Ejemplos adicionales del Tema 1. L Lagrangiana. i (Ver los problemas resueltos de los Apuntes de Mecánica Analítica) (M A GIA) (Mec. Ana. GIA)
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS
Ejercicio de clase. Mecánica Analítica 3º
2.12.2011
El test consta de 10 apartados, cada uno tiene 5 respuestas. Sólo una es correcta; márquenla en la plantilla adjunta.
P) La Lagrangiana L de un sistema con dos grados de libertad es L= T − U , donde= T
U=
k 2
1 2
(q12 + q22 ) y
( q22 q1 + q12 q2 ) + V ( q1 ) es un potencial generalizado del que se derivan las componentes de las fuerzas
generalizadas ( Q j ) que actúan en el sistema. La función V = V ( q1 ) tiene derivada V ' = V '( q1 ) continua y k es una constante. Si no se imponen ligaduras al sistema: P1) Las fuerzas generalizadas satisfacen: A) Q1 = k q 2 ( q2 − q1 ) − V ' , Q2 = − k q2 ( q2 − q1 ) B) Q1 = −V ' , Q2 = 0
C) Q1 = k q2 ( q2 − q1 ) − q1V ' , Q2 = − k q2 ( q2 − q1 ) D) Q1 = − k q1 ( q2 − q1 ) + V ' , Q2 = k q 2 ( q2 − q1 )
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P2) La función de energía H = H (q, q ) asociada a la Lagrangiana es A) B) C) D) E)
2T − U T +U T +V T Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P3) Los momentos canónicos generalizados correspondientes a cada coordenada q j son: A) p1 q= = y p2 q2 1
p1 = q1 + k2 q22 y p2 = q2 + k2 q12 C) p1 = q1 + k q2 q1 y p2 = q2 + k q1 q2 B)
q1 + k2 q12 y p2 = q2 + k2 q22 D) p1 = E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P4) Puede afirmarse que: A) T es una constante del movimiento. B) V es una constante del movimiento. C) T + V es una constante del movimiento. D) p2 es una constante del movimiento. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
0 , se puede afirmar que: P5) Si se incorpora ahora al sistema la ligadura q22 q1 + q12 q 2 = A) La ligadura es holónoma. B) p2 es una constante del movimiento. C) La función de energía H = H (q, q ) es una constante del movimiento. D) T es constante del movimiento. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P6) Una partícula se mueve en el plano horizontal xy por acción de una única fuerza F = − γ v , donde γ es una constante positiva. Usando como variables generalizadas las coordenadas polares planas (r , θ ) , las componentes generalizadas de la fuerza sobre la partícula son: A) Q = −γ r y Q = −γ r θ θ
r
B) Qr = −γ r y Qθ = −γ r 2 θ C) Q = −γ (r + r θ) y Q = 0 θ
r
D) Qr = −γ θ r y Qθ = −γ r θ 2 E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P7) Para la función dinámica u (q, p, t ) con respecto a un sistema de N grados de libertad con Hamiltoniano H = H (q, p, t ) , puede asegurarse que: A) ∂u ∂pk = [qk , u ] B) ∂u ∂qk = [ pk , u ] C) du dt = [u , H ] D) d [u , H= ] d t [ H , u ] + [ H , u ] E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P8) Para un sistema hamiltoniano de un grado de libertad, la transformación de contacto (q, p ) → (Q, P ) dada por ωt a las relaciones Q e= = q cos(b p ) , P e − ωt q a sen(b p ) (los parámetros a, b y ω son constantes distintas de
cero): A) Es canónica si b a = 1 para todo valor de ω B) Es canónica= si b 1= 2, a 2 , para todo valor de ω C) Es canónica si= b 2, = a 1 2 , para todo valor de ω D) No es canónica, cualesquiera que sean los parámetros. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P9) El Hamiltoniano asociado a un sistema lagrangiano de un grado de libertad es H ( q, p ) =p 2 2 + A( q ) p + B ( q ) , donde A y B son funciones conocidas. Puede asegurarse que A) p B es una constante del movimiento. B) L( q, q ) ( q 2 + A2 ) 2 + q A − B = C) = L( q, q ) q 2 2 − q A − B D) = L( q, q ) (q − A) 2 2 − B E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P10) El potencial generalizado de un sistema lagrangiano holónomo natural correspondiente a una partícula de
constante. Las variables generalizadas se corresponden según (q, q , p ) → (r , v , p ) . Puede asegurarse que: A) La función de energía es H (r , v ) = T B) dT dt = − ω0 T C) La fuerza asociada a U es = Q mω0 × r D) p = m v
masa m , posición r y energía cinética T = m v / 2 , es U (r , v )= mω0 ⋅ (v × r ) 2 , donde ω0 es un vector 2
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
Ejemplos: j p 1)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso. Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’) se desplaza con una ley rO ' (t ) arbitraria.
