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Exercícios Resolvidos de Biofísica

Faculdade de Medicina da Universidade de Coimbra


Mestrado Integrado em Medicina

MEMBRANAS HOMOGÉNEAS

Exercício 1. Numa experiência com uma membrana homogénea verificou-se que

esta apresentava uma permeabilidade de 4x10-3 cm s-1 a um dado soluto. Sabendo que a concentração do soluto num dos lados da membrana é igual a 10-6 mol cm-3, o módulo da densidade de corrente de difusão é 20x10-9 mol cm-2 s-1, determine: a) A concentração de soluto do outro lado da membrana; b) O módulo da densidade de corrente de difusão para uma membrana com permeabilidade 6x10-3 cm s-1.

Resolução:

Dados do problema e conversões de unidades:

Pm = 4 × 10 −3 cm s −1 CsI = 1 × 10 − 6mol cm − 3 J s = 20 × 10 − 9 mol cm − 2 s −1

a) Apenas é conhecido valor de concentração de um lado do recipiente, podendo, por

isso, ser o outro valor maior ou menor do que este. O facto do valor da concentração desconhecida ser maior ou menor que o valor da concentração conhecida implica que o sentido da corrente de difusão seja diferente consoante o caso. Tendo em conta este facto é necessário resolver o problema para as duas circunstâncias possíveis que se materializam matematicamente na consideração da densidade de corrente vir afectada de sinal positivo (situação I) ou de sinal negativo (situação II). A densidade de corrente de difusão é dada pela expressão:

(

J s = Pm C sI − C sII

)

1.1

1



• Situação I:

A densidade corrente tem valor positivo e assume-se que o valor de concentração conhecido corresponde ao do compartimento I. Substituindo valores e resolvendo em ordem a C sII , temos:

(

)

20 × 10 −9 = 4 × 10 −3 10 −6 − C sII ⇔ 5 × 10

−6

= 10

−6

−C

II s

⇔

1.2

C sII = −4 × 10 − 6 mol cm − 3 O resultado obtido não tem significado físico! • Situação II: A densidade corrente tem valor negativo e continua a assumir-se que o valor de concentração conhecido corresponde ao do compartimento I. Substituindo valores e resolvendo em ordem a C sII , vem:

−20 × 10−9 = 4 × 10−3 (10−6 − CsII ) ⇔ 5 × 10−6 = 10−6 − CsII

⇔

1.3

CsII = 6 × 10−6 mol cm −3 Neste caso o valor obtido é possível sendo, portanto a resposta correcta. b) Trata-se de uma aplicação directa, pelo que, basta substituir valores:

J s = 6 × 10−3 (10−6 − 6 × 10−6 ) ⇔ J s = −3 × 10−8 mol cm −2 s −1

1.4

2



Exercício 2. Uma membrana homogénea com 1,5 m2 de área total e 0,5 mm de

espessura, separa duas soluções de dois solutos, A e B, num sistema de dois compartimentos. As concentrações do soluto B no compartimento I e num ponto do interface da membrana com o compartimento II são iguais a 1 mol cm-3 e 3,1 mol cm-3, respectivamente. Sabe-se ainda que a permeabilidade da membrana é igual para os dois solutos, ∆CA é igual a 20 mol cm-3 e o coeficiente de partição é 0,1 para os dois solutos. Sabendo que por minuto atravessam a membrana 3600 moles do soluto A de I para II, determine a densidade total de corrente de difusão.

Resolução:


A = 1,5 m 2 = 1,5 × 10 4 cm 2 ∆ x = 0,5 mm = 0,05 cm C sI B = 1 mol cm − 3 C s B (0,05 ) = 3,1 mol cm − 3 ∆C A = 20 mol cm −3 K = 0,1 I s A = 3600 mol min −1 = 60 mol s −1

a) Temos de analisar os dois solutos, A e B, separadamente:

Para o soluto A, podemos desenhar o gráfico que traduz a variação de concentração no interior da membrana: C / mol cm-3

20

0

0,05

x / cm

3



Podemos determinar a densidade de corrente do soluto A a partir do valor da corrente de soluto:

Js A =

Is A

2.1

A

Substituindo valores:

Js A =

60 = 4 × 10− 3 mol cm 2 s −1 1,5 × 104

2.2

Note-se que a densidade de corrente do soluto A tem valor positivo uma vez a difusão deste soluto se dá no sentido convencionado como positivo (de I para II). O coeficiente de difusão pode agora ser calculado com base na seguinte expressão:

Js A =

Dm K ∆C s A ∆x

2.3

Substituindo os valores:

4 × 10 −3 =

Dm × 0,1 × 20 ⇔ 0,05

Dm = 1 × 10 − 4 cm 2 s −1

2.4

Para o soluto B, podemos, igualmente, desenhar o gráfico que traduz a variação de concentração no interior da membrana: C / mol cm-3

3,1

1

0

0,05

x / cm

4



A concentração no interface da membrana com o compartimento I pode ser determinada através da expressão: C s B (0 ) = K C sI B

2.5

Substituindo valores, tem-se:

Cs B (0 ) = 0,1 × 1 = 0,1 mol cm −3

2.6

Podemos agora determinar a expressão analítica que traduz a variação da concentração do soluto B no interior da membrana. As condições iniciais são: ⎧⎪Cs B = 0,1 ⎨ ⎪⎩Cs B = 3,1

⇐

x =0

⇐

x = 0,05

2.7

Podemos então determinar os coeficientes, a e b, da recta:

⎧0,1 ⎨ ⎩3,1

−3 =a ×0+b ⎪⎧b = 0,1 mol cm ⇔⎨ = a × 0,05 + b ⎪⎩a = 60 mol cm − 4

2.8

Logo,

Cs B (x ) = 60 x + 0,1

(mol cm ) −3

2.9

A densidade de corrente de difusão do soluto B vem:

J s B = −Dm

dCs B (x ) dx

⇒

J s B = −1 × 10 − 4 × 60 = −6 × 10 − 3 mol cm 2 s −1

2.10

Finalmente, podemos determinar a densidade total de corrente: J s total = J s A + J s B

(

⇒

)

J s total = 4 × 10 − 3 + − 6 × 10 − 3 = −2 × 10 − 3 mol cm − 2 s −1

2.11

5



MEMBRANAS POROSAS

Exercício 3. Considere um sistema de dois compartimentos separados por uma

membrana porosa com 1 mm de espessura e 120 cm2 de área total. Sabendo que: •através dos poros passam 12 moles de soluto por unidade de tempo; •30% da área total de membrana é atravessada por poros; •a concentração de soluto no recipiente I é de 4,5 M; •a concentração do soluto no ponto médio da membrana é de 3 M. Determine: a) A concentração do soluto no compartimento II. b) A constante de difusão livre do soluto no solvente. c) A densidade de corrente de difusão de soluto e respectivo sentido;

Resolução:


∆x = 1 mm = 0,1 cm A = 120 cm 2 I s = 12 mol s −1 30% atravessada por poros CsI = 4,5 M = 4,5 × 10−3 mol cm −3

(

Cs ∆x

2

) = 3 M = 3 × 10

−3

mol cm −3

a) Para determinar a concentração no compartimento II podemos desenhar um gráfico

que traduz a variação de concentração no sistema. No caso das membranas porosas não existem descontinuidades de concentração nos interfaces da membrana, pelo facto, desta ser atravessada por poros e, portanto, o solvente preencher também este espaço.

