เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556

เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556 ตอนที่ 1 แบบระบายตัวเลขที่เป็นคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1.

ตอบ 4

หลักในการแก้ อสมการพหุนาม

จากอสมการ

( x  1)( x  3)  0 x(2 x  1)

สามารถเขียนเส้นจานวนได้ดังรูป 



 -1



 0

-

2.

ทาให้ ข้างใดข้ างหนึง่ เป็ น 0 ทาให้ สมั ประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกาลังมากสุดเป็ น 

3.

แยกตัวประกอบ

4.

เขียนเส้ นจานวน

1.

** ระวัง ค่า x

ที่ทาให้ สว่ นเป็ น 0 ต้ องเป็ นช่วงเปิ ด

3

ดังนั้นจานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าวมี 4 จานวนคือ -1 , 1 , 2 , 3 นั่นเอง 2.

ตอบ 25 จากที่เรารู้ว่า 

2i

เนื่องจาก

2i

เป็นคาตอบของสมการ

จะเป็นคาตอบของสมการ P( x)

P( x )  0

P( x )  0

ด้วย

เป็นพหุนามกาลัง 3 ดังนั้นจะต้อง

มีคาตอบของสมการ

P( x )  0

อีกคาตอบหนึ่งด้วย

สมมติให้ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งคือ

ทฤษฎีท่ เี กี่ยวกับรากของสมการพหุนาม เป็ นพหุนามที่มีสมั ประสิทธิ์

กาหนดให้

เป็ นจานวนเต็ม หากเรารู้วา่ จานวนเชิงซ้ อน คาตอบของสมการ จะเป็ นคาตอบของสมการ

mx  n

นั่นคือ

P( x)  ( x  2i)( x  2i)(mx  n)

ดังนั้น

P( x)  2 x3  ax2  bx  12  ( x2  4i 2 )(mx  n)  ( x2  4)(mx  n)

 เมือ่ เทียบสัมประสิทธิ์ของ

x3

เลยทาให้เราได้ว่า

เป็ น

แล้ ว เราจะได้ วา่ ด้ วย ^^

m2

 เมือ่ เทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์ค่าคงที่พจน์สุดท้าย เลยทาให้เราได้ว่า สรุป :

P( x)  ( x  2i)( x  2i)(2 x  3)  ( x 2  4)(2 x  3)


P(1)  (1  4)(2  3)  25

n3

เฉลยข้ อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี การศึกษา 2556 จากกลุม่ คณิตมัธยมปลาย หน้ า 2 http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพื่อการศึกษาเท่านัน้ และไม่เกี่ยวข้ องกับเชิงธุรกิจใดๆทังสิ ้ ้น

3.

ตอบ 0.75 จาก

3 a 2 sin A sin B  a b

จะได้ว่า

2b  3a

จากกฎของไซน์ sin A sin 2 A  3 a 2a



sin A 

sin 2 A 3 2

กฎของไซน์ สาหรับสามเหลี่ยมทั่วไป สามเหลีย่ ม ABC ที่มี ความยาวด้ านตรงข้ าม

A

c

b

มุม A , B, C คือ a , b ,c

แต่จาก

sin 2 A  2sin A cos A

ตามลาดับ เราจะได้ วา่


3 sin A  2sin A cos A 2 3 cos A   0.75 นั่นเอง 4

กฎของไซน์ คือ

นั่นคือ 4.

b

หมายเหตุ

B

C

a

นะครับ :))

:

ตอบ 8

v  u   w   w v  u จะได้ว่า  v  u   w   v  w  u   i  2 j  4k    2i  j  3k  จาก

 (1)(2)  (2)(1)  (4)(3)

ความสัมพันธ์ ระหว่ างการ dot และการ cross สาหรับเวกเตอร์

ใดๆ เราจะได้ วา่

(นัน่ คือ เวกเตอร์ สามารถเลือ่ นไปทางขวาได้ 1 ตาแหน่ง ทัง้ 3 เวกเตอร์ ในทางเดียวกันในทานองว่าเป็ น loop

 8

โดยที่เครื่ องหมาย  และเครื่ องหมาย  ยังต้ องอยูท่ เี่ ดิม)