x3
q3
P Mg O’
q1
q2
x2 x1
Solución: 1) x3
q3
P Mg O’
q1
q2
x2 x1 T 0, q j
ro ' (t ) xo ' (t )e1 yo ' (t )e2 zo ' (t )e3 , r ro ' (t ) q1e1 q2 e2 q3e3 , r a1 e1 , a2 e2 , a3 e3 , q1 v vo ' q1e1 q 2 e2 q3e3 , T 12 M v 2 12 M vo2 q12 q2 2 q32 2 q1 ( vo ' e1 ) 2 q2 ( vo ' e2 ) 2 q3 ( vo ' e3 ) ,
T M q j ( vo ' e j ) , q j
d T M qj ( ao ' e j ) , d q j dt F Mge3 , Q1 F a1 0, Q2 F a2 0, Q3 F a3 Mg ,
M q1 xo ' (t ) 0,
M q2 yo ' (t ) 0, M q3 zo ' (t ) Mg ,
Ejemplos: j p 2)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta j por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que forma el hilo con la vertical descendente.
z
R P Mg
x
Solución: 2) z
R
N Mg
r R (sin e1 (1 cos )e3 ), r a R (cos e1 sin e3 ), v R (cos e1 sin e3 ), x F Mge3 N ( sin e1 cos e3 ),
T 12 Mv 2 12 MR 2 2 , d T T F a , dt
M R 2 M gR sin
Ejemplos: j p 3)
Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la acción de una fuerza atractiva desde el origen g O del triedro y proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas de la partícula r , , .
z r
F k r
M
y
x
Solución: 3) z
x
Coordenadas generali adas generalizadas:
q1 , q2 , q3 r, ,
r r sin cos e1 sin sin e2 cos e3 ,
F k r
r M ar sin cos e1 sin sin e2 cos e3 , r r r a r cos cos e1 cos sin e2 sin e3 , y r a r sin sin e1 sin cos e2 , r r a a , T 12 M r 2 r 2 2 r 22 sin 2 v q j a j ra t j Q F a 0, Qr F ar kr, Q F a 0,
T 1 M 2 r 2 2 r2 sin 2 , r 2
T 1 2 M 2 r 22 sin cos ,
T 0,
z r
T 12 M r 2 r 2 2 r 22 sin 2 , Qr F ar kr, Q F a 0, Q F a 0,
F k r
M
T 1 T 1 2 M 2r 22 sin cos , M 2r 2 2r2 sin 2 , r 2 y T 0, T 1 T 1 T 1 2 2 2 x M 2 r sin , 2 M 2r , M 2 r , 2 2 r d T d T 1 2 r 2 , d T 1 M 4 rr sin 2 2 r 2sin 2 4 r 2 sin cos , M r, M 4 rr 2 2 d dt d r dt d dt
M r Mr 2 2 sin 2 kr ,
d T T Q , dt
sin cos 0, Mr 2 r sin 2 r sin 2 2 r 0
Mr 2 r r Mr 22 sin cos 0,
d T T Qr , dt r r d T T Q , dt
Ejemplos: j p 4)
Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola z a x 2 ((donde a es una constante). ) Plantear la ecuacion de Lagrange para el movimiento de la partícula usando q x como coordenada generalizada.
