TEMA 7: LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................1 2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS............................1 3. CUADRILÁTEROS ........................................................................................2 4. POLÍGONOS REGULARES ..........................................................................3 5. TESELACIONES ...........................................................................................7 6. PERÍMETROS Y ÁREAS...............................................................................8
1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se hará un breve estudio de los polígonos de más de tres lados, se describirán los elementos integrantes de los polígonos y las relaciones fundamentales de los mismos, dedicando un especial interés a los cuadriláteros, sobre los que se hará una clasificación de los diferentes tipos. Se enunciará el teorema de Gauss sobre polígonos regulares construibles con regla y compás y se describirán procedimientos gráficos para construirlos de forma exacta. Finalmente se estudiará el perímetro y la superficie de los mismos y, por, ende de la circunferencia y del círculo, de donde surge el número pi.
2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS. Un polígono es la zona del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de la poligonal constituyen los lados del polígono. Los extremos de dichos segmentos son los vértices del polígono En un polígono convexo se distinguen dos tipos de ángulos: o
Ángulo interior: el formado por las semirrectas que contienen a dos lados y cuyo origen está en el vértice común de los mismos.
o
Ángulo exterior: el formado por las semirrectas que contienen a un lado y a la prolongación del siguiente con origen en el vértice común.
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Un polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y de ángulos, tanto interiores como exteriores. Los segmentos que unen vértices no consecutivos son las diagonales del polígono. Si desde un vértice se trazan todas las diagonales se obtienen n-2 triángulos siendo n el número de lados del polígono. Como los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, los ángulos interiores de un polígono de n lados sumarán (n-2)·180º. Los ángulos exteriores son suplementarios de los interiores correspondientes, por lo que su suma es n.180º-(n-2)·180º = 2·180º = 360º Tarea 1: Deduce la siguiente fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados: n(n − 3) n(n − 1) = −n 2 2
3. CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados y cuatro
ángulos.
Pueden
ser
cóncavos y convexos. Son los polígonos con menor número de lados que tienen diagonales (2 diagonales). Sus ángulos interiores suman
360º,
al
igual
que
los
exteriores. Los cuadriláteros reciben nombres diferentes según sean sus lados y sus ángulos: Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos: o
Cuadrado. Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales (son rectos). Sus diagonales son iguales y perpendiculares.
o
Rectángulo. Sus lados son iguales dos a dos y sus cuatro ángulos son iguales (son rectos). Sus diagonales son iguales.
o
Rombo. Sus cuatro lados son iguales y sus ángulos son iguales dos a dos. Las diagonales son perpendiculares.
o
Romboide. Los lados son iguales dos a dos y los ángulos son iguales dos a dos.
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Trapecios. Son los cuadriláteros que tienen sólo dos de sus lados paralelos: o
Trapecio rectángulo. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos ángulos rectos.
o
Trapecio isósceles. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados iguales.
o
Existen otros trapecios que no son ni isósceles ni rectángulos.
Trapezoides. Son los cuadriláteros que no tienen ninguno de sus cuatro lados paralelos. Un tipo de trapezoide con nombre específico son los cometas, que tienen los lados iguales consecutivos dos a dos y los ángulos que forman los lados consecutivos desiguales son iguales. Se puede probar que las diagonales son perpendiculares. Tarea 2. Representa en un geoplano de nueve puntos todos los polígonos descritos en el texto anterior y dibújalos. Tarea 3. Construye con el mecano las diagonales de los cuadriláteros y coloca gomas para formar los lados. Observa las figuras resultantes según los diferentes criterios (se cortan o no en el punto medio; se cortan o no perpendicularmente; tienen la misma longitud o diferente longitud) y elabora un mural en A3, dibujando los cuadriláteros y clasificando atendiendo a los criterios anteriores.
4. POLÍGONOS REGULARES. A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares. Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (exágono). Todos los polígonos regulares son inscribibles en una circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia, O, un vértice común a todos los triángulos. Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.
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El segmento OM que es la altura del triángulo isósceles BCO se denomina apotema. Es evidente que un polígono regular tiene tantas apotemas como lados. Construcciones exactas de polígonos regulares De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone de manifiesto el teorema de Gauss. Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en que
Obsérvese que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir. En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por tanto,
con
el
compás
se
obtienen
los
vértices
inmediatamente como aparece en la figura del margen a partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este hexágono se puede construir el triángulo inscrito como se indica en la misma figura. El cuadrado también considerando
dos
se construye de forma sencilla diámetros
perpendiculares.