6



C / mol cm-3 4,5x10-3 3x10-3

0

0,05

0,1

x / cm

Como a variação da concentração de soluto ao longo da espessura da membrana é linear é representada matematicamente por uma recta, cuja equação pode ser escrita da seguinte forma:

C s (x ) = a ⋅ x + b

3.1

E tendo em conta as condições do problema ⎧⎪ C s (0 ) = 4,5 × 10 −3 ⎨ −3 ⎪⎩C s (0,05 ) = 3 × 10 ⎧⎪4,5 × 10 −3 ⎨ ⎪⎩ 3 × 10 −3

⇐

x =0

⇐

x = 0,05

⎧⎪b = 4,5 × 10 −3 mol cm −3 ⇔⎨ ⎪⎩a = −0,03 mol cm − 4 = a × 0,05 + b =a ×0 +b

3.2

3.3

Logo,

(

C s (x ) = −0,03 x + 4,5 × 10 −3 mol cm −3

)

3.4

Para determinar a concentração no compartimento II, basta substituir, na equação 3.4, a variável x por 0,1. Note-se que o valor da concentração no compartimento II é igual ao valor da concentração na interface da membrana com esse mesmo compartimento. Assim, tem-se:

C sII = C s (0,1) = −0,03 × 0,1 + 4,5 × 10 −3 = 1,5 × 10 −3 mol cm −3

3.5

7



b) A constante de difusão livre do soluto no solvente pode ser determinada com base

na 1ª Lei de Fick, isto é:

J s ( poros ) = −D

3.6

dC s dx

que para o presente problema pode ser escrita na forma:

J s ( poros ) = D

∆C s ∆x

3.7

A densidade de corrente de difusão, por seu lado, pode ser calculada, por:

Js =

Is A

J s ( poros ) =

⇒

12 = 0,33 mol cm −2 s −1 0,3 × 120

3.8

Note-se que a área de poros representa 30% da área total (A poros = 0,3 ATotal ) . A diferença de concentrações entre os compartimentos I e II é dada por:

∆C s = C sI − C sII

3.9

⇒

∆C s = 4,5 × 10 −3 − 1,5 × 10 −3 ∆C s = 3 × 10

−3

mol cm

⇔

−3

Finalmente, substituindo os valores anteriormente calculados na equação 3.7, e resolvendo a equação em ordem a D, teremos:

0,33 = D

3 × 10−3 0,1

⇔ D = 11,1 cm 2 s −1

3.10

c) A densidade de corrente de difusão de soluto é dada pela seguinte expressão: J s = φ w J s ( poros )

3.11

Em que, φw, representa a fracção de área porosa. 8


φw =

A porosa Atotal

φw =


0,3 × 120 = 0,3 120

3.12

Substituindo os valores na equação 3.11, tem-se, então o valor da densidade de corrente de difusão:

J s = 0,3 × 0,33 = 0,1 mol cm −2 s −1

3.13

A difusão dá-se do compartimento I para o compartimento II, facto que também se encontra representado pelo valor positivo de densidade de corrente, que significa que a difusão se faz no sentido convencionado como positivo.

9



Exercício 4. Uma membrana porosa com 100 µm de espessura, 100 cm2 de área

total e 20 cm2 da sua área ocupada por poros, separa duas soluções de um mesmo soluto num sistema de dois compartimentos. Supondo que através da membrana passam 20 moles de soluto por unidade de tempo e que a constante de difusão livre do soluto no solvente é igual a 0,02 cm2 s-1, determine: a) A concentração de uma das soluções, sabendo que a concentração da outra solução é de 0,2 mol cm-3. b) A densidade de corrente de difusão através da membrana.

Resolução:

Dados do problema e conversões de unidades: ∆x = 100 µm = 100 × 10 −4 cm Atotal = 100 cm 2 Atporos = 20 cm 2 I s = 20 mol s −1 D = 0,02 cm 2 s −1

a) Sabemos que a concentração num dos compartimentos (I ou II) é igual a: 4.1

C s = 0,2 mol cm −3 Determinando

a

densidade

de

corrente,

podemos

calcular

a

diferença

de

concentrações de soluto entre os compartimentos e, a partir desta, calcular a concentração que desejamos saber. Por definição a densidade de corrente é dada por:

Js =

Is A

⇒

Js =

20 = 0,2 mol cm −2 s −1 100

4.2

Por outro lado a densidade de corrente também pode ser descrita por:

10


J s = D φw


∆C s ∆x

4.3

Em que, φw , representa a fracção de poros, e portanto é determinada por:

φw =

A poros Atotal

⇒

φw =

4.4

20 = 0,2 100

Substituindo os valores na equação 4.3, e resolvendo em ordem a ∆C s , vem:

0,2 = 0,02 × 0,2

∆C s 100 × 10 −4

⇔

∆C s = 0,5 mol cm −3

4.5

A diferença de concentração é dada por: 4.6


Como o enunciado do problema é omisso no facto do valor de concentração dado referir-se ao compartimento I ou II é necessário considerar as duas hipóteses. Assim: •Hipótese 1: C sI = 0,2 mol cm −3 Substituindo os valores na equação 4.6, vem:

0,5 = 0,2 − C sII

⇔

C sII = −0,3 mol cm −3

4.7

O que constitui uma solução impossível! •Hipótese 2: C sII = 0,2 mol cm −3 Substituindo os valores na equação 4.6, vem:

0,5 = C sI − 0,2

⇔

C sI = 0,7 mol cm −3

4.8

Que constitui uma solução possível!

11



b) A densidade de corrente de difusão através da membrana foi já determinada na

alínea anterior, pelo que a resposta é:

J s = 0,2 mol cm −2 s −1

4.9

12



Exercício 5. Uma membrana porosa separa soluções de dois solutos, A e B, num

sistema de dois compartimentos. Sabendo que: •

D(A)

=

D(B)

•

C IA

=

0,100

mol cm-3

•

C IIB

=

0,050

mol cm-3

•

∆CA + ∆CB

=

0,050

mol cm-3

•

JS(A)

=

0,500

mol cm-2 s-1

•

JS(Total)

=

0,250

mol cm-2 s-1

e que as dimensões das moléculas dos dois solutos são inferiores às dimensões dos poros, determine as concentrações dos solutos A e B em cada um dos compartimentos.