z
Mg
x
Solución: 4) z z a x2 N Mg
x
q x, r 2 i 2axk , r xi ax k , a x x dr 2ax xk , v xi dt T 12 Mv 2 12 M x 2 z 2
12 M x 2 4a 2 x 2 x 2 12 Mx 2 1 4a 2 x 2 ,
T T 4a 2 M x 2 x, Mx 1 4a 2 x 2 , x x
F Mgk N ,
d T Mx 1 4a 2 x 2 8a 2 Mx 2 x, dt x
Qx F a x Mg 2ax,
d T T Qx , dt x x
Mx 1 4a 2 x 2 8a 2 Mx 2 x 4a 2 M x 2 x Mg 2ax, x 1 4a 2 x 2 4a 2 x 2 x g 2ax,
Ejemplo (ligaduras no holónomas ideales): Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en cada instante al vector
u (t ) (2 sin t )i (3 cos t ) j (4 sin t )k ,
siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange que describen el movimiento de la partícula. z Mg
y
x 11
Solución (ligaduras no holónomas ideales): Coordenadas generalizadas x,y,z,
v
paralelo a u (t )
yj zk v xi
x y z , 2 sin t 3 cos t 4 sin t
2 ligaduras no holónomas: g
(1) : (3 cos t ) x (2 sin t ) y 0, (2) : (4 sin i t ) y (3 cos t ) z 0, 0
B11 (3 cos t )), B12 (2 sin i t ), ) B13 B1 0, B22 (4 sin t ), B23 (3 cos t ), B21 B2 0,
T 12 M ( x 2 y 2 z 2 ), U Mgz 12 K ( x 2 y 2 z 2 ), L T U , d L L CN f i 1 ( B11i B12 j B13 k ) 2 ( B21i B22 j B23 k ) i , dt x x d L L CN f j 1 ( B11i B12 j B13 k ) 2 ( B21i B22 j B23 k ) j , dt y y d L L CN f k 1 ( B11i B12 j B13 k ) 2 ( B21i B22 j B23 k ) k , dt z z
12
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
Mx Kx 1 (3 cos t ), My Ky 1 (2 sin t ) 2 (4 sin t ), ) Mz Kz Mg 2 (3 cos t ), (3 cos t ) x (2 sin i t ) y 0, 0 (1) (4 sin t ) y (3 cos t ) z 0, (2) Incógnitas:
x (t ), y (t ), z (t ), 1 (t ), 2 (t ),
Condiciones iniciales:
x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ), x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ), Compatibles con (1) y (2) !!
13
Más ejemplos! j p 1) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple (partícula de peso Mg) de longitud R cuando además sobre el péndulo actúa la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K . Usar el ángulo como coordenada generalizada y escribir la ecuación del movimiento a partir de la lagrangiana.
z
R P Mg
x
14
Solución: 1) z
a r R (sin e1 (1 cos )e3 ), , T 1 Mv 2 1 MR 2 2 , 2
R
N
2
2 U Mgz K OP 1 2
P Mg
v ,
x
MgR (1 cos ) KR 2 1 cos R ( Mg KR ) 1 cos ,
L T U 12 MR 2 2 R ( Mg KR ) 1 cos , d L L 0, dt
M R 2 R ( M g K R ) sin 0
2) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre el paraboloide, de eje vertical, . Sobre la partícula actúa además un muelle ideal de z ax 2 b y 2 constante elástica K, cuyo extremo está fijo al origen de coordenadas. Determinar la lagrangiana de la partícula y sus ecuaciones del movimiento usando x, y, como coordenadas generalizadas.
z
P Mg
x
y
16
2 2 r xi y j zk xi y j ( a x b y )k , y j zk y j 2( a xx b yy ) k , xi v xi
2) Solución.
z
z ax 2 b y 2
T 12 Mv 2 12 M x 2 y 2 4( a xx b yy ) 2 , 2 1 U Mgz g 2 K OP
P Mg
x
Mg ( a x 2 b y 2 ) 12 K x 2 y 2 ( a x 2 b y 2 ) 2 ,
y L T U
12 M x 2 y 2 4(a xx b yy ) 2 Mg ( a x 2 b y 2 ) 12 K x 2 y 2 ( a x 2 b y 2 ) 2 , L M x 4a x ( a xx b yy ) , x L 1 2 M 8( axx byy ) ax 2 Mg ax 12 K 2 x y 2 4ax ( a x 2 b y 2 ) x 17
L M y 4b y ( a xx b yy ) , y
L 1 2 M 8(axx byy ) ay 2 Mgby 12 K 2 y x 2 4by ( a x 2 b y 2 ) y d L , dt x
d L , dt y
d L L 0, dt x x
M (1 4a 2 x 2 ) x x 2agM K 2a 2 Kx 3
d L L 0, dt y y
M (1 4b 2 y 2 ) y (2bgM K ) y 2b 2 Ky 3
x 2abKy 2 4aM ( ax 2 by 2 ) 4abMyy 0, 0
y 2abKx 2 4bM ( ax 2 byy 2 ) 4abMxx 0,, 18
Ejemplos de sistemas con leyes de conservación “triviales” 1)
z
R P Mg
x
L T U 12 MR 2 2 R ( Mg KR ) 1 cos ,
L E ( , ) L T 12 MR 2 2 ,
L( , )
constante
E T U 12 MR 2 2 R( Mg KR ) 1 cos constante
Ejemplos de sistemas con leyes de conservación “triviales”
z
2)
r
F k r
M Mg
y
x
q r, ,
U 12 kr 2 Mg r cos ,
L T U L( r , , , r, , , t ),
E T U const
p
T 12 M r 2 r 2 2 r 22 sin 2 ,
L 2 2 Mr sin const.