หมายเหตุ 1. สาหรับเวกเตอร์ 2. ถ้า

u

และ v ใดๆ เราจะได้ว่า

u  ai  b j  ck

ความรู้เพิ่มเติม

1

และ

u  v  v  u

v  di  e j  f k


u  v  ad  be  cf

: ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการดาเนินการตามแถว

การดาเนินการตามแถว (Row Operation) คือกระบวนการที่เราจะปรับรู ปแบบของเมทริ กซ์เพื่อให้ได้ เมทริ กซ์ใหม่ที่สะดวกต่อการคานวณมากขึ้น มีอยูด่ ว้ ยกัน 3 ลักษณะคือ 1. คูณแถวที่

i

2. สลับแถวที่ 3. คูณแถวที่

i i

ด้วยค่าคงที่

k

(เมื่อ k  0 ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

กับแถวที่

j

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ด้วยค่าคงที่

k

(เมื่อ k  0 ) แล้วนาไปบวกกับแถวที่

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ โดยเราจะใช้เครื่ องหมาย

~

kRi

Rij

j

(แถวที่ j จะเปลี่ยนแปลง)

kRi  R j

แทนการดาเนินการตามแถวในแต่ละขั้นตอน และเขียนกากับไว้ทุกขั้นตอน


เช่น กาหนดให้

1 4 2  A   2 1 0   0 3 4 

 ถ้าเมทริ กซ์


จากระบบสมการ

โดยการดาเนินการ

B~C


ความรู้เพิ่มเติม


A~ B

C~D

2


2R3


2R1  R2



R23

1 4 2  B   2 1 0   0 6 8 2 R3

1 4 2  C   4 7 4  2 R1  R2  0 6 8

1 4 2  D   0 6 8  4 7 4  R23

: การแก้ระบบสมการกับการดาเนินการตามแถว

a11 x  a12 y  a13 z  b1 a21 x  a22 y  a23 z  b 2 a31 x  a32 y  a33 z  b 3

เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) ได้เป็น

 a11   a21  a31

a12 a22 a32

a13 b1  a23 b 2  a33 b3 

ซึ่งไม่ว่าเราจะใช้การดาเนินการตามแถวทั้ง 3 แบบที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น กับเมทริกซ์แต่งเติมนี้ อย่างไรก็ตาม เราจะได้วา่ คาตอบของระบบสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง 5.

ตอบ 17 จากระบบอสมการที่โจทย์กาหนดให้

แต่โจทย์กาหนดให้

1 2 3 a  1 2 3 9  1 3 0 b  ~ 0 1 3 5       2 5 5 c  0 0 1 2

ซึ่งจาก

1 2 3 9  0 1 3 5    0 0 1 2 


x  1 , y  1

ซึ่งจากโจทย์จะได้ว่า

x  2 y  3z  a x  3y  b 2 x  5 y  5z  c

จะทาให้เราได้ว่า

และ

z2

,

เขียนเป็นเมทริกซ์ได้เป็น

1 2 3 a  1 3 0 b     2 5 5 c 

แสดงว่าระบบสมการจะไม่เปลี่ยนไป

y  3z  5

และ

x  2 y  3z  9

z2

c  2 x  5 y  5z  2(1)  5(1)  5(2)  17


6.

ตอบ 12  log7 625 log5 343 

7.

4

log

สาหรับข้ อนี ้

กาหนดให้

log 625 log 343  log 7 log 5

และ

เป็ นจานวนจริงใดๆ

3



log 5 log 7  log 7 log 5

1.



4log 5 3log 7   12 log 7 log 5

2.

เมื่อ

คือฐาน log ใหม่ที่ต้องการ

ตอบ 0.20 จากตารางที่กาหนดให้ ต้องหาความถี่ จากความถี่สะสมก่อน ดังตาราง ดังนั้นนักเรียนทั้งหมดมี 200 คน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนนทั้งหมด 40 คน ดังนั้น เมื่อสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้ คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนน เท่ากับ

8.

