para α = 45o . Téngase en cuenta que en estos razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo que sólo son válidos para alcances no demasiado grandes. Ecuación de la trayectoria, y = y(x). Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene: y(x) = x tan α −

2v02

g x2 2 cos α

que es la ecuación de una parábola invertida, de ah´ı que este tipo de movimiento reciba el nombre de parabólico.

4.

Movimiento relativo El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un sistema

de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observadores pueden elegir distintos sistemas de referencia, es importante estudiar qué relación hay entre las observaciones de uno y otro. Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana están referidas a la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de forma muy compleja).

20


Sin embargo, los astrof´ısicos prefieren considerar como sistema de referencia, las denominadas estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento es inapreciable desde la Tierra) y en f´ısica atómica el movimiento de los electrones se refiere al n´ ucleo atómico. La posibilidad de elegir un sistema de referencia absoluto preocupó durante mucho tiempo a f´ısicos y filósofos. Y de hecho durante algunos siglos se supuso la existencia de un extra˜ no sistema, llamado éter que era una sustancia que llenaba el espacio vac´ıo y se pod´ıa considerar como un sistema de referencia absoluto. Hoy en d´ıa la b´ usqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante.

4.1.

Velocidad relativa

Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como sistema de referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O serán: ~vA =

d~rA ; dt

~vB =

d~rB dt

La velocidad relativa de B respecto de A será, ~rAB = d~rAB /dt, y la de B respecto de A: ~rBA = d~rBA /dt, donde ~rAB = ~rB − ~rA y ~rBA = ~rA − ~rB . z

A

vA

vB rAB B

rA

rB O

x

y

Como ~rAB = −~rBA resulta que las velocidades relativas son vectores idénticos pero con sentidos opuestos: ~vAB = −~vBA . d~rB d~rA d~rAB = − = ~vB − ~vA dt dt dt = −~vAB = ~vA − ~vB

~vAB = ~vBA

Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema O.

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4.2.

Aceleraci´ on relativa

La aceleración relativa se calcula derivando respecto al tiempo la velocidad relativa: ~aAB =

d~vAB d~vB d~vA = − dt dt dt

=⇒

~aAB = ~aB − ~aA ,

~aBA = ~aA − ~aB

En el caso particular de que una de las dos part´ıculas se desplace con velocidad constante, por ejemplo, si ~vB = 0, la aceleración relativa es la de la otra part´ıcula, ~aAB = ~a. Y si las dos se desplazan con velocidad constante su aceleración relativa, evidentemente es cero.

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5.

Problemas

1. La velocidad de una part´ıcula que se mueve en l´ınea recta viene dada por v = 4t2 − 6t + 2 (S.I.). Sabiendo que en t = 0, x0 = 3 m, calcula: a) Su posición en cualquier instante. b) Su aceleración instantánea. c) Su aceleración media entre t1 = 1 s y t2 = 2 s. 4 (Respuestas: a) x(t) = 3 + t3 − 3t2 + 2t; b) a(t) = 8t − 6; 3

c) a ¯ = 6 m/s2 )

2. La variación de la aceleración de la gravedad con la altura viene dada por:

g=−

GM0 (R0 + h)2

y cuando h = 0, g0 = 9,8 m/s2 . Teniendo en cuenta esta expresión calcula la velocidad inicial, v0 , que habr´ıa que darle a un objeto para que lanzado desde la superficie terrestre ascienda una altura vertical de 4000 km. (R0 = 6000 km). 3. La ecuación que define la trayectoria de una part´ıcula en un plano XY viene dada por √ ~r = 5t~i + (10 3t − 5t2 ) ~j. Determ´ınense: a) La ecuación de su trayectoria, y = f (x). b) Los vectores velocidad y aceleración. c) Los módulos de la aceleración tangencial y normal en t = 1 s. √ √ 1 (Respuestas: a) y(x) = 2 3x − x2 . b) ~v = 5~i + 10( 3 − t) ~j; 5 at = 8,2 m/s2 ; an = 5,7 m/s2 )

~a = −10 ~j.

c)

◦

4. Se dispara un ca˜ noń con una inclinación de 45 respecto a la horizontal, siendo la velocidad inicial del proyectil 490 m/s. Calc´ ulense: a) El alcance, la altura máxima y los tiempos correspondientes. b) La posición del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s. ◦

5. Una pelota rueda por un tejado que forma un ańgulo de 30 con la horizontal y al llegar a su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula:

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a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuación de su trayectoria. b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta? c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento. ◦

d) Posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ańgulo de 45 con la horizontal. (Respuestas: a) ~a(t) = −9,8 ~j (S.I.); ~v (t) = (v0 cos α, −v0 sen α−gt); ~r(t) = (v0 t cos α, y0 − 1 v0 t sen α− gt2 ); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5 m/s; d) ~r = 3,5~i+2,8 ~j 2 (S.I.).) 6. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un r´ıo muy ancho con una velocidad de 10 km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del r´ıo es de 5 km/h hacia el este. a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra. b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), ¿en qué dirección debe dirigirse? 7. Un avión militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una altura de 1000 m. a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo estático en tierra, ¿a qué distancia horizontal de éste debe hacerlo? b) Si el objetivo es un camión que circula a 72 km/h en la misma trayectoria rectil´ınea que el bombardero, ¿a qué distancia debe lanzar la bomba, tanto si el camión se acerca como si se aleja? (Respuestas: a) x = 1429 m;

b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.)

8. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectil´ınea con una aceleración a = m e−nt , donde m y n con constantes. Calcula la velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t. 9. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. ¿Cuál es su velocidad angular? b) Un disco gira con aceleración angular constante α = 2 rad/s2 . Si parte del reposo, ¿Cuántas revoluciones dará en los 10 primeros segundos? c) ¿Cuál es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s?

