Tema 6. Transmision de calor multidireccional y transitoria

Diapositiva 1 Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria

TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL Y TRANSITORIA

J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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ÍNDICE 1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL 2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN 2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME 2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA - Parámetros adimensionales característicos - Transmisión de calor estacionaria unidimensional - Ecuación general - Solución aproximada de Heissler


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1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL ρ ⋅ Cp ⋅

•estacionario • g=0 • k=cte

∂T = g + k ⋅ ∆T ∂t

Ecuación de Laplace

⇒ ∆T = 0 ⇒

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + =0 ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2

TRANSMISIÓN DE CALOR ESTACIONARIA BIDIRECCIONAL. PLACA CON TEMPERATURAS CONOCIDAS EN LOS LADOS.

θ ( x, y ) = T ( x, y ) − T∞

L H

Tb

T ( x, y )

T∞

T∞

x

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2θ ∂ 2θ + = 0⇒ 2 + 2 = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂y

T = Tb

x=0

T = T∞

y=0

T = T∞

x=L

T = T∞

y=H


θ ( x, y )

θ = θb x = 0 θ = 0 y = 0 θ =0 x=L θ =0 y=H 3


Aplicando el método de separación de variables: θ ( x, y ) = X ( x ) ⋅ Y ( y ) −

1 d 2 X 1 d 2Y ⋅ = ⋅ = λ2 X d x2 Y d y2

d2X + λ2 ⋅ X = 0 2 dx

d 2Y − λ2 ⋅ Y = 0 2 dy

Solución general: θ = K [sinh(λx) + A cosh(λx)]⋅ [sin(λy ) + B cos(λy )] Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos: 4 ⋅ θ b ∞ sinh[(2n + 1)π ( L − x) / H ] sin[(2n + 1)(πy / H )] ⋅ θ= ∑ π n =0 sinh[(2n + 1)(πL / H )] 2n + 1


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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Caso particular : Placa con dos lados a temperaturas diferentes y T donde: ∞

H

Tb

T(x,y)

0

θb

T∞ L

0

∂ 2θ ∂ 2θ + =0 ∂x 2 ∂y 2 x 0

Ta

θ

θa

0

= θb

θ1

0

0

+

0

0

θ2

θ = θb θ =0 θ = θa θ =0

para para para para

x=0 x=L y=0 y=H

0

θa

La solución es la superposición de ambas: θ ( x, y ) = θ 1 ( x, y ) + θ 2 ( x, y )

∂ 2θ 1 ∂ 2θ 1 ∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2 + = 0⇔ 2 + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂y 2


Condiciones de contorno   x = 0 θ1 = θ b  x = L θ1 = 0  y = 0 θ = 0 1    y = H θ1 = 0

θ2 = 0 θ2 = 0 θ2 = θa θ2 = 0 5


2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN 2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME Cuerpos de pequeñas dimensiones y conductividad elevada. En dichas condiciones, la temperatura en el interior del cuerpo se puede considerar uniforme en cualquier instante de tiempo:

T = T (t )

− ρ ⋅V ⋅ C ⋅

dT h⋅ A dT = Qconv = h ⋅ A ⋅ (T − T∞ ) ⇒ =− dt ρ ⋅ C ⋅V dt T − T∞

T(t)

Integrando y aplicando la condición inicial de T=Ti en t=0:

A ⋅h A ⋅h dT T − T∞ t = − ⇒ = − ln dt t ∫Ti T − T∞ ∫0 ρ ⋅V ⋅ C ρ ⋅V ⋅ C Ti − T∞ T

A⋅h

t

− t − θ T − T∞ = = e ρ ⋅V ⋅C = e τ θ i Ti − T∞

τ=

ρ ⋅V ⋅ C A⋅ h

h, T∞ (tiempo característico)

(*)En caso de existir también intercambio por radiación se puede, bien introducir la ecuación de calor intercambiado, o bien, utilizar el concepto de coeficiente equivalente a la radiación. J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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θ θi

Ei

t

0 La energía total intercambiada hasta un tiempo t es: T

t

t

0

0

t − τ

t − τ

E(t) =−m⋅Cp ⋅ ∫dT=∫ q⋅ A⋅dt = ∫ A⋅h⋅θ ⋅dt= ρ⋅V⋅C⋅θi ⋅(1−e ) = Ei ⋅(1−e ) o

t

− E = 1− e τ Ei

Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase al Ei = ρ ⋅V ⋅ C ⋅θi equilibrio térmico con el fluido que la rodea. J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA. PARÁMETROS ADIMENSIONALES

Comparación entre la variación de temperatura en el interior de la pieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido. T

Qcond Ts,1

Bi<<1 Bi≈1 Bi>>1

Qconv

En condiciones estacionarias, el calor que se transmite por conducción en la placa ha de ser igual al que se transmite por convección entre la superficie de la placa y el fluido en contacto con ésta

Ts,2

k placa ⋅ A Ts,2

L

Ts,2

Ts ,1 − Ts , 2 Ts , 2 − T∞

L x


(Ts ,1 − Ts , 2 ) = h ⋅ A(Ts , 2 − T∞ )

=

L k placa ⋅ A 1 h⋅ A

Número de Biot: Bi=

=

Rconduc. h⋅ L = Rconvec. k placa

h⋅L k solido 8


EVOLUCIÓN DE TEMPERATURAS EN FUNCIÓN DEL VALOR DEL NUMERO DE BIOT:

T(x,0)=Ti

h, T∞

h, T∞

T∞

-L

L x


T(x,0)=Ti

-L

L Bi<<1 T=T(t)

T∞

T∞

T∞ -L

L Bi= 1 T=T(x,t)

-L

L Bi>>1 T=T(x,t)

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Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura uniforme si Bi<<1.

