Capítulo
1
Trigonometria em triângulos quaisquer
Neste capítulo 1. Revisão
de trigonometria no triângulo retângulo 2. Seno e cosseno de ângulos obtusos 3. Lei dos senos 4. Lei dos cossenos
Comece pelo que já sabe Pretende-se cortar as fatias de um pão de forma para fazer pequenos sanduíches conforme o esquema a seguir.
10 cm
10 cm 2 cm 10 cm
10 cm
Depois de prontos pretende-se colocá-los em uma bandeja retangular, de tal maneira que a maior face de cada sanduíche, ou seja, sua face retangular de maior área, fique em contato com a bandeja.
10 cm
15 cm
1. Considerando-se a forma que se pretende colocar os sanduíches na bandeja apresentada, de quantas maneiras isso poderá ser feito? Faça um esquema para representar cada uma dessas maneiras. 2. Determine qual dessas maneiras deve ser utilizada para que se tenha o melhor aproveitamento do espaço. 3. Existem outras formas de se colocar os sanduíches nessa bandeja? Descreva algumas delas e identifique a que permite colocar a maior quantidade de sanduíches nessa bandeja sem que haja sobreposição. 10
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1. Revisão de trigonometria nos triângulos retângulos A seguir são apresentadas de modo conciso, e para efeito de revisão, algumas relações válidas para os triângulos retângulos. Dado um triângulo retângulo ABC de hipotenusa a e catetos b e c é possível escrever as seguintes relações. Teorema de Pitágoras
Saiba mais
Projeção ortogonal de um segmento de reta `` Em um plano, considere um ponto P e uma reta r que não passa por P. Chama-se projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r o ponto P’, que é o pé da perpendicular à reta r a partir de P.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
P
A r P’
c
a2 � b2 � c2
b
B
C
a
Relações métricas Sendo n e m respectivamente as projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa, e h a altura relativa à hipotenusa, são válidas as seguintes relações: A
A projeção ortogonal de um segmento de reta em uma reta r é o conjunto das projeções de todos os pontos do segmento, ou seja, é um segmento. Observe que, se o segmento de reta for perpendicular à reta r, sua projeção resultará em um único ponto sobre r. C
b �a�n c2 � a � m b�c�a�h h2 � m � n
b
c
2
h
B m
C
H
n a
Relações trigonométricas A cateto oposto a � e cateto adjacente a �
B
c
b
D
r projCD
a
B k
C
catetooposto a b __ c sen b 5 ____________ 5 a hipotenusa
catetoadjacente a a __ c cos a 5 _____________ 5a hipotenusa
catetoadjacente a b __ b cos b 5 _____________ 5 a hipotenusa
catetooposto a a b tg a 5 ______________ 5 __ catetoadjacente a a c
catetooposto a b c tg b 5 _____________ 5 __ catetoadjacente a b b
Como a e b são ângulos complementares, ou seja, a 1 b 5 90°, valem as seguintes relações: b c __ sen a 5 cos b 5 __ a e sen b 5 cos a 5 a 1 1 tg a 5 ____ e tg b 5 ____ tg b tg a sen b sen a e tg b 5 ______ tg a 5 ______ cos a cos b
projAB
A aplicação mais frequente da trigonometria é o cálculo da medida da projeção ortogonal. ___ Se o segmento AB tem comprimento k, e o ângulo formado com a sua projeção é a, pode-se demonstrar que a medida da projeção ortogonal é igual a k ? cos a.
�
�
catetooposto a a b sen a 5 ____________ 5 __ a hipotenusa
cateto oposto a � e cateto adjacente a �
B A
A
r
� projAB
De fato, considerando o triângulo retângulo formado ao___ projetar-se o segmento AB , e chamando de a o ângulo formado pelo segmento e sua projeção, tem-se que projAB cos a 5 ______ Æ k Æ projAB 5 k ? cos a
11
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1
Trigonometria em triângulos quaisquer
Tabela de razões trigonométricas A tabela a seguir apresenta os valores aproximados, com quatro casas decimais, do seno, do cosseno e da tangente de ângulos entre 0° e 90°. Ângulo
sen
cos
tg
Ângulo
0°
0,0000
1°
0,0175
2°
0,0349
0,9994
sen
cos
tg
1,0000
0,0000
46°
0,7193
0,6947
1,0355
0,9998
0,0175
47°
0,7314
0,6820
1,0724
0,0349
48°
0,7431
0,6691
1,1106 1,1504
