FUNÇÕES
6
©AREAL EDITORES
PREPARAR O EXAME NACIONAL / MATEMÁTICA A 12
DERIVADAS
Geometricamente: • f r1x-0 2 é o declive da semitangente à esquerda do gráfico da função f no ponto 1x0, f 1x022. t1 é a semitangente à esquerda do gráfico da função f no ponto 1x0, f 1x022.
6.1. FUNÇÃO DERIVADA Taxa média de variação ou Taxa de variação média A taxa média de variação de uma função f num intervalo f a, b g ƒ Df é o quociente entre a variação da função e a variação de x nesse intervalo, ou seja, f 1b2 - f 1a2 t.m.v. f a, b g = . b-a
y f(b)
f
O
a
O
b
• f r1x+0 2 é o declive da semitangente à direita do gráfico da função f no ponto 1x0, f 1x022;
x
f(a)
t2 é a semitangente à direita do gráfico da função f no ponto 1x0, f 1x022.
Se existirem fr1x-0 2 e fr1x+0 2 e forem iguais, dizemos que fr1x02 existe e fr1x02 = fr1x-0 2 = fr1x+0 2 . Geometricamente, significa que as duas semitangentes estão no prolongamento uma da outra, formando uma reta tangente.
Derivada de uma função num ponto A derivada ou taxa de variação instantânea de uma função f num ponto de abcissa x0 å Df , se existir, é o limite da t.m.v. f x , x + h g quando h " 0.
x
x0
y f(x0)
f
O
x0 t2
x
0
A derivada de uma função f no ponto de abcissa x0 representa-se, habitualmente, por fr1x02. f 1x + h2 - f 1x02 f 1x2 - f 1x02 Assim, fr1x02 = lim a 0 b. b ou fr1x02 = lim a h"0 x " x0 x - x0 h Se num ponto não existir derivada finita dizemos que a função não é derivável nesse ponto.
Geometricamente, a derivada de uma função f no ponto de abcissa x0 é o declive da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 1x0, f 1x022, como se exemplifica na figura ao lado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 69. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determina para cada função, a sua derivada, no ponto indicado.
y
a) f 1x2 =
(x0, f(x0))
f(x0) O
x0
x
Seja f uma função real de variável real e seja x0 å Df .
h"0
2.º Processo de resolução
-3 3 b=4 2 12 + h2
x+2 5 x+2 5 f 1x2 - f 132 2x + 4 - 5x + 5 x 1 2 x f'132 = lim a b = lim ° ¢ = lim ° - 1 2 ¢ = lim a b= x"3 x-3 x"3 x " 3 x " 3 2 1x - 32 1x - 12 x-3 x-3 © AREAL EDITORES
Se existirem fr1x-0 2 e fr1x+0 2 e forem iguais, dizemos que fr1x02 existe e fr1x02 = fr1x-0 2 = fr1x+0 2.
1.º Processo de resolução
= lim a
• A derivada à esquerda no ponto de abcissa x0, representa-se por fr1x-0 2 e temos f 1x + h2 - f 1x02 f 1x2 - f 1x02 que fr1x-0 2 = lim - a 0 b. b ou fr1x-0 2 = lim - a h"0 x " x0 x - x0 h
• A derivada à direita no ponto de abcissa x0, representa-se por fr1x+0 2 e temos que f 1x + h2 - f 1x02 f 1x2 - f 1x02 fr1x+0 2 = lim + a 0 b. b ou fr1x+0 2 = lim + a h"0 x " x0 x - x0 h
x+2 , para x = 3 x-1
5+h 5 f 13 + h2 - f 132 10 + 2h - 10 - 5h - 3h 2 f '132 = lim a b = lim ° + h 2 ¢ = lim a b = lim a b= h"0 h"0 h " 0 h " 0 h 1 2 12 + h2 2h 2 + h 2h h
Derivadas laterais
252
f(x0)
t1
Geometricamente, esta taxa corresponde ao declive da reta secante ao gráfico da função f nos pontos 1a, f 1a22 e 1b, f 1b22, como se exemplifica na figura ao lado.
0
y
= lim a x"3
- 3 1 x - 32 3 - 3x + 9 -3 b = lim a b = lim a b=x " 3 x " 3 4 2 1 x - 32 1 x - 12 2 1x - 32 1x - 12 2 1x - 12 253
