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Tema 4

A modo de resumen del proceso de elaboración de un plan económico de la empresa, obtenemos una cuenta de resultados previsional que puede formularse según diversas alternativas (contenido del anterior apartado 3.3). Esta parte final de la planificación económica puede resumirse como la respuesta a la pregunta de cuál será el resultado dadas unas determinadas ventas previstas y sobre la base que los precios, los costes y toda una serie de otras variables vendrán fijadas. Otro tipo de pregunta más general e igualmente útil de responder en la práctica, aunque con una intención distinta, es la de: ¿Cuál será el resultado que obtendremos si la ventas previstas fueran otras? Veremos cómo una forma de contestar este tipo de cuestiones, sin que esto signifique rehacer de nuevo todas las previsiones anteriores, es a partir de definir un modelo de previsión que permita simulación de resultados. Desde esta perspectiva, y como primer paso hacia la simulación de resultados, comenzamos a continuación el análisis del punto de equilibrio. En su sentido habitual (dadas unas previsiones de ventas, ¿Qué fracción de estas cubriría ya todos los costes del período?); primero con su formulación tradicional (empresa uniproducto) y posteriormente desarrollando un modelo para el caso general de empresas con más de un producto o diversas líneas de venta.

4.1 El modelo clásico base del punto de equilibrio (o punto muerto») El punto de equilibrio es probablemente uno de los modelos teóricos de la economía de la empresa más ampliamente utilizado en la práctica. El concepto, como es bien sabido, se refiere a aquel nivel de actividad o ventas en el cual quedan cubiertos exactamente todos los costes de una empresa. Un nivel mayor significa obtener beneficios e, inversamente, un nivel de ventas menor conlleva operar con pérdidas. De que sea también frecuente referirse a este importante parámetro de toda empresa como punto muerto» y también como «umbral de rentabilidad». El objetivo principal de este apartado y el siguiente es, partiendo del planteamiento tradicional, ofrecer una serie de reflexiones relativas a la aplicación práctica del análisis del punto de equilibrio (PE) considerando de la diversidad de la realidad empresarial, en la que lo más frecuente es que sean

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LA PLANIFICACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA EN LA EMPRESA

diversos los artículos que se vendan, y no solamente uno como generalmente supone el planteamiento habitual del PE. La expresión general, común a todos los caso, del PE es: aquel volumen de ventas para el que el margen bruto de contribución cubre exactamente los costes fijos. Dado que una determinación fiable del PE deberá basarse en un plan económico, en la presente exposición vamos a precisar con mayor detalle esta definición tradicional del PE en el siguiente sentido: Punto de equilibrio es aquella parte de la previsión de ventas que genera un margen de contribución que cubriría exactamente los costes fijos bajo supuestos de linealidad. Se entiende en este caso por margen bruto de contribución la diferencia entre el valor de las ventas y todos los costes variables de las ventas realizadas (incluidas, naturalmente, las materias primas). La clasificación estricta de los costes de la empresa en dos bloques diferenciados: fijos y variables, constituye, por tanto la base del modelo; entendiendo por costes fijos (como se ha expuesto en 3.1.2) aquellos que a corto plazo son independientes del volumen de las ventas. En base a esta separación rigurosa de los costes en dos bloques y considerar que las variables lo son exactamente de manera proporcional, el planteamiento habitual del modelo del PE tiene la ventaja de resultar sumamente claro y significativo, incluso para personas no familiarizadas con el análisis económico empresarial. En contrapartida, esta consideración simplificadora de los costes es, por otro lado, la fuente de las limitaciones del modelo. Como se ha observado anteriormente, por una parte los costes claramente variables pueden no serlo de forma exactamente lineal26, y por otra, −cuestión de mayor importancia en la mayoría de casos− la determinación de cuáles son los costes fijos depende en realidad de la óptica con que se contemple la dinámica de la empresa27.

4.1.1 El análisis del punto de equilibrio en la empresa uniproducto Dejando de un lado estas objeciones −que en todo caso deben tomarse en consideración a la hora de interpretar las cifras que proporciona el modelo−, la simplicidad y el significado directo del modelo puede observarse con el siguiente ejemplo, que servirá además de hilo conductor de la argumentación. Sea una empresa con una previsión de costes fijos mensuales de 800.000 ptas. y unos costes variables de 200 pesetas por unidad de artículo vendida (coste industrial −variable− del artículo más gastos variables de venta). El precio de venta es de 250 ptas./unidad; la previsión mensual de ventas es de 20.000 unidades y la capacidad de producción/venta de la empresa es de 24.000 unidades. Como puede observarse, en este caso la condición que define el PE, es decir que el margen de contribución iguale a los costes fijos, se expresaría así:

26

Lineal o proporcional equivale aquí al hecho que el coste variable por unidad de artículo vendido es

27

Es decir, que a medio plazo, y por variaciones relativamente importantes del nivel de actividad general de la empresa, la mayoría, sino todos los costes que en el apartado anterior hemos considerado como fijos, serán en realidad variables con una variabilidad generalmente «a saltos», que depende, además de lo indicado, de la estabilidad estimada para el cambio en el nivel de actividad, del tiempo necesario para el ajuste de la contratación de cada factor, así como de si la variación considerada al nivel

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PUNTO DE EQUILIBRIO Y SIMULACIÓN DE RESULTADOS

ue (250 − 200) = 800.000; (ue + PE, en unidades de artículo) de donde: ue = 800.000 / 50 = 16.000 unidades Esto va a permitir estimar que cuando la empresa consiga en un mes una venta de 16.000 unidades, cubrirá los costes fijos (16.000 unidades x 15 ptas. −margen por unidad− = 800.000 pesetas) y que por cada unidad que pueda vender por encima de esta cifra obtendrá un beneficio de 50 ptas. Igual que, en sentido contrario, para cada unidad inferior de venta respecto a las 16.000, también tendrá una pérdida de 50 ptas. Así, por ejemplo, si las ventas de este mes han sido de 200.000 unidades, puede anticiparse que el resultado de la empresa será de 200.000 ptas. de ganancia (4.000 x 50). Formulado el PE en términos generales: Resultado para una venta concreta R* = u* . M’ − F’ F' Punto de equilibrio (en unidades) ue = M' donde: F’ = costes fijos totales M’ = margen de contribución por unidad = (venta − costes variables de la venta/ unidades de venta = precio de venta − costes unitarios variables); siempre magnitudes según la previsión. V ' − u '. α ' M' = ≡ pv ' − α ' u' α’ = costes variables por unidad. Con mayor frecuencia en la práctica, por lo que después se verá, se halla la del PE en cifra de ventas, cuyo significado es totalmente equivalente al anterior: V e = u e . pv' → F' F' M ' pv ' − α ' Ve = . pv ' ≡ ; m' = ≡ M' m' pv' pv' es decir: Costes Fijos F' Ve = . 100 = Margen Bruto de Contribución (%) m' así, en el ejemplo anterior, en el que el porcentaje de margen bruto de contribución es del 20%: Margen Bruto en Pesetas 250 − 200 m' . 100 = . 100 = . 100 = 20% Venta 250 la cifra de ventas de punto de equilibrio será: 800.000 Ve = . 100 = 4.000.000 ptes mensuales 20

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figura 12

La representación gráfica −sin duda la parte más atractiva de la utilización del modelo en − tiene dos versiones: la consistente en representar ventas y costes totales (el PE es entonces justamente donde coinciden) y la consistente en representar directamente el margen de contribución y los costes fijos . A esta última forma de representación, que es la más corriente, aplicada a los datos del ejemplo numérico proporciona el gráfico de la figura 12, donde fácilmente puede observarse que el PE puede expresarse, en este caso, de cuatro formas equivalentes: Punto de equilibrio, 1) en unidades físicas, 16.000 unidades 2) en cifra de ventas, 4.000.000 pesetas 3) en % de la cifra prevista, 80% 4) en % capacidad total, 66,6% (2/3)

4.1.2 Condiciones para el uso del modelo base Sobre el planteamiento anterior, al mismo tiempo genérico y simplificado, conviene matizar lo siguiente: a) Que para alcanzar el PE en cualesquiera sus tres posibles formas de expresión, y como ya se ha echo notar al principio, no sólo se supone una clara división de los costes totales de la empresa entre fijos y variables, sino que respecto a estos últimos se considera que su variabilidad es exactamente proporcional. Ya sabemos que la realidad es ciertamente un poco más compleja y menos dicotómica y lineal, pero la verdad es que los dos anteriores son supuestos que en la práctica se muestran suficientemente razonables en consideraciones a corto plazo y sobre variaciones o muy elevadas del nivel de actividad respecto al normal; por otro lado, son supuestos que permiten la sencillez del modelo, que es indudablemente una de sus ventajas en su utilización práctica. b) El significado del gráfico −o de la expresión aritmética R* = u* . MC* − F’− como indicador de los resultados que obtendrá la empresa según sea su volumen de ventas, exige implícitamente utilizar unos valores normales de costes fijos y costes

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variables y no simplemente unos datos extraídos de la cuenta de resultados de un mes cualquiera. Operar con unos valores normales, en el sentido de esperables, o extrapolables a los próximos meses, es una condición indispensable para que el modelo pueda utilizarse para lo que normalmente se desea: predicción de resultados y punto de referencia respecto al futuro inmediato. La solución ideal al respecto es evidentemente disponer de una previsiones de precios de ventas, de costes y de las otras variables del período para el que se desea aplicar el modelo con propósitos prospectivos. Ello no significa que no tenga sentido aplicar el método a datos históricos, sino que en este caso se obtendrá una aproximación de menor fiabilidad o grado de significación de las conclusiones obtenidas. Para mayor comodidad, asimismo prescindiremos, de ahora en adelante en este capítulo de la coma elevada (’) para denotar las previsiones, entendiendo que los valores de todas las variables son los previstos, a menos que se indique lo contrario. c) Desde esta perspectiva, existen pues unas previsiones de ventas determinadas y unas previsiones de precios y costes, y, en base a este conjunto, se determina el punto de equilibrio. En consecuencia, el significado habitual de tal cifra, cuando −como es normal− es inferior a la venta prevista, tiene básicamente un sentido temporal: Como se prevé vender V’ a lo largo del período, ¿en qué momento se alcanzará a cubrir los costes fijos previstos?; la respuesta, evidentemente sería: en aquel momento del ejercicio en que se alcance la cifra de ventas Ve. Cifra que podría no ser la misma si la pregunta fuera: ¿Cuánto es necesario vender durante todo el período para cubrir costes? Cuestión que hace referencia a una previsión alternativa a V’ y que para diferenciar −la del PE− denominaremos umbral de beneficios (Vu). La diferencia de planteamiento es que, en este segundo caso, a) los costes fijos previstos a cubrir pueden ser distintos de los costes fijos para la venta−ocupación prevista, si ésta es significativamente más elevada o inferior que el umbral de beneficios (Vu) y b) lo mismo puede suceder con las variables. Por ejemplo, en el caso en que el límite de descuento bancario sea inferior al necesario según la política de descuento prevista inicialmente, los gastos de descuento son variables en el sentido del cálculo del punto de equilibrio (puesto que su cálculo es basa en una de ventas dada y de lo que se trata es de ver en que momento del año − o con qué fracción de dicha previsión− se cubrirán ya todos los costes fijos), pero serán fijos si consideramos la posibilidad de una previsión de ventas alternativa que se a superior a aquel valor a partir del cual las ventas a descontar son superiores a las que permite la clasificación de descuento bancario de que dispone la empresa. En el apartado siguiente, (4.2), continuaremos refiriéndonos al punto de equilibrio (Ve). Posteriormente, en el punto 4.3, adoptaremos la perspectiva más general de umbral de beneficios (Vu)

4.2 El análisis del punto de equilibrio en la empresa multiproducto. En el caso más usual en la práctica de empresa que opera con más de un producto, el planteamiento simplificado anterior no es directamente aplicable, puesto que, en principio, existen diversos márgenes de contribución, que debemos suponer de partida distintos para cada artículo. Concretamente, ya no es posible hablar del punto de

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equilibrio en términos de un volumen de unidades; aunque sí se puede hacer, como veremos, en términos de cifra de ventas bajo determinadas condiciones.

4.2.1 Cálculo del punto de equilibrio en cifra de ventas Igual que en el caso anterior, la argumentación se basará en un ejemplo numérico, que en este caso supondremos que se trata de un presupuesto para el próximo año de una empresa que vende dos artículos distintos: Presupuesto económico válido para el año xxxx Total

u pv

xv

mi cv

d MC

Venta: unidades precio importe Coste variable industrial Id.: importe

2.000 400 pts/u 800.000 280 pts/u (560.000)

4.800 250 pts/u 1.200.000 137,5 pts/u (660.000)

2.000.000

Margen bruto industrial. Id. : en % Gastos comerciales. Variables. en %. Importe

240.000 ·30%

540.000 45%

780.000 39%

10% (80.000)

15% (180.000)

13% (260.000)

Gastos Financieros de descuento.- en % importe Margen bruto de contribución TOTAL Costes fijos R' =

(1.220.000)

5% (100.000) 420.000 (315.000) 105.000

(La columna de la izquierda muestra la notación que se utiliza en la explicación que sigue y en mi cv y d, representan las tasas correspondientes, expresadas en tanto por uno.