3°
0,0523
0,9986
0,0524
49°
0,7547
0,6561
4°
0,0698
0,9976
0,0699
50°
0,7660
0,6428
1,1918
5°
0,0872
0,9962
0,0875
51°
0,7771
0,6293
1,2349 1,2799
6°
0,1045
0,9945
0,1051
52°
0,7880
0,6157
7°
0,1219
0,9925
0,1228
53°
0,7986
0,6018
1,3270
8°
0,1392
0,9903
0,1405
54°
0,8090
0,5878
1,3764
9°
0,1564
0,9877
0,1584
55°
0,8192
0,5736
1,4281
10°
0,1736
0,9848
0,1763
56°
0,8290
0,5592
1,4826
11°
0,1908
0,9816
0,1944
57°
0,8387
0,5446
1,5399
12°
0,2079
0,9781
0,2126
58°
0,8480
0,5299
1,6003 1,6643
13°
0,2250
0,9744
0,2309
59°
0,8572
0,5150
14°
0,2419
0,9703
0,2493
60°
0,8660
0,5000
1,7321
15°
0,2588
0,9659
0,2679
61°
0,8746
0,4848
1,8040
16°
0,2756
0,9613
0,2867
62°
0,8829
0,4695
1,8807
17°
0,2924
0,9563
0,3057
63°
0,8910
0,4540
1,9626
18°
0,3090
0,9511
0,3249
64°
0,8988
0,4384
2,0503 2,1445
19°
0,3256
0,9455
0,3443
65°
0,9063
0,4226
20°
0,3420
0,9397
0,3640
66°
0,9135
0,4067
2,2460
21°
0,3584
0,9336
0,3839
67°
0,9205
0,3907
2,3559
22°
0,3746
0,9272
0,4040
68°
0,9272
0,3746
2,4751
23°
0,3907
0,9205
0,4245
69°
0,9336
0,3584
2,6051
24°
0,4067
0,9135
0,4452
70°
0,9397
0,3420
2,7475
25°
0,4226
0,9063
0,4663
71°
0,9455
0,3256
2,9042
26°
0,4384
0,8988
0,4877
72°
0,9511
0,3090
3,0777
27°
0,4540
0,8910
0,5095
73°
0,9563
0,2924
3,2709
28°
0,4695
0,8829
0,5317
74°
0,9613
0,2756
3,4874
29°
0,4848
0,8746
0,5543
75°
0,9659
0,2588
3,7321
30°
0,5000
0,8660
0,5774
76°
0,9703
0,2419
4,0108
31°
0,5150
0,8572
0,6009
77°
0,9744
0,2250
4,3315
32°
0,5299
0,8480
0,6249
78°
0,9781
0,2079
4,7046
33°
0,5446
0,8387
0,6494
79°
0,9816
0,1908
5,1446
34°
0,5592
0,8290
0,6745
80°
0,9848
0,1736
5,6713 6,3138
35°
0,5736
0,8192
0,7002
81°
0,9877
0,1564
36°
0,5878
0,8090
0,7265
82°
0,9903
0,1392
7,1154
37°
0,6018
0,7986
0,7536
83°
0,9925
0,1219
8,1443
38°
0,6157
0,7880
0,7813
84°
0,9945
0,1045
9,5144
39°
0,6293
0,7771
0,8098
85°
0,9962
0,0872
11,4301
40°
0,6428
0,7660
0,8391
86°
0,9976
0,0698
14,3007
41°
0,6561
0,7547
0,8693
87°
0,9986
0,0523
19,0811
42°
0,6691
0,7431
0,9004
88°
0,9994
0,0349
28,6363
43°
0,6820
0,7314
0,9325
89°
0,9998
0,0175
57,2900
90°
1,0000
0,0000
∃
44°
0,6947
0,7193
0,9657
45°
0,7071
0,7071
1,0000
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Exercícios resolvidos 1. Determinar os valores de x, y e z referentes às medidas do triângulo retângulo representado pela figura abaixo. A
60
B
y
Resolução Pode-se representar essa situação pela figura abaixo. Pelo teorema de Pitágoras:
80
z
sabendo que são necessários 5 dm para fazer as amarrações?
C
x 100
projeção 60 ___ do cateto AB sobre ___ a hipotenusa BC B
cateto do ABC
A
z altura
y
80
projeção ___ do cateto AC sobre ___ a hipotenusa BC
Æ 625 5 576 1 x2 Æ
Æ x 5 7 dm. Portanto, são necessários 7 1 5 5 12 dm de corda para amarrar o pé da escada no muro, pois x . 0. 3. Na figura a seguir, determinar os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos a e b. C 20 cm
15 cm
C
x
252 5 242 1 x2 Æ Æ 625 2 576 5 x2 Æ x2 5 49 Æ
x
Resolução Classificam-se os elementos do triângulo ABC. cateto do ABC
25 dm
24 dm
A
100
Aplicando a relação métrica referente ao cateto AC: 6 400 802 5 10 ? x Æ x 5 ______ Æ x 5 64. 100 Como x 1 y 5 100 Æ y 5 100 2 64 Æ y 5 36. Aplicando a relação métrica referente à altura: 36 ? 64 5 48, pois z . 0. z2 5 36 ? 64 Æ z 5 dXXXXXXX Logo x 5 64, y 5 36 e z 5 48. 2. Uma escada de 25 dm está apoiada, na vertical, em um muro, e a parte mais alta da escada está a 24 dm do chão. Deseja-se amarrar com uma corda o pé da escada no muro, para evitar que ela escorregue. Qual deve ser o comprimento da corda,
�
� 25 cm
B
Resolução catetooposto a a ___ 20 4 sen a 5 ____________ 5 5 __ 25 5 hipotenusa catetoadjacente a a ___ 15 3 cos a 5 _____________ 5 5 __ 25 5 hipotenusa catetooposto a a 20 4 5 ___ 5 __ tg a 5 _____________ 15 3 catetoadjacente a a 4 Como a 1 b 5 90°, cos b 5 sen a 5 __ , 5 3 3 1 5 __ . sen b 5 cos a 5 __ e tg b 5 ____ 5 tga 4
Exercícios propostos 4. Na figura abaixo, determine as medidas x, y, t e z.
