TRIGONOMETRIA - I

TRIGONOMETRIA - I R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A E – m a il g a b a r it o c e r t o @ h o t m a il.c o m

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Dedico este trabalho a meu Pai Antonio dos Santos

1

1.

TRIGONOMETRIA 1.1] Determine as operações com arcos: 1.1.1] 22°34’45’’ + 23°55’45’’ = 1.1.2] 35°46’07’’+56°55’’ = 1.1.3] 47’48’’ + 12°34’56’’ = 1.1.4] 78°45’58’’ : 3 = 1.1.5] 34°68’35’’ : 2 = 1.1.6] 24°35’ x 2 + 45°47’36’’ = 1.1.7] (34°47’55’’ + 45°54’23’’) : 2 = 1.1.8] (45°36’56’’ - 12°46’55’’) x 3 = 1.1.9] Um jato decola segundo um ângulo de 60 graus em relação ao solo. Determine qual será a sua altura após percorrer 3000 metros na direção da decolagem. Dados: Cos 60° = 0,5; Sen 60° = 0,8; Tg 60° = 1,6

1.1.10] Já no clima da Copa do Mundo um turista decidiu avaliar a altura da Torre mais famosa da França utilizando o comprimento da sombra no solo. (Dados: Comprimento da sombra = 50 metros; ângulo de elevação do sol = 60°). Determine a altura avaliada. Utilize os dados da questão acima.

Fale conosco: [email protected]

2

1.1.11] Determine a altura do prédio, pelo procedimento ilustrado abaixo. A uma certa distância do prédio toma-se o ângulo de 30° Caminhando 50 metros na direção do prédio a partir da posição inicial , toma-se o ângulo de 60°. Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8

θ

β

1.1.12] Dado o triângulo retângulo abaixo assinale a proposição verdadeira. β K W

θ M

Sen θ = M/K Cos β = K/M M = W. Sen β Tg β = W/K W = M. Tg θ

(a) (b) (c) (d) (e) 1.1.13]

θ = 30° e M = 100, determine W, K, e β. β K W

θ M

Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8 1.1.14] Um prédio projeta uma sombra de 15 metros, fazendo um ângulo de 45° com a horizontal. Determine a altura do prédio. 1.1.15] Um prédio de altura igual a 10 metros projeta uma sombra que faz 30 graus com a horizontal. Determine a que distância a extremidade da sombra dista da base do prédio.


3

1.2] Funções Trigonométricas: Relação fundamental da trigonometria cos2x + sen2x = 1 Muito se tem dito a respeito desta relação fundamental, pois as funções seno e cosseno são as funções primitivas e todas as demais decorrem de seu prévio conhecimento. Tenho visto estudantes de nível secundário gastar caneta para determinar o seno ou o cosseno através do cálculo elaborado usando a relação fundamental. É lógico que, após a árdua tarefa, o valor do seno ou do cosseno aparece. Porém através de um raciocínio rápido podemos estabecer esses valores sem recorrer à relação fundamental. Se o ângulo pertence ao primeiro quadrante (seno positivo e cosseno positivo) e o seu seno vale 1/2, podemos dizer que o cosseno é positivo e é uma fração de denominador 2 e numerador igual a raiz quadrada da diferença entre os quadrados dos números da fração do seno. Assim o cosseno será igual a

2 2 - 12 3 = 2 2

Determine os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente, conforme o caso. 1.2.1] sen x = -

3 3π , onde π ≤ x ≤ 2 2

1.2.2] cos x = -

3 3π , onde π ≤ x ≤ 2 2

1.2.3] sen x = -

2 3π , onde π ≤ x ≤ 2 2

1.2.4] sen x = 1, onde

1.2.5] cos x =

π ≤x≤π 2

3 3π , onde ≤ x ≤ 2π 2 2

1.2.6] cos x = -

5 3π , onde π ≤ x ≤ 2 2

1.2.7] sen x = -

3 3π , onde ≤ x ≤ 2π 2 2


4

1.2.8] sen x = - a, onde π ≤ x ≤

1.2.9] cos x =

3π 2

5 3π , onde ≤ x ≤ 2π 3 2

1.2.10] cos x = - a, onde π ≤ x ≤

3π 2

1 π 1.2.11] cos x = - , onde ≤ x ≤ π 2 2

1.2.12] sen x =

3 π , onde ≤ x ≤ π 5 2

1.2.13] cos x = -

6 π , onde ≤ x ≤ π 7 2

1.2.14] cos x =

5 3π , onde ≤ x ≤ 2π 3 2

1.2.15] cos x = -

1.2.16] cos x =

2 2 π , onde 0 ≤ x ≤ 3 2

1.2.17] sec x = -

1.2.18] sec x =

7 π , onde ≤ x ≤ π 4 2

π 8 , onde ≤ x ≤ π 3 2

3 3π , onde ≤ x ≤ 2π 2 2

1.2.19] cossec x = - 5,

onde

1.2.20] tgx.cossecx = - 2,

3π ≤ x ≤ 2π 2

onde

3π ≤ x ≤ 2π 2

1.2.21] Encontre todas as soluções do sistema: sen( x + y) = 0  sen( x − y) = 0

tal que 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π

1.2.22] Demonstre Cos (2θ) = 2.Cos2θ - 1 Fale conosco: [email protected]