La determinación de la cifra de ventas correspondiente al punto de equilibrio seria en este caso: Costes Fijos 315.000 Ve = . 100 = .100 = 1500 . .000 ptas. % M arg en de contribucion 39 − 13 − 5 y en general: Ve =

F ; m

m=

∑ M i ui MC = ≡ mi - cv - d V V

donde M i = Margen de Contribución unitario del artículo ‘i’ = = pvi − ( xvi + cvi . pvi + d . pvi ) ≡ pvi − α i La representación gráfica correspondiente es fácil de obtener: únicamente se requiere el cálculo del margen bruto de contribución total para un volumen de ventas dado, por ejemplo los 2.000.000 de ptas. presupuestados y unir este punto con el origen de coordenadas:

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figura 13

Este punto de equilibrio (PE) no tiene, asimismo, el mismo significado absoluto que el caso sencillo anterior. Bastaría con que la proporción de los artículos 1 y 2 en el presupuesto (o en la realidad) fuera distinta, para que el PE tomara un valor distinto. En realidad, la interpretación correcta de las cifras y el gráfico que hemos obtenido es de que 1.500.000 ptas. es el PE mensual de la empresa si la proporción de las ventas el del 40% para el artículo 1 y del 60% para el artículo 2 (que se halla implícito en el presupuesto). Esta proporción es la que hace que el margen bruto industrial medio (a nivel de empresa) sea del 39% y que los gastos comerciales variables sean también por término medio, del 13%. Si se hubieran considerado como proporciones más probables, por ejemplo un 70% de ventas del artículo 1 y un 30% de ventas del 2, los porcentajes medios resultantes serían de 34,5% de margen bruto industrial y 11,5% de gastos comerciales variables28, de forma que el cálculo del PE resultaría: 315.000 315.000 Ve = .100 = = 1750 . .000 ptas. 34,5 − 11,5 − 5 0,18 Esta relatividad del PE en este caso general de más de un artículo puede observarse fácilmente en el gráfico: la inclinación de la recta de margen de contribución depende del tg β =

MARGEN DE CONTRIBUCION PREVISTO =m CIFRA DE VENTAS PREVISTA

y esta tasa de margen neto de contribución no es sino una media de los márgenes de cada uno de los artículos, ponderado con la cifra de ventas que aporta cada uno o, lo que es lo mismo, con la proporción que representa cada de ventas al total (40% y 60% en este caso, según la previsión).

28

V1= 0,7 x 2000.000 = 1.400.000 ; V2 = 0,3 x 2000.000 = 600.000 Margen industrial = 1400.000 x 0,3 + 600.000 x 0,45 = 690.000 ; mi = 690.000/ 2000.000 = 0,345 Gastos comerciales = 1400.000 x 0,1 + 600.000 x 0,15 = 230.000 ; cv = 230.000/ 2000.000 = 0,115

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M1

u1

M2

u2

420. 000 ( 400 − 280 − 40 − 20) x 2. 000 + ( 250 − 137, 5 − 37 , 5 − 12, 5) x 4. 800 60 x 2. 000 + 62 , 5x 4.800 = = = 0, 21 ≡ 21% m= 2. 000. 000 400x 2. 000 + 250x 4.800 450x 2000 + 250 x 4. 800

O bien ,considerando que en este caso: m1 =

60 = 0, 15 i 400

m2 =

62 , 5 = 0, 25 250

también podemos escribir la tasa media de margen de contribución, como: m=

0, 15 x 40 + 0, 25 x 60 = 0, 21 ≡ 21% 100

y, en general: ∑ M i . ui ∑ mi . pvi . ui V MC m= = = = ∑ mi . i ; V V V V

V = ∑ Vi

y como sea que los cocientes Vi/V constituyen la proporción en que cada linea de ventas entra en el total, Vi = Bi ; V

∑ Bi = 1 ; entonces :

m = ∑ mi⋅Bi

donde los coeficientes Bi representan la estructura de la venta prevista. De esta forma, en nuestro ejemplo numérico, como puede comprobarse, este margen global o media es del 21%, en el caso que las proporciones de cada artículo sobre la venta total sean las previstas (40−60%)(recta continua en el gráfico) y del 18% en el supuesto hecho que las proporciones cambiasen a 70−30% (recta punteada). Todo esto es suficiente para deducir las tres conclusiones siguientes que conviene tener presentes cuando apliquemos el modelo del PE al caso general de la empresa multiproducto: 1) Cuando la empresa trabaja con más de un artículo, no existe a priori un punto de equilibrio, sino muchos alternativos, puesto que éste depende de la mezcla de artículos en la venta total, es decir, de la proporción que cada artículo representa en esta venta (estructura de la venta o mix comercial). 2) Si calculamos un PE en función de unos datos determinados (p.e. el plan de ventas para el próximo año) el significado del gráfico correspondiente (pérdidas o ganancias para una cifra de ventas determinada) es válido solo si la mezcla de artículos mix comercial) permanece constante: en la medida que no se cumpla, la indicación del gráfico no tiene directamente significado si no consideramos una corrección, que tiene una formulación matemática concreta, como podrá 3) Lo dicho es igualmente válido para planteamientos no detallados artículo por artículo, sino a nivel de ventas de cada división −o cifras para cada línea de ventas, cada una con sus respectivos márgenes industriales y gastos comerciales variables−, puesto que los únicos datos necesarios para calcular el PE en cifra de ventas son porcentajes de margen de contribución netos (mi) y la proporción que representa la venta de cada línea sobre la venta total (Bi), más los costes fijos de la empresa.

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4.2.2 Intervalo de variación del punto de equilibrio En el ejemplo que viene utilizándose, puede verse que el PE oscilará ente los valores: 2.100.000 y 1.260.000 ptas.29; el primero corresponde a una situación extrema en que sólo se prevea vender del artículo 1, que deja un margen de contribución del 15%; el segundo, a la situación opuesta, en que sólo se vendiese del artículo 2, que tiene un margen d contribución mayor: 25%. Cualquier situación intermedia, es decir, de venta de ambos artículos, dará un margen porcentual global o de empresa entre el 15% y el 25%, al cual corresponderá un PE situado en el intervalo 2.100.000/1.260.000. (ver figura 14).

Figura 14 En este ejemplo concreto en que son dos los artículos con los que se trabaja, puede hablarse, sin entrar en demasiadas complicaciones de cálculo del PE , aunque con igual relativismo que anteriormente. Es evidente que no hay una pareja determinada de cantidades a vender (en unidades) del artículo 1 y 2 que sea «el PE”, sino indefinidas (aunque no infinitas) que cumplen la condición de que su margen de contribución total cubra exactamente los costes fijos. En nuestro ejemplo, el unitario es de 60 pesetas para el artículo 1 y 62,5 ptas. para el artículo 2. El PE en unidades físicas debe cumplir, por tanto, la condición de: 60 . ui + 62,5 . u2 = 315.000 ptas. ecuación con dos incógnitas, de solución indefinida, cuya representación gráfica nos muestra precisamente el conjunto de soluciones posibles, es decir, las distintas combinaciones de unidades de artículo 1 y de artículo 2 a vender, que dan el punto de equilibrio. (Combinaciones que, por supuesto, deben cumplir la lógica restricción de que de cada artículo la empresa no puede pretender vender más de las unidades que constituyen el volumen estimado de la demanda total para el sector («tamaño del

29

315.000 . 100 = 2.100.000 ; 30 − 10 − 5

315.000 . 100 = 1260 . .000 45 − 15 − 5

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mercado»): u’i ≤ U’i El conjunto de valores (ui , u2) que en principio (y salvo la reserva indicada) constituirían los diferentes puntos de equilibrio posibles, se ha representado en Cada punto de la recta corresponde a una solución de la ecuación, y es por tanto un punto de equilibrio. Una de esas soluciones es ui = 1.500 ; u2 = 3.600, que corresponde a la proporción o mezcla de artículos en la cifra de ventas prevista (40−60% respectivamente) y por tanto, al PE en pesetas de 1.500.000 calculado en primer lugar30. Si la proporción de la venta de cada artículo debiese cambiar a una nueva previsión del 70−30% por ejemplo, el PE en pesetas ya hemos visto que sería de 1.750.000; y ahora

Figura 15

podemos decir que en unidades físicas sería: 3.062,5 unidades y u2 = 2.100 unidades, que es otro de los puntos de la recta del gráfico A. Explicitar todas estas posibles combinaciones u1, u2 que dan u PE es en este caso fácil; basta construir la tabla de soluciones de la ecuación anterior (dando un valor arbitrario a una variable, y determinando el valor de la otra según la ecuación)31

0,40 . 1500 . .000 0,601500 . . .000 = 1500 ; u2e = = 3.600 400 250 31 A una solución de este tipo (tabla) llega J. Ijiri (“Análisis de Objetivos y Control de Gestión” de. ICE, cap 2) con la diferencia substancial, que es de destacar, de que para ello utiliza un planteamiento e instrumental matemático relativamente complejo (inversa generalizada de una matriz, espacio vectorial nulo, etc.) que resulta claramente innecesario desde un principio, ya que el problema (PE en unidades físicas con dos -o más- artículos) está matemáticamente muy claro: las soluciones reales de una ecuación con dos -o más- incógnitas; y por ende es un problema formalmente resuelto de antemano (debe añadirse que tampoco el planteamiento de IJIRI se justifica porque sea el adecuado para situaciones de n artículos o de márgenes unitarios no constantes). 30

u1e =

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Punto del Gráfico

Punto de Equilibrio en Composición corresponPE en valor unidades físicas de artículos diente de la Cifra de Vendes (ptas.) u1 u2

R

0 125 1.250 1.500 3.062,5 5.250

S T U

5.040 4.920 3.840 3.600 2.100 0

0 3,9 34,2 40 70 100

− − − − − −

100 96,1 65,8 60 30 0

1.260.000 1.280.000 1.460.000 1.500.000 1.750.000 2.100.000

El recurso a veces observado, de repartir los costes fijos, que en realidad generalmente son comunes, entre los diferentes artículos (o líneas de venta) para así calcular por separado el PE para cada artículo (o línea de venta) y luego sumar ambos valores, equivale como puede verse a escoger implícitamente un punto de la recta del gráfico; punto indirectamente determinado por el criterio que se haya seguido para repartir los costes fijos; es decir, algo totalmente arbitrario.

4.2.3 Formulación general y aplicaciones Dejando ya el ejemplo numérico anterior, pasamos a concretar las cuestiones abordadas en un planteamiento general que sea válido no sólo para el caso de más de dos artículos, sino también para el caso en que la información venga en términos de líneas de venta en lugar de en unidades precios y costes unitario de cada artículo. La determinación del PE en cifras de ventas en el caso general implica operar implícitamente con tasas de márgenes industriales de contribución y tasas de gastos variables (no imputados), promedios −en el sentido explicitado antes− de los diferentes artículos o líneas de venta, lo que permite que siga siendo válida la formulación básica del punto de equilibrio en cifra de ventas: F Ve = m donde: F = costes fijos m = mi −cv−d mi = tasa de margen bruto (o industrial) promedio. cv = tasa de gastos comerciales variables promedio. d = tasa de gastos generales variables sobre ventas siendo mbi y cv, y por tanto, m, tasas globales; diferentes a las de cada artículo o línea de venta; mientras que d seguiremos suponiendo que es una tasa única para cualquier tipo de venta. Todas las variables se suponen procedentes de una previsión concreta en la que cada línea de venta representa una proporción determinada (Bi) de la venta planificada total. Generalizando el planteamiento, cambiaremos la distinción entre los costes variables (no imputados) que son proporcionales a la cifra de ventas (cv1) y los que lo son respecto a las unidades vendidas de artículos (cv2); la equivalencia respecto a la notación utilizada hasta ahora es la siguiente: (cv + d) . V = cv1 . V + cv2 .∑ ui. De acuerdo con esto formularemos el planteamiento general del punto de equilibrio como:

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Ve =

F ; m

Ve =

F ; ∑ mi . Bi

m = ∑ mi . Bi ;

mi = M i / pvi ;

Bi = Vi / V

i = 1,2,.. n = artículos (o líneas de venta)

M i = pv i − ( xv + cv1 . pv + cv 2 ) i = pv i − α i xv = coste industrial estrictamente variable (unitario) cv1i = tasa de costes variables (no imputados) , en función del valor de la venta; tanto específicos (todos o parte del concepto «cv» anterior) como cv2i = Coste variables (no imputados), en función del número de unidades físicas (serían la parte restante de la variable cv del planteamiento simplificado anterior). En el caso de que la formulación del resultado se haya formulado en términos de líneas de ventas, estos costes deberán expresarse necesariamente en términos de tasa sobre ventas ( ∑ cv2i · ui/V ), pasando, por tanto a integrarse dentro de la variable cv1, que quedaría entonces como única tasa representativa de todos los costes variables no imputados. αi = coste unitario variable total. o, mas directamente, y expresado en términos relativos (tasa de margen): MC i mi = ; ∑ Vi = V ; MC i = M i u i = ( pv i − α i ) . u i Vi y también  pv − xv  cv 2 i ; mii =  mi = mii − cv1i −  pv i  pv  i El valor Ve tiene significado como cifra de ventas de punto de equilibrio, mientras la mezcla de artículos (mix comercial) en la cifra de ventas global no se modifique. Y, por supuesto, mientras puedan seguirse considerando válidas las previsiones sobre costes y precios tomadas como base de cálculo. De ahí que sea recomendable expresar y calcular el PE de forma no sintética, sino desarrollada, pues así quedan explicitadas todas las variables que influyen en la determinación y que están implícitas en la formulación Ve =

F m

Expresión desarrollada del punto de equilibrio: (I) Cuando los datos vienen detallados por artículos: Ve =

F = m

F. ∑ u i . pv i ∑ Mi . ui

=

F. ∑ Vi ∑ mi . Vi

=

F ∑ mi . Bi

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siendo Mi el margen de contribución unitario del artículo i, es decir el precio menos todos, y sólo, los costes variables; y F’, todos los costes fijos de la empresa, en el sentido complementario al anterior. Todas las variables son en principio, valores según las previsiones. (2) Cuando los datos vienen detallados solo por lineas de venta: Ve =

F = m

F . ∑ Vi ∑ mi .Vi

=

F ∑ mi . Bi

;

(i = línea de ventas)

donde mi tiene un significado idéntico al caso anterior, si bien, en el caso de líneas de venta sólo admite el cálculo en términos bien globales, bien directamente en términos de tasas: mi = (MCi/ Vi) ≡ mii - cvi - d≡ mii - cv1i En ambas expresiones se pone de manifiesto que dos previsiones de cifra de ventas total idénticas (V) pero con diferente composición (Bi) darán un PE diferente, puesto que el numerador permanecerá invariable pero no así el denominador. La representación gráfica sigue siendo útil en el caso general, siempre que se tenga en cuenta lo anterior y ello en dos sentidos: tanto a la hora de utilizar como valor de referencia el PE, como de emplear el gráfico para extraer conclusiones sobre cuál será el resultado dada una determinada cifra de ventas. Veamos esto con más detalle. Supongamos las n líneas de venta de la empresa ordenadas de menor a mayor margen de contribución, es decir: m = margen de contribución global de la empresa según la composición de la venta prevista (= ∑mi ·Bi ≡ ∑MCi/∑Vi). ma= margen de contribución de la línea de ventas o artículo «a», que es la de menor margen. mb = margen de contribución de la línea de ventas (o artículo) «b», que es la de mayor margen. Evidentemente, para cualquier composición de la venta total: ma < m < mb. A partir de aquí es posible calcular el PE correspondiente a la previsión, así como sus extremos inferior y superior que delimitan el intervalo de variación. F F F ; ; Ve = V e (+ ) = V e (− ) = m ma mb con el significado de: Ve(−) ≤ Ve(posible) ≤ Ve(+) s.a.: 1) Ve(−) ( ≡ línea «a») ≤ Ua 2) Ve(+) (≡ línea «b») ≤ Ub Ui = demanda total del mercadorespectivo. Desde esta perspectiva más general, el punto de equilibrio y su intervalo de variación pueden expresarse según la representación gráfica siguiente:

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Figura 16

Tradicionalmente la representación gráfica del punto de equilibrio se utiliza también como un sencillo instrumento para determinar cual sería el según cualquier hipótesis de ventas distinta a la prevista. Dicho resultado puede decirse estaría representado por la diferencia entre la recta continua de margen global y la paralela que representa a los costes fijos. Así, para una posible venta real Vr, el resultado, en principio sería el segmento RS. Pero es evidente que esto sólo será válido si la nueva venta total Vr tiene la misma composición porcentual que la de la previsión (composición que ha marcado la inclinación específica β de la recta de margen entre los dos extremos posibles βa y βb). De no ser así −de hecho que lo fuese podría decirse que se trata de una casualidad o caso muy concreto− el resultado que se produciría sería el mencionado segmento RS cuya expresión general es: r −F corregido en más o en menos con la repercusión sobre el margen global de contribución, de que la composición de la venta no sea igual que la prevista; es decir, de que la tasa de margen global haya subido o bajado respecto a la prevista «m», aunque sigamos considerando idénticas todas las bases de la previsión (precios y costes). Esta corrección X = (∑mi · Bir − m) · Vr donde: Vr = Cifra de ventas para la que se está efectuando la simulación de Bir = vector de composición de dicha venta. (la corrección X puede tomar un valor positivo o negativo) i, en consecuencia, el resultado esperado si la venta fuese = Vr será: Rr = R* (=grafico) + X ≡ m⋅ Vr - F + X o bien, directamente: Rr = (∑mi · Bri) · Vr − F32 32

Esto será válido si lo valores (previsiones) de costes fijos (F) márgenes tomados no varían al pasar de la venta prevista a la venta alternativa Vr. Este aspecto volverá a ser tratado en el apartado 4.3.

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El punto de equilibrio en unidades físicas. También existe en este caso general −y cuando la información es artículo por artículo el concepto o la idea del PE en unidades físicas, si bien en un sentido restringido: A todo posible punto de equilibrio en cifra de ventas (V) le corresponde un vector de unidades físicas de cada artículo, cuya venta cubriría exactamente los costes fijos; este vector se obtiene (como en el caso del ejemplo numérico) aplicando la proporción, en la previsión, de la cifra de ventas de cada uno de ellos sobre la venta total: V e . Bi u ei = pv i obteniendo así el PE en unidades físicas según la previsión: u1e, u2e, ... une; lo que a su vez no es sino una de las indefinidas soluciones de la ecuación de n incógnitas resultante de igualar el margen de contribución total con los costes fijos: u1 · M1 + u2 · M2 + ... + un · Mn = F

Figura 17

Finalmente, es importante tener en cuenta en es te punto, que las indefinidas combinaciones de artículos que cumplen con la condición de «punto de equilibrio», pueden aparecer en la práctica acotadas por limitaciones de carácter técnico o comercial. Veamos esto en el ejemplo numérico que se ha utilizado antes: supongamos que existen unas limitaciones técnicas en cuanto a posibilidades de producción de ambos artículos, tal como la señalada por la recta XY, y una limitación de carácter comercial como la representada por la recta quebrada ABCD. En este caso, las diferentes combinaciones de artículos 1 y 2 que dan un punto de equilibrio, ya no puede considerarse que sean todas las señaladas por la recta UR ya que hay puntos de la misma que no son factibles, sea por cuestiones técnicas o comerciales. El conjunto de combinaciones de artículos que dan un punto de equilibrio y que sean posibles, quedan acotados en el ejemplo a las contenidas en el segmento EF. Otra limitación de tipo comercial diferente a la del ejemplo gráfico es la ya indicada anteriormente representada por los respectivos tamaños del mercado de los

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artículos: Es evidente que no tiene sentido tomar como valores de punto de equilibrio posibles aquellos que representan vender de uno de los artículos mas de lo que se considera es la demanda total del mercado (En la gráfica anterior, esta restricción vendría lógicamente representada por una línea paralela al eje respectivo).

4.2.4 El PE con costes fijos específicos por artículos (o líneas de venta) Se trata de un caso relativamente significativo en la práctica sobre el que conviene señalar la variación que representa sobre el planteamiento general anterior. Supongamos que nos encontramos ante el hecho de que los costes fijos en realidad están compuestos por unos que son específicos de cada uno de los artículos, o líneas de ventas (generalmente de tipo comercial) y otros de carácter común y general. F = ∑Fi + Fg Esta información de detalle puede ignorarse, operando como hasta aquí con la cifra total F, o utilizarse. En este segundo caso, es posible definir el PE de una forma distinta a la utilizada hasta aquí y que denominaremos PE por acumulación. Esta forma alternativa consiste en calcular el PE como una suma de componentes específicos para cada artículo o línea de ventas, más un término complementario para cubrir los costes fijos comunes o generales: Fg F F F V e = 1 + 2 +... n + m1 m2 mn m resultado, que en cualquier caso, no admite representación gráfica como la del modelo general, desarrollado hasta aquí (y con la que cuantitativamente tampoco coincidirá). Si por el contrario se opta por aplicar el modelo general, el hecho de considerarla existencia de costes fijos por artículos o líneas implica una diferencia respecto al intervalo de variación del PE: los puntos extremos del intervalo de variación calculado según lo indicado antes, no son válidos como PE posibles, puesto que en el caso extremo de que sólo se vendiese de la línea de más margen, es posible admitir que no existirían los coste fijos específicos de las restantes; e igual para la de menor margen. Los puntos extremos dejan de ser, pues, en principio, válidos como puntos de equilibrio posibles, si bien lo serán los puntos inmediatamente adyacentes, ya que representan una cierta producción no nula de los demás artículos o líneas de venta. Esto puede concretarse así: Ve(−) < Ve posible < Ve(+) Paralelamente a este intervalo «abierto» de PE, habrá que añadir en principio don nuevos valores puntuales de PE, que serán: (Fa + Fg)/ma y (Fb + Fg)/mb donde el subíndice «a» indica, como antes el artículo (o la línea de ventas) de menor margen de contribución, y el «b», el de mayor margen; aunque el primer valor sea redundante, puesto que será siempre un volumen de ventas que estará dentro del propio intervalo de variación del punto de equilibrio (porque (Fa + Fg) < (F = costes fijos totales), lo que implica que el cociente indicado resulte un valor inferior al extremo superior del intervalo de variación que está determinado por F/ma).

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4.3 Generalización del modelo del PE: la simulación de resultados. Generalización del modelo de ‘resultado a obtener’ (simulación) El propio concepto de punto de equilibrio representa de hecho plantearse una simulación de cálculo simple: ¿Qué venta habría que realizar para obtener un resultado precisamente igual a los costes fijos previstos, si nada más varía; es decir, si éstos siguen siendo válidos para dicha nueva venta prevista, y no varía ni la proporción de los artículos en la venta total ni los márgenes individuales de éstos?. Y, si se amplía la perspectiva a interrogarse sobre cualquier meta dada de resultados, el modelo del punto de equilibrio es directamente generalizable para concretar la pregunta de qué resultado se obtendría dada una venta determinada33 R* = m’ · V* − F’ s.a. m’ y F’ sigan siendo válidos para el nuevo valor de ventas V”. Una aplicación directa de esto es, por ejemplo, la de plantearse qué cifra de ventas habría que alcanzar para obtener una determinada tasa de rendimiento (Beneficio neto/ventas), considerando que éste suele ser un concepto de uso generalizado para evaluar la posición económica relativa de una empresa. Sea «x» la tasa de rendimiento sobre la que se plantea la cuestión; y suponiendo que tanto la estructura de la venta como los márgenes y costes inicialmente previstos no variasen: R* r* = ; R* = m' . V" − F' = x. V" V* siendo aquí la única incógnita, la meta de ventas «v» como posible previsión alternativa. F' V" = m' − x Ahora bien, como hemos visto antes, pasar a una venta distinta implica, en general, pasar a una estructura de la venta («mix») también distinta, por lo que no será válido, en principio, el margen global «m» anterior que es el deducido de la previsión; y en consecuencia, la formulación del resultado a obtener (R”) para una venta concreta (V”) debería generalizarse, en un primer paso, a : ∑m’i · B’i − F’ ≡ ∑ m’i · V”i − F’ s.a.: m’ y F’ sean válidos para las previsiones alternativas V”i. Por otra parte, al plantearse mas específicamente el PE como modelo de simulación se hace necesario abandonar algunas de las simplificaciones más fuertes en las que se basa y que hasta aquí hemos mantenido: 1) la de precios de venta constantes (independientemente de la cantidad vendida); 2) la de costes variables en general exactamente proporcionales (lineales); y 3) la propia de suponer unos costes fijos válidos para cualquier volumen de actividad. Eliminando estas simplificaciones se hace, pues, necesario, lo que nos conduce, de hecho a abandonar el modelo del punto de equilibrio en sí para pasar a considerar la simulación de resultados en términos generales. 33

Aplicada esta expresión lineal del resultado previsible precisamente a la venta prevista de partida, se obtendrá el mismo resultado presentado para la cuenta de resultados previsional, sólo si esta responde concretamente a un sistema de costes de imputación de costes exclusivamente variables de compras y producción. En caso que el sistema sea otro, los dos resultados previstos no serán idénticos, y su diferencia será igual a la diferencia respectiva de valoración de existencias de un sistema de costes a otro. Por consiguiente, en general R*(V’) diferirá ligeramente de R’, en la medida que este esté calculado imputando algunos costes fijos y que se produzca alguna variación de existencias.

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4.3.1 Resultado a obtener cuando los previos varían en función de la venta prevista. Procederemos a analizar tres situaciones sucesivamente: En primer lugar, el caso en que sólo sea viable considerar previsiones alternativas en términos de una nueva previsión global de ventas (V”). En segundo lugar (4.3.2), situaciones en que por causa de limitaciones técnicas o de mercado sólo es posible considerar previsiones alternativas para cada uno de los artículos (ux”) o líneas de venta (Vx”). I, finalmente (4.5), una situación de carácter general, entendiendo como tal aquella en que sea posible considerar previsiones alternativas para cualquiera de los artículos (o líneas de venta) de la empresa, con una variación específica para cada precio/margen al variar la venta prevista respectiva. Variación global de las ventas y, por tanto, de la tasa promedio de margen de Es lógico pensar que una posible venta superior (o inferio posible si los precios de venta son algo menores (mayores) que los previstos, es decir, con unos márgenes algo inferiores (superiores). Así, a menos que la empresa no esté operando en unos mercados de competencia perfecta, los precios de los artículos variarán algo en función de las unidades que intente colocar en el mercado; variación que, como es bien sabido, será más o menos importante según el grado de diferenciación del producto, según la relativa presión de la competencia oligopolística y según la relativa presión de la competencia oligopolística y según el tipo de necesidad que cubre el producto, como factores principales. Para simplificar (y que la exposición sea aplicable además a una previsión que venga determinada sólo en términos de líneas de venta), consideremos en primer lugar →cantidad vendida se concreta en un efecto global en términos de: Variación respecto a la tasa de margen promedio previsto (m’), que producirá una determinada variación sobre la venta prevista. Para simplificar supondremos que dicha variación consiste concretamente en un incremento ∆ V’ = V” − V’. Esta variación de la tasa de margen promedio comprenderá tanto el efecto de que los precios disminuirán algo como consecuencia del incremento sobre la venta prevista (V” − V’), como el efecto de un posible cambio en la estructura de la venta al pasar a prever cantidades mayores: m” = m’ − ∇m’ ; ∇m’ = f(∆V’) Así, por ejemplo, si la disminución de la tasa de margen se estima que sería de la décima parte de la tasa de aumento correspondiente de la venda al aumentar la previsión de V’ a V” (y , a la inversa, si se trata de disminuciones sobre la venta prevista), el «nuevo» margen promedio previsto se expresará como: V " −V ' 1 V"− V ' w ∇m' = . ; = w; → m" = m'− ; V " ≡ V '(1 + w) V' 10 V' 10 enfoque «global» (en tanto que basado en el efecto sobre la variable tasa de margen «global» o promedio) que tiene la ventaja de que puede aplicarse tanto si la información se presenta en términos de unidades y precios de artículo como en términos de líneas de ventas. El resultado a obtener, dada una venta determinada, se expresará en esta caso, por tanto, de acuerdo con lo anterior, como: 104

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w ) V' . (1 + w ) − F' 10 s.a. 1) F’ siga siendo válido para el nuevo nivel de Ventas V” y su nivel de actividad productiva asociado. 2) Ídem respecto a los costes industriales variables y las tasas de costes variables. R " = ( m' −