Resolução:


DA = DB = D C sI A = 0,100 mol cm −3 C sIIB = 0,050 mol cm −3 ∆C s A + ∆C s B = 0,050 mol cm −3 J s A = 0,500 mol cm −2 s −1 J s total = 0,250 mol cm −2 s −1

a) A densidade total de corrente de difusão é igual à soma algébrica das densidades de

corrente dos dois solutos, A e B, e é descrita pela equação: J s total = J s A + J s B

5.1

Podemos determinar, então, a densidade de corrente de difusão do soluto B. Substituindo os valores na equação anterior, vem:

13


0,250 = 0,500 + J s B


J s B = −0,250 mol cm −2 s −1

⇔

5.2

Por outro lado, e uma vez que D A = D B = D , a densidade total de corrente de difusão pode ser expressa da seguinte forma:

J s total = D φ w

∆C s A + B

⇔

∆x

J s total =

D φw ∆C s A + B = P ∆C s A + B ∆x

5.3

Substituindo os valores conhecidos na equação 5.3, podemos determinar o valor de P: 0,250 = P × 0,050

P = 5 cm s −1

⇔

5.4

As densidades de corrente de difusão de cada soluto, A e B, são dadas por:

J s A = D A φw

J s B = D B φw

∆C s A ∆x ∆C s B ∆x

⇔

Js A =

D φw ∆C s A = P ∆C s A ∆x

5.5

⇔

JsB =

D φw ∆C s B = P ∆C s B ∆x

5.6

Substituindo valores nas equações 5.5 e 5.6, determinamos os valores das diferenças de concentração para os solutos A e B. Assim: 0,500 = 5 ∆C s A − 0,250 = 5 ∆C s B

⇔ ⇔

∆C s A = 0,100 mol cm −3 ∆C s B = −0,050 mol cm −3

5.7

5.8

Recordando que as diferenças de concentração são dadas por: ∆C s A = C sI A − C sII A

5.9

∆C s B = C sI B − C sIIB

5.10

14



e substituindo os valores, determinamos os valores da concentração do soluto A no compartimento II e da concentração do soluto B no compartimento I. 0,100 = 0,100 − C sII A − 0,050 = C sI B − 0,050

⇔ ⇔

C sII A = 0 mol cm −3 C sI B = 0 mol cm −3

5.11

5.12

15



SISTEMAS DE MEMBRANAS

Exercício 6. Considere

um

sistema

formado

por

três

compartimentos.

Os

compartimentos I e II encontram-se separados por uma membrana porosa com 2 µm de espessura, 200 cm2 de área total e 20% de área permeável. Os compartimentos II e III encontram-se separados por uma membrana homogénea de espessura igual a 2 µm e coeficiente de partição igual a 0,8. Sabendo que a constante de difusão do soluto na membrana porosa é igual a 8×10-6 cm2 s-1 e que a concentração no interior da membrana homogénea é dada por CS(x) = 30×10-3 x + 2×10-6 mol cm-3, determine: a) A constante de difusão para a membrana homogénea, sabendo que o módulo da densidade de corrente de difusão que atravessa a membrana homogénea é igual a 6×10-6 mol cm-2 s-1. b) A concentração do soluto no compartimento I, sabendo que por unidade de tempo atravessam a membrana porosa, por difusão, 4,4×10-6 moles de soluto.

Resolução:


Membrana porosa

∆x = 2µ m = 2 × 10 −4 cm Atotal = 200 cm 2

φ w = 0,2 D = 8 × 10 −6 cm 2 s −1 Membrana homogénea

∆x = 2µ m = 2 × 10 −4 cm k = 0,8

(

C (x ) = 30 × 10 −3 x + 2 × 10 −6 mol cm −3

)

a) O sistema do problema pode ser representado como na figura seguinte:

16



M.P.

I

II

M.H

III

O valor da densidade de corrente que atravessa a membrana homogénea é dado e é igual a: J s (M .H .) = 6 × 10 −6 mol cm −2 s −1

6.1

A densidade de corrente de difusão na membrana homogénea é dada pela expressão:

J s (M .H .) = −D m

dC s dx

6.2

Uma vez que é dada a função da concentração na membrana homogénea, pode determinar-se a derivada da concentração em ordem a x, dC s = 30 × 10 −3 mol cm − 4 dx

6.3

Substituindo na expressão dada pela equação 6.2, vem: − 6 × 10 −6 = −D m × 30 × 10 −3

⇔

D m = 2 × 10 −4 cm 2 s −1

6.4

Note-se que o valor da densidade de corrente tem de vir afectada de sinal negativo visto que o coeficiente de difusão tem valor positivo por definição. O sinal negativo na densidade de corrente significa que a difusão se dá do compartimento III para o compartimento II. b) A corrente que atravessa a membrana porosa é dada e igual a:

17



I s = 4,4 × 10 −6 mol s −1

6.5

A partir deste valor podemos determinar o valor da densidade de corrente, através da expressão:

Js =

Is A

6.6

Substituindo os valores respectivos, vem:

Js =

4,4 × 10 −6 = 2,2 × 10 −8 mol cm −2 s −1 200

6.7

A densidade de corrente, na membrana porosa é dada por:

J s = D φw

∆C s ∆x

6.8

A diferença de concentrações de soluto é dada por: ∆C s = C sI − C sII

6.9

A concentração no compartimento II pode ser determinada através da expressão: C sM .H . (0 ) = k ⋅ C sII

6.10

A concentração no interface da membrana homogénea com o compartimento II determina-se com base na expressão da concentração em que se substitui x por 0. C (0 ) = 30 × 10 −3 × 0 + 2 × 10 −6 = 2 × 10 −6 mol cm −3

6.11

Substituindo agora os valores na equação 6.10, calculamos a concentração no compartimento II: Assim:

18


2 × 10 −6 = 0,8 × C sII

⇔


C sII = 2,5 × 10 −6 mol cm −3

6.12

Estamos em condições de determinar a concentração no compartimento I, bastando para isso substituir todos os valores conhecidos na equação 6.8.

