เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 ตอนที่ 1 แบบระบายตัวเลขที่เป็นคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1.
ตอบ 4
หลักในการแก้ อสมการพหุนาม
จากอสมการ
( x 1)( x 3) 0 x(2 x 1)
สามารถเขียนเส้นจานวนได้ดังรูป
-1
0
-
2.
ทาให้ ข้างใดข้ างหนึง่ เป็ น 0 ทาให้ สมั ประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกาลังมากสุดเป็ น
3.
แยกตัวประกอบ
4.
เขียนเส้ นจานวน
1.
** ระวัง ค่า x
ที่ทาให้ สว่ นเป็ น 0 ต้ องเป็ นช่วงเปิ ด
3
ดังนั้นจานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวมี 4 จานวนคือ -1 , 1 , 2 , 3 นั่นเอง 2.
ตอบ 25 จากที่เรารู้ว่า
2i
เนื่องจาก
2i
เป็นคาตอบของสมการ
จะเป็นคาตอบของสมการ P( x)
P( x ) 0
P( x ) 0
ด้วย
เป็นพหุนามกาลัง 3 ดังนั้นจะต้อง
มีคาตอบของสมการ
P( x ) 0
อีกคาตอบหนึ่งด้วย
สมมติให้ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งคือ
ทฤษฎีท่ เี กี่ยวกับรากของสมการพหุนาม เป็ นพหุนามที่มีสมั ประสิทธิ์
กาหนดให้
เป็ นจานวนเต็ม หากเรารู้วา่ จานวนเชิงซ้ อน คาตอบของสมการ จะเป็ นคาตอบของสมการ
mx n
นั่นคือ
P( x) ( x 2i)( x 2i)(mx n)
ดังนั้น
P( x) 2 x3 ax2 bx 12 ( x2 4i 2 )(mx n) ( x2 4)(mx n)
เมือ่ เทียบสัมประสิทธิ์ของ
x3
เลยทาให้เราได้ว่า
เป็ น
แล้ ว เราจะได้ วา่ ด้ วย ^^
m2
เมือ่ เทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ค่าคงที่พจน์สุดท้าย เลยทาให้เราได้ว่า สรุป :
P( x) ( x 2i)( x 2i)(2 x 3) ( x 2 4)(2 x 3)
ดังนั้น
P(1) (1 4)(2 3) 25
n3
เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 2 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น
3.
ตอบ 0.75 จาก
3 a 2 sin A sin B a b
จะได้ว่า
2b 3a
จากกฎของไซน์ sin A sin 2 A 3 a 2a
นั่นคือ
จะได้ว่า
sin A
sin 2 A 3 2
กฎของไซน์ สาหรับสามเหลี่ยมทั่วไป สามเหลีย่ ม ABC ที่มี ความยาวด้ านตรงข้ าม
A
c
b
มุม A , B, C คือ a , b ,c
แต่จาก
sin 2 A 2sin A cos A
ตามลาดับ เราจะได้ วา่
ดังนั้น
3 sin A 2sin A cos A 2 3 cos A 0.75 นั่นเอง 4
กฎของไซน์ คือ
นั่นคือ 4.