Éstos
determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32, 64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales). Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados. La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado. En este caso la longitud del lado es la longitud de la hipotenusa del triángulo NOA de catetos r y
5 −1 r 2
(no se demuestra) y para dibujar este segmento se procede
como se indica en la figura adjunta: 4 de 16
o
Partiendo de la circunferencia de centro O y radio OR, se traza el punto medio de OR, M. Este punto determina con A, punto de la circunferencia situado en un radio perpendicular a OR, y con O un triángulo rectángulo en O cuya hipotenusa AM mide
o
5 r 2 5 −1 5 r r (pues a NM = AM = r se le resta ) y OA=r, se obtiene 2 2 2
Como NO =
que el lado del pentágono es la hipotenusa de NOA. o
Los vértices B y E se obtienen mediante la intersección de la circunferencia de partida y la de radio AN centrada en A y los vértices C y D como intersección de la circunferencia de partida y la de radio AN centrada en B y en E.
Otra construcción se basa en que la proyección del radio OE sobre el diámetro que pasa por A es
= OM2 =
5 −1 r . La figura adjunta se ha construido dibujando el segmento OP 4
5 −1 r. 4
5 de 16
o
Para ello en primer lugar se construye OS= 5r como hipotenusa de un triángulo rectángulo ORS de lados r y 2r. Se toma T tal que ST = SR = r y, por tanto, OT= ( 5 − 1) r .
o
Se halla el punto medio de OT, M1, de donde OM1=
OM1, M2, de donde OM2=
o
Se toma P sobre OA
5 −1 r y el punto medio de 2
5 −1 r. 4 tal que OP=OM2. La perpendicular al diámetro por P
determina los vértices B y E. Como en los casos anteriores, los polígonos de 10, 20, 40,… lados se construyen duplicando este número de lados con las mediatrices. El polígono de 15 lados tiene un ángulo central de 24º y este ángulo se consigue duplicando la diferencia 72-60, que son los ángulos centrales del pentágono y del hexágono. Por tanto su construcción, una vez que se ha dibujado el pentágono es muy sencilla. A partir del vértice A del pentágono se dibuja la circunferencia centrada en A y radio el de la circunferencia de partida AO. Ésta corta a la circunferencia de partida en D y la diferencia entre los ángulos 6 de 16
AOB (ángulo central del pentágono) y AOD (ángulo central del hexágono)
es el
semiángulo central del pentadecágono. Ya sólo queda duplicarle con una circunferencia auxiliar y llevar esta cuerda 14 veces sobre la circunferencia. Tarea 4. Construye con regla y compás un cuadrado, un hexágono, un octógono y un polígono regular de 12 lados. Polígonos estrellados Otro tipo interesante de polígonos está formado por los polígonos estrellados. Estos se construyen a partir de los polígonos regulares al unir consecutivamente los vértices separados por un número fijo de vértices (salto) hasta llegar al primero. Se denotan por n/m siendo n el número de vértices del polígono regular convexo y m el salto entre vértices. Estos polígonos tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales, pero son cóncavos. En la dirección http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/polirestrellado.htm, aparecen las características de estos polígonos y un applet para generarlos y comprobar sus propiedades.
En la figura adjunta están representados los tres pentadecágonos estrellados que existen: 15/2, 15/4 y 15/7. El polígono estrellado 15/3 no existe porque las diagonales, saltando de tres en tres vértices, generan el pentágono regular, 15/5 tampoco porque genera el triángulo equilátero y 15/6=5/3
tampoco porque genera el pentágono
estrellado. Finalmente, si el salto está comprendido entre n/2 y n, los polígonos que se generan son los mismos (por ejemplo, el polígono 15/2 es el mismo que 15/13), y en lo único que se diferencian es en el sentido de la generación (dextrógiro, sentido horario, o levógiro, sentido antihorario). De hecho, se verifica el siguiente resultado: Teorema. A partir de un polígono regular de n lados se generan tantos polígonos regulares como fracciones irreducibles n/p se puedan obtener, siendo p, el salto, un número entero mayor o igual que 2 y menor o igual que n/2.
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Tarea 5: Localiza, si es posible, un polígono estrellado en las siguientes imágenes de La Alhambra.