2 leyes de conservación
3) Una partícula de masa M se mueve respecto de un triedro inercial sometida al peso. Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’) se desplaza con una ley r (t ) arbitraria. O'
x3
q3
P Mg O’
q1
q2
x2 x1
x3
q3
P Mg O’
q1
q2
x2 x1
ro ' (t ) xo ' (t )e1 yo ' (t )e2 zo ' (t )e3 , v vo ' q1e1 q 2 e2 q3e3 , 2 1 T M v 2 M ( q3 zo ' ) 2 1 2
12 M ( q1 xo ' ) 2 ( q2 y o ' ) 2 ,
U Mgx3 Mgq3 Mg zo ' (t ),
L T U,
L L 0, p1 M ( q1 xo ) const c1 , q1 q1 L L 0, p2 M ( q2 y o ) const c2 , q2 q2
N No existe la ley de conservación para arbitrario! it l l d ió E ( q, q ) ro ' (t ) bit i !
d M ( q3 zo ' ) Mg 0, M ( q3 zo ' ) Mgt const dt d Equivalente a: ( q3 zo ' ) M ( q3 zo ' ) Mg ( q3 zo ' ) 0, dt 1 2
M ( q3 zo ' ) 2 Mg ( q3 zo ' ) const
4) Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en cada instante al vector
u (t ) (2 sin t )i (3 cos t ) j (4 sin t )k ,
siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange que describen el movimiento de la partícula. 2 2 2
L T U,
z Mg
T 12 M ( x y z ),
U Mgz 12 K ( x 2 y 2 z 2 ), En las coordenadas x,y,z
y
x
L 0,, B1 0 t
E T U const. 23
• a) Ejercicio. ) Ej i i
( xB , y B ) Encontrar la curva plana y ( x) que une los puntos ( x A , y A ) y , teniendo g la longitud más corta. B
s AB ds A
xB
1 y( x )2 dx , con
y ( xB ) y B ,
xA
F 1 y( x) d y dx 1 y 2
y( xA ) y A ,
2
0,
y 1 y
2
d F F 0,, d y y dx
const
y ( x ) const.
y c2 c1 x,
y y A yB y A y y A xA B x xB x A xB x A
24
1) Ejercicio. Dinámica relativista.
Un electrón relativista se mueve en el seno de un potencial . La U (r , t ) lagrangiana g g de dicha ppartícula es L mc 2 1 v 2 / c 2 U ( r, t ), siendo m y c la masa del electrón y la velocidad de la luz en el vacío. Determinar a partir del Principio de Hamilton las ecuaciones del movimiento de dicha partícula.
25
Ejemplo 1 (ejercicio nº2 de apuntes). Dos partículas de masas M1 y M2 están unidas a través de un hilo ideal que pasa por un agujero taladrado en el plano horizontal (sin rozamiento) de la figura. Determinar: Variedad de configuración fuerzas generalizadas ecuaciones de Lagrange etc de configuración, fuerzas generalizadas, ecuaciones de Lagrange, etc.
z
y
g 2
1
x
z
y
g
Partícula 1: ( x , y )
Th
x
x , x , x x , y , z 1
Th
2
e ; e2
M1 M1 M 2
e2 ; e3
M2 M1 M 2
e3 ; e 1
3 CH r xe1 ye2 ze3 ; f M 2 ge f1 Th
CH f1
x
m M1 M 2;
2 e ; e
M1 M 2 1 M1
x x2 y2
e 1 Th
M1 M 2 M1
y x2 y2
3 e2 ; e
M1 M 2 M2
e1
y
e 2 x2 y2 e 3,
x2 y2 x2 y2 x y 1 2 Th 3 Th e e e ; 2 2 x2 y2 T x y h
e3 ;
e 2 (Th M 2 g )e 3 ;
1 x 2 y 2 z x 2 y 2 z 0,
Ecuación de ligadura:
1
3
e1 1,0,0, e2 0,1,0, e3 0,0,1,
Espacio vect. de config:
M2g M1 M1 M 2 1
z
Espacio de config. Cartesiano:
m1 , m2 , m3 M 1 , M 1 , M 2 ;
2
e1
Partícula 2:
1
Li d Ligadura ideal: id l
CH f1 11 ; Th Th ;
z
y
g
1
x
(no usamos la ligadura en la parametrización de la variedad de configuración)
dr 1 ye 2 ze 3 ; T 12 mv 2 12 M 1 ( x 2 y 2 ) 12 M 2 z 2 v xe dt
r a1 e1 , a2 e2 , a3 e3 , x
Th 2
M2g
Q1 f e1 Th
x
x y Q3 f e3 Th M 2 g ;
d dt d dt d dt
q ( x, y, z )
Coordenadas generalizadas:
Th
T T Q1 , x x T T Q2 , y y T T Q3 , z z
2
2
; Q2 f e2 Th
M 1 x Th M 1 y Th
y x y 2
x x y 2
2
y x y 2
2
, ,
M 2 z Th M 2 g ,
1 x 2 y 2 z 0,
2
;
z
y
g
Th 2
q ( , )
Coordenadas generalizadas:
Th
1
x
(usamos la ligadura en la parametrización de la variedad de configuración!!!!)