6
z
x
y
4 t
5. No triângulo ao lado determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos a e b.
24 cm
10 cm �
� 26 cm
6. Calcule o valor das expressões: sen 47° 1 cos 32° sen 18° 1 cos 72° a) _________________ b) ________________ cos 43° 1 sen 58° sen 18° 7. O losango ABCD da figura ao lado tem a medida da diagonal menor igual a 4 cm. Determine o perímetro desse losango, em centímetros, sabendo que sen 30° 5 0,5.
A 2� B
D
�
C
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Trigonometria em triângulos quaisquer
2. Seno e cosseno de ângulos obtusos Para recordar
Ângulo agudo `` É um ângulo cuja medida está
Utilizando as relações trigonométricas é possível resolver problemas que envolvem qualquer triângulo. Quando se trabalha com triângulos que não são retângulos, porém, pode acontecer de um de seus ângulos internos ser obtuso, ou seja, a medida desse ângulo ser maior que 90°. De fato: Seja ABC um triângulo, com ângulos internos de medidas a, b e g.
compreendida entre 0° e 90°. B
Ângulo reto
a 1 b 1 g 5 180°
�
`` É um ângulo cuja medida é 90°.
Ângulo obtuso `` É um ângulo cuja medida
�
está compreendida entre 90° e 180°.
� A
Ângulos complementares `` Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, diz-se que um é o complemento do outro.
C
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, quando a soma das medidas de dois ângulos for menor que 90°, isto é, (b 1 g) , 90°, a medida do outro ângulo será dada por a 5 180° 2 (b 1 g), ou seja, a . 90°. Mas, como se trata de um triângulo, 90° , a , 180°, ou seja, o ângulo a é um ângulo obtuso. Seno e cosseno de ângulos obtusos
90° � � �
Seno
Cosseno
sen x 5 sen (180° 2 x)
cos x 5 2cos (180° 2 x)
O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do suplemento desse ângulo.
O cosseno de um ângulo obtuso é oposto ao cosseno do suplemento desse ângulo.
Exemplo
Exemplo
O sen 120° é determinado pela relação sen x 5 sen (180° 2 x), pois 120° é um ângulo obtuso. O suplemento de 120° é dado por 180° 2 120° 5 60°.
O cos 135° é determinado pela relação cos x 5 2cos (180° 2 x), pois 135° é um ângulo obtuso. O suplemento de 135° é dado por 180° 2 135° 5 45°.
d XX 3 Portanto, sen 120° 5 sen 60° 5 ___ . 2
dXX 2 Portanto, cos 135° 5 2cos 45° 5 2 ___ . 2
Ângulos suplementares `` Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, diz-se que um é o suplemento do outro. 180° � � �
Observação Essas relações serão estudadas no capítulo sobre ciclo trigonométrico.
Exercícios propostos 8. Determine os valores de seno e cosseno, conforme indicado, dos seguintes ângulos obtusos. a) sen 170°
d) sen 140°
b) sen 125°
e) cos 145°
c) cos 175°
f) cos 165°
9. Julgue as sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas, justificando. a) sen 135° . sen 45°
e) cos 130° , cos 50°
b) sen 170° , sen 10°
f) cos 150° . sen 30°
c) sen 165° 5 sen 15°
g) cos 30° . sen 60°
d) cos 120° 5 cos 60°
h) sen 45° 5 cos 135°
10. Determine os valores das seguintes expressões: sen 20° 1 sen 160° a) __________________ sen 20° cos 50° 1 cos 130° b) __________________ cos 0° c) sen 30° 1 sen 45° 1 sen 90° 1 sen 150° 1 sen 135° d) cos 0° 1 cos 60° 1 cos 45° 1 cos 120° 1 cos 135° (sen 135° 1 sen 45°)2 1 sen 0° 1 (sen 150° 1 sen 30°)2 e) __________________________________________________ sen2 45° 1 sen4 45° (cos 0° 1 cos 30°)2 1 cos 135° 1 (cos 160° 1 cos 20°)2 f) ___________________________________________ sen2 45° 1 cos2 45°
14
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3. Lei dos senos Em geral, os problemas de geometria que envolvem triângulos estão relacionados com a determinação das medidas de seus lados e ângulos. Na maioria dos casos, esses problemas poderão ser resolvidos aplicando a lei dos senos e a lei dos cossenos, que serão apresentadas a seguir. Nesses casos será necessário dispor de apenas uma destas três informações: três lados; dois lados e um ângulo; ou dois ângulos e um lado. Teorema
Para recordar
Ângulos inscritos `` Se, em uma mesma circunferência, dois ângulos inscritos têm o mesmo arco correspondente, então esses ângulos são congruentes.
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Demonstração Considere um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c e ângulos ^ ^ ^ internos de medidas A , B e C , inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. A
A ˆ A c
c
b O
B
ˆ B
r ˆ C
a
B
C
O a
ˆ A
ˆD
r
b E ˆ ˆ C
D
M
ˆN N P
Portanto, de acordo com a ^ ^ figura N > P .
Triângulos inscritos `` Todo triângulo inscrito
C
em uma circunferência, tal que um de seus lados corresponde ao diâmetro, será um triângulo retângulo.