Veamos una aplicación de esto al ejemplo numérico anterior. Supongamos para ello que la venta puede aumentarse sin variar substancialmente la composición, pero a cambio de reducir el margen global de contribución previsto, proporcionalmente a la tasa de incremento de la nueva venta respecto a la venta prevista: proporción que supondremos también que es de 1/10. El Resultado a obtener (R”) dada una determinada tasa de variación de la venta respecto a la previsión (w), sería: w R " = ( 0, 21 − ) . 2. 000. 000 (1 + w ) − 315. 000 10 R " = 220. 000 w − 200. 000w 2 + 105. 000 Es decir, una expresión de segundo grado en la variable w, que permite fácilmente efectuar simulaciones de resultado para contestar preguntas del siguiente tipo: a) ¿Qué resultado se obtendría con una previsión de ventas un 10% superior a la inicialmente prevista? R” = 220.000 · 0,1 − 200.000 · 0,12 + 105.000 = 125.000 pesetas b) En qué proporción debería incrementarse la previsión de ventas para alcanzar un resultado de 130.000 pesetas? 130.000 = 220.000 · w − 200.000 · w2 + 105.000 de donde se obtiene w = 0,12869 y w = 0,9713 dos respuestas posibles, de las que, lógicamente descartaremos la segunda, puesto que es inferior en términos de gestión empresarial. En efecto, aumentando la previsión en un 97,1% se alcanzaría un resultado de 130.000, pero, ¿qué sentido tendría este esfuerzo si se puede conseguir lo mismo con un incremento del 12,8%? c) ¿Cuál sería la previsión de ventas que daría un beneficio máximo? dR" = 220. 000 − 400. 000 w = 0 → w = 0, 55 dw lo que significa que pasar a una venta un 55% superior a la prevista, proporcionaría el máximo beneficio posible, teniendo en cuenta las expectativas de la empresa (ver gráfico primero de la figura 18.). Conclusión provisional que sería válida sólo si las condiciones 1) y 2) formuladas para la función de resultado previsto R” se cumplieran para un volumen de ventas superior en un 55% al previsto. Supongamos ahora que el objetivo para la empresa se formulase en términos de alcanzar una determinada tasa de rendimiento neto sobre vetas (en lugar de una meta de valor absoluto); por ejemplo, pasar del 5,25% que resulta de la previsión a un 5,75% por considerar que esto sería una meta conveniente: R"  w 1  0,0575 = (0,21 − ) . 2.000.000 (1 + w ) − 315.000  V"  10  2.000.000(1 + w ) de donde se deduce que:

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w=

→ 0,40 → 0,125

Como puede verse, formalmente existen dos posibilidades de conseguir tal meta de rendimiento sobre ventas: aumentar la venta prevista en un 12,5% o bien aumentarla en un 40%. Por supuesto, esta segunda posibilidad debe ser rechazada, no sólo porque no responde a la lógica económica de la empresa el hacer un esfuerzo por vender un 40% más cuando el mismo objetivo puede conseguirse efectuando un esfuerzo por vender sólo un 12,5% más, sino también porque es probable que los costes fijos tomados para el cálculo sean válidos para un nivel de operaciones un 12,5% superior, pero no es tan probable que lo sean para un nivel de un 40% superior a la previsión inicial. Planteada la cuestión en términos abiertos, puede deducirse también de lo anterior que el máximo rendimiento sobre ventas se obtiene si se pasa a una venta un 2,5% superior a la prevista.

Figura 18

d ( R " / V") = 0; → w = −02,255 ,255 dw (el segundo resultado, negativo, significaría una reducción de ventas respecto a la previsión; reducción que en términos reales tiene el límite lógicamente del 100% (w = 106

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−1); en consecuencia, el resultado de −2.255 no tiene significado real.) Las dos determinaciones anteriores se han representado en el segundo gráfico la fig. 18. Esto significa que, tanto para ventas superiores como inferiores a 2.000.000 (1+ 0,255) = 2.510.000 ptas., la tasa de rendimiento es inferior al 5,9% que, como puede deducirse de lo anterior, es la tasa máxima alcanzable según las previsiones de precios y costes. (Conclusión sujeta a que las condiciones 1) y 2) anteriores se den).

Figura 19

Ambas relaciones R”(w) y r”(w) pueden verse también desde otra perspectiva que ayudará esclarecer la exposición. Se trata de la relación más directa existente entre el Margen de contribución total a obtener(M’) y la venta prevista (V’) dada una cifra de previsión de Ventas alternativa a la inicial: M” = M”( V” ). Esta relación se ha representado gráficamente en la figura 19, en la que el resultado a obtener, R”, viene representado por la distancia vertical MC” − F’. A efectos de comparación, se ha representado también la recta correspondiente a la formulación lineal del Punto de Equilibrio. Este gráfico permite además extraer fácilmente una serie de conclusiones relevantes: 1) Ambas expresiones del Margen de Contribución −la lineal o propia del modelo de PE y la «real» (en el sentido de que tiene en cuenta que la tasa media de margen no será constante sino que será inferior a la prevista en el plan inicial)− coincidirán precisamente para el propio valor de la venta prevista: MC* (V’) = MC”(V’). 2) El umbral de beneficios corresponderá siempre en estos casos a una previsión de ventas alternativa inferior a lo calculado antes como punto de equilibrio: Vu < Ve. 3) Trazada una paralela por encima de la recta F’, a una distancia igual al segmento arbitrario AF’, existirán siempre dos puntos de intersección con la curva de margen total M”. Estos puntos señalaran dos niveles de ventas para los cuales el resultado que se obtendría sería el mismo: el valor del segmento AF. Valor que ha de entenderse que en la práctica representaría un determinado objetivo propuesto de resultado a obtener.

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4) La recta trazada desde el punto G (=F’) y tangente a la curva MC”, señala −en punto de tangencia− la previsión de ventas que daría la máxima tasa de rendimiento, así como también señala el resultado absoluto con el que se corresponde: El valor del segmento BC. 5) La previsión de ventas que da una tasa de rendimiento máxima será siempre menor que la que da el máximo resultado absoluto. Gráficamente: el punto D siempre 6) El resultado correspondiente a la máxima (segmento BC) tasa de rendimiento será siempre inferior al resultado máximo alcanzable (segmento GH), si la previsión de costes fijos no salta precisamente en el intervalo entre la cifra de ventas asociada a los dos resultados. 7) Dada una recta con una inclinación inferior a la definida arriba en (4), equivaldrá a la representación de una meta en cuanto a tasa de rendimiento, wo, inferior a la máxima: recta: y = F’ + r* · V”

4.3.2 Simulación de resultados cuando sólo resulta viable —por razones técnicas o de mercado— modificar la previsión de uno de los artículos o líneas A) Variación de la previsión de ventas −y por tanto del precio− en términos directamente de unidades de artículos Supondremos ahora que la simulación de resultados se hace al nivel mas preciso de utilizar las variables unidades y precios de venta de los respectivos artículos. Tomaremos como expresión de la relación inversa entre ambas variables, funciones lineales de demanda (inversa) a las que se enfrenta la empresa para cada artículo. Expresaremos tales funciones de demanda como: pv” = a − b · u”. Lógicamente el margen de contribución a prever para cada artículo no será una constante sino que será decreciente respecto al número de unidades a vender (u”). Supondremos además, para simplificar, que la previsión consta de dos artículos y que solo puede pensarse −por razones de limitaciones de mercado o de política comercial− en la variación de la previsión del primero pero no así del segundo. Entonces: pv " − α 1 " a − b. u1 " − α 1 " m1 = 1 = pv1 " a − b. u1 " (α 1 " Nuevos costes variables unitarios) α1 " = xv 1 ' + cv11 ' . pv1 " + cv 21 ' En consecuencia, en términos absolutos, el margen de contribución unitario del artículo 1 será descendente, y vendrá dado por: M 1 " = pv1 " − α1 " = a − b. u1 " − xv 1 ' + ( a − b. u1 ") . cv11 ' + cv21 ' = ( a − b. u1 ") . (1 − cv11 ') − ( xv 1 ' + cv 21 ' ) y el margen de contribución total será, por tanto: MC" = MC 2 ' + MC1 " = MC 2 ' + u1 " . ( a − b. u1 ") . (1 − cv11 ') − ( xv 1 ' + cv21 ') En consecuencia, el resultado a obtener, dada una previsión alternativa para las unidades

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R” = MC2’ + MC1” − F’; → R” = R”(u1”) s.a. 1) F’ sea válido para los niveles de actividad asociados con la nueva 1, u2’). 1 2) x1 , cv11’, y cv21’, sean constantes en el intervalo u1’ → u2”. Expresión que da lugar, como es fácil de ver a una ecuación de segundo grado, en la 1. Por tanto, dado un valor de R” tomado como meta alternativa a alcanzar (por ejemplo, R” = 50 millones), habrán siempre dos valores de la variable independiente 1) (y, por tanto dos valores para la previsión total de ventas (V” = V2’ + u1” · pv1”), que darán dicho resultado; excepto, claro está, para el valor concreto que corresponda al Veamos todo esto en términos más precisos con la ayuda del doble gráfico de la figura 20. La función de margen de contribución total MC”(u1”), no empieza lógicamente desde cero, sino desde el montante del margen de contribución aportado por el artículo cuya previsión no se modifica (el artículo 2 en este caso). Como sea que dado un volumen de unidades del artículo 1, (u1”), el precio de venta a considerar queda ya definido, pv”1 =a − b · u1”, existe, por tanto, una traducción inmediata de lo anterior en términos de margen de contribución total, correspondiente a una nueva venta prevista dada, MC”(V”); y, a su vez, con tan solo introducir restando en esta función la previsión de costes fijos (F’), obtenemos la relación R”(V”)34. Y esta relación directa en términos de la variable cifra de ventas es la que está representada en el gráfico inferior de la figura 20.

34

De hecho, puede afrontarse igualmente el problema desde un principio en términos de la variable «previsión de ventas alternativa» e valores, V”; aunque implicaría mayor complejidad: MC" = MC2' + MC1" = u2'.M2' + u1" (a-b.u1").(1-cv11' )-(x1(var)' + cv21' ) = u2'(pv2'-x2') + u1".(a - b.u1") - u1". cv11'.(a-b.u1") + (x1(var)' + cv21') = = V2' + V1" - u2'.x2' - V"1. cv11 - u1".(x1(var)' + cv21') y puesto que V1" = u1".pv1" = a.u1" - b(u1")2 ; -> u1" = -a ±√ (a2-4bV1") -2b y que V" = V'2 + V"1

->

V"1 = V" - V'2 ,puede escribirse :

MC"(V") = V" - u 2'. α 2' - (V" - V2' ) . cv1'1 - -a ± √(a - 4b(V"-V2') ) . x'var, 1 + cv2'1 )

- 2b donde la única incógnita, como puede comprobarse es la nueva previsión de venta total, V”, (el doble signo del último término se resuelve considerando que el quebrado no puede tener un valor negativo. Por supuesto, resulta más directo plantear el problema en términos de la variable u”1, y una vez determinado cual debe ser el valor de esta variable para alcanzar la meta de resultado o de rendimiento prevista, deducirle el precio correspondiente mediante la función inversa de demanda, pasar a continuación a 1 y, finalmente sumar la V’2 a esta para obtener la nueva previsión de venta total V”.

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Figura 20

Como puede observarse, la función de margen de contribución total MC”(V”) tiene un primer tramo lineal que corresponde al artículo cuya previsión no varía. A partir del valor 2, el margen total es la suma del de ambos artículos; de ahí que continúe en forma de curva con crecimiento menos que proporcional, y que coincidirá (cortará) necesariamente con la recta del punto de equilibrio (que representa la aproximación lineal al margen total, M*(V*)) a la altura precisamente de la venta prevista inicialmente (V’). Es decir: MC*(V’) ≡ MC”(V’) A partir de esta cifra de ventas, el margen total sigue creciendo menos que proporcionalmente hasta alcanzar en un punto dado un valor máximo; lo que equivale en este caso, en que suponemos que no hay saltos de F’) a un máximo también del resultado; punto a partir del cual pasará a decrecer en valor absoluto de forma progresiva. Por supuesto que existe una relación unívoca entre los puntos relevantes de figura 20 (ver nota 34): el umbral de beneficio, el volumen de ventas de máximo beneficio, y previsiones alternativas que dan una determinada meta en cuanto a beneficios a obtener. Todo depende de si la respuesta a la pregunta de cual debería ser la previsión para alcanzar una determinada meta de beneficios, interesa darla en términos de unidades físicas de artículos u1”, (o de venta específica de tal o cual línea, V1”) como objetivo concreto a alcanzar, o en términos de la variable final V”. Suponiendo que sea este último el caso es no obstante conveniente tener en cuenta que siempre será preferible el planteamiento del problema en términos de unidades físicas (o su equivalente). Como ya se ha indicado en el párrafo a que hace referencia la nota 34, a −hechos en base a la variable u”1, la traducción al valor

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correspondiente V” es sumamente elemental teniendo en cuenta que V”1 = u”1 · pv”1 , que pv”1 = a − b · u”1, y que V” = V’2 + V”1 Destacaremos, finalmente dos cuestiones relevante en la práctica de la simulación de resultados en la empresa: La primera, que como puede verse en el gráfico inferior de la figura 20, el umbral de beneficios (V”) corresponde a una previsión de ventas superior a la venta del punto de equilibrio (Ve). Lo contrario por tanto de lo que hemos deducido antes para el caso en que son ambos artículos los que puedan variarse al mismo tiempo. . Sin embargo hay que tener en cuenta que esto no será siempre necesariamente así. Sucede en el presente caso, en el que se dan los dos efectos indicados al iniciar el tema: una variación no lineal del margen, por reducción del precio y un cambio en la estructura de la venta. La diferencia estará básicamente por tanto en cual de los dos artículos es que queda fijo en su previsión inicial y cual es el que pude variar, si el de menor o mayor margen. En la figura 20 se ha supuesto que el que podría variar (art.1) era el que tenía un mayor margen individual; y es por eso que Vu < Ve . A efectos de comparación, si suponemos que el único artículo respecto al que puede pensarse en previsiones alternativas superiores es el de menor tasa de margen individual (art. 2), entonces − y como puede verse en la figura 21− el umbral de beneficios corresponde a un volumen inferior al punto de equilibrio.