C sI − 2,5 × 10 −6 2 × 10 − 4 mol cm −3

2,2 × 10 −8 = 8 × 10 −6 × 0,2 × C = 5,25 × 10 I s

−6

⇔

6.13

19




membrana homogénea com 1 dm2 de área total, 10 µm de espessura e 20% de área atravessada por poros. Os compartimentos contêm soluções de um soluto cujas dimensões das moléculas são muito inferiores às dimensões dos poros. Sabendo que a constante de difusão livre do soluto no solvente é igual a 10-5 cm2 s-1, a concentração média de soluto interior de um poro é igual a 17,5×10-6 mol cm-3, a concentração de soluto

no

compartimento

I

é

igual

a

25×10-6 mol cm-3,

e

que

J S(Difusão M.H.) = J S(Difusão M.P.) 15 , determine a corrente de difusão de soluto que atravessa a membrana por minuto.

Resolução:


Atotal = 1 dm 2 = 1 × 10 2 cm 2 ∆x = 1µ m = 1 × 10 − 4 cm 20% área com poros D = 1 × 10 −5 cm s −1

( 2) = 17,5 ×10

C s ∆x

−6

(

mol cm −3 (int erior do poro )

C sI = 25 × 10 −6 mol cm −3 J s (M .H .) =

J s (M .P .) 15

)

A variação de concentração no interior de um poro pode ser representada pelo seguinte gráfico: C / mol cm-3 25x10-6 17,5x10-6 CsII

0

0,5x10-4 1x10-4

x / cm

20



Para determinar a concentração no compartimento II, é necessário achar a expressão analítica que representa a variação de concentração no interior de um poro. A variação da concentração é linear e é representada matematicamente por uma recta, cuja equação pode ser escrita da seguinte forma:

C s (x ) = a ⋅ x + b

7.1

São conhecidos dois pontos da recta, pelo que os parâmetros a (declive) e b (ordenada na origem), podem ser determinados por um sistema de duas equações. ⎧⎪C s = 25 × 10 −6 ⇐ x = 0 ⎨ ⎪⎩C s = 17,5 × 10 −6 ⇐ x = 0,5 × 10 − 4

7.2

⎧⎪ 25 × 10 −6 ⎨ ⎪⎩17,5 × 10 −6

7.3

Logo:

= a ×0 +b = a × 0,5 × 10 − 4

⎧⎪b = 25 × 10 −6 mol cm −3 ⇔⎨ ⎪⎩a = −0,15 mol cm − 4 +b

Pelo que, a expressão analítica que traduz a variação de concentração no interior do poro é: C s (x ) = −0,15 x + 25 × 10 −6

(mol cm ) −3

7.4

A concentração no compartimento II é igual à concentração de um ponto no interface do poro com o compartimento II. Assim:

(

)

C sII = C s 1 × 10 −4 = −0,15 × 1 × 10 −4 + 25 × 10 −6 C

II s

= 10 × 10 −6 mol cm −3

7.5

A diferença de concentrações entre os compartimento I e II é dada pela expressão:


7.6

21



Substituindo os valores respectivos, vem:

∆C s = 25 × 10 −6 − 10 × 10 −6 = 15 × 10 −6 mol cm −3

7.7

A densidade total de corrente é igual à soma das densidades de corrente de difusão da componente homogénea e porosa da membrana. A expressão que traduz a densidade total de corrente de difusão é a seguinte:

J s (total ) = J s (M .H .) + J s (M .P ) = Pm ∆C s (1 − φ w ) + D φ w

∆C s ∆x

7.8

No caso presente φ w = 0,2 , tendo em conta a relação de 20% de área ocupada por

poros. E, Pm ∆C s = J s (M .H .) =

J s (total ) =

J s (M .P .) . Pelo que teremos: 15

∆C s ⎤ ∆C 1 ⎡ (1 − φ w ) + D φ w s D φw ⎢ ⎥ ∆x ⎦ 15 ⎣ ∆x

7.9

Substituindo os valores:

J s (total ) =

1 ⎡ 15 × 10 −6 ⎤ −5 1 10 0 , 2 × × × ⎢ ⎥ × (1 − 0,2) + 15 ⎣ 1 × 10 − 4 ⎦ + 1 × 10

−5

15 × 10 −6 × 0,2 × = 3,16 × 10 −7 mol cm −2 s −1 1 × 10 − 4

7.10

A corrente de difusão relaciona-se com a densidade de corrente pela expressão:

Js =

Is A

7.11

Portanto, a corrente de difusão virá:

3,16 × 10 −7 =

Is 1 × 10 2

⇔

I s = 3,16 × 10 −5 mol s −1

7.12

22



Como estamos interessado na corrente de difusão por minuto e não por segundo, temos de multiplicar o resultado anterior por 60 (60 s = 1 minuto). I s = 3,16 × 10 −5 × 60 = 1,896 × 10 −3 mol min −1

7.13

23



ARRASTAMENTO


membrana homogénea com 20 cm2 de área total e 10 µm de espessura. Os compartimento I e II contêm soluções de um mesmo soluto cujas concentrações são 300×10-6 mol cm-3 e 400×10-6 mol cm-3, respectivamente. Sabendo que por unidade de tempo atravessam a membrana 0,1 moles de solvente, do compartimento II para o compartimento I, determine: a) O número total de moles de soluto que atravessam a membrana, por unidade de tempo. b) O número total de moles reflectidas, por unidade de tempo. Na resolução do problema considere, se necessário, os seguintes dados: Dm = 0,5×10-3 cm2 s-1

K = 1,2

σ = 0,4

VW = 20 cm3 mol-1

Resolução:


Atotal = 20 cm 2 ∆x = 10 µ m = 10 × 10 − 4 cm C sI = 300 × 10 −6 mol cm −3 C sII = 400 × 10 −6 mol cm −3 I w = −0,1 mol s −1 D m = 0,5 × 10 −3 cm 2 s −1 k = 1,2

σ = 0,4 V w = 20 cm 3 mol −1 a) A densidade de corrente de soluto que atravessa a membrana por difusão é dada

pela expressão:

24


J s (dif .) = D m k


∆Cs ∆x

8.1

Substituindo valores, vem:

J s (dif .) = 0,5 × 10 −3 × 1,2 ×

(300 × 10

−6

)

− 400 × 10 −6 = −6 × 10 −5 mol cm −2 s −1 −4 10 × 10

8.2

A densidade de corrente de soluto devido ao arrastamento é dada pela expressão: J s (arrast.) = C s k (1 − σ ) J v

8.3

Substituindo os valores temos:

(− 0,1) × 20 300 × 10 −6 + 400 × 10 −6 × 1,2 × (1 − 0,4) × 2 20 −5 −2 −1 = −2,52 × 10 mol cm s

J s (arrast.) =

8.4

A densidade de corrente de soluto total é a soma das densidade de correntes devidas à difusão e ao arrastamento. Assim: J s (total ) = J s (dif .) + J s (arrast.)