Bi =

h ⋅ Lcarac. V ⇒ Lcarac. = k Aint ercambio

  plana (e = 2 L) → Lcarac. = L  pared   r   ⇒ cilindro muy l arg o (ro ) →Lcarac. = o  2   ro   esfera (ro ) →Lcarac. = 3 

En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientes condiciones: Placas: Bi<0.1 (Diferencia de temperatura entre Cilindro: Bi<0.05 Esferas: Bi<0.03

superficie y centro inferior al 5%)

El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizar en función del parámetro adimensional de Biot: h ⋅ L

θ =e θi

A⋅h − ⋅t ρ ⋅V ⋅C p

=e

h⋅ L k t − c⋅ ⋅ k ρ ⋅C p Lc ⋅Lc

  c = Bi  k  θ = e − Bi⋅Fo ⇒ ⇒ = e − Bi⋅Fo  α ⋅ t = Fo  θ i  L2c 

Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo, tiempo adimensional característico del transitorio. J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL. ECUACION GENERAL La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, y sin generación interna de calor, es: ∂T ∂T ∂T ρ ⋅ Cp ⋅ = g + k ⋅ ∆T ⇒ ρ ⋅ Cp ⋅ = k ⋅ ∆T ⇒ = α∆T ∂t ∂t ∂t SOLUCIÓN PARA PLACA PLANA, DE ESPESOR 2L, CON CONVECCIÓN POR AMBOS LADOS:

QCONV

2L

En una sola dirección en coordenadas cartesianas: θ ( x, t ) = T ( x, t ) − To ∂T ∂ 2T = α ⋅ 2 ⇒ en función de θ ⇒  ∂t ∂x θ ( x, t ) = X ( x) ⋅ T (t )

Se introduce la diferencia de temperaturas, y de nuevo el método de separación de variables: 2

θ ( x, t ) = e − λ αt ⋅ ( B1 ⋅ sen λx + B2 ⋅ cos λx)

2 ⋅ sin λn x T − T∞ ∞ −λn2 ⋅Fo = ∑e ⋅ ⋅ cos λn ⋅ siendo λ n λn + sin λn ⋅ cos λn Ti − T∞ n=1 L J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

/ cot λ n =

λn Bi 11


SOLUCIÓN APROXIMADA DE HEISLER TRANSMISIÓN DE CALOR CONVECTIVA EN PLACAS, CILINDROS Y ESFERAS EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

• Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoy en día solución analítica fácilmente programable. • Resolución por métodos numéricos. • Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923) • Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme • Heisler (1947): aproximación con un término de la serie funcional solución . Limitaciones: – No son válidas para Fo < 0.2 – Gráficos difíciles de leer para Fo < 1 J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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TRANSMISIÓN DE CALOR UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARA PLACA INFINITA DE ESPESOR 2L

x/L

x ∈ [0 ,1] L  T − T∞  T(x, t ) − T∞  T − T∞  ⋅ o =   Ti − T∞  To − T∞  FIG.2  Ti − T∞  FIG.1

J.M.Corberán, R. Royo (UPV) To:

temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t)

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TRANSMISIÓN DE CALOR UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARA CILINDRO DE RADIO r0 Y LONGITUD INFINITA

r/r0

r ∈ [0,1] r0  T − T∞  T(r , t ) − T∞  T − T∞    ⋅  o =  Ti − T∞  To − T∞  FIG.4  Ti − T∞  FIG.3

To: temperatura en el eje del cilindro=T(r=0,t) J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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TRANSMISIÓN DE CALOR UNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARA UNA ESFERA DE RADIO r0

r/r0

r ∈ [0,1] r0  T − T∞  T(r, t ) − T∞  T − T∞    =  ⋅  o − Ti − T∞ T T  o ∞  FIG.6  Ti − T∞  FIG .5

To: temperatura en el centro de la esfera=T(r=0,t) J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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TRANSMISIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL TRANSITORIA PLACA DE DIMENSIONES 2L*2H SOLUCIÓN BIDIMENSIONAL y

y hH 2H

x

=

hL

hL

hL hL

x

2L

*

hH

2H hH

2L

θ ( x, y, t )  θ ( x, t )  θ ( y, t )  = ⋅        θi  2 L⋅2 H  θ i  PLACA2 L  θ i  PLACA2 H J.M.Corberán, R. Royo (UPV)

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CILINDRO DE DIMENSIONES 2L,r0 x hL 2L

=

hr hL

hr

* hr

hr

x hL L 0 hL

r0 0 r0 r

θ (r , x, t )   θ  CILINDRO i   RADIO ro

LONGITUD 2 L


θ (r , t )  θ ( x, t )  = ⋅    θ i  CILINDRO  θ i  PLACA RADIO ro ESPESOR 2 L INFINITO

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PRISMA DE DIMENSIONES 2L*2H*2W hw hH T∞

y

H

z

hL hw

hH

hw

0

x

2H

y

hL

hL

2L 0 L

x

hH z W

θ ( x, y, z , t )  θ ( x, t )  θ ( y, t )  = ⋅     θi θ i  PLACA2 L  θ i  PLACA2 H   2PRISMA  L⋅2 H ⋅2W


0

θ ( z , t )  ⋅   θ i  PLACA2W

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ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA, UN CILINDRO, Y UNA ESFERA CON EL MEDIO QUE LO RODEA HASTA EL TIEMPO T

E = ⋅ Ei E (t )    Ei  FIG.7 Ei = ρ ⋅ V ⋅ C p ⋅ (Ti − T∞ ) ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA

E Ei


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ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL CILINDRO

E Ei


20


ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA ESFERA

E Ei


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