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La segunda cuestión a destacar es que el planteamiento que se acaba de exponer es directamente generalizable a más de dos artículos, siempre que se dé que respecto a uno sólo de ellos puede variarse la previsión. En el caso contrario de que sean varios los artículos respecto a los cuales la previsión de ventas podría variar, la generalización puede abordare de dos formas: −una de tipo simplificado consistente en formar dos bloques de artículos: Aquellos para los que es técnica y comercialmente factible pensar en variar la venta inicialmente prevista («a»), y los que no. A partir de aquí, determinar las tasas de márgenes promedios respectivos de ambos bloques; y finalmente operar con estos, en lugar de con los márgenes absolutos, aplicando un planteamiento que habría de ser del tipo expuesto en este apartado, per o en términos de tasas de margen específicas, en lugar de márgenes unitarios específicos. Así, por ejemplo: ; ma” = f( Va” − Va’) b’ + ma” · Va” La respuesta en este caso sobre la previsión alternativa que satisface la pregunta formulada, vendrá necesariamente en términos de venta total, no de unidades y precios. −La otra alternativa e generalizar directamente el planteamiento anterior en términos de nuevas unidades de artículos a vender u”a, u”b, … u”z (a→z, artículos cuya previsión puede cambiar) Esta generalización se efectúa en el punto 4.5 B) Simulación de resultados cuando los datos de la previsión se refieren a líneas de ventas. Este es el caso en que el resultado previsto está expresado directamente en términos de tasas de margen y cifras de ventas por líneas: ∑ m’i · B’i − F’ ≡ ∑ m’i · V’i − F’ lo que supone ciertas diferencias con el apartado A) anterior (más de forma que de fondo) por lo que se refiere a efectuar simulaciones de resultados. Veamos sus posibilidades en el presente caso: Pasar de la venta prevista V’ a una posible venta o previsión alternativa superior V” puede ser únicamente viable aumentando (o disminuyendo) más una línea que otra; o incluso puede ser que sólo sea comercialmente posible plantearse variar la venta prevista de una sola de la líneas de venta. Eta perspectiva más realista exige abordar el problema de la simulación des de un planteamiento más general que en 4.3.1 Consideremos diversas posibilidades: Supongamos, en primer lugar, que los márgenes de cada línea pueden mantenerse, pero que una previsión alternativa superior solo sería posible aumentando más unas líneas que otras, lo que significa pasar a una estructura de la venta distinta (B”). Entonces, la expresión general del resultado previsto pasaría a ser: R* = ∑ V”i · m’i − F’ R” = V” · ∑m’i · B”i − F’ s.a. continúe siendo válido para los nuevos niveles de actividad asociados a V’i. Supongamos, ahora, por el contrario, que el problema real está planteado en términos equivalentes a aquello que hemos analizado en el apartado anterior A): Que considerar previsiones superiores exigiría reducir ligeramente los márgenes de contribución respectivos. Pero supongamos también que sólo resulta viable plantear previsiones superiores para una línea de venta determinada (línea «x»), cuya tasa de margen venga x = m’x − w/Z donde w es, como en 4.3.1, la tasa de variación sobre la 112

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previsión inicial w = (V”x − V’x)/V’x y Z es un parámetro. Por consiguiente, la expresión para determinar el resultado que a obtener con cualquier previsión alternativa será: R" = ∑ m"i . V "i − F ' ≡ ∑ MC ' j + m" x . V " x − F ' ≡ R"( w ) = ∑ M ' j + ( m' x − w / z ). V ' x (1 + w) − F '

s.a. F’ siga siendo válido para los nuevos niveles de actividad asociados a V”x (donde el subíndice «k» corresponde a las líneas de venta cuya previsión queda inalterada). Finalmente, el caso más general correspondería a la situación en que fuera viable considerar previsiones alternativas en más de una de las líneas de venta que componen el plan económico, cuestión que se aborda en el punto 4.5.

4.3.3 La no linealidad de los costes, a efectos de la simulación de resultados A) COSTES VARIABLES NO PROPORCIONALES

Pasemos ahora a considerar la cuestión, presente en muchos casos en la práctica, de que los Costes Variables no necesariamente lo sean de carácter proporcional. Es decir, que pueden ser progresivos o degresivos. Supongamos esto último, que es lo que parece más significativo en la práctica: los costes variables varían en función de la venta, pero menos que proporcionalmente.; un ejemplo típico es el que los gastos de transporte externos, debido a que −generalmente− cuanto mayores son los servicios que contrata la empresa, el precio resulta más barato. En consecuencia, si existe algún coste variable degresivo a este tipo, el margen de los correspondientes artículos −cuestión de precios aparte− tenderá por esta causa a subir para de venta superiores al previsto en el plan de partida. Será, por tanto, un movimiento de signo contrario al anteriormente considerado respecto a los precios de vuelta. Consideremos, en primer lugar, el efecto «degresividad de los costes variables» por separado. Supongamos, que el coste variable unitario de un artículo es concretamente decreciente según una función lineal (α = A − B.u*). En consecuencia, la tasa de margen de contribución para un volumen dado de unidades a vender (u*) será: pv − α * pv − (A − B. u*) m* = = pv pv Como en el caso anterior, no obstante, puede resultar más sencillo expresar este tipo de relación indirectamente a través de tomar como punto de referencia el plan económico de partida para el ejercicio, y establecer qué incremento de margen se produciría fijado un determinado incremento del nivel de ventas sobre el inicialmente previsto (con lo que además el planteamiento es así aplicable también para el caso en que el plan venga ∆m’; → ∆m’ = f(∆V’) por ejemplo, supongamos que se ha establecido mediante el análisis de la previsión de los costes variables, que si la venta fuese un 25% superior a la prevista, eso permitiría una mejora del margen en 1,25 punto de porcentaje; que la mejora sería de 2,5 puntos si el incremento de ventas fuese del 50%; y así proporcionalmente para cualquier otra ∆m' =

w w → m" = m' + 20 20

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y el resultado a obtener para una determinada venta alternativa a la prevista (recordemos que estamos suponiendo por el momento, que los precios se mantuviesen constantes): w R " = ( m' + ) . V ' (1 + w ) − F' 20 es decir, una expresión simétrica a la del caso anterior de los precios, cuyo desarrollo y aplicación sería igualmente simétrico (con la única diferencia del signo del primer Esto permite concluir que, al pasar a considerar ambos tipos de realidades frecuentemente presentes en la práctica empresarial (las relaciones respectivas de los precios y la de los costes variables a prever, con respecto a un volumen dado de previsión de ventas), la expresión del Resultado previsible será en el caso que venimos considerando: w w R" = (m'− + ) . V ' .(1 + w ) − F ' 10 20 y en general  1 1  R" = m'− w ( − ) . V ' . (1 + w ) − F ' x y   donde x y Z representan los parámetros que hasta aquí hemos supuesto por comodidad que eran 10 y 20, respectivamente. B) COSTES FIJOS CON VARIABILIDAD DISCRETA (VARIABLES A SALTOS)

Finalmente al pasar a eliminar la simplificación de que los costes fijos (F’) lo son para cualquier nivel de ventas de la empresa (y por tanto, para niveles de actividad que pueden ser muy diferentes del que sirvió de base en la previsión de partida para calcular a) Definir una escala de costes fijos por intervalos de nivel de ventas; es decir, pasar de tomarlos como un valor constante a considerarlos como una función discontinua creciente, lo que nos dará una recta quebrada» en forma de escalera. b) Ajustar una función continua a la quebrada anterior, de manera que cálculos de simulación como los anteriores sean posibles sin necesidad de operaciones de tanteo (por ejemplo, en el caso de que los salto sean muy numerosos y para intervalos proporcionalmente pequeños en el nivel de ventas y en el de actividad). Obviamente, la primera alternativa presupone un cierto tanteo, puesto que la respuesta en cuanto al valor de la venta alternativa asociada al problema de simulación planteado, puede hacer «saltar» el valor de F’ en la escala y por tanto, exigir una nueva aplicación del planteamiento analítico con el nuevo valor de costes fijos, F”; y así sucesivamente hasta que el resultado en cuanto a venta alternativa sea coherente con la previsión F utilizada. Por el contrario, la segunda alternativa representaría pasar a operar con todos los costes en términos de variables. Por ejemplo, y volviendo al caso sencillo en que el margen varía en función del incremento global de ventas sobre la previsión (w), F”(w) = F’ + E . w ; (E = parámetro)

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Veamos, sin embargo, esta cuestión en términos más precisos, para ser más acordes con la realidad, de costes de variabilidad discreta. Recordemos, en primer lugar, que la previsión F” debe incluir los costes de funcionamiento fijos de cada una de las funcionales de la empresa. Esto significa que: F” = F”PROD + F”COMP + F”VENT + F”(ADM + GEN) y, que desde esta perspectiva detallada, es evidente que cada uno de los componentes tiene un comportamiento de variabilidad discontinua, a saltos (o en escala), pero en función de su nivel de actividad respectivo. De este modo, la variación que supone una previsión alternativa considerada V”, respecto a la previsión inicial, V’, implica una tasa de variación en el nivel de actividad ventas» (w) y, indirectamente, una determinada tasa de variación en el nivel previsto de actividad productiva o nivel de ocupación −T’)/T’. Y hay que tener en cuenta que los costes fijos de producción saltarán o no en función de esta segunda tasa, mientras que los del tipo comercial y administrativo dependerá que salten o no de la tasa w; los del área de compras saltarán en función del volumen de compras asociado a la nueva previsión; y los de administración y generales de la empresa depender n, por lo que se refiere a su variabilidad discreta, del conjunto de los tres niveles de actividad nombrados. Con relación a esto resultará útil señalar que la tasa de variación del nivel de ocupación de la capacidad productiva (T” − T’)/T’, puede deducirse, si es necesario, indirectamente utilizando los valores de los costes variables imputados correspondientes a los programas de producción asociados a los dos programas de ventas que entran en la ), asociado a (u’i), que corresponde a V’ y (q”i), asociado a (u”i), que corresponde a V” i

Por ejemplo: si el coste variable imputado es CVI = q1.t’1.v’, entonces podemos escribir que: Z" − Z' ∑ q i " . t 'i . v ' − ∑ q i . t i ' . v ' ∑ q i " . t i ' − ∑ q i '. t 1 ' T" − T' = = = Z' ∑ q i . t 'i . v' ∑ q 'i . t i ' T' Es decir que la proporción en que varían los costes variables imputados al pasar de una previsión a otra alternativa, es la misma que la proporción en que varía el nivel de ocupación de la capacidad productiva. Por último y para completar esta generalización respecto al comportamiento de los costes, debemos considerar que los costes como los del descuento bancario pueden dejar de ser variables para convertirse en fijos a partir de determinados volúmenes de venta, si es que las posibilidades de descontar vienen limitadas por unas clasificaciones de descuento que no pueden aumentarse en absoluto para el período planificado. A modo de conclusión, obsérvese que los planteamientos de simulación respecto a Resultado (o respecto a tasas de rendimiento) a obtener que hemos efectuado hasta aquí, y que podríamos resumir en las siguientes expresiones genéricas: ∑ M”i .u”i − F” R” =∑ m”i. V”i − F” pueden ser de hecho aplicados a dos tipos de problemas o preguntas; unas de simulación directa (a) y otras a la inversa (b). Esquemáticamente: a) ¿Qué resultado se obtendría

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con tal o cual alternativa de previsión de ventas distinta a la del plan económico inicial? b) Para obtener una meta de resultado (o de rendimiento) concreto, ¿Cuál debería ser la previsión de venta alternativa? Finalmente conviene señalar, como ya se ha indicado con anterioridad, que equivale a una formulación del resultado previsto que se base en la imputación estrictamente de costes variables y que, por consiguiente, R”(u’i), o R”(V’i), sólo coincidirá exactamente con el resultado obtenido con la previsión inicial (R’) cuando esta previsión se base precisamente en un sistema de costes de imputación sólo de variables (o bien en el caso específico que no exista ninguna variación prevista en las ventas. Esta circunstancia debe considerarse especialmente si se desea conocer cual es la variación del resultado al pasar de la previsión inicial a una previsión alternativa. Esta diferencia no será lógicamente R” − R’ (salvo en el caso concreto indicado) sino R”(u”i) − R”(u’i); (o bien , R”(Vi”) − R”(V’i)).

4.4 Aplicación de la simulación de resultados a estudios de viabilidad En el punto anterior hemos partido de hecho de la expresión del resultado a obtener según la expresión lineal utilizada para el punto de equilibrio y la hemos generalizado, introduciendo los supuestos más realistas (no linealidad) para pasar a expresiones que sirvan realmente para simular el resultado a obtener según diferentes supuestos sobre cifras de ventas alternativas a los del plan inicial. Obsérvese que una conclusión que hemos obtenido de todo lo anterior es que al generalizar el modelo eliminando simplificaciones de linealidad o constancia de las variables, aparece el concepto de umbral de rentabilidad (es decir, venta a conseguir a lo largo del ejercicio y que cubrirá todos los costes), cuyo valor será diferente que el calculado con el modelo base lineal del punto de equilibrio. Esta cuestión es decisiva si la aplicación de los modelos expuestos de simulación de resultados se efectúa precisamente en un estudio de viabilidad, ya que en definitiva éstos consisten en determinar el punto de equilibrio, pero en el sentido precisamente de lo que aquí hemos denominado umbral de rentabilidad o de beneficio (Vu); y ello, normalmente para una empresa cuyo nivel de operaciones previsible es inferior a este valor. Es decir, que está abocada a operar con pérdidas si no es posible aumentar el nivel de ventas (supuesto que en el proceso de planificación inicial, los costes hayan sido ya ajustados a los niveles mínimos asociados a una gestión eficiente).