5. TESELACIONES Por teselar (recubrir, embaldosar, enlosar, alicatar) el plano se entiende recubrir todo el plano por medio de polígonos sin que queden fisuras ni haya solapamientos. Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Esto es así porque, como se indican en las figuras, se forman nudos, N, (vértices de varios polígonos) de manera que los ángulos con el mismo vértice suman 360º. Con el resto de polígonos regulares o no llegan o se exceden.
Todos los cuadriláteros teselan el plano y, por consiguiente,
también
le
teselan
todos
los
triángulos. La figura es un ejemplo de esta afirmación. Otra forma de teselar el plano consiste en intercambiar polígonos. Por ejemplo, la figura siguiente inserta entre cada dos pentágones triángulos isósceles tales que el lado desigual mide 12º. Lógicamente, se harán piezas en forma de rombo con 8 de 16
ángulos de 12º y de 168º para que puedan ser encajadas entre cuatro pentágonos regulares. Tarea 6. Diseña un mosaico en el que se utilicen tres polígonos distintos. Tarea 7: Señala qué polígonos teselan el plano en el siguiente mosaico de la Alambra.
6. PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetros Todo polígono está limitado por una línea poligonal cerrada. Si se considera un segmento de longitud unidad, el perímetro de un polígono es el número de veces que la poligonal contiene a dicho segmento y equivale a la suma de las longitudes de los lados del polígono. En el caso de los polígonos regulares, como todos los lados tienen la misma longitud, el perímetro P, se obtiene multiplicando el número de lados por la longitud del lado. El perímetro de los polígonos regulares también se puede calcular en función del radio de la circunferencia circunscrita, r, y de una constante, Cn, que depende del número de lados, n, mediante la siguiente fórmula P=2·Cn·r, ya que la mitad del lado y el radio están siempre en la misma proporción Kn (únicamente depende del ángulo central y, por tanto, del número de lados), así que lado=2·Kn·radio y el perímetro se obtiene multiplicando por n la expresión anterior, de donde se deduce, si se hace Cn=nKn la fórmula Pn=2·Cn·r. Tarea 8: Partimos de una circunferencia de radio r donde se construye un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono. Calcula el valor de C3, C4 y C6. hallando la relación entre la mitad del lado y el radio, y multiplicando por el número de lados. Comprueba que C3
constantes. Así, se obtiene una sucesión creciente y acotada superiormente, lo que implica que existe un número, la menor de las cotas superiores, al que se aproximan los valores de la sucesión mejorando cualquier número cercano a dicha cota, éste es el número π y, por tanto, la longitud de la circunferencia es 2πr. Esto implica que los perímetros
de
los
polígonos
regulares
inscritos
en
la
circunferencia
son
aproximaciones de la longitud de la circunferencia, tanto mejores cuanto mayor sea el número de lados. Tarea 9: Investiga las particularidades del número π (¿qué tipo de número es?, ¿cómo se define?, ¿cómo se pueden calcular aproximaciones?,…) Enrolla una cinta métrica que aprecie milímetros en un objeto redondo, mide el diámetro y halla la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Si lo haces con cuidado obtendrás una aproximación de π superior a las centésimas. Áreas Considerando el cuadrado de lado unidad como unidad básica, el área de una superficie es el número de cuadrados de lado unidad que contiene. Es inmediato calcular el área de cuadrados y de rectángulos cuando la longitud de sus lados son unidades enteras (3, 7, 45, …), ya que haciendo una rejilla cuadrada se puede contar el número de cuadrados unitarios que contiene. El área del cuadrado es el cuadrado del lado (Ac=l2) y el área del rectángulo es el producto de sus dos lados perpendiculares, que reciben el nombre de base y altura (Ar=b·a). En el caso en el que las longitudes de los lados no sean números enteros el área se calcula igual. Tarea 10: Justifica que el área de un rectángulo de 7 unidades y altura 4 unidades es 28 unidades cuadradas. Ídem cuando la base es 9/4 unidades y altura 7/3 unidades es 63/12 unidades cuadradas. En el segundo caso se cuentan cuadraditos de lado 1/12 del cuadrado de partida (12=m.c.m. (3,4)). Área del romboide y del rombo. Es igual al producto de la base por la altura. Considerando la figura adjunta, es claro que el romboide ABCD de base AB y altura DH tiene el mismo área que el rectángulo HKCD y ambos tienen la misma base (AB=HK) y la misma altura (HD o KC), ya que los triángulos AHD y BKC tienen el mismo área (Aparal=b·a unidades cuadradas). Área de triángulos. Es la mitad del producto de la base por la altura. 10 de 16