8.5

Substituindo os resultados obtidos na equação anterior, vem:

(

)

J s (total ) = −6 × 10 −5 + − 2,52 × 10 −5 = −8,52 × 10 −5 mol cm −2 s −1

8.6

A quantidade de soluto que atravessa a membrana por unidade de tempo é a corrente de soluto, a qual é dada por:

J s (total ) =

I s (total ) Atotal

⇒

I s (total ) = −8,52 × 10 −5 × 20 = −1,7 × 10 −3 mol s −1

8.7

25



b) Para determinar o número total de moles reflectidas, por unidade de tempo,

podemos usar a seguinte expressão: I s (reflectida s ) = J s (reflectida s ) ⋅ A = C s k σ J v A

8.8

Substituindo os valores: ⎛ 0,1 ⎞ I s (reflectida s ) = 350 × 10 −6 × 1,2 × 0,4 × ⎜ × 20 ⎟ × 20 ⎝ 20 ⎠ −4 −1 = 3,36 × 10 mol s

8.9

26



PRESSÃO OSMÓTICA Exercício 9. Considere um sistema formado por dois compartimentos separados por

uma membrana porosa de 1 µm de espessura e permeabilidade igual a 6×10-3 cm s-1. A concentração média do soluto no interior da membrana é igual 15×10-3 M e o gradiente de concentração é igual a –0,2 mol cm-4. Calcule a diferença de pressão que deve existir entre os dois compartimentos por forma a que a corrente total de soluto através da membrana seja nula. Na resolução do problema considere, se necessário, os seguintes dados: σ = 0,8

R = 8,314 J mol-1 K-1

Lp = 20×10-12 mol dyn-1 s-1

VW = 20 cm3 mol-1

t = 37 °C

Resolução:


∆x = 1 µ m = 1 × 10−4 cm W = 6 × 10−3 cm s −1

(

Cs ∆x

2

) = 15 × 10

−3

M = 15 × 10−3 mol cm −3

dCs = −0, 2 mol cm −4 dx J s ( total ) = 0 mol cm −2 s −1

σ = 0,8 T = 37 º C = 310 K R = 8,314 J mol −1 K −1 = 8,314 × 107 erg mol −1 K −1 L p = 20 × 10−12 mol dyn −1 s −1 Vw = 20 cm3 mol −1 A densidade total de corrente de soluto é dada pela expressão:

J s ( total ) = J s ( dif .) + J s ( arrast.)

9.1

27



Sendo a densidade total de corrente de soluto nula vem:

0 = J s ( dif .) + J s ( arrast.) ⇔

J s ( dif .) = − J s ( arrast.)

9.2

Ou, reescrevendo a equação anterior:

W ∆Cs = −Cs (1 − σ ) J w Vw

9.3

Para se determinar a densidade de corrente de solvente, J w , a partir da equação anterior é necessário conhecer o valor da concentração média, Cs e da diferença de concentrações, ∆Cs . Por essa razão vamos primeiro determinar a equação que traduz a variação da concentração de soluto no interior da membrana, a qual é dada pela seguinte equação geral:

C s (x ) = a ⋅ x + b

9.4

O gráfico que traduz a variação da concentração de soluto no interior da membrana é: C / mol cm-3

15x10-6

0

0,5

1

x x10-4 / cm

O coeficiente a da equação 9.4 (o declive da recta) é igual ao gradiente de concentração, assim:

a = −0, 2 mol cm −4

9.5

Conhecendo o declive e um ponto da recta podemos determinar a ordenada na origem, b: 28


Cs ( 0,5 × 10−4 ) = 15 × 10−6 mol cm −3


⇒ 15 × 10−6 = −0, 2 × 0,5 × 10−4 + b

9.6

⇔ b = 2,5 × 10−5 mol cm −3 Então a equação que traduz a variação de concentração do soluto no interior da membrana é:

Cs ( x ) = −0, 2 ⋅ x + 2,5 × 10−5 ( mol cm−3 )

9.7

Pode agora calcular-se o valor da concentração nos recipientes I e II:

CsI = Cs ( 0 ) = −0, 2 × 0 + 2,5 × 10−5 ( mol cm −3 ) = 2,5 × 10−5 mol cm −3

9.8

CsII = Cs (1 × 10−4 ) = −0, 2 × 1 × 10−4 + 2, 25 × 10−5 ( mol cm −3 ) = 5 × 10−6 mol cm −3

9.9

E desta forma a concentração média e a diferença de concentrações virão:

Cs =

CsI + CsII 2,5 × 10−5 + 5 × 10−6 = = 1,5 × 10−5 mol cm −3 2 2

∆Cs = CsI − CsII = 2,5 × 10−5 − 5 × 10−6 = 2 × 10−5 mol cm−3

9.10

9.11

Podemos agora determinar a densidade de corrente de solvente fazendo uso da equação 9.3.

6 × 10−3 × 2 × 10−5 = −1,5 × 10−5 × (1 − 0,8 ) × 20 × J w

⇔

J w = −2 × 10−3 cm s −1

9.12

Por outro lado a densidade de corrente de solvente é dada por:

J w = L p ( ∆P − σ ∆ π s )

9.13

Com

∆π s = RT ∆Cs

⇒ ∆π s = 8,314 × 107 × 310 × 2 × 10−5 ⇔ ∆π s = 5,155 × 105 dyn cm −2

9.14

29



E finalmente, substituindo este resultado na equação 9.15, vem

−2 × 10−3 = 20 × 10−12 × ( ∆P − 0,8 × 5,155 × 10−5 ) ⇔ ∆P = −99,59 × 106 dyn cm −2

9.15

30



EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Exercício 10. Considere o sistema horizontal representado na figura, onde circula um

fluído líquido, sem atrito interno, de massa específica 0,9 g cm-3. Sabendo que a massa de fluído que atravessa a secção B por segundo é de 900 π g, determine a variação da energia potencial por unidade de A

B

C

massa entre as secções A e C. Considere, se necessário, que diâmetros das secções A, B e C são iguais a 4 ⋅ 2 , 2 e 4 cm, respectivamente.