4.4.1 Viabilidad económica en el sentido de umbral de beneficios» Supongamos un caso típico: se dispone de las previsiones para el próximo ejercicio, pero éstas dan un resultado negativo. la condición de viabilidad consistiría en buscar un nivel de ventas, superior al previsto que correspondiese precisamente a un punto de equilibrio −pero en el sentido de umbral de rentabilidad− teniendo en cuenta todas las repercusiones que este nuevo nivel de ventas puede significar en precios y costes variables inicialmente previstos en el plan anual. Esta cuestión genérica puede venir planteada de varias maneras, más o menos equivalentes. Por ejemplo, como en el punto anterior: si se ha de aumentar la previsión inicial V’ para alcanzar el umbral de beneficios puede resultar una buena aproximación a la realidad el suponer que la estructura de la venta se mantendrá constante, pero que el 116

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margen global será algo inferior; y tanto más inferior como importante sea el salto de →Vu. La cuestión puede venir también planteada en la práctica en los términos más directos de que cambien los márgenes unitarios (M’i) como consecuencia del hecho de que los precios habrán de ser algo menores si se pretende vender más; o/y porque los costes variables no se van a mantener proporcionales sino que, por ejemplo, tienen en sí un comportamiento degresivo. Supongamos aquí que el caso se plantea concretamente en términos exclusivamente de variación de precios. Por ejemplo: de los tres artículos que constituyen la previsión de la empresa, sólo se estima existen posibilidades de llegar a vender más de uno de ellos; y ello aun a base de disminuir algo el precio previsto la función de demanda inversa pv* = a − b.u*. Se trata por supuesto de que la previsión inicialmente efectuada, por la empresa da un resultado previsto negativo: R' = ∑ u'i . ( pv'− x' ) i − [ ∑ cv1'i . V 'i + ∑ cv2' i . u'i + Costes Fijos no imputados en las x'] < 0 y que, de las tres cantidades previstas de venta, sólo se puede considerar la posibilidad de aumentar una de ellas, por ejemplo, la del artículo hasta una determinada nueva previsión 3 que, junto con las iniciales u’1 y u’2, cubra todos los costes fijos. Por tanto, como se ha de buscar una previsión de ventas alternativa (lógicamente más alta), la cuestión debe ser planteada de acuerdo con la formulación del resultado previsto para la simulación de resultados antes expuesta: ∑ M”i. u”i − F”35 Veamos pues, cual debe ser la demanda alternativa V” de tal forma que se cubran exactamente todos los costes: V” = Vu => R”(V”) = 0. El problema puede plantearse, como ya hemos visto antes, básicamente de dos formas: en términos de unidades físicas y márgenes de contribución unitarios, y en términos de cifras de ventas y tasas de margen. Se opta aquí, a título de ejemplo, por la primera. Sea Z la suma de los márgenes de contribución previstos para los dos artículos, cuya previsión no variará: Z = M’1. u’1 + M’2. u’2. El nuevo margen del artículo que va a aumentar la previsión será: M"3 = ( pv" − xv ' − cv1' . pv" − cv2 ') 3 36 ; y, puesto que pv 3 " = a − b. u 3 " , entonces, M3 " = ( a − b. u") . (1 − cv1') xv' cv2' 3 = a (1 − cv1' ) − xv ' − cv2' − (1 − cv1'). b. u" 3

donde todos los valores son conocidos excepto u 3 .La condición de umbral de beneficio se expresará ahora como: Z + M 3 " . u 3 " = F' → Z + a (1 − cv1' ) − xv ' − cv 2' − (1 − cv1') . b . u" 3 . u 3 " − F' → a (1 − cv1' ) − xv ' − cv2 ' 3 . u 3 " − (1 − cv1') 3 . b .( u 3 ") 2 − ( F' − Z) = 0 s.a. F’ sea válida para el nuevo plan de actividades asociado al programa de 1, u’2, u”3); (u”3 > u’3).

35

Formulación que, aplicada a la previsión de partida, como sabemos no será exactamente igual que R’ (a no ser que se produzcan variaciones de existencias o que el sistema de costes en que se basa la formulación de R’ sea de imputación únicamente de costes variables), aunque variará poco. 36 El coeficiente de costes variables cv1' incluiría aquí lógicamente, además de los costes comerciales variables, la tasa global prevista para los de descuento bancario, únicamente si unas posibles mayores ventas fueran también descontables según la misma proporción y plazos que las de la previsión inicial.

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Es decir, una ecuación de segundo grado en u”3. Puede tener por tanto dos soluciones reales. Aunque sólo la menor, como es lógico será la valida como umbral de beneficio. Gráficamente esto queda en evidencia en la Figura 22 (similar a la 19). la solución u”(1) es un umbral de beneficio porque responde a su definición: para ventas inferiores no se cubren los costes fijos, y para ventas superiores, existirán beneficios. la solución u”(2) tiene en común con la anterior que el margen de contribución es exactamente igual a los costes fijos a cubrir, pero no es un umbral de beneficios en el sentido económico del término, ya que es el nivel de ventas a partir del cual, al tener que reducir tanto el margen, se deja de conseguir beneficios y se pasa nuevamente a sufrir pérdidas. Con la ayuda del gráfico siguiente, examinaremos aquí las consecuencias de lo que ya se ha apuntado antes en 4.3.1 respecto a los costes fijos: El aumento del nivel de ventas previsto que puede suponer el alcanzar el nivel u” para las ventas del artículo en cuestión, puede significar unos aumentos de niveles de actividad tales que hagan saltar los costes fijos (como se ha representado con la línea discontinua (quebrada) para F en el gráfico anterior. Obsérvese cómo esto significa en este caso concreto que el valor u”(1) deducido de acuerdo con la formulación base, no es realmente válido como umbral de beneficio, debido a que no es coherente con el valor F’ utilizado en la ecuación. Debería volverse a plantear ésta con el nuevo valor para los costes fijos. Y así, hasta asegurarse de que la solución encontrada es coherente con los costes fijos utilizados en el planteamiento. Así el umbral de beneficios real es u”(3) en la figura 22; paralelamente u”(2) deja de tener sentido, siendo el punto equivalente válido el u”(4).

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Figura 22

4.4.2 Viabilidad económica entendida como la obtención de un resultado mínimo exigido Dando un paso más sobre este tema, hay que tener en cuenta que a veces el concepto de viabilidad” para los que deben decidir sobre el futuro de la empresa, (un posible comprador, los propios accionistas actuales que deban decidir si continuar efectuando una inversión adicional, o no, etc.) puede ser algo más exigente. Por ejemplo, el criterio ser el de obtener unos resultados mínimos igual a una determinada cantidad W». En este caso, la única diferencia con el planteamiento anterior sería que F’ debería ser sustituida por F’ + W’ en la ecuación inicial. de razonamiento para plantear la cuestión de las condiciones de viabilidad de la empresa es aplicable tanto si las previsiones vienen de venta, como expresadas en términos de ventas y márgenes de contribución por si están expresadas en términos de unidades de cada artículo y márgenes unitarios. Aquí continuaremos suponiendo que se trata de la segunda posibilidad y, concretamente seguiremos utilizando el caso−ejemplo del apartado anterior, en el que únicamente era posible modificar la previsión del artículo 3. De este modo, supongamos, por ejemplo, 119


que el caso aparece planteado según los términos siguientes: ¿Cuánto ha de venderse para obtener una determinada tasa de rendimiento sobre ventas para obtener una determinada tasa de rendimiento sobre ventas (por ser esta una condición de viabilidad fácilmente comparable con otras empresas del mismo sector)? La respuesta vendría dada en este caso por: 2 R" a (1 + cv1' ) − xv ' − cv2 ' 3 . u"3 − (1 − cv1' ) 3 . b . ( u"3 ) − ( F' − Z) r" = = V" u"3 . ( a − b . u"3 ) + V '1 + V'2 ecuación con la que, como en el apartado anterior, pueden obtenerse formalmente dos respuestas (por ejemplo si la meta es tal como ro en la figura 23), o bien ninguna, caso de que la meta propuesta r” sea superior a la tasa de rendimiento máxima correspondiente a la función R”/V”, anterior (por ejemplo, una meta de rendimiento r1 en un caso como el representado en la figura 23).

Figura 23

(En el gráfico anterior, y para simplificar, todos los valores se entienden sujetos a la condición −para ser válidos como se ha indicado antes− de que la previsión de costes fijos utilizada en la formulación (F’) fuese válida para un intervalo tal como u”(inf) → u”(sup); de hecho, así se ha representado en el gráfico).

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4.4.3


Resumen −comparación del resultados/viabilidad económica

punto

de

equilibrio/simulación

de

Dejando de lado los ejemplos concretos utilizados hasta ahora, se pasa aquí a reunir los conceptos tratados, desde una perspectiva general, integradora, a modo de resumen: Siempre tomando como base unas previsiones económicas, el resultado a obtener dadas unas ventas determinadas [R”(V*)], tiene como expresión más general: R” = Margen de Contribución total de V* − costes fijos (necesarios para los niveles de actividad asociados a V*). R” = MC(V*) − F(V*) En relación con el primer componente (MC), en el caso general, el hecho de pasar a niveles de Venta cada vez superiores exigirá, normalmente, reducir algo los márgenes individuales de los artículos, o lo que es equivalente reducir en alguna medida la tasa media d margen de contribución. Esto significa que MCT será una función (continua) que empezará siendo creciente per de forma menos que proporcional (crecimiento degresivo), hasta llegar a un máximo, a partir del cual −para volúmenes de venta superiores− el MCT pasará a ser decreciente. Y respecto al segundo componente, (F), se trata, como hemos visto, de una magnitud que va variando a saltos (función discontinua) a medida que se va aumentando el nivel de actividad. Gráficamente, y suponiendo unos comportamientos concretos de ambas funciones):

Figura 24

El gráfico anterior permite resumir determinados volúmenes de venta asociados a determinados objetivos empresariales: 121


− Beneficio Máximo: Se da para aquel nivel de ventas para el cual la diferencia (MC−F) es mayor; si no hubiese saltos en los costes fijos, tal diferencia sería máxima cuando el valor de MC sea el máximo. Corresponde por tanto al valor de V* para el cual d(MC)/d(V) = 0; (valor V(1) en el gráfico de la figura 24). Esto podrá no ser así cuando sí se producen los saltos en los costes fijos (caso que se da en las figuras 22 y 25)37. Consideremos este caso más general: Sea V1 la venta que maximiza el margen de contribución total y V5 > V6 > V7 tres valores de renta inferiores, para los que al sobrepasarse cada uno, se produce un determinado salto en la función lineal−discontinua de costes fijos, (∆F)5, (∆F)6, (∆F)7, de tal forma que F(V7) + (∆F)7 = F(V6); F(V6) + (∆F)6 = F(V5); F(V5) + (∆F)5 = F(V1); . Entonces la condición general que nos indicará cual es la venta que maximiza el resultado, puede escribirse como: (∆R)5 = MC(V1) − MC(V5) − (∆F)5; (∆R)6 = MC(V5) − MC(V6) − (∆F)6; (∆R)7 = MC(V6) − MC(V7) − (∆F)7;

si (∆R)5 < 0 → V5 es preferible a V1 si (∆R)6 < 0 → V6 es preferible a V5 si (∆R)6 + (∆R)5 < 0, → V6 es preferible a V1 si (∆R)7 < 0 → V7 es preferible a V6 si (∆R)7 + (∆R)6 < 0, → V7 es preferible a V5 si (∆R)7 + (∆R)6 + (∆R)5 < 0, → V7 es preferible a V1

O bien, en otros términos, si aplicamos la expresión general del resultado a cada uno de los valores de ventas anteriores: R(V1), R(V5), R(V6), y R(V7), el resultado más elevado nos indicará cual de las cuatro previsiones alternativas maximizará, en definitiva el resultado, I, en general: V*max → V* = V”Rmax − Rendimiento máximo: Corresponde a aquel nivel de ventas para el cual el cociente (MCT − F)/ V es máximo (o bien aquel valor para el cual d( (MCT−F)/V)/ d(v) = 0 ). Como puede observarse gráficamente, dicho cociente es la tangente del ángulo que, respecto a la horizontal, forma la recta que une un punto cualquiera de la función de margen con el eje de coordenadas en el punto correspondiente a los costes fijos que sean de aplicación para dicho punto (o nivel de ventas). En consecuencia, el cociente será máximo cuando lo sea el ángulo en cuestión, y esto se dará precisamente cuando la recta referida sea precisamente tangente a la curva margen valor V(2) en la figura 24. De aquí puede deducirse, además que el máximo rendimiento siempre se obtendrá con un volumen de ventas inferior al que proporciona el máximo de beneficio absoluto. Igualmente, puede deducirse de la representación gráfica −aunque no se han dibujado las líneas correspondientes por razones de claridad en el gráfico−, que una meta de rendimiento (w) inferior al valor máximo será posible con dos valores de ventas alternativas diferentes: aquellos que correspondan a los puntos 37

En efecto, en el caso que no hubiera saltos en los costes fijos, la función de resultados es continua y, por tanto, la condición d(R)/d(V) =d(MC)/d(V) = 0, garantiza que la previsión de ventas resultante corresponderá a un máximo resultado. Por contra, si los llamados costes fijos variasen a saltos —que es la situación más frecuente en la práctica— la función de resultados es discontinua, por lo que la condición d(R)/d(V) =d(MC)/d(V) = 0 sólo garantiza un máximo del margen de contribución total — que es precisamente la parte continua de la función de resultados—, pero no necesariamente del resultado

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en que una recta con una inclinación (w) inferior a la de rendimiento máximo, corte a la curva de margen siempre que los costes fijos válidos para ambos volúmenes de venta sean los mismos. Y lo mismo puede decirse respecto a metas de beneficio absoluto inferiores al del beneficio máximo: trazada una horizontal que supere a los costes fijos en el importe del beneficio fijado como meta, los dos puntos en que dicha horizontal (o quebrada horizontal) corte a la curva de margen cumplirán la condición exigida. Lógicamente, en ambos casos el valor inferior de ventas encontrado sería el válido, ya que en principio es un contrasentido económico efectuar un esfuerzo por vender cantidades notablemente superiores cuando la meta pretendida de obtener una determinada cifra de resultados puede lograrse con un esfuerzo de ventas menor. − Punto de equilibrio : Suponiendo que la previsión de ventas efectuadas por la empresa (V’) para el año dé un resultado positivo, el Punto de equilibrio aquella fracción de dicha previsión con la que quedarían ya cubiertos todos los costes fijos anuales previstos. Se trata pues de suponer que los valores anuales serán los previstos, y equivale por tanto a utilizar una función de margen lineal (valor V(3) en la figura 24) − Umbral de beneficios (o de rentabilidad): Aquel nivel de ventas anual necesario para cubrir todos los costes correspondientes. A diferencia de lo anterior, esto implica tener en cuenta que los márgenes y costes fijos pueden ser diferentes de los correspondientes a la previsión inicialmente efectuada, y, por tanto, calcular el umbral de beneficios exige calcular las funciones MCT(V*) y F(V*). (valor V(4) de la figura 24). Finalmente, es importante destacar que la situación relativa de estos valores no siempre será la representada en el gráfico de la figura 24; véase en este sentido el gráfico de la figura 25, en el que se ha supuesto que los coste fijos «saltan» de forma diferente, y , además, que la previsión de ventas inicialmente efectuada (V’) correspondería a un resultado negativo (caso típico en que suele plantearse la necesidad de una determinación de las condiciones de viabilidad). Obsérvese la aparente paradoja de que en este caso concreto representado, el máximo de la función de margen no corresponde al volumen de ventas que da un absoluto, puesto que el beneficio que se obtendría para volúmenes de venta inferiores, a la izquierda de V(5) pero próximos a este valor, serían superiores (segmento C,D) al beneficio correspondiente al máximo de margen absoluto (segmento A,B) debido al «salto» de los costes fijos que se produce a partir del nivel de ventas V(5) (figura 25). Por tanto, en el caso general, para determinar cuál es realmente la previsión de ventas que proporcionaría un resultado máximo será necesario comparar los resultados correspondientes a la venta de máximo margen total (VM) con los resultados correspondientes a las cifras de ventas a partir de las cuales se producen saltos en los costes fijos ( VS1, VS2, ...): Max. {R”(VM), R”(VS1), R”(VS2), ...} → Vopt