Considerando el triángulo ABC, y trazando por B y C
las
paralelas
a
los
lados
AC
y
AB,
respectivamente, es claro que se obtiene un romboide y que los triángulos ABC y BDC tienen el mismo área porque tienen los tres lados iguales. Como el área de este cuadrilátero es igual al producto de la base, b, por la altura, a, entonces el área del triángulo es la mitad del producto de la base por la altura (At=b·a/2 unidades cuadradas). Herón de Alejandría dio una fórmula para calcular el área del triángulo cuando no se conoce la longitud de la altura (que es un caso muy común, por ejemplo en la medida de terrenos). Siendo a, b, y c los lados del triángulo y denotando por p al semiperímetro (p=(a+b+c)/2):
Área de trapecios. Para determinar la fórmula se argumenta teniendo presente una de las figuras adjuntas. En la primera de ellas, se observa la igualdad de los triángulos MBQ=PMA y SDM’=M’RC siendo M el punto medio de AB y M’ el punto medio de CD. En consecuencia el área del trapecio ABCD es igual que el área del rectángulo PQRS cuya base, m, es la semisuma de las bases m1=BC y m2=AD. Por tanto, el área es:
Quizás sea más fácil un razonamiento sobre la segunda de las figuras, que representa un paralelogramo formado por dos trapecios iguales (b1=b’1 y b2=b’2). El área de este paralelogramo es (b1+b2)·h y, por tanto, como el trapecio es la mitad, se obtiene la fórmula anterior. Área de los polígonos regulares. Considerando un polígono regular de n lados, su área es la suma de los n triángulos isósceles iguales que componen el polígono de manera que uno de sus lados coincida con el lado del polígono y los otros dos sean sendos radios de la
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circunferencia circunscrita. El área de cada triángulo es
siendo an la apotema y, por tanto, el área del polígono regular de n lados es . Como n·ln es el perímetro Pn, finalmente,
Para calcular el área de otros polígonos no regulares, éstos se descomponen en triángulos y el área total será la suma de las áreas correspondientes. Procediendo como en el caso de longitudes, el área de los polígonos regulares inscritos en una circunferencia de radio r se puede calcular mediante el producto de una constante Kn, que depende del número de lados, n, por el cuadrado del radio. A polígono regular de n lados=Kn ·r2 unidades cuadradas En el caso del cuadrado se puede comprobar que
En el caso del hexágono se puede comprobar que
En el caso del octógono es más complicado, pero se puede comprobar que
En suma, lo mismo que antes, Kn es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente y el valor de su límite es el número π. Así, el área del círculo es Ac=π r2 Área de la corona circular. Es el área de la región delimitada por las dos circunferencias concéntricas. Se calcula mediante la diferencia entre el área del círculo mayor, de radio R, y la del círculo menor, de radio r. Por tanto: Acorona=πR2-πr2=π(R2-r2) unidades cuadradas.
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Área del sector circular. Es proporcional a la amplitud del ángulo central que determina dicho sector. Se calcula mediante una regla de tres comparando la amplitud del ángulo central con toda la circunferencia, si el ángulo central, α, se expresa en grados se compara esta amplitud con los 360º de la circunferencia completa y si α está expresado en radianes con los 2π radianes de la circunferencia. En uno y otro caso se obtiene:
Área del segmento circular. En este caso el área se calcula mediante la diferencia del área del sector de ángulo β y el área del triángulo OAB, cuyos lados son radios de la circunferencia y cuyo ángulo comprendido es el ángulo central cuyo arco es el del segmento. El área de figuras irregulares se calcula descomponiendo la figura en cuestión en otras cuyas áreas se puedan calcular con los datos disponibles. Nota: Todas las longitudes se miden mediante unidades lineales (segmentos unitarios) y todas las áreas mediante unidades cuadradas (cuadrados de lado unidad). Tarea 11: Entra en http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/areas.htm y responde a las preguntas de cada apartado. Tarea individual: Resuelve los siguientes problemas. 65 m
1.