b
หมายเหตุ
B
C
a
นะครับ :))
:
ตอบ 8
v u w w v u จะได้ว่า v u w v w u i 2 j 4k 2i j 3k จาก
(1)(2) (2)(1) (4)(3)
ความสัมพันธ์ ระหว่ างการ dot และการ cross สาหรับเวกเตอร์
ใดๆ เราจะได้ วา่
(นัน่ คือ เวกเตอร์ สามารถเลือ่ นไปทางขวาได้ 1 ตาแหน่ง ทัง้ 3 เวกเตอร์ ในทางเดียวกันในทานองว่าเป็ น loop
8
โดยที่เครื่ องหมาย และเครื่ องหมาย ยังต้ องอยูท่ เี่ ดิม)
หมายเหตุ 1. สาหรับเวกเตอร์ 2. ถ้า
u
และ v ใดๆ เราจะได้ว่า
u ai b j ck
ความรู้เพิ่มเติม
1
และ
u v v u
v di e j f k
จะได้ว่า
u v ad be cf
: ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการดาเนินการตามแถว
การดาเนินการตามแถว (Row Operation) คือกระบวนการที่เราจะปรับรู ปแบบของเมทริ กซ์เพื่อให้ได้ เมทริ กซ์ใหม่ที่สะดวกต่อการคานวณมากขึ้น มีอยูด่ ว้ ยกัน 3 ลักษณะคือ 1. คูณแถวที่
i
2. สลับแถวที่ 3. คูณแถวที่
i i
ด้วยค่าคงที่
k
(เมื่อ k 0 ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
กับแถวที่
j
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ด้วยค่าคงที่
k
(เมื่อ k 0 ) แล้วนาไปบวกกับแถวที่
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ โดยเราจะใช้เครื่ องหมาย
~
kRi
Rij
j
(แถวที่ j จะเปลี่ยนแปลง)
kRi R j
แทนการดาเนินการตามแถวในแต่ละขั้นตอน และเขียนกากับไว้ทุกขั้นตอน
เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 3 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น
เช่น กาหนดให้
1 4 2 A 2 1 0 0 3 4
ถ้าเมทริ กซ์
ถ้าเมทริ กซ์
จากระบบสมการ
โดยการดาเนินการ
B~C
ถ้าเมทริ กซ์
ความรู้เพิ่มเติม
โดยการดาเนินการ
A~ B
C~D
2
โดยการดาเนินการ
2R3
จะได้ว่า
2R1 R2
จะได้ว่า
จะได้ว่า
R23
1 4 2 B 2 1 0 0 6 8 2 R3
1 4 2 C 4 7 4 2 R1 R2 0 6 8
1 4 2 D 0 6 8 4 7 4 R23
: การแก้ระบบสมการกับการดาเนินการตามแถว
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b 2 a31 x a32 y a33 z b 3
เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ได้เป็น
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 b1 a23 b 2 a33 b3
ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้การดาเนินการตามแถวทั้ง 3 แบบที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น กับเมทริกซ์แต่งเติมนี้ อย่างไรก็ตาม เราจะได้วา่ คาตอบของระบบสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง 5.
ตอบ 17 จากระบบอสมการที่โจทย์กาหนดให้
แต่โจทย์กาหนดให้
1 2 3 a 1 2 3 9 1 3 0 b ~ 0 1 3 5 2 5 5 c 0 0 1 2
ซึ่งจาก
1 2 3 9 0 1 3 5 0 0 1 2
นั่นคือ
x 1 , y 1
ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า
x 2 y 3z a x 3y b 2 x 5 y 5z c
จะทาให้เราได้ว่า
และ
z2
,
เขียนเป็นเมทริกซ์ได้เป็น
1 2 3 a 1 3 0 b 2 5 5 c
แสดงว่าระบบสมการจะไม่เปลี่ยนไป
y 3z 5
และ
x 2 y 3z 9
z2
c 2 x 5 y 5z 2(1) 5(1) 5(2) 17
เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 4 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น
6.
ตอบ 12 log7 625 log5 343
7.
4
log
สาหรับข้ อนี ้
กาหนดให้
log 625 log 343 log 7 log 5
และ
เป็ นจานวนจริงใดๆ
3
log 5 log 7 log 7 log 5
1.
4log 5 3log 7 12 log 7 log 5
2.
เมื่อ
คือฐาน log ใหม่ที่ต้องการ
ตอบ 0.20 จากตารางที่กาหนดให้ ต้องหาความถี่ จากความถี่สะสมก่อน ดังตาราง ดังนั้นนักเรียนทั้งหมดมี 200 คน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนนทั้งหมด 40 คน ดังนั้น เมื่อสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้ คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนน เท่ากับ
8.