x cos ,
y sin ,
z ,
r ( , ) (cos e1 sin e2 ) ( )e3 ; r r a cos e1 sin e2 e3 , a ( sin e1 cos e2 ),
M2g
2 1 dr 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 v a a , T 2 mv 2 M 1 ( ) 2 M 2 2 ( M 1 M 2 ) 2 M 2 , dt Q f a Th cos e 1 Th sin e 2 (Th M 2 g )e 3 ( sin e1 cos e2 ) 0, Q f a f (cos ( e1 sin i e2 e3 ) M 2 g ,
d T T Q , dt d T T Q , dt
d ( 2) M2 0, 0 dt ( M1 M 2 ) M 2 2 M 2 g ,
z
y
g
Th
Th
Obtened la lagrangiana usando y 2 q ( , ) leyes de conservación.
1
x
U M 2 g z M 2 g ( ), L T U 12 ( M 1 M 2 ) 2 12 M 2 2 2 M 2 g ( )
2
M2g
L 0, t
L 0,
L L E ( q, q ) L T U const.
p
L 2 M const. 2
• Sólido rígido: Es un sistema partículas con seis grados de libertad (dimensión de la variedad de configuración) y como coordenadas generalizadas pueden usarse,por ejemplo, las tres coordenadas cartesianas, ( x A , y A , z A ), de un punto A del sólido junto con otros tres parámetros, ( , , ) , que determinan su orientación y que usualmente son los tres ángulos de Euler Euler. Sólido sin punto fijo (6 grados de libertad): A=CM
z
z
z
y
x
2 2 2 T 12 M ( xCM y CM zCM ) 12 I CM , Velocidad angular: ( sin sin cos )i ( sin cos sin ) j ( cos )k , Sólido con punto fijo: conviene tomar A=punto fijo. y
T 12 I A ,
x
Aplicación al sólido rígido (Sección I.1.8 de los apuntes, ver como ejemplo).
31
Componentes generalizadas de las fuerzas
q x A , y A , z A , , , .
rn rA n ; rA x Ai y A j z Ak ; z
z
Fn
z
n
y
rn
n
x
Q
r rn Fn , Q f a f q q rA n Q Fn Fn . q q QxA , Q yA , QzA ( Fn ) x ,( Fn ) y ,( Fn ) z ;
n n n Q Fn , Q Fn , Q Fn , Q d Q d Q d Fn d n d n ( dt ) n ( d d d ) n
A
rA y
cos i sin j , sin sin i sin cos j cos k , k ,
x 32
Componentes generalizadas de las fuerzas
Q
Q d Q d Q d Fn d n Fn (dt ) n ( d d d ) n Fn ( d d d ) n Fn z ( d d d ) M A ( M A )d ( M A )d ( M A )d ;
z
Fn
z
n
y
rn
n
x
A
rA y
Q M A , Q M A , Q M A ,
x 33
1 Ejemplo Obtened la lagrangiana de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a partir Obtened la lagrangiana de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a partir de su lagrangiana.