123


Figura 25

anterior, sino con el hecho de haber supuesto que la previsión de partida (V’) corresponde a un nivel de ventas con un resultado negativo—, que el concepto punto de equilibrio corresponde ahora a un volumen de ventas inferior al del umbral de beneficios, a diferencia de lo que ocurría en el supuesto representado en el gráfico de la figura 24

4.5 Optimización del plan económico: la simulación de resultados en el caso general. En los apartados anteriores hemos considerado dos situaciones−tipo para las previsiones económicas alternativas a la previsión inicialmente planteada; situaciones que, tratándose de casos realmente presentes en la práctica, tenían un elemento simplificador: hemos considerado que, o bien la previsión de todos los artículos o líneas variaba globalmente (4.3.1) o bien que, por razones de carácter técnico o de limitaciones de mercado, únicamente era viable para la empresa considerar la modificación de la previsión de ventas para uno de los artículos o líneas de venta (4.3.2 A y B). Procederemos ahora a considerar el caso general, en que, en principio pueden considerarse previsiones distintas a la inicial para cualquier artículo o línea de venta (en general nos referiremos a previsiones superiores) y en que se da la situación —por otro lado lógica— de que el margen de contribución para cada artículo o línea de ventas dependerá de cuál sea su (nueva) venta específica programada. De este modo, en el caso general, la expresión del resultado previsto dependerá de más de una variable, puesto que cada margen de contribución variará de una forma distinta:

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En términos de unidades de productos R " = ∑ M"1 . u"1 − F" M"1 = M ( u"1 )

En términos de líneas de venta

≡

∑ m"1 . V"1 − F" m"1 = M ( V"1 )

ya que las diferencias entre estas dos formas de plantear la cuestión son mínimas a los efectos de la simulación de resultados, y que la expresión del resultado en t rminos de líneas de venta es posible en todos los casos —cuando se dispone de los datos en términos de unidades físicas de productos y precios, siempre es posible reservar estos datos en términos de tasas de márgenes y cifras de ventas para cada producto—, utilizaremos a partir de ahora la formulación del resultado previsto en términos de tasas de margen y cifras de venta. También, al igual que en 4.3.2 B), expresaremos los m rgenes alternativos (mi) en función del margen previsto inicialmente (m’i) y de la variación sobre la venta prevista que se esté considerando (w1 = V” − V’)i / Vi): mi = m’i − wi / zi (donde las zi son parámetros) En consecuencia, el resultado a obtener con una determinada previsión alternativa (V”1, V”2, V”3, .... V”i ... V”n), estará en función de cuales sean los respectivos incrementos de previsión que ello suponga para cada línea de venta: ∑ m”i ⋅ V”i − F” ≡ R” (wi) A efectos de simulación de resultados, formalmente nos encontraremos, pues, con una ecuación con diversas incógnitas (las tasas wi). Cuando la simulación a realizar es directa, ello no representa ningún problema especial: dada una previsión alternativa V”1, V”2, V”3, .... V”i ... V”n, será suficiente sustituir los incrementos (wi) que ésta representa sobre la inicial, en la expresión R” con objeto de obtener cual será la cifra de resultados que se lograría con esta previsión alternativa. Asimismo, cuando la pregunta a responder con la simulación es inversa —por ejemplo, qué venta alternativa sería necesario alcanzar para que el resultado que obtuviéramos fuera uno determinado—, la respuesta ya no puede ser única como en 4.3.1 o 4.3.2 puesto que ahora nos encontramos ante una ecuación con más de una incógnita. Programa de ventas alternativo para alcanzar una meta de resultado concreta Ello presupone una indefinición en principio para la respuesta (existen indefinidas posibilidades); sin embargo puede no resultar una limitación tan dura como en principio parecería. Veamos esta cuestión en términos de un ejemplo simplificado: Sean los datos de la previsión inicial de la empresa los siguientes: Venta prevista tasa de margen de contribución Establecimientos 120 M 27% Distribuidores 30 M 17% Mayoristas 40 M 10% Costes Fijos = 32 M. => Resultados previsto = 9,5 M , (M = millones) y que, de otra parte, se estima que , por previsiones mayores los márgenes considerados deberían variar en la proporción siguiente:

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Línea Establecimientos m"E = 0,27 − wE /10 0,27 −(V"−V')E/1200 Línea Distribuidores m"D = 0,17 − wD /20 0,17 −(V"−V')D/600 Línea Mayoristas m"M = 0,10 − wM /50 0,10 −(V"−V')M/2000 aspecto que, en este caso, indica que el margen de la segunda línea es más sensible a los aumentos de ventas que el de la primera, y aún lo es menos el de la tercera. Sensibilidad de la tasa de margen que, por supuesto, depende en primer lugar de la respectiva elasticidad de la demanda para la empresa en esta línea y, en segundo lugar, de las posibles variaciones no proporcionales de los costes variables respectivos. Supongamos ahora que el resultado previsto, 9,5 millones, es considerado por el consejo de administración de la empresa como un objetivo sensiblemente bajo para el ejercicio planificado, y que estiman que la meta aceptable sería un resultado de 13 M. Lógicamente la pregunta a contestar en este caso sería: ¿Qué programa de ventas alternativo permitiría alcanzar esta meta de resultado? Para responder tendríamos que empezar por formular, en términos generales, el resultado a obtener:

V" E −120 V" −30 V" −40 ) + V" D . ( 0, 17 − D ) + V" M .(0,10 − M ) − 32 ⇒ 1200 600 2000 ( V" E ) 2 ( V" D ) 2 ( V" M ) 2 13 = 0, 37 . V"E − + 0, 22 . V" D − + 0,12 . V" M − 32 1200 600 2000

R" = 13 = V" E . (0, 27 −

Lógicamente, de la formulación anterior del resultado se deduce que existen indefinidos programas alternativos de ventas (V”E, V”D, V”M) que cumplirían con la condición, por lo que no parece, en principio, que se pueda dar una respuesta clara. Asimismo resulta importante destacar que el hecho de que aparezcan un número indefinido de posibles respuestas no excluye que conocer alguna no sea en si una forma de respuesta tan útil para tomar decisiones en la empresa, como lo puede ser, en un caso más simple, la

Acotamiento de las respuestas Es evidente que de la expresión anterior se pueden deducir arbitrariamente, diversas de las posibles respuestas; sin embargo, si dichas respuestas estas adecuadamente escogidas (por ejemplo evitando elecciones de valores matemáticamente correctos pero claramente inviables por razones comerciales o de producción), el conjunto de las respuestas determinadas de esta forma, puede ofrecer una respuesta marco o respuesta abierta perfectamente útil para la toma de decisiones de gestión. Así, por ejemplo, supongamos que se estima posible un programa de ventas E = 120 y V”D = 60. Quedaría, entonces por determinar cual debería ser la previsión alternativa V”M según la expresión obtenida antes para el resultado. Puede verificarse que hay dos valores para V”M que cumplen la condición (al resolver la ecuación de segundo grado correspondiente en V”), 60 y 180 millones; de los amos el menor. Y, si en lugar de prever 60 para V”D fueran 45, ¿cuál debería, entonces, ser la M? La respuesta es en este caso, como también puede deducirse, 72,565 (también 167,434, aunque, como es lógico, descartaríamos esta segunda opción por innecesariamente elevada). Y, para terminar, con una tercera posibilidad, si suponemos que V”E puede pasar a 140, y que V’M puede ser igual a 55, ¿Cuál debería, entonces ser la cifra de previsión alternativa para la línea de distribuidores? La respuesta, como puede deducirse es 24,96 millones. 126

JOAQUIM VERGÉS


Así, entonces, tres posibles planes alternativos de ventas, cada uno de los cuales conduciría a un mismo resultado igual a 13 millones:

Línea de establecimientos Línea distribuidores Línea mayoristas

(1) 120 60 60

(2) 120 45 72,565

(3) 140 24,926 55

Obsérvese cómo estas tres soluciones obtenidas de forma arbitraria (que no significa necesariamente de forma aleatoria), ofrecen en su conjunto una respuesta perfectamente útil para la toma de decisiones, puesto que, de hecho el conjunto de las tres alternativas calculadas enmarca las posibilidades de elección. Ello faculta a la dirección de la empresa decidir perfectamente alrededor de que valores se situaría un programa de ventas alternativo que, permitiendo obtener el resultado fijado de 13 millones , sea el programa más adecuado en términos de estrategia comercial, o en términos de facilidad de ser alcanzado, o en términos de limitaciones técnicas, o, más probablemente, considerando conjuntamente dichos elementos de gestión. Planes alternativos cuando existen condicionantes técnico−comerciales Más allá, en muchos casos, los márgenes de actuación para el nivel de ventas de cada línea no son tan absolutos, reduciéndose así considerablemente el grado de arbitrariedad de las posibles respuestas. Por ejemplo, si en el caso anterior, resultase que, por razones de estrategia comercial o de costes de producción, el nivel de ventas para la división establecimientos debe ser siempre igual a tres veces el de la división mayoristas» (como así sucede en la previsión inicial), esto limitaría considerablemente el conjunto de respuestas posibles de programas alternativos que proporcionen un resultado igual a 13 millones. Es decir, los «grados de libertad» existentes se habrían reducido de dos a uno, ya que de una ecuación (la del resultado a obtener) con tres incógnitas, habríamos pasado a dos ecuaciones con tres incógnitas (al añadir la ecuación−condición VE = 3VM). Y, si adicionalmente, hubiera alguna otra restricción o condición que se hubiera de cumplir (por ejemplo, un nivel máximo relativamente bajo para una de las líneas, o, simplemente, una decisión tomada respecto al nivel de ventas de una de las líneas como una cuestión decisiva de pura estrategia comercial), los grados de libertad se reducirían a cero (tendríamos tres ecuaciones con tres incógnitas), por lo que la respuesta, en este caso, sería única: habría un solo programa de ventas alternativo (VE, VD, VM) para alcanzar la meta fijada de un resultado de 13 millones. El plan económico óptimo En esta línea de hallar una previsión alternativa más satisfactoria que la inicial, no hay lugar a dudas que una pregunta especialmente relevante es de qué previsión o previsiones alternativas maximizarían el resultado que obtendrá la empresa. Dada la función de resultado previsto a obtener ( y suponiendo, para simplificar, que los costes fijos no estén sujetos a saltos), su maximizaci aquellos valores de previsión de ventas que igualasen a cero las derivadas parciales respecto a cada una de las incógnitas. Es decir, que se cumplieran simultáneamente las cuatro condiciones siguientes:

127


∂R" 1 V" E ; ⇒ V" E = 222 = 0 ; ⇒ 0, 37 − ∂V" E 600 ∂R " 1 = 0 ; ⇒ 0, 22 − 2) V" D ; ⇒ V" D = 66 300 ∂V"M 1 ∂R " = 0 ; ⇒ 0, 12 − 3) V" M ; ⇒ V" M = 120 ∂V" M 1000

1)

4) F” = constante Por consiguiente, en este caso, en que la respuesta es única, sólo hay un programa de ventas alternativo que maximiza el resultado previsto, y este programa es, en el caso del ejemplo, una previsión total de 408 millones, con la composición siguiente: V”E = 222, V”D = 66, y V”M= 120 millones respectivamente (suponiendo que la previsión de gastos Conclusión, por otro lado lógica: El máximo resultado, dados unos costes fijos, se obtendrá cuando el margen de contribución total sea máximo, y este último — expresado como una función lineal— lo será cuando cada uno de sus componentes (el margen de contribución de cada artículo o línea de venta) alcance su máximo respectivo. I es evidente que esto es precisamente lo que significan las respectivas condiciones de maximización: Para cada línea de venta, cual es el programa alternativo que maximiza su margen de contribución alternativo respectivo absoluto. En el caso general en que los costes fijos variasen a saltos en función del volumen −discontinua), ya sabemos que el programa de ventas que maximiza el margen de contribución total no necesariamente maximizará el resultado. En consecuencia, será necesario verificar si el resultado es mayor o no antes de producirse cada uno de los saltos que para el volumen de venta total que maximiza el margen de contribución total (V= 408 millones, en el ejemplo). Se trata, por consiguiente, de la misma cuestión que hemos analizado en el punto 4.4.3, aunque en el presente caso las funciones de margen de contribución son tres en lugar de una. La exposición del punto citado es, por tanto, generalizable al caso que estamos considerando ahora, con la diferencia que ahora los puntos de salto de los costes fijos pueden corresponder a distintas combinaciones de las ventas por líneas. Consecuentemente, al comparar la reducción de costes fijos que se produciría al situarnos en un nivel de ventas inferior, con la correspondiente reducción de en el margen de contribución, resultará que la hipotética reducción en el nivel de ventas podrá realizarse con distintas combinaciones de reducciones en las tres líneas de venta y, lógicamente, habrá que escoger aquella combinación que menos reducción ocasione sobre el margen de contribución total. Así pues, si por plan económico óptimo se entiende aquel que maximiza el resultado a obtener, podemos concluir con las siguientes observaciones:  Conocida la relación márgenes/volúmenes de ventas para cada línea, es posible contestar a la pregunta de cual es el programa de ventas (venta de cada línea) óptimo, y la respuesta correspondiente será única. Otra cuestión será que se trate de un programa de ventas realmente posible.  La cifra de ventas óptima para una determinada línea puede ser inviable. Por ejemplo, puede ser incluso superior a la capacidad del mercado, de manera que sería imposible conseguirá aunque la empresa se hiciera con una cuota de mercado del 100%. O puede no ser posible por limitaciones técnicas de 128

JOAQUIM VERGÉS


financiación o de capacidad de gestión comercial de la empresa, insalvable a corto plazo.  En el caso general, en que los costes denominados fijos por comodidad, están sujetos a saltos en función de la cifra total de ventas, el programa de ventas óptimo en términos de margen de contribución puede ser o no el programa que maximize el resultado, por las mismas razones antes ilustradas en la figura 25. Por tanto: Max {R”(V”i, F”)V *i} →V*i = ViOPT.  En el caso que no se considere oportuna la modificación de la previsión inicial, o —en términos más generales— que el programa de ventas óptimo quede lejos de las posibilidades reales de la empresa, puede resultar, sin embargo, útil la determinación de cual es este conjunto de valores que configuran el programa óptimo, puesto que permite orientar la estrategia que la empresa debe seguir respecto a cada línea de venta, así como también detectar una posible ineficiente en una de las líneas: una previsión que fuera superior a su valor

(Es evidente que todo lo que se ha argumentado en este apartado con el ejemplo de tres líneas de ventas o productos, es directamente generalizable a casos con un número de superior).