Resolução:


ρ = 0,9 g cm −3 .

m = 900π g s −1

φ A = 4 2 cm ⇒ rA = 2 2 cm φB = 2 cm ⇒ rB = 1 cm φC = 4 cm ⇒ rC = 2 cm

Aplicando o teorema de Bernoulli entre um ponto da secção A e um ponto da secção C, temos:

Ecinética A + E p. gravitica A + E p. pressão A = Ecinética C + E p. gravitica C + E p. pressão C

10.1

As energias potenciais gravíticas em A e C são iguais, uma vez que a cota é a mesma, pelo que a equação anterior se reduz a:

Ecinética A + E p. pressão A = Ecinética C + E p. pressão C

10.2

31



Rearranjando a equação vem:

E p. pressão A − E p. pressão C = Ecinética C − Ecinética A

10.3

A variação da energia potencial de pressão é, neste caso, igual ao simétrico da variação da energia cinética. A energia cinética por unidade de massa é dada pela expressão:

Ec 1 2 = v m 2

10.4

A expressão 10.3 pode ser reescrita na forma:

E p. pressão A m

−

E p. pressão C m

=

1 2 1 2 vc − va 2 2

10.5

É necessário, então, determinar as velocidades em A e C. Como há conservação da massa que se traduz pelo facto do caudal mássico que passa na secção A ser igual ao que passa na secção C, tem-se:

M A = M B = M C

10.6

Sabendo que a massa de líquido que por unidade de tempo atravessa uma

( )

secção M está relacionado com o caudal F através da expressão M = ρF , temos:

M = ρ v π r 2

10.7

Podemos determinar as velocidades nas secções A e C. Assim:

M A = M B

⇔

ρ vA π rA2 = M B

(

⇒ 0,9 v A π 2 2

)

2

= 900 π

10.8

⇔ v A = 125 cm s −1

32


M C = M B

⇔


ρ vC π rC2 = M B

⇒ 0,9 vC π ( 2 ) = 900 π 2

10.9

⇔ vC = 250 cm s −1 Substituindo em 10.5 os valores já calculados:

E p. pressão A m

−

E p. pressão C m

=

1 1 250 2 − 125 2 = 23437,5 erg g −1 2 2

10.11

33



Exercício 11. Considere a figura, que representa um tubo horizontal com um

estrangulamento percorrido por um líquido não viscoso de densidade 103 Kg m-3. Sabendo que a energia total da massa de líquido que por segundo percorre o sistema é igual a 3×10-3 J, determine a pressão em A e em B. A

B

Na resolução do problema considere, se necessário, os seguintes dados: SA = 0,04 m2

SB = 0,01 m2

vA = 0,02 m s-1

Resolução:


ρ = 103 kg m −3 P = 3 × 10−3 J s −1 S A = 0, 04 m 2 S B = 0, 01 m 2 v A = 0, 02 m s −1

O enunciado refere-se à energia total do líquido que por segundo percorre o sistema; esta grandeza é a potência de escoamento do fluído. Recordando que a potência é a energia por unidade de tempo, facilmente se entende que esta pode ser representada pelo produto da energia por unidade de volume pelo caudal. Assim:

P=

E t

⇔

P=

E F V

11.1

34



⎛E⎞ ⎟ , é dada pela expressão: ⎝V ⎠

A energia por unidade de volume, ⎜

E=

1 2 ρv + ρ gh+P 2

11.2

E o caudal, ( F ) , é dado por:

F = Sv

11.3

⎛1 ⎞ P = ⎜ ρ v2 + ρ g h + P ⎟ S v ⎝2 ⎠

11.4

Então:

Considerando que o nível a que o líquido escoa situa-se numa linha do campo gravítico a que corresponde energia potencial zero

( hA = hB

= 0 ) e, tendo em conta o

valor da velocidade em A, vem:

⎛1 ⎞ 3 × 10−3 = ⎜ × 103 × 0, 022 + 103 × 10 × 0 + PA ⎟ × 0, 04 × 0, 02 ⇔ ⎝2 ⎠ −2 PA = 35,5 N m

11.5

A velocidade de escoamento na secção B pode ser determinada pela conservação da massa, que pode ser traduzida pela expressão:

S A v A = S B vB

11.6

Substituindo os valores e resolvendo em ordem a vB temos:

0, 04 × 0, 02 = 0, 01 vB

⇔ vB = 0, 08 m s −1

11.7

35



Aplicando, agora, o teorema de Bernoulli entre as secções A e B, podemos determinar a pressão em B. Assim:

1 1 ρ vA2 + ρ g hA + PA = ρ vB2 + ρ g hB + PB 2 2

11.8

Substituindo os respectivos valores:

1 1 × 10 3 × 0.02 2 + 3,55 = × 10 3 × 0.08 2 + PB 2 2 PB = 0,55 N m − 2

⇔

11.9

36



Exercício 12. Considere o sistema representado na figura, no qual escoa um líquido

não viscoso com densidade ρ e caudal constante. O raio em A é duplo do raio em B, que se situa 50 mm abaixo de A. Tubo 1

Tubo 2

A B

a) Se no tubo 1 o líquido subir a uma altura de 3 dm, medidos a partir do ponto A, e se a velocidade média em A for de 12 m min-1, quanto subirá o líquido no tubo 2, relativamente ao ponto B? b) Qual deve ser a relação entre os raios de A e B, para que o líquido nos tubos 1 e 2 atinja a mesma altura relativamente ao ponto B?

Resolução:


ρ = cte V = c te rA = 2 rB

hB = hA − 50 ( mm ) = hA − 5 ( cm )

a) Além dos dados gerais do problema temos de considerar para a resolução da

presente alínea os seguintes dados:

37



h1 = 3 dm = 30 cm v A = 12 m min −1 =

12.1

1200 = 20 cm s −1 60

Designa-se por h1 a altura que o fluído atinge no tubo 1, e por h2 a altura que o líquido atinge no tubo 2. A partir da conservação da massa pode estabelecer-se uma relação entre as velocidades nos pontos A e B.

⇔ π r v A = π r vB

S A v A = S B vB

2 A

2 B

rB2 ⇔ v A = 2 vB rA

12.2

A relação entre os raios é conhecida pelo que:

vA =

rB2

( 2 rB )

2

vB

⇔ vA =

1 vB 4

⇔ vB = 4 v A

12.3

As pressões em A e B podem ser relacionadas com as alturas a que o líquido sobe nos tubos 1 e 2, respectivamente. Assim, teremos:

PA = ρ g h1 + P0

12.4

PB = ρ g h2 + P0

12.5

Em que P0 representa a pressão atmosférica. Aplicando agora o teorema de Bernoulli entre os pontos A e B, temos:

1 1 ρ vA2 + ρ g hA + PA = ρ vB2 + ρ g hB + PB 2 2

12.6

Continuando a assumir para nível de energia potencial gravítica zero o do ponto A, e substituindo na expressão anterior os resultados expressos nas equações 12.3, e 12.4 e 12.5: 38



1 1 2 ρ vA2 + ρ g hA + ρ g h1 + P0 = ρ ( 4 vA ) + ρ g (hA − 5) + ρ g h2 + P0 2 2

12.7

Resolvendo esta equação em ordem a h2 , obtemos:

h2 = h1 + 5 −

15 2 vA 2g

12.8

Substituindo os valores, vem:

h2 = 30 + 5 −

15 202 = 32 cm 2 × 1000

12.9

b) Nesta alínea temos de considerar:

h2 = h1 + 5

12.10

Aplicando, novamente, o teorema de Bernoulli entre os pontos A e B e, fazendo uso das expressões para as pressões nos pontos A e B obtidas anteriormente, tem-se:

1 1 ρ vA2 + ρ g hA + ρ g h1 + P0 = ρ vB2 + ρ g (hA − 5) + ρ g h2 + P0 2 2

12.11

Tendo em conta a relação entre as alturas nos tubos 1 e 2, expressa pela equação 12.10, a expressão 12.11 simplifica-se, obtendo-se:

v A2 = vB2

12.12

A conservação da massa permite estabelecer a relação:

S A v A = S B vB

⇔ π rA2 v A = π rB2 vB

⇔

rA = rB

vB vA

12.13

39



Como as velocidades v A e vB são iguais, conclui-se que:

rA = 1 ⇔ rA = rB rB

12.14

40



EQUAÇÃO DE POISEUILLE

Exercício 13. Considere um tubo cilíndrico com 3,5 m de comprimento e raio interior

1,2 cm. Faz-se circular no tubo um líquido de viscosidade 3,5×10-2 poise. Qual é o caudal de líquido quando a queda de pressão através do tubo é igual a 5,3×104 N m-2?

Resolução:


L = 3,5 m = 350 cm r = 1, 2 cm

η = 3,5 × 10−2 poise ∆P = 5,3 × 104 N m −2 = 53 × 104 dyn cm −2

Pela equação de Poiseuille temos:

F=

π r4 ∆P 8η L

13.1

Pelo que basta substituir na equação para resolver o exercício. Assim:

F=

π 1, 24 −2

8 × 3,5 × 10 × 350

× 53 × 104 = 3,52 × 104 cm3 s −1

13.2

41



Exercício 14. No sistema representado na figura circula um fluído líquido de massa

específica 1 g cm-3 e viscosidade nula. Posteriormente faz-se circular um outro fluído líquido de massa específica 1 g cm-3 e viscosidade 10-2π poise. Sabendo que a velocidade média do fluído no ponto C é igual a 4 π cm s-1, para os dois fluídos, determine a relação entre as alturas H2 e H1, representadas na figura, relacionadas H1 com η = 0 poise e H2 com η = 10-2π poise. (Desprezar fenómenos de capilaridade). P0 H1 H2 HA = 20π cm

A

B

C

2 ⋅ π cm

P0

100 ⋅ π cm

Resolução:


Situação I (fluído ideal):

ρ = 1 g cm −3 η =0 Situação II (fluído real):

ρ = 1 g cm −3 η = 10−2 π poise Geral:

vc = 4 π cm s −1 H A = 20 π cm LBC = 100 π cm

φ = 2 π cm ⇒ r = π cm

42



Este problema apresenta duas situações distintas, em que o mesmo sistema é usado com dois fluídos de características distintas. Por esta razão vamos tratar as duas situações de forma independente e, por fim, obter a relação pedida. Situação I (fluído ideal): Aplicando o teorema de Bernoulli entre os pontos B e C, tem-se:

1 1 ρ vB2 + ρ g hB + PB = ρ vC2 + ρ g hC + PC 2 2

14.1

Tendo em conta que os pontos B e C estão ao mesmo nível ( hB = hC ) e resolvendo em ordem à pressão em C ( PC ) , vem:

PC =

1 ρ ( vB2 − vC2 ) + PB 2

14.2

Aplicando novamente o teorema de Bernoulli entre os pontos A e B, temos:

1 1 ρ vA2 + ρ g hA + PA = ρ vB2 + ρ g hB + PB 2 2 O nível a que se encontra os pontos A e B é o mesmo

14.3

( hA = hB ) .

Assumindo que as

dimensões do recipiente são bastante grandes, pode considerar-se nula a velocidade no ponto A ( v A = 0 ) . Resolvendo esta equação em ordem à pressão no ponto B

( PB ) ,

obtemos a seguinte expressão:

PB = PA −

1 ρ vB2 2

14.4

Por outro lado a pressão em A é dada por:

PA = ρ g H A + P0

14.5

43



Substituindo-se esta expressão na equação 14.4, fica-se com:

PB = ρ g H A + P0 −

1 ρ vB2 2

14.6

Podemos agora substituir na equação 14.2:

1 1 ρ ( vB2 − vC2 ) + ρ g H A + P0 − ρ vB2 2 2 1 PC = P0 + ρ g H A − ρ vC2 2 PC =

⇔ 14.7

A pressão em C também é dada pela expressão:

PC = ρ g ( H A − H1 ) + P0

14.8

Pelo que igualando as equações 14.7 e 14.8, e resolvendo em ordem a H1 se obtém:

P0 + ρ g H A −

1 ρ vC2 = ρ g ( H A − H1 ) + P0 2

v2 H1 = C 2g

⇔ 14.9

Situação II (fluído real): Nesta situação podemos começar por aplicar a equação de Poiseuille entre os pontos B e C. Assim:

PB − PC =

8η L F π r4

14.10

Recordando que o caudal ( F ) é dado por:

F = π r2 v

14.11

44



A equação 14.10 pode ser reescrita em função da velocidade e resolvida em ordem à pressão em C ( PC ) :

PB − PC =

8η L v ⇔ r2

PC = PB −

8η L v r2

14.12

Entre os pontos A e B pode ser aplicado o teorema de Bernoulli. Este raciocínio já foi feito anteriormente pelo que podemos usar o mesmo resultado expresso na equação 14.6:

PB = ρ g H A + P0 −

1 ρ vB2 2

14.13

Substituindo este resultado na equação 14.12, fica-se com:

PC = ρ g H A + P0 −

8η L 1 ρ vB2 − 2 v 2 r

14.14

Por outro lado a pressão em C, pode ser expressa, por:

PC = ρ g ( H A − H 2 ) + P0

14.15

Igualando agora as equações 14.14 e 14.15, e resolvendo em ordem a H 2 , vem:

1 2

ρ g H A + P0 − ρ vB2 −

8η L v = ρ g ( H A − H 2 ) + P0 r2

⇔

vB2 8η L + H2 = v 2 g ρ g r2

14.16

Finalmente, podemos obter a relação entre as alturas H 2 e H1 , usando expressões 14.9 e 14.16 obtidas anteriormente. Assim, notando que v = v B = vC :

45


vB2 8η L v + H2 2 g ρ g r2 = H1 vC2 2g

⇔


H 2 ρ r 2 v + 16η L = H1 ρ r2 v

14.17

Substituindo os valores, vem:

H 2 1× = H1

( π)

2

× 4 π + 16 × 10−2 π × 100 π 1×

( π)

2

×4 π

⇔ 14.18

H 2 20 π π = =5 H1 4π π

46



TENSÃO SUPERFICIAL

Exercício 15. Sabendo que a tensão superficial de uma solução de sabão é igual a

25 dyn cm-1, calcule o trabalho necessário para aumentar o diâmetro de uma bola de sabão de 2 cm para 4 cm.