___
A partir do vértice B, constrói-se o diâmetro BD . Dessa maneira ficam determinados os triângulos retângulos ABD e BCD. Observe que: ^ ^ ^ ^ A e C > D , pois são ângulos inscritos que têm o mesmo arco corres > E pondente; BD 5 2r, pois representa um diâmetro da circunferência. ^ ^ ^ ^ 5 2r. a ^ , segue que sen E 5 sen A 5 ___ a Æ _____ Como A > E 2r sen A ^
^
Q
ˆP
A nalogamente, como C > D , então ^ ^ 5 2r. c ^ 5 ___ c Æ _____ sen C 5 sen D 2r sen C A Em seguida constrói-se, a partir do vértice A, o ___ diâmetro AE . Assim, determina-se o triângulo retângulo ACE. Observe que: r ^ ^ c b B , pois são ângulos inscritos que têm o mes > F O mo arco correspondente; ˆ B r AE 5 2r, pois representa um diâmetro da circunB C ˆF ferência. ^ ^ E , então Portanto, como B > F ^ ^ sen B 5 sen F 5 ___ b Æ _____ b ^ 5 2r. 2r sen B Assim, fica provada a lei dos senos, que pode ser resumida pela seguinte expressão.
A D r r
O
B C
Na figura, os triângulos ABD e BCD são retângulos, pois ___ um de seus lados (o lado BD ) corresponde ao diâmetro da circunferência.
_____ b ^ 5 _____ 5 2r a ^ 5 _____ c ^ sen C sen A sen B 15
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1
Trigonometria em triângulos quaisquer
Exercícios resolvidos 11. Considerar o triângulo ABC inscrito na circunferência de centro O. De acordo com as informações da figura, determinar o raio R da circunferência. A x2
^
12. Em um triângulo MNP, MN 5 30 cm, MN P 5 60° e ^ 5 30°. Determinar a medida do lado MP. MPN Resolução De acordo com o enunciado, tem-se a seguinte situação: M
R 45°
B
O
C
x
30 cm 60°
N
Resolução AB 5 2R Æ Pela lei dos senos, tem-se que _________ ^ sen (AC B) d 2 2 dXX XX 5 2R Æ ___ 5 2R Æ R 5 1. Æ ________ sen 45° d 2 XX ___ 2
30°
P
Pela lei dos senos, verifica-se que: MP MN 30 x 5 ________ Æ 5 __________ Æ ________ __________ ^ ^ sen 30° sen 60° sen (MP N) sen (MN P) 30 x ___ 5 ___ Æ x 5 30dXX 3 cm. 1 d XX __ ___ 3 2 2
Exercícios propostos 13. O triângulo XYZ está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. De acordo com os dados da figura, determine a medida do raio da circunferência. X
2 3
O 60°
17. Um avião está voando a 5 000 m de altura. Um passageiro avista o topo de dois prédios A e B a sua frente sob ângulos de depressão de 30° e de 75°, respectivamente, conforme mostra a figura. Sabendo que os prédios têm 100 m de altura, determine a distância entre esses prédios. 30°
R
Y
75°
Z
14. Um triângulo KLM está ^ inscrito em uma circunferência de raio 4. ___ Se LK M 5 30°, determine a medida do segmento LM . ^
15. Na figura, AB 5 12 cm, AC 5 5 30°. De 9 cm e ACB ^ termine o seno do ângulo B .
A
18. No triângulo RST abaixo determine a medida ST 5 x, d 6 1 d XX 2 XX . sabendo que sen 105° 5 ________ 4 R
A
B
12 ^ B
2m 9
45°
30°
C
16. O quadrilátero ABCD da ___ figura é um retângulo. SaBD é igual a 12 cm e que be-se que a medida de ^ D 5 30°. Chamando de a a___ medida do ângulo AB ^ AE D e x a medida do segmento BE , determine o valor de x, quando a 5 60°. D
A
C
E
B
B
S
30° x
T
19. Investigação. Em dupla, deve-se construir um triângulo com varetas que possuam medidas iguais a 20 cm, 24 cm e 30 cm. Cada integrante deve medir um dos ângulos com um transferidor e em seguida utilizar essa medida para calcular a dos outros dois ângulos pela lei dos senos. Durante os cálculos, os integrantes não devem trocar informações. Após os cálculos, os integrantes deverão comparar os resultados. a) Os resultados são exatamente iguais? b) Discutam quais etapas do processo de cálculo devem ter contribuído para eventuais diferenças e discutam o que pode ser feito para minimizá-las.
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4. Lei dos cossenos O teorema de Pitágoras se mostra muito eficiente na determinação das medidas dos lados de triângulos. Entretanto, sua utilização é limitada aos triângulos retângulos. Será estudado a seguir outro teorema importante, chamado de lei dos cossenos, que será utilizado com a mesma finalidade do teorema de Pitágoras, porém valerá para quaisquer triângulos. Considere para a construção de um triângulo os seguintes elementos.
Duas varetas de comprimentos a e b, fixadas em uma de suas extremidades (ponto O) de modo que seja possível apenas a rotação em torno desse ponto.
Um barbante, de comprimento c, fixado na outra extremidade de cada vareta.
^
o O
ângulo entre as varetas a e b.