SUPUESTO PRACTICO PARA EL TEMA 4 Resumen de las previsiones económicas de la empresa BIMETAL,S.A.» 1) Ventas: 8.000 u. art. 1 a 40.000 ptas./u. 19.200 u. art. 2 a 25.000 ptas./u. 2) Coste unitario calculado: Materias primas Costes de fabricación variables Costes de fabricación fijos38 Total

Art. 1 19.000 ptas. 4.200 ptas. 4.800 ptas. 28.000 ptas.

Art. 2 7.100 ptas. 2.400 ptas. 4.250 ptas. 13.750 ptas.

3) Previsión de los costes no imputados en el coste unitario: Departamento comercial, comisiones y ofertas especiales: a razón de un 10% para el artículo 1 y un 9% para el 2. Departamento comercial, transportes: 1.600 ptas./u. para el artículo 1 y 3.000 para el 2. — Gastos de descuento bancario: a razón de un 15% de interés anual, más 0,5%

38

La previsión de costes fijos de producción de donde se deducen estos costes unitarios, es válida para ±15% del previsto. Para niveles superiores, el salto sería de 22.000.000, y para niveles de ocupación entre un 75% y un 200% superiores al previsto, los costes fijos saltarían

129


— Costes fijos de departamento comercial: 18.000.000 de la división comercial encargada del artículo 1 y 25.000.000 de la del artículo 2, más 9.000.000 de gastos fijos comunes. — Costes fijos departamento de compras: 6.200.000. Los variables ya incorporados en los costes unitarios dedicados antes a través del precio interior de las materias primas. La parte de los costes unitarios que corresponde a estos costes son 400 ptas. y 150 ptas., artículos 1 y 2 respectivamente. — Costes fijos de administración: 30.700.000 — Costes fijos de tipo general: 6.100.00039. Resumen de las previsiones financieras: 1) La variación prevista en existencias de productos elaborados es: + 400 u. del art. 1; +300 u. del 2 (derivada de suponer un índice de rotación global igual a 6). 2) La variación prevista en existencias de materias primas es de una reducción de 1.050.000 ptas. (derivada de suponer un índice de rotación igual a 4). 3) Las condiciones de ventas serán: promedio de cobro a 60 días. Se dispone de unas clasificaciones bancarias de 80 millones de ptas. y se debe decidir la política de utilizar al máximo las posibilidades de descuento bancario40. 4) Las condiciones de pago a proveedores se prevén en un promedio de 75 días. 5) El índice de rotación previsto para semielaborados es de 12. PREGUNTAS 1) ¿Cuál es la cifra de ventas de punto de equilibrio, según la previsión? ¿Podría una venta de 580 millones ser también una venta de punto de equilibrio?. En caso afirmativo, ¿a qué cantidades u1 y u2 correspondería? Represente gráficamente estas cuestiones. 2) Determinar qué plan de ventas alternativo aportaría a la empresa una tasa de rendimiento neto del 12%, considerando que no es posible superar las ventas previstas para el artículo 1 (las 8.000 unidades se consideran como un techo insalvable a un año vista), pero sí las 19.200 unidades del artículo 2, que podrían superarse si se reduce en alguna medida el precio de venta previsto. En este sentido, de un estudio de la demanda en la empresa se deduce que esta responde a la función inversa siguiente: P = 26.920 − 0.10 ⋅ u2 (de aquí se deduce la previsión de un precio de 25.000 pesetas para una ventas de 19.200 unidades). 3) ¿Es esta la máxima tasa de rendimiento posible (beneficio/ventas)? 4) Qué plan de ventas alternativo daría un máximo resultado? Y Cuál sería este resultado?

39

Todas estas previsiones de costes fijos son válidas para el nivel de ventas previsto, +40% para niveles superiores (+40%
Solamente el 75% de las ventas son girables.

130

JOAQUIM VERGÉS


SOLUCIÓN: 0.

Preparación Cálculo del Resultado previsto Art.1(40%)

Ventas Coste Indust. de las ventas Margen Bruto (%) Costes no imputados Variables a) s/valor b) s/unit. Gastos de Descuento

Art. 2 (60%)

Total

320.000.000 224.000.000 96.000.000 (30 %)

480.000.000 264.000.000 216.000.000 (45 %)

800.000.000 488.000.000 312.000.000 (39 %)

32.000.000 (10%) 12.800.000 (1.600)

43.200.000 (9%) 57.200.000 (3.000)

75.200.000 (9,4%) 70.400.000 (8,8 %) 14.400.000 (1,8%)

41

25000 . .000  9.000.000  6.200.000   30.700.000   6100 . .000

Fijos:

18.000.000

Resultado Previsto . . . . . . . . . . . . . . .

95000 . .000

57.000.000

Cálculo de los márgenes de contribución por artículo

Precio de Venta Materia Prima Costes de Fab. variable Comisiones Gastos de Transporte Gastos de Descuento

41

M1 −−−−−−−− 40.000

M2 −−−−−−−−−− . 25000

19.000   4.200    −  4.000  29.520  1600 .     720

7.100  2.400    . − 2.250  = 15200 3000  .    450

= 10.480 = 26,2 %

800 x 0,75 = 600 (600/360) x 60 = 100 > 80 ; 80 x (360/60) = 480 ;

= 9.800 39,2 %

480 x 0,03 = 14,4

131


Pregunta 1. Punto de equilibrio m ' = 0,262 x 0,4 + 0,392 x 0,6 = 0,34 F ' = 95000 . .000 + 4.800 x 8.400 + 4.250 x 19.500 = 218195000 . . Ve =

218,195 = 641750 . .000 0,34

832.805.343,5  e( − ) 556.619.898 V e( + )   V . ,2 *  . ,6* 510.701530 737.385496 (*) Considerando que hay costes fijos específicos de cada artículo. por tanto: 556.619.898 < Ve < 832.805.343,5 más el punto 510.701.530,6 Cálculo del punto de equilibrio en unidades físicas (Una venta de 580 millones, podría ser también un PE?) SI : Ve(−) < 580.000.000 < Ve(+) A qué unidades de artículo 1 i artículo 2 correspondería este PE. 218 , 195 580

= 0, 376198275 = m "

0, 376198275 = 0, 262 . X + 0, 392 (1 − X ); X = 0, 12155 ; V1 "

= 0, 12155. 580 = 70, 499 ; u1 " = 1. 762, 475

V2 "

= 0, 87845 .580 = 509, 501 u2 " = 20. 380, 02

Pregunta 2. Plan alternativo que proporciona un 12% de rendimiento Puntos de salto de los gastos fijos → F' = 218.195 + 14,4 (gastos de descuento) para V" > 640 millones 42 para V" > 899,55 millones → F' = 232.595 + 22 millones para V" > 1.120 millones → F' = 254,595 + 15 millones para V" > 1.480 millones → F' = 269.595 + 11 millones Planteamiento: V" = V' + V" = 320.000.000 + (26.920 − 0,10 u"2) . u"2

R" = ∑ MC" i − F ' ; F ' = 218195000 . . + 14.400.000 (Gastos Dto)

R" = 89.600.000 + [(26.920 − 0,10 u"2) x 0,91 − 12.500] . u"2 − 232.595.000 s.a. V" < 899.550.000 (punto donde se produce el primer salto de los costes fijos) R" = 11.997,2 . u"2 − 0,091 (u"2)2 − 142.995.000

42

T' = (8.000 + 400) . 4.200 / v' + (19.200 + 300) . 2.400 / v' = 82.080.000/v' T" = 8.400 . 4.200 / v' + [u"2 + (u"2/6 - 2.900)] . 2.400/v' = 28.320.000/v' + 2.800 u"2/v' (si u'2 = 19.200; i q'2 = 19.200 + 300; i ex. equil. = 19.200/6 = 3.200, --> ex. inic.= 2.900) 28.320.000 + 2.800 u"2 115 , = . → u"2 = 23597 → pv"2 → V " = 899.552.570,7 82.080.000

132

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11997 . ,2 u"2 − 0,091 (u"2 ) 2 − 142.995.000 = 0,12 → 320.000.000 + 26.920 u"2 − 0,10 (u"2 ) 2 −0,079 (u"2)2 + 8.766,8 u"2 − 181.395.000 = 0; → r" =

"  27.511,7 → pv 2 = 24.168,83 → V " 2 = 664.925.600 → V " = 984.925.600  u "2 =  ó 83260 no  .

Test de validez S/ F' ↔ V", F' ↔ T" 1) Ventas: V"2 = 664.925.600 → V”= 320.000.000 + 664.925.600 = 984.925.600 984.925.600 > 899.550.000, por tanto se produce el salto de 22.000.000 en los costes fijos del departamento de producción; por consiguiente, conviene rehacer el planteamiento con F’ = 232.595.000 + 22.000.000 Recálculo del objetivo r=12%, siendo F' = 254.595.000: u"2 = 33.034 → pv"2 = 23.616,6 ⇒ V"2 = 780.150.767 ; V" = 1.100.150.767 1.100.150.767 < 1.120.000.000 por tanto, la respuesta obtenida es válida Resumen plan alternativo para alcanzar r" = 12% u"1 = u'1 = u"2 =

8.000 33.034

→ pv'1 → pv"2

= 40.000 = 23.616,6

→ V'1 = → V"2 = → V” =

320.000.000 780.150.764 1.100.150.764

Pregunta 3. Previsión que daría el máximo rendimiento (con F” = 269.595.000) 11997 . ,2 u"2 − 0,091(u"2 ) 2 − 179,995 ; ( s. a. 1120 . .000.000 < V " ≤ 1480 . ) r" = 320.000.000 + u"2 (26.920 − 0,1. u"2 ) dr " du " 2

=0

→ u"2

= 53 . 784 , 5 ;

pv " 2 = 21. 541 , 5

R " = 201 , 977 M .

V " 2 = 1.158 , 602 M .

Verificación1.478,6 < 1.480 ;

V " = 1. 478 , 602 M .

r " = 13 , 66 %

válido

Pregunta 4. Previsión de máximo resultado R" = 11.997,2 . u"2 − 0,091 (u"2)2 − 142.995.000 (s.a. V" < 899.550.000.) dR" = 0 → u"2 = 65.919 ; du"2 pv"2 = 20.328,13 ; → V2 " = 1.340 M; → 1660 . M > 1.480M. → R"(65.919) = 252,4248 − ∆ F ' ( saltos) = 252.4248 − - (22.000.000 + 15.000.000 + 11.000.000) = 204.424.800

133


Verificación: ¿es R(V" = 1.450) o R(V" = 1.120) > 204,4248 millones?: MC"(1.660 M de pts) = MC" (65.919 unid. de u2) = 485.019.800 MC" (1.480 M de pts) = MC" (53.871 unid. de u2)= 471.812.309; ∆ = 13.207.491

(1.480 − 320 = u2 ( 26.920 − 0,10 u"2) ⇒ u"2 = 53.871 i 215.329 MC" (1.120 M de pts) = MC" (34.016 unid. de u2)= 392.401.724; ∆ = 73.526.504 (1.120 − 320 = u"2 (26.920 − 0,10 u"2) ⇒ u"2 = 34.016 Por consiguiente, al pasar de V"=1.480 a 1.660 el incremento de margen de contribución es superior al salto que se produce en los gastos fijos; lo mismo − con mayor diferencia − sucede al pasar de V" = 1.120 a 1.480.

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En consecuencia, la previsión de máximo resultado es la inicialmente hallada (V"= 1.660) y el resultado máximo será 204,4248 millones. También podemos efectuar la verificación directamente, utilizando la función de resultados: R”(u”2) =11.997,2 · u”2 − 9,091 (u”2)2 + 89.600.000 − F” R”(V”= 1.480) = R”(u”2= 53.871) = 202.216.459 R”(V”= 1.120) = R”(u”2= 34.016) = 137.806.724 R”(V”= 899,55) = R”(u”2= 23.597) = 89.432.453 Pregunta 5: Más determinaciones útiles sobre el caso Resultado previsto inicialmente, s/expresión R"(V") R"(V') = R" (800) = 53,805 M. Umbral de beneficios R"(Vu) = 0 = 11.997,2 u"2 − 0,091 (u"2)2 − 142.995.000 ; s.a. (640.000.000 < Vu < 899.550.000) → u"2 = 13.250,8 V"2 = 339,154 pv"2 = 25.594,9 Vu = 659,154 Resumen de las respuestas Pregunta. 1: 641.750.000 ; SI, 580.000.000 podría ser otro punto de equilibrio; correspondería a la combinación de ventas: 1.762 unidades de artículo 1 y 20.380 del 2. Pregunta. 2: u"1 = u'1 = 8.000 ; u"2 = 33.034 ; V" = 1.100.150.764 Pregunta. 3: NO; la máxima tasa de rendimiento es 13,66% y corresponde a un plan alternativo: u"1 = u'1 = 8.000; u"2 = 53.785; V"= 1.478.602.000 Pregunta 4: u"1 = u'1 = 8.000 ; u"2 = 65.919 ; V" = 1.660.001.000 R" (V") = 204.424.800

135

Tema 4 - webs2002.uab.es

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