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(Respuestas: a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. ) 10. El vector de posición de una part´ıcula que se mueve en una trayectoria plana es ~r = [5 cos(πt) − 1]~i + (5 sen(πt) + 2]~j (S.I.). a) Demuéstrese que el movimiento es circular y uniforme. b) Calcula el radio de la trayectoria. c) Calcula la frecuencia del movimiento. 11. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una part´ıcula son: x = 3 + 2t + 4t2 ; y = −1 + t + 2t2 ; z = 5 − 3t − 6t2 . Determinar: a) El tipo de movimiento descrito por la part´ıcula. b) La ecuación de la trayectoria. c) La velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como origen su posición en t = 0 s. x−3 = y+1 = (Respuestas: a) Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado; b) 2 √ z−5 ; c) (18, 9, −27) m/s; d) 14 (2t2 + t)) −3 12. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y aceleraciones: vy = 8t (m/s) ; ax = 4t (m/s2 ) con t en segundos. Cuando t = 0 s, ~r = (0, 2) m, vx = 0 m/s. Hallar: a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) La rapidez de la part´ıcula cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m. 13. Un trineo impulsado por motores-cohete inicia su movimiento desde el reposo con una aceleración a1 = 9x m/s2 , debiendo obtener una velocidad de 80 m/s en el punto B de la plataforma de lanzamiento de longitud D. Después de haber dejado la plataforma de lanzamiento en el punto B, el trineo empieza a desacelerarse con una a2 = −0, 2t m/s2 , hasta detener su movimiento en el punto C. Calcular: a) La longitud D necesaria para la plataforma de lanzamiento. b) El tiempo requerido por el trineo para recorrer la distancia de B a C. c) La longitud requerida L entre los puntos B y C. (Respuestas: a) 26, 67 m;

b) 28, 28 s; c) 1508, 49 m)

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14. Una part´ıcula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades vx = 2/x m/s , vy = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posición de la part´ıcula es (0, 1) m. Calcular: a) La ecuación de la trayectoria. b) La velocidad y aceleración para t = 1 s. c) La pendiente de la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleración tangencial, aceleración normal y radio de curvatura para t = 1 s. ◦

15. Se lanza una part´ıcula de masa m con un ańgulo de 45 respecto de la horizontal, desde un punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La part´ıcula cae al suelo a una distancia g de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleración debida al viento es av = (1, 1) (m/s2 ), 3 siendo g la aceleración de la gravedad. Calcular: a) La velocidad inicial. b) La velocidad con la que la part´ıcula llega al suelo. c) La altura máxima alcanzada por la part´ıcula. ◦

(Respuestas: a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = −31, 87 ;

c) 4, 41 m)

16. Un artillero dispara una pieza 10 s después se ve en el cielo la nubecilla de la explosión que ◦

se halla 30 sobre la horizontal y 2 s después de verla, oye el estampido que el proyectil gt produce al explosionar. Si la aceleración del viento es av = − (m/s2 ) en dirección 10 horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, calcula la velocidad inicial del proyectil y el ángulo de tiro. 17. La ecuación del movimiento de una part´ıcula que se desplaza por una circunferencia viene dada por: s = 1 − t + 2t2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del móvil y su aceleración tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que an = 0, 2 m/s2 para t = 1 s. b) La aceleración angular y la velocidad angular para t = 10 s. (Respuestas: a) 7 m/s; at = 4 m/s2 ; an = 1, 09 m/s2 ; a = 4, 15 m/s2 ; b) 88, 89×10−3 rad/s2 ; 0, 87 rad/s)


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18. Una part´ıcula se mueve sobre un c´ırculo de radio r = 2 m seg´ un la ley φ = 3t2 − 2t, donde φ está expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el ángulo descrito, el arco recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial, centr´ıpeta y angular a los 4 s de iniciado el movimiento. x2 dirigiéndose hacia el punto O, como muestra la 50 figura. La rapidez de la part´ıcula es de la forma v = 10t (m/s). a) Si la part´ıcula tarda

19. Una part´ıcula recorre la parábola y =

3 s en llegar al punto A, calcular el vector velocidad y las componentes intr´ınsecas de la aceleración en A. b) Si la part´ıcula tarda 5 s en llegar al punto O, calcular el vector velocidad y las componentes intr´ınsecas de la aceleración en O. (Respuestas: a) ~v = (−13,42, −26,83) m/s; 10 m/s2 ; 3,22 m/s2 ;

b) ~v = (−50, 0)

m/s; 10 m/s2 ; 100 m/s2 )

20. La pesa B está conectada a una polea doble por uno de los cables inextensibles mostrados en la figura.El movimiento de la polea es controlado por el cable C que tiene una aceleración constante de 23 cm/s2 y una velocidad inicial de 30 cm/s, ambas dirigidas a la derecha. Determina: a) El n´ umero de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s. b) La velocidad y el cambio en la posición de la pesa B después de 2 s. c) La aceleración del punto D sobre el borde de la polea interior de t = 0 s.


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21. El ensamble que se muestra está compuesto por dos varillas y una placa rectangular BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular constante de 10 rad/s y que disminuye a razón de 20 rad/s2 . Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B, determina la velocidad y aceleración de C. (Respuestas: ~vC = (0, −2,4, −1,8) m/s; ~aC = (18, 19,2, −15,6) m/s2 )

22. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante 75 rad/s y que disminuye a razón de 600 rad/s2 alrededor de una l´ınea que une los puntos A y D. Si en el instante considerado la velocidad de la esquina C va hacia arriba, determina velocidad y aceleración para la esquina B.


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Tema 1. Cinematica - ocw.usal.es

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