T 12 I A , z
0 0 ; I 3
U Mgz Mg cos ; L T U .
y
0 I1 0
T 12 I1 ( 2 2 sin 2 ) 12 I 3 ( cos ) 2 ,
z z x3
I1 IA 0 0
x2 y
L 0, 0 t L L L E L T U cte. L 0, 2) L p I1 sin i 2 I 3 ( cos ) cos cte t L L 0, p I 3 ( cos ) cte 1)
x
g
y
A
x1 x
x
3)
34
APLICACIÓN AL SÓLIDO RÍGIDO (Ver Sección I.1.8) SISTEMA CON 6 GRADOS DE LIBERTAD
EN ESPACIO DE CONFIGURACIÓN 3N DIMENSIONAL Sólido libre
Sólido tiene un punto fijo
LIGADURAS HOLÓNOMAS REDUCEN LOS PARÁMETROS < 6
Ecuaciones independientes de q
f q1 , q2 , , qn , t 0
FUERZAS GENERALIZADAS
Componente generalizada de la fuerza
Matriz ortogonal D Vector en componentes sobre ejes ligados al cuerpo
momento de la fuerza
Como
es lineal en
y con encontramos
Componentes generalizadas
DISCO RODANDO SIN DESLIZAR
y
Disco rodando
La velocidad angular del disco xi y j z k sen cos sen y La coordenada z del centro de masas, cos z sen sen cos x
zc Rsen
zc Rsen
El punto “B” del disco no desliza
v vc CB 0 , B
dy tan B dx B
y x tan 0 B B
dx 2 dy 2 R d 0, xB R cos 0 B B Usamos como coordenadas generalizadas: ( xB , yB , , , )
y y las coordenadas del CM:
xc x R cos sen B yc y R cos cos B
L
m ( x B R cos cos R sen sen ) 2 ( y B R cos sen R sen cos ) 2 R 2 2 cos 2 2
0 x 1 / 4 0 1 mR 2 x y z 0 1 / 4 0 y mgRsen 2 0 0 1 / 2 z (Sistema de referencia unido al disco)
Considerando la Lagrangiana
Los multiplicadores y de la fuerza de rozamiento.
están relacionados con las componentes
Componentes generalizadas de la fuerza de ligadura no holónoma
y
Expresando
Para las otras componentes tenemos
Dos discos en un plano inclinado
b
Sean las coordenadas No deslizamiento b
Ecuación de ligadura integrable:
Con
Tomamos como coordenadas generalizadas Con El potencial es
El lagrangiano es
Componentes generalizadas
Para obtener todas las componentes de la fuerza de rozamiento Se utiliza la ligadura añadiendo un multiplicador más
como ligadura cinemática no integrable
Encontrando los multiplicadores
y las componentes físicas de las fuerzas de rozamiento (proyecciones sobre el plano de las ruedas)
¿Qué pasaría si la barra tuviera una masa no despreciable?
FUERZAS DE INERCIA Potencial generalizado
Fuerza de inercia
aceleración del origen centrípeta
tangencial
Coriolis
PROBLEMA DE 3 CUERPOS •La lagrangiana de la partícula de masa m. M102 R1
M 2 M1
L
GM1 M 2
R1 R2
0 2
M 202 R2
M1
R1 R2
02
GM1
R23 1
2
M M 1 1 2 mv 2 mv r m r Gm 1 2 r2 2 2 r1
CM R1
M2 R2
Leyes de conservación
L 0 t
M1 M 2 1 1 2 2 L v v L cte 2 mv 2 m r Gm r1 r2 cte
L mv m r v
y m
1 M M L 2 mv ( r ) m r Gm 1 ` 2 2 r2 r r1
r1
r2
x M2
CM
M1
Ecuaciones de Lagrange adimensionalizaciones: t; d L mv m r 0 r dt
r /( R1 R2 ) r
1 1 1 2 2 x 2 y x y 0 x 2 1 1 2 y 2 x
donde
0t
1 1 1 2 2 x y 0 y 2 1 1 2
r1 1 y2 x 1 R1 R2
2
r2 1 2 y2 x R1 R2 1
2
Ejercicio (péndulo doble de masas iguales, caso particular del problema 6) las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación
q 1 , 2 , T z
u1 cos 1i sin i 1k , u2 cos 2 i sin i 2k ,
x g
1
M 2 2 2 2 2 v u u v v , v , 2 1 1 2 2, 1 2 1 1 2
u1
1
2 2
d L L 0, 0 dt 1 1 d L L 0, 0 dt 2 2
M 2 2 2 T 21 2 212 cos(1 2 ) , 2 U Mg ( z1 z2 ) Mg (2cos 1 cos 2 ),
u2
L T U;
2 g sin 1 2 2 sin(1 2 ) 21 2 cos(1 2 ) 0, g sin 2 sin( ) cos( )) 0 2
1
2
1
2
1
1
2
T U const 36
Ejm. Problemas. 1: La tensión es el multiplicador de Lagrange
z2=