สมบัติของ

คะแนนสอบ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 ขึ้นไป

ความถี่สะสม (คน) 10 35 80 145 185 195 200

ความถี่ 10 25 45 65 40 10 5

40  0.20 200

ตอบ 720 โจทย์กาหนดให้เลข 3 ทั้งสองตัวต้องอยู่ติดกัน เราจึงต้องมัดเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไว้ด้วยกัน ดังนี้ 1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6

ดังนั้นการสร้างจานวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด

หลักการพืน้ ฐานของการเรียงของติดกัน หากเราต้ องการให้ สงิ่ ของใดอยูต่ ดิ กัน ให้ มดั รวมของเหล่านัน้ อยูด่ ้ วยกัน แล้ วนับว่าเป็ นของเพียง 1 ชิ ้น และอย่าลืมคิด ด้ วยว่า ของทีเ่ รามัดอยูต่ ิดกันนันสามารถสลั ้ บตาแหน่งกัน

7 ตัว ดังกล่าว ก็คือการสลับของที่แตกต่างกัน

ได้ ด้วย ยกเว้ น!!! ของที่เรามัดติดกันนันมั ้ นเหมือนกัน

ทั้งหมด 6 ชิ้นนั้นเอง ซึ่งสามารถทาได้

เพราะของเหมือนกันสลับที่กนั ไม่ทาให้ เกิดวิธีใหม่นะครับ^^

6!  720

วิธี นั่นเอง


9.

ตอบ 3

หลักการพืน้ ฐานของการหาลิมิตของลาดับ

 n3 n2  lim an  lim  2   n  n  n  2 n3 

ให้ ดดู กี รี ที่มากที่สดุ ของเศษและส่วน

 n3 (n  3)  n 2 (n 2  2)   lim   n  (n2  2)(n  3)    n4  3n3  n4  2n2   lim  3  2 n   n  3n  2n  6 

    

หมายเหตุ : ถ้ าเป็ น ไม่มีคา่  ไม่มีคา่ จะยังสรุปไม่ได้ ต้ องจัดรูปใหม่ก่อนเสมอ แล้ วจึงหาค่าของลิมิตใหม่อกี ครัง้

ให้

ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ

f ( x)  3x  6 x  9

f ( x)  0


2

2

จะได้ว่า 

หลักการพืน้ ฐานของการหาสุดขีดสัมบูรณ์

f ( x)  x  3 x  9 x  1 3


เพื่อหาค่าวิกฤต

ได้ จาก

ขัน้ ที่ 3 : หาค่าของฟั งก์ชนั ทีต่ าแหน่ง ค่าที่มากที่สดุ = ค่าสูงสุดสัมบูรณ์

กาหนดให้เราพิจารณาในช่วง  1, 2 f (1)  4

,

ค่าที่น้อยที่สดุ = ค่าตา่ สุดสัมบูรณ์

x 1

f (1)  12

ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน

และ

ขัน้ ที่ 4 : เปรี ยบเทียบค่าที่ได้ จากขันที ้ ่ 2 และขันที ้ ่3

แต่ต้องระวัง  เพราะข้อนี้โจทย์

เพราะว่า

เท่านันนะครั ้ บ

ขัน้ ที่ 2 : หาค่าของฟั งก์ชนั ทีต่ าแหน่งค่าวิกฤต

x 1

ดังนัน้ ค่าวิกฤตจึงคิดเฉพาะ

โดยหา

แต่จะพิจารณาเฉพาะ

ค่าวิกฤตที่อยูใ่ นช่วง

( x  3)( x  1)  0

หรือ

บนช่วง

ขัน้ ที่ 1 : หาค่าวิกฤตทังหมดของฟั ้ งก์ชนั

3( x 2  2 x  3)  0

x  3

ไม่มีคา่

เช่น

ตอบ 12 จาก

2. ถ้ า เศษ > ส่วน : ลิมิตจะตอบไม่มีคา่ (เป็ นจานวนจริง)

3. ถ้ า เศษ = ส่วน : ลิมิตจะตอบค่าส.ป.ส. เศษ  ส่วน

 3

10.

เช่น

เช่น

  3n3  2n 2  lim  3  2 n  n  3n  2n  6  

2  3  n  lim  n  3 2  1   2  63 n n n 

1. ถ้ า เศษ < ส่วน : ลิมิตจะตอบ 0

และ

f (2)  3

f ( x)  x 3  3 x 2  9 x  1

บนช่วง  1, 2 มีค่าเท่ากับ 12


เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปีการศึกษา 2556

Recommend Documents