Resolução:


σ = 25 dyn cm −1 φ1 = 2 cm ⇒ r1 = 1 cm φ2 = 4 cm ⇒ r2 = 2 cm O trabalho realizado por forças de pressão quando há uma variação ( ∆S ) da superfície de uma esfera de fluído é dado por:

W = σ ∆S

15.1

No presente caso estamos perante uma bola de sabão a qual apresenta uma superfície externa e uma superfície interna pelo que quando o diâmetro da bola de sabão aumenta estas duas superfícies aumentam também. Assim, o trabalho realizado é dado para este caso por:

W = σ (∆S int + ∆S ext ) = 2σ∆S

15.2

Notar que se despreza a espessura da bola de sabão, pelo que o raio interno da bola de sabão é igual ao raio externo e a variação da superfície interna ∆Sint é igual à variação da superfície externa, ∆Sext. A variação de superfície pode ser determinada da seguinte forma:

47


∆S = 4 π r22 − 4 π r12

⇒ ∆S = 4 π ( 22 − 12 ) = 12 π


15.3

Substituindo os valores na equação 15.2, vem:

W = 2 × 25 × 12 π = 1885 erg

15.4

48



Exercício 16. Calcular a pressão no interior de um gota líquida esférica com 2 mm de

raio, sendo a pressão atmosférica igual a 760 mmHg. Considerar que a tensão superficial do líquido em questão é igual a 72,8 dyn cm-1.

Resolução:


r = 2 mm = 0, 2 cm P0 = 760 mmHg

σ = 72,8 dyn cm −1 g = 1000 cm s −2

ρ Hg = 13, 6 g cm −3

A diferença de pressão entre o interior e o exterior numa gota líquida esférica é dada pela equação de Laplace:

∆P =

2σ r

16.1

Substituindo os valores conhecidos vem:

∆P =

2 × 72,8 = 728 dyn cm −2 0, 2

16.2

A diferença de pressão traduzida pela altura de uma coluna de mercúrio é dada por:

∆P = ρ Hg g h ⇒ 728 = 13, 6 × 1000 × h ⇔ h = 0, 0535 cmHg ⇔ h = 0,535 mmHg

16.3

Podemos então determinar a pressão no interior da gota líquida: 49


∆P = Pint − P0

⇒ 0,535 = Pint − 760 ⇔ Pint = 760,535 mmHg


16.4

50



Exercício 17. Calcule a pressão no interior de uma bola de sabão de raio exterior R,

sendo σ a tensão superficial da solução de sabão e P0 a pressão no exterior.

Resolução:


rext = R P0 = P0

σ =σ

A diferença de pressão entre o interior e o exterior numa bola de sabão é dada por:

∆P =

4σ r

17.1

A diferença de pressão é, por outro lado, dada por:

∆P = Pint − P0

17.2

Vem então:

Pint − P0 =

4σ r

⇔

Pint = P0 +

4σ r

17.3

51



Exercício 18. Considere um vaso sanguíneo onde se formaram 3 êmbolos gasosos. A

tensão superficial do sangue é de 47 dyn cm-1. Suponha ainda as seguintes constantes:

ρ Hg = 13, 6 g cm −3

g = 9, 8 m s −2

a) Se a pressão do lado venoso for de 15 mmHg e se o vaso tiver um diâmetro de 1 mm, calcule a pressão do lado arterial que coloca os êmbolos na iminência de se desfazerem. b) Se a pressão do lado arterial for de 40 mmHg, qual o raio do vaso sanguíneo abaixo do qual os êmbolos já não se desfazem?

Resolução:


σ = 47 dyn cm −1 ρ = 13, 6 g cm −3 g = 9,8 m s −2

a) Consideremos um vaso em que se formaram três êmbolos gasosos.

Vamos analisar a situação apenas para um êmbolo, generalizando posteriormente para os três embolos.

R2 P1

R1

P2

P3

52



Podemos aplicar a equação de Laplace às duas calotes esféricas de cada um dos lados do êmbolo. Assim para a calote esférica do lado esquerdo vem:

P2 − P1 =

2σ R1

18.1

E para a calote esférica do lado direito temos:

P2 − P3 =

2σ R2

18.2

A diferença de pressão P1-P3 pode ser obtida subtraindo as duas equações anteriores:

( P2 − P3 ) − ( P2 − P1 ) =

2σ 2σ 1 1 − ⇔ P1 − P3 = 2σ ( − ) R2 R1 R2 R1

18.3

À medida que a diferença de pressão P1-P3 for aumentando, o raio R1 tende a aumentar enquanto que o raio R2 tende a diminuir. Na situação limite imediatamente antes do êmbolo se desfazer o raio R1 torna-se infinito, significando isto que a calote esférica se transforma num plano e que a pressão no interior do êmbolo se torna igual à pressão P1 e, o raio R2 fica igual ao raio do tubo onde se encontra o êmbolo. Assim na situação limite, temos:

1 1 2σ P1 − P3 = 2σ ( − ) ⇔ P1 − P3 = r ∞ r

18.4

No presente caso, havendo três êmbolos, a diferença de pressão entre o lado arterial e o lado venoso é dada por:

Part − Pven = 3 ×

2σ r

18.5

A pressão do lado venoso é conhecida. Podemos converter para unidades do sistema c.g.s.:

53



Pven = 15 mmHg = 1,5 cmHg ⇒ Pven = ρ g h 18.6

Pven = 13, 6 × 980 × 1,5 = 19992 dyn cm

−2

O diâmetro do vaso também é dado, e é igual a 1 mm, pelo que o raio é igual a 0,05 cm. Substituindo os valores na equação 18.5, vem:

Part − 19992 = 3 ×

2 × 47 0, 05

⇔

Part = 21872 dyn cm −2

18.7

b) A pressão do lado arterial é agora igual a 40 mmHg. Convertendo para o sistema

c.g.s., temos:

Part = 40 mmHg = 4 cmHg ⇒ Part = ρ g h 18.8

Pven = 13, 6 × 980 × 4 = 53312 dyn cm

−2

Substituindo os valores das pressões na equação 18.5 e resolvendo em ordem ao raio, vem:

53312 − 19992 = 3 ×

2 × 47 r

⇔ r = 8, 46 × 10−3 cm

18.9

54

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