สมบัติของ
คะแนนสอบ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 ขึ้นไป
ความถี่สะสม (คน) 10 35 80 145 185 195 200
ความถี่ 10 25 45 65 40 10 5
40 0.20 200
ตอบ 720 โจทย์กาหนดให้เลข 3 ทั้งสองตัวต้องอยู่ติดกัน เราจึงต้องมัดเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไว้ด้วยกัน ดังนี้ 1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6
ดังนั้นการสร้างจานวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด
หลักการพืน้ ฐานของการเรียงของติดกัน หากเราต้ องการให้ สงิ่ ของใดอยูต่ ดิ กัน ให้ มดั รวมของเหล่านัน้ อยูด่ ้ วยกัน แล้ วนับว่าเป็ นของเพียง 1 ชิ ้น และอย่าลืมคิด ด้ วยว่า ของทีเ่ รามัดอยูต่ ิดกันนันสามารถสลั ้ บตาแหน่งกัน
7 ตัว ดังกล่าว ก็คือการสลับของที่แตกต่างกัน
ได้ ด้วย ยกเว้ น!!! ของที่เรามัดติดกันนันมั ้ นเหมือนกัน
ทั้งหมด 6 ชิ้นนั้นเอง ซึ่งสามารถทาได้
เพราะของเหมือนกันสลับที่กนั ไม่ทาให้ เกิดวิธีใหม่นะครับ^^
6! 720
วิธี นั่นเอง
เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 5 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น
9.
ตอบ 3
หลักการพืน้ ฐานของการหาลิมิตของลาดับ
n3 n2 lim an lim 2 n n n 2 n3
ให้ ดดู กี รี ที่มากที่สดุ ของเศษและส่วน
n3 (n 3) n 2 (n 2 2) lim n (n2 2)(n 3) n4 3n3 n4 2n2 lim 3 2 n n 3n 2n 6
หมายเหตุ : ถ้ าเป็ น ไม่มีคา่ ไม่มีคา่ จะยังสรุปไม่ได้ ต้ องจัดรูปใหม่ก่อนเสมอ แล้ วจึงหาค่าของลิมิตใหม่อกี ครัง้
ให้
ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ
f ( x) 3x 6 x 9
f ( x) 0
นั่นคือ
2
2
จะได้ว่า
หลักการพืน้ ฐานของการหาสุดขีดสัมบูรณ์
f ( x) x 3 x 9 x 1 3
จะได้ว่า
เพื่อหาค่าวิกฤต
ได้ จาก
ขัน้ ที่ 3 : หาค่าของฟั งก์ชนั ทีต่ าแหน่ง ค่าที่มากที่สดุ = ค่าสูงสุดสัมบูรณ์
กาหนดให้เราพิจารณาในช่วง 1, 2 f (1) 4
,
ค่าที่น้อยที่สดุ = ค่าตา่ สุดสัมบูรณ์
x 1
f (1) 12
ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน
และ
ขัน้ ที่ 4 : เปรี ยบเทียบค่าที่ได้ จากขันที ้ ่ 2 และขันที ้ ่3
แต่ต้องระวัง เพราะข้อนี้โจทย์
เพราะว่า
เท่านันนะครั ้ บ
ขัน้ ที่ 2 : หาค่าของฟั งก์ชนั ทีต่ าแหน่งค่าวิกฤต
x 1
ดังนัน้ ค่าวิกฤตจึงคิดเฉพาะ
โดยหา
แต่จะพิจารณาเฉพาะ
ค่าวิกฤตที่อยูใ่ นช่วง
( x 3)( x 1) 0
หรือ
บนช่วง
ขัน้ ที่ 1 : หาค่าวิกฤตทังหมดของฟั ้ งก์ชนั
3( x 2 2 x 3) 0
x 3
ไม่มีคา่
เช่น
ตอบ 12 จาก
2. ถ้ า เศษ > ส่วน : ลิมิตจะตอบไม่มีคา่ (เป็ นจานวนจริง)
3. ถ้ า เศษ = ส่วน : ลิมิตจะตอบค่าส.ป.ส. เศษ ส่วน
3
10.
เช่น
เช่น
3n3 2n 2 lim 3 2 n n 3n 2n 6
2 3 n lim n 3 2 1 2 63 n n n
1. ถ้ า เศษ < ส่วน : ลิมิตจะตอบ 0
และ
f (2) 3
f ( x) x 3 3 x 2 9 x 1
บนช่วง 1, 2 มีค่าเท่ากับ 12
เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 6 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น