Queremos rodear la parcela siguiente con una malla de
alambre. Si el metro de malla nos cuesta 30 euros, ¿cuánto gastaremos en cercar la parcela? 2.
40 m
105 m
El cuadrado ABCD tiene 10 cm de lado. Se ha construido un nuevo cuadrado
MNPQ, siendo M, N, P y Q los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Halla el perímetro y el área del cuadrado MNPQ. 3.
La planta de una biblioteca pública es rectangular, donde la base mide el triple
que la altura y su área es igual a 108 m2. Calcula: a) El perímetro de la biblioteca. b) El área de otra parcela cuadrada que tenga el mismo perímetro que la biblioteca. 13 de 16
4.
Se dispone de 24 m de alambre para construir polígonos regulares, con el mismo
perímetro. Halla el área del triángulo equilátero y del hexágono regular que así pueden construirse. ¿Observas alguna relación entre las áreas? 5.
De un polígono regular conocemos que su ángulo exterior tiene una amplitud de
15º. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? 6.
¿En qué polígono regular el número que expresa la amplitud en grados de su
ángulo interior es igual a 10 veces el número de lados del mismo? 7.
En cada uno de los siguientes casos, halla el polígono regular: a) Cuyo ángulo interior vale 60º. b) Cuyo ángulo exterior vale 30º. c) Cuya suma de ángulos interiores es 1440º. d) Cuya suma de ángulos exteriores es 360º. e) Cuya suma de ángulos interiores y exteriores es 900º. f) Que tenga 77 diagonales.
8.
El número total de diagonales que pueden
trazarse en un polígono regular es 170. ¿Cuánto mide el ángulo interior de dicho polígono? 9.
Sabiendo que el pentágono de la figura de la
derecha es regular, halla la medida de los ángulos 1, 2 y 3. 10.
Hallar el perímetro y el área de un trapecio rectángulo de 12 metros de altura y
diagonales de 15 y 20 metros de longitud. 11.
Las dimensiones de un rectángulo ABCD son: AD=3cm y DC=5cm. Halla un
punto P sobre AB cuya distancia x=AP sea tal que el área del trapecio PBCD sea cuatro veces el área del triángulo APD. 12. Halla el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro mide 25m. 13.
A continuación se indica cómo se construye una lúnula. Calcula el área de la
misma si AB=4cm.
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Triángulo rectángulo
Arco CB con centro en A
Arco CB con centro en el
Lúnula
punto medio de CB
isósceles
14. Calcula el perímetro y el área de un rombo sabiendo que uno de sus lados mide 4 centímetros y dos de sus ángulos interiores valen 60º. 15.
La aguja del minutero de un reloj mide 18 cm de largo. Calcula la distancia que
recorre su extremo en treinta y cinco minutos. 16.
Halla el perímetro y el área de la 17. Calcula el perímetro de cada una de
estrella que aparece debajo sabiendo que las figuras sabiendo que la circunferencia el lado del cuadrado mide 8 cm.
18.
grande tiene 12 cm de diámetro.
Dos arcos de circunferencia de la misma longitud han sido trazados sobre
circunferencias de radios de 25 y 20 centímetros respectivamente. Uno es los arcos mide 45º. ¿Cuál es el valor del otro arco? 19.
A un cuadrado de 24 cm de perímetro se le inscribe una circunferencia y se le
circunscribe otra. Dibuja la figura resultante y calcula el área de la corona circular formada por las dos circunferencias. 20.
Dadas tres circunferencias de 3 cm de radio
tangentes entre sí, se obtiene un triángulo curvilíneo limitado por las tres circunferencias, como puede verse en la figura de la derecha. Calcula el área de dicho triángulo curvilíneo.
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21.
El tangram es un antiguo juego chino que consta de siete figuras que forman un
cuadrado como el que aparece a continuación. a) Si el lado del cuadrado interior es de 12 cm, determina el lado de cada una de las figuras. b) Si el área del cuadrado interior es de 16 cm2, averigua el área de cada una de las figuras.
22.
Dibuja un hexágono regular de 2 cm de lado, sobre cada uno de sus lados y
hacia el exterior dibuja un cuadrado de lado el del hexágono, une con segmentos los vértices consecutivos exteriores de los cuadrados y obtendrás un dodecágono. a) Justifica razonadamente si el dodecágono construido es regular o no. b) Halla el área del dodecágono.
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