O quadro a seguir ilustra todas as possíveis situações para a construção de um triângulo. a 5 90°
a , 90°
a
c
a
O
b
Teorema de Pitágoras c2 5 a2 1 b2
Se o ângulo formado pelas varetas é igual a 90°, verifica-se que c2 é igual à soma de a2 com b2. Essa relação é verificada pelo teorema de Pitágoras.
a . 90°
c
c a
O
b
O
b
c2 , a2 1 b2 ou
c2 . a2 1 b2 ou
c2 5 a2 1 b2 2algo
c2 5 a2 1 b2 1algo
Se o ângulo formado pelas varetas for menor que 90°, ou seja, se for um ângulo agudo, verifica-se que c2 é menor que a soma de a2 com b2. Mas, se for subtraído um número apropriado da soma de a2 com b2, o valor restante poderá ser igual a c2.
Se o ângulo formado pelas varetas for maior que 90°, ou seja, se for um ângulo obtuso, verifica-se que c2 será maior que a soma de a2 com b2. Mas, se for adicionado um número apropriado à soma de a2 com b2, o valor restante poderá ser igual a c2.
A seguir, será demonstrado que esse “algo” que deverá ser adicionado ou ^ subtraído é a expressão 2 ? a ? b ? cos O . Teorema
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
A demonstração do teorema será feita em duas etapas. Na primeira etapa será considerado o caso em que o triângulo é acutângulo, ou seja, quando todos os ângulos são agudos. Na segunda etapa será estudado o caso em que o triângulo é obtusângulo, ou seja, quando o triângulo tem um ângulo obtuso. Assim, todos os triângulos possíveis serão estudados, e o resultado obtido em cada etapa é a lei dos cossenos. 17
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1
Trigonometria em triângulos quaisquer
Demonstração da lei dos cossenos Triângulo acutângulo
Triângulo obtusângulo
A
c
B
A b
b
h
c
h ^ 180º � B
ˆB
D
C
D m
B
C
p
n
a q
a Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo acutângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:
Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo obtusângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:
ACD : b2 5 n2 1 h2 I
b2 5 h2 1 q2 I
ABC : c2 5 m2 1 h2 Æ h2 5 c2 2 m2 II
ACD:
Substituindo a equação II em I tem-se
Substituindo a equação II em I, tem-se
b2 5 n2 1 c2 2 m2 III
b2 5 h2 1 (p 1 a)2 Æ b2 5 h2 1 p2 1 2pa 1 a2 III
Da figura, sabe-se que a 5 m 1 n, então n5a2m
No triângulo ABD são válidas as relações:
Substituindo na equação III obtém-se
^ p ) 5 __ c Æ ACD: cos (180° 2 B
c2 5 h2 1 p2
b2 5 (a 2 m)2 1 c2 2 m2 5
^
) IV p 5 c ? cos (180° 2 B
5 a2 2 2am 1 m2 1 c2 2 m2 5
Então, substituindo as equações de IV em III, obtém-se
5 a2 2 2am 1 c2 IV Como cos
^ B 5
m __ c tem-se m 5 c ? cos
conclui-se que
q 5 p 1 a II
^ B ; substituindo
em IV
b2 5 c2 1 2pa 1 a2 5 ^
5 c2 1 2 ? a ? c ? cos (180° 2 B ) 1 a2 V ^
^
^
Como cos (180° 2 B ) 5 2cos B , substituindo em V tem-se:
b2 5 a2 2 2 ? a ? c ? cos B 1 c2
^
^
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos B
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos B
Observação Para os triângulos retângulos aplica-se a lei dos cossenos sobre o ângulo de 90°. Será mostrado nos capítulos seguintes que cos 90° é igual a zero. Assumindo essa informação e aplicando a lei dos cossenos, verifica-se que: 50
c2 5 a2 1 b2 2 2 ? a ? b ? cos 90° Æ c2 5 a2 1 b2 2 Portanto c 5 a2 1 b2. Note que o resultado obtido é exatamente o teorema de Pitágoras. Com isso prova-se a veracidade da lei dos cossenos também para triângulos retângulos. Exercício resolvido 20. De acordo com a figura abaixo, determinar o valor da medida do lado BC. A 8
B
120°
12
C
Resolução Como são conhecidas as medidas dos lados AB e AC e do ângulo entre eles, é possível determinar a medida de BC utilizando a lei dos cossenos. Então:
^
)5 (BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2 2 2 ? (AB) ? (AC) ? cos (BAC 5 (8)2 1 (12)2 2 2 ? (8) ? (12) ? cos (120°) Como 120° é um ângulo obtuso, o seu cosseno é determinado por: cos x 5 2cos (180° 2 x) Æ cos 120° 5 1 5 2cos (180° 2 120°) 5 2cos (60°) 5 2 __ 2 Substituindo o valor do cosseno de 120° na expressão encontrada, conclui-se que 1 5 304 (BC)2 5 64 1 144 2 192 ? 2__ 2 BC 5 d XXXX 304 5 4dXXX 19
( )
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Exercícios propostos 21. Em um triângulo ABC, sabe-se que AC 5 8 cm e BC 5 6 cm. ^ Além disso, é conhecida a medida do , que vale___ 60°. Nessas condições, deângulo ACB termine a medida de AB .
26. Na figura, ABCD é um quadrilátero qualquer. Utilizando os dados da figura, determine a me___ dida BC . D
22. De acordo com a figura, determine cos a.
�
4 B
C 45°
A C
4 3
23. O triângulo a seguir representa um ___ canteiro ___ delimi___ tado pelas ruas representadas por AB , BC e AC . C
60° B
100 m
27. Construa, utilizando um compasso, um triângulo com lados de medidas iguais a 3 cm, 4 cm e 5 cm. a) Indique qual é o menor ângulo desse triângulo. b) Calcule o valor do cosseno do ângulo indicado no item anterior.