(Uerj/96)

5 1.2.23] Calcule seno, cosseno e tangente do arco de medida igual a 1920°. 1.2.24] Resolva a equação cos 3x =

1 2

1.2.25] Resolva a equação tg 2 x + tgx = 0 1.2.26] Resolva a equação sen x = 3.cos x 1.2.27] Resolva a equação sen x + cos x = ± 2 1.2.28] Resolva a equação cos 2 x + sen 2 x = 0, no intervalo 1.2.29] Calcule tg (x) 1.2.30] Se tg( x) =

0 ≤ x ≤ 2π

4.sen2x + 2.cos2x = 3

2m 1 − m2

, determine sen (x)

 x sen(x) + 2.cot g  − cos(2x)  2 π 1.2.31] Se x = , então o valor de , é igual a: 2  x tg  .cossec(x) + sec(4x)  2

Fórmulas de trabalho 2

2

Sen a + Cos a = 1 (Relação fundamental da Trigonometria) Cos (a + b) = Sen a . Sen b - Cos a . Cos b Cos (a - b) = Sen a . Sen b + Cos a . Cos b Sen (a + b) = Sen a . Cos b + Sen b . Cos a Sen (a - b) = Sen a . Cos b - Sen b . Cos a tg a + tg b tg( a + b) = 1 - tg a . tg b tg a - tg b tg ( a − b) = 1 + tg a . tg b Sen 2a = 2. sen a . cos a 2 Cos 2a = 1 - 2 . Sen a a 1 - Cos a Sen = ± 2 2 a 1 + Cos a Cos = ± 2 2

Tg

a 1 - Cos a =± 2 1 - Cos a

1.2.32] Determine Sen 2a,

Cos a = -

4 ∴ (π/2

6

1.2.33] Determine Cos 3a,

1.2.34] Determine Tg 5a,

Sen a = -

3 ∴ (0 < a < π/2) 5

4 ∴a ∈ I Quadrante. 5

Cos a =

π 12

1.2.35] Determine o valor de Sen =

5π   1.2.36] Determine o valor de Cos  x + ,  4

Sen x = -

1 2

5π   1.2.37] Determine o valor de Sec  x + ,  4

Sen x = -

3 2

π  1.2.38] Determine o valor de Cotg  x -  ,  4

Sen x = -

π  1.2.39] Determine o valor de Tg  x -  ,  4

Sec x = - 2

3π   1.2.40] Determine o valor de Cotg  x + ,  4

7π   1.2.41] Determine o valor de Cossec  x + ,  6 1.2.42] Determine Sen x =

o

valor

de

1 2

Cossec = -

2 3 3

Cos x = -

1 2

5π  5π    Cotg  x +  ⋅ Sen  x ,   4 4

3 2

1.2.43] Determine o valor do produto: Cos x . Tg x . Sec x . Cotg x = 1.2.44] Simplifique a expressão: y =

1.2.45] Simplifique a expressão: y =


cossec a - sen a cotg a . sec a 1 - sen 2 x cos x

cos2 x - 1 cotg x

1.2.47] Simplifique a expressão: y = (sec 2 x - 1). cotg x Fale conosco: [email protected]

∴

7


1 + tg 2 x sec x


sen a + cos a sec a + cossec a


sen x - 2 sen 3 x 2 cos3x − cos x


sen x + tg x cos x + 1

1.3] Adição e subtração de arcos: COS (A+B) = COS A . COS B - SEN A . SEN B COS (B-A) = COS B . COS A + SEN B . SEN A SEN (A+B) = SEN A . COS B + SEN B . COS A SEN (B-A) = SEN B. COS A - SEN A. COS B 2 2 COS (2A) = COS A – SEN A SEN (2A) = 2.SEN(A). COS(A)

1.3.1] Determine Cos 75° 1.3.2] Determine Sen 105° 1.3.3] Determine Cos 15° 1.3.4] Determine o Sen (3A) 1.4] Adição e subtração de arcos na função tangente: Utilizando o conceito de tangente podemos estabelecer a Adição e a Subtração de Arcos na função Tangente 1.4.1] Determine a expressão para Tg (a+b): 1.4.2] Determine a expressão para Tg (a-b): 1.4.3] Determine Tg 75° 1.4.4] Determine Tg 105° 1.4.5] Determine Tg 345° 1.4.6] Determine Tg 255° 1.4.7] Qual

a

forma mais π  sen( π + x ). cos − x 2  =  π cos( 5 π + x ). sen − x 2 

simples


da

expressão:

8 1.4.8] Simplifique a expressão: y = sen (135° + x) + sen (135° - x)  a 1.4.9] Desenvolva a fórmula do cosseno do arco metade: cos   2

 a 1.4.10] Desenvolva a fórmula do seno do arco metade: sen   2

1.5] Divisão de arcos: Utilizando o conceito de duplicação de arcos podemos estabelecer novas fórmulas para arcos divididos. 1.5.1] Determine a fórmula para cos

a 2

1.5.2] Determine a fórmula para sen

a 2

1.5.3] Determine a fórmula para tg

a 2

1.5.4] Determine o valor do cosseno de 22°30’ 1.5.5] Determine sen 22°30’:


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Prof. Antonio. Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN [email protected] (Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)

TRIGONOMETRIA - I

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