C
De acordo com os dados da figura, ___qual é o comprimento da rua representada por AC ? 24. O quadrilátero ABCD representa uma praça na forma de um trapézio. D
B
28. A figura representa um mapa em escala 1 : 1 000, indicando três pontos em uma selva. Os lados do triângulo representam os possíveis caminhos para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos está na posição representada pelo ponto A. Quanto eles irão percorrer para chegar à posição representada pelo ponto C, sabendo que utilizarão o caminho mais curto?
200 m
A
30° 60°
5
x
8 3
8 6 3
A
4 3 cm
C 30°
8m
A
60° A
B
15 m
Deseja-se___ construir uma cerca representada pela a diagonal BD . O responsável pela compra do material se equivocou e comprou 50% de material a mais do que o necessário para a construção da cerca. Ele comprou material para quantos metros de cerca? 25. O quadrilátero RSTV abaixo é um paralelogramo. Utilizando as informações fornecidas na figura, de___ termine a medida da diagonal VS . R
12
8
V
45°
T
S
4 cm
B
29. Investigação. Em duplas, providencie seis varetas com 32 cm de comprimento, um transferidor e uma régua. Um integrante da dupla deverá cortar três das varetas nos seguintes comprimentos: 20 cm, 28 cm e 32 cm. O outro integrante deverá cortar as outras três varetas nas medidas: 12 cm, 28 cm e 32 cm de comprimento. Em seguida, cada um deverá juntar suas respectivas varetas e formar um triângulo. a) Com o transferidor, meça os três ângulos internos do triângulo formado. b) Utilizando a lei dos cossenos, calcule os três ângulos internos desse triângulo. c) Verifique se os resultados obtidos nos itens anteriores são os mesmos. d) Compare os seus resultados com os do colega da dupla. Os triângulos formados têm ângulos em comum?
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Trigonometria em triângulos quaisquer
Exercícios complementares Algumas relações em triângulos retângulos
Lei dos senos e lei dos cossenos ___
14 dm
4 dm P
R. Nazaré Paulista
A
R. Be rn
P
C
6m T
32. Na figura, as medida do triângulo ABC estão dadas em centímetros. De acordo com a figura, qual é o valor de y? A
38. João possui um terreno quadrangular MNPQ e deseja ___ construir ___ ___ um jardim limitado pelos segmentos MQ , QN e MN , cujas medidas estão indicadas na figura, em metros. Para que seu cachorro não destrua as suas plantas, João irá construir uma cerca em torno do jardim. Determine quantos metros de cerca João deverá construir.
y
x�1
M
6
N
120° x
B
g.
R.Livi
aL uis
R. E n
37. Em um triângulo ABC são conhecidas as medidas de dois de seus lados, AC ^ 5 3 m e BC 5 4 m. Cha , formado pelos lados AC mando de a o ângulo BAC e AB, responda. a) Se AB 5 3 m, calcule o valor de cos a. ^ __1 ) 5 , calcule o valor de sen a. b) Se sen (ABC 4
Q
d
D
ard
31. O diâmetro da circunferência da figura abaixo mede 5 m. O ponto O é centro da circunferência, o ponto T é o ponto de tangência e P é um ponto da circunferência. Nessas condições, determine a distância PQ 5 d.
B
Mario
Com base nessas informações, determine: a) a distância entre P e Q. ^ Q. b) cos BP ^ c) sen AQ P.
O
Praça José Alves Nendo
r
Q
ite Le
R. B
B
6 dm
R. R. R Me. Angélica Resende aul Ad alb os ert mp o de Ca
A
36. No mapa abaixo, está representado o quarteirão ABCD. Deseja-se construir um calçadão retilíneo para pedestres ligando os vértices A e C. Sabendo que ^ AD 5 400 m, DC 5 300 m e que a medida de AD C é 130°, determine o comprimento desse calçadão. R.
30. Uma reta r tangencia duas circunferências de raios 6 dm e 4 dm, nos pontos P e Q. As distâncias entre os centros A e B é de 14 dm, como mostra a figura.
35. ___ Em um triângulo ABC, sabe-se que os lados AB e BC medem, respectivamente, 4 cm e 6 cm. O ângulo entre esses dois segmentos mede 35°. Determi___ ne a medida do lado AC .
3
Seno e cosseno de ângulos obtusos 33. Calcule o valor do seno e do cosseno dos seguintes ângulos. a) 110° c) 137° e) 160° b) 105° d) 142° f) 95°
Q
P
39. Calcule, ___ de acordo com a figura abaixo, a medida ^ . do lado AC e o seno do ângulo BCA A 4
34. Qual é o valor da expressão abaixo? sen 135° 1 cos 120° 2 sen 150° 2 cos 135° _______________________________________ cos 60° 1 cos 45° 2 sen 30°
x�2
C
B
60° 8
C
20
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40. Os triângulos ABC e DEF abaixo são ___ semelhantes. Determine a medida do segmento DE , sabendo que as dimensões dos triângulos ABC e DEF estão na razão de 1 : 2.
46. A NASA (Agência Espacial Norte-Americana) utiliza braços mecânicos para ajudar nos reparos externos da espaçonave, como mostra a fotografia abaixo.
A 50 B
37°
30°
C
D
37°
E
30°
F
41. Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio 3. Determine a medida do lado desse triângulo. 42. O triângulo abaixo foi construído em uma malha quadriculada, onde cada quadrado mede 1 cm de ^ lado. Determine o cosseno do ângulo A .
A figura abaixo esquematiza uma determinada posição do braço mecânico. C 5m
A
20° 25°
B 2m
B
C
43. Na figura a seguir, o triângulo PQR está inscrito na circunferência de centro O e raio 4. Com base nos ___ dados da figura, determine a medida do lado PQ .
140°
D
A
a) De acordo com os dados da figura, determine a distância entre os pontos A e D. b) Mantendo fixas as posições de B, C e D, analise o que ocorre com a medida da distância entre A e ^ . D quando alteramos o ângulo ABD
P 75°
Desafios de lógica 4
Q
45°
O
47. Um triângulo é formado por dez botões e está apontando para cima. Mova apenas três botões para fazer o triângulo apontar para baixo.
R
44. No triângulo a seguir determine o valor de x. M 6
6 N
15°
15° x
P
45. Os lados de um triângulo têm como medidas números inteiros consecutivos cuja soma é 15. a) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo. b) Calcule a medida do menor ângulo desse triângulo. d 7 XX c) Se o seno do menor ângulo mede ___ , determine 4 o seno do maior ângulo.
48. Mexa apenas um palito para obter uma expressão correta. a)
b)
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1
Trigonometria em triângulos quaisquer
Integre o aprendizado 49. Algumas grandezas da Física, para ficarem completamente definidas, requerem três atributos: módulo, direção e sentido. Essas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. O símbolo que representa uma grandeza vetorial é chamado de ___› ___› 2 dois vetores. A soma desses vevetor. Sejam V 1 e V tores é___um terceiro___vetor___ chamado de vetor resul___› › › › R 5 V 1 1 V 2 . tante (V R ), ou seja, V Para determinar o vetor resultante, utiliza-se a regra do paralelogramo, que consiste em colocar as origens dos dois vetores em um mesmo ponto e construir um paralelogramo, com segmentos paralelos a esses vetores. O vetor soma (ou vetor resultante) será representado pela diagonal do paralelogramo, cuja origem também coincide com a dos dois vetores.
a) Sabendo que o custo de construção da pista de || 150,00 para cada metro de comcooper é de RS primento da pista, determine o valor total a ser gasto nessa construção. b) Responda sem fazer contas: se o ângulo medir 145°, o custo da pista deve ser maior ou menor que a do item anterior? Por quê? 51. A figura a seguir representa um balão preso por meio de dois cabos, nos pontos A e C.
B V1
VR
100 m
75 m
A
C
V2
a) Com base nessas informações, desenhe em seu caderno o vetor resultante da soma dos vetores representados abaixo e determine o valor de seu módulo.
8
60° 10
b) Forme um grupo de cinco alunos. Utilizando vetores de mesmo módulo do item anterior, cada um deverá representar em uma folha separada a resultante das forças para um dos seguintes ângulos: 50°, 40°, 30°, 20° e 10°. Compare os resultados. O que acontece com o comprimento das resultantes? c) Determine os valores das resultantes e verifique se os resultados obtidos são coerentes com as conclusões do item anterior. 50. Em uma cidade há uma praça em forma de um círculo de centro C e raio 2 km. O prefeito mandou construir uma pista de cooper, ___ representada na figura abaixo pelo segmento AB .
B
A 135° C
a) Se o ângulo formado pelos dois cabos é de 138°, determine a distância entre os pontos A e C. b) O que aconteceria com o ângulo entre os cabos se, mantendo a distância entre os pontos A e C, fossem reduzidos seus comprimentos? c) Se a distância entre os pontos A e C for reduzida, o que acontece com o valor do ângulo formado pelos cabos? Justifique. 52. Um trator ficou atolado em uma estrada de terra. Para retirá-lo, foram amarradas duas cordas para que dois ônibus pudessem puxá-lo para fora da estrada, como ilustra a figura.
F1 10 N
20°
F2 10 N
a) Determine a força resultante (o vetor resultante) equivalente a essas duas forças. b) Para desatolar o trator é necessário que a força resultante seja maior do que 23 N. Conforme o esquema representado, os ônibus conseguirão desatolá-lo? Em caso negativo, forneça um novo ângulo entre as forças com que os ônibus possam desatolar o trator. c) Em que situação se obtém a melhor concentração de forças? Justifique.
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53. Considere um relógio circular de ponteiros. Do centro às extremidades, o ponteiro dos minutos mede 20 cm, e o das horas mede 10 cm. a) Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 5 horas. b) Indique um horário em que a distância entre as 3 cm. extremidades dos ponteiros seja de 10dXX
55. As figuras abaixo representam um triângulo acutângulo ABC e um triângulo obtusângulo DEF, sendo a um ângulo obtuso. Sabe-se ainda que AB 5 AC 5 ED 5 EF 5 10 e que a e b são ângulos suplementares. Com base nessas informações responda às seguintes questões. F E
54. A pirâmide regular representada abaixo tem base quadrada de lado 5dXX 2 cm e altura 12 cm.
C
A
�
�
B
D A
a) O que se pode aplicar ___ para ___ determinar as medi ? das dos segmentos BC e DF b) Para qual intervalo de valores de b o triângulo ABC é acutângulo? c) Na figura ao lado, tem-se P uma circunferência de raio 10 e centro O. Associe os triângulos representados com M 10 O 10 N os triângulos ABC e DEF. d) Qual é a medida do ângulo ^ MP N? e) Se BC 5 x e DF 5 y, qual é o valor de x2 1 y2?
C B ^
, ângulo formado a) Determine o cosseno de BAC por duas arestas laterais consecutivas. b) Para que o ângulo do item anterior seja maior, o que deve acontecer com a altura da pirâmide?
Expressão e linguagem matemática 1. Observe
2. Reflita
4
Simule mentalmente outras trans-
formações geométricas no triângulo retângulo, sempre acrescentando ou subtraindo 1 unidade de apenas um de seus lados. Que relação você imagina que possa existir entre a transformação da medida do lado e a transformação do ângulo reto? A mesma transformação geométrica acima pode ser interpretada também algebricamente. Como fica a sentença algébrica a2 5 b2 1 c2 após a transformação geométrica?
� Acrescenta-se 1 unidade
4
5
a2 ? b2 � c2
4 3 5
4 a �b �c 2
2
2
� Subtrai-se 1 unidade
2
5
a2 ? b2 � c2
O esquema acima mostra que, ao variar em 1 unidade a medida de um dos lados do triângulo retângulo, mantendo as medidas dos outros lados, obtém-se outro triângulo diferente do primeiro. Observe que houve uma transformação geométrica do seguinte modo: a transformação da medida de um único lado implica na transformação do ângulo reto.
3. Investigue Teste o fato geométrico acima com
outros triângulos retângulos sempre utilizando a simulação mental. Verifique se em todas as simulações feitas por você a validade das sentenças algébricas se confirmam.
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Estratégias e soluções Quem está falando a verdade?
André, Bruno e Cláudia estavam jogando futebol quando um deles deu um chute forte e a bola acertou a vidraça...
Alguma das crianças está falando a verdade? Qual?
» Identificação e registro de informações
Considere as falas das personagens na segunda cena para responder às próximas quatro questões.
1. Quais possibilidades de resposta para esse problema você imagina que possam ocorrer? 2. Se o André estiver mentindo, o que se pode concluir de imediato? 3. E se o Bruno estiver mentindo, qual é a conclusão imediata? 4. Se a Cláudia estiver mentindo, isso significa que o André e o Bruno estão falando a verdade?
» Elaboração de hipóteses e estratégias de resolução 1. Considerando suas respostas anteriores, elabore todas as hipóteses para a resposta do problema, registrando-as em seu caderno. 2. Teste as hipóteses que você elaborou, confrontando cada uma com a fala das três crianças na segunda cena. 3. Alguma das três crianças está falando a verdade? Quem? Justifique sua resposta. 4. Qual das três crianças chutou a bola?
» Reflexão 1. É possível obter a solução do problema utilizando outra estratégia? Descreva-a. 2. Você já conhecia problemas como este? Descreva-os. 3. Um problema semelhante a este pode ser obtido considerando um único personagem que acusa a si próprio de mentiroso, como no quadro ao lado. Nesse caso, André está mentindo ou falando a verdade? 4. A simplificação da situação apresentada tornou o problema mais simples? Justifique. 5. É possível resolvê-lo? Explique.
Resolva os problemas 1 e 8 das páginas 366 e 367. 24
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Roteiro de estudos Seno e cosseno de ângulos obtusos Considere x um ângulo obtuso qualquer. Para determi-
nar senos e cossenos de ângulos obtusos, podem-se utilizar as seguintes relações. sen x 5 sen (180° 2 x) cos x 5 2cos (180° 2 x) Retome os conteúdos com os exercícios propostos 8 e 9 e com os exercícios complementares 30 a 34. Resolva o exercício 30 de Vestibular e Enem.
Lei dos senos Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo. A
Desafio 1 Determine o valor de x para que as seguintes expressões sejam verdadeiras: a) sen (180° 2 x) 5 cos (180° 2 x) b) |sen (180° 2 x)| 5 |cos (180° 2 x)| Desafio 2 Coloque os valores indicados abaixo em ordem crescente. sen 120° sen 150° sen 135° sen 100° cos 120° cos 135° cos 150°
Desafio 3 Uma bijuteria é moldada na forma de uma estrela regular de quatro pontas. Para ajudar a moldar essa bijuteria, são utilizadas duas circunferências, de modo que a maior tem raio igual a 4 cm. Com base nessas informações e conforme a figura abaixo, determine o perímetro da estrela.
^
A c R
b 30°
O ^
^
B
B
C a
C
a b c ______ ^ 5 _____ ^ 5 _____ ^ 5 2R sen A sen B sen C Retome os conteúdos com os exercícios propostos 13, 15, 16 e 18 e com os exercícios complementares 40 e 43. Resolva o exercício 38 de Vestibular e Enem.
Lei dos cossenos
Desafio 4 Considere o triângulo abaixo.
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
a
b
A b c
c
^
B B
a
C
^
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos B Retome os conteúdos com os exercícios propostos 21 ao 29 e com os exercícios complementares 35, 37 e 38. Resolva os exercícios 21, 33 e 39 de Vestibular e Enem.
Sabe-se que os lados do triângulo estão em centímetros e que são válidas as relações a seguir. 3 ? a 5 8 ? c 3 ? b 5 10 ? c Qual é o valor aproximado do ângulo interno oposto ao lado que mede a centímetros?
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