ajustement affine
Table des matières 1 ajustement par les 1.1 activité . . . . 1.2 corrigé activité 1.3 à retenir . . .
points extrême . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 3 4
2 ajustement par les 2.1 activité . . . . 2.2 corrigé activité 2.3 à retenir . . .
points moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6 8
3 ajustement par les 3.1 activité . . . . 3.2 corrigé activité 3.3 à retenir . . . 3.4 exercices . . . .
moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 9 10 14 15
4 ajustement avec changement de variable 4.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 corrigé activité 1 . . . . . . . . . 4.1.3 activité 2 . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 corrigé activité 2 . . . . . . . . .
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19 19 19 20 21 22
5 exercices 5.1 exercice 1 . . . . 5.2 corrigé exercice 1 5.3 exercice 2 . . . . 5.4 corrigé exercice 2 5.5 exercice 3 . . . . 5.6 corrigé exercice 3
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23 23 24 25 26 27 28
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1 1.1
ajustement par les points extrême activité ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
2010 ? ?
? ? 2
1. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi ). yi
6
5
4
3
2
1
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55 xi
2. Déterminer l’équation de la droite des points extrêmes (M1 M6 ) où M1 et M6 sont les premiers et derniers points associés du tableau ci dessus. Les coefficients seront donnés à 0,01 près 3. Donner une estimation graphique puis par calcul de la part du logement dans le budget en 2010. les résultats obtenus sont-ils en accord ? 4. Estimer graphiquement puis par calcul, l’année à partir de laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. les résultats obtenus sont-ils en accord ? 5. A partir de quelle année le modèle d’ajustement affine n’est-il manifestement plus valable ? à retenir :
détermination de l’équation de la droite (AB) avec xA 6= xB A(xA ; yA ) et B(xB ; yB )
l’équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b
yB − yA avec : a = et b = yA − axA xB − xA
corrigé activité ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
1. graphique associé à la série (xi ; yi ). 6 yi
1.2
5 M1 4 3
M6
2 1 0 0
10
20
30
40
50
xi
2. équation de la droite des points extrême (M1 M6 ) y = ax + b a=
y M6 − y M1 2, 8 − 4, 4 ≃ −0, 06 à 0,01 près = xM 6 − xM 1 34 − 8
yM6 = axM6 + b =⇒ 2, 8 = −0, 06 × 34 + b =⇒ b = 2, 8 + 0, 06 × 34 = 4, 84
y = −0, 06x + 4, 84
3. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,4% (voir tracés) la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,44% à 0,01 près calculs : x = 2010 − 1970 = 40 y = −0, 06 × 40 + 4, 84 = 2, 44 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 4. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 47 = 2017 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 47 = 2017 calculs : −0, 06 × x + 4, 84 ≤ 2 ⇐⇒ x ≥
2 − 4, 84 −0, 06
⇐⇒ x ≥ 47, 33 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 5. un pourcentage est positif ou nul le modèle d’ajustement affine n’est plus valable dès que : −0, 06 × x + 4, 84 ≤ 0 c’est à dire pour : x ≥
−4, 84 ≃ 80, 66 soit : 1970 + 81 = 2051 −0, 06
1.3
à retenir
détermination de l’équation de la droite (AB) avec xA 6= xB A(xA ; yA ) et B(xB ; yB )
l’équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b
yB − yA et b = yA − axA avec : a = xB − xA
2 2.1
ajustement par les points moyens activité énoncé : ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
1. compléter la légende du graphique associé à la série (xi ; yi ). yi 6 5 4 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
xi
2. Calcul des coordonnées des points moyens à 0,01 près. a. calculer les coordonnées du point moyen G( x ; y) de l’ensemble des 6 points et placer G b. coordonnées du point moyen G1 ( x1 ; y1 ) de l’ensemble des 3 premiers points puis placer G1 . c. coordonnées du point moyen G2 ( x2 ; y2 ) de l’ensemble des 3 derniers points puis placer G2 . 3. Déterminer une équation de la droite des points points moyens (G1 G2 ) à 0,1 près. 4. Grâce à cette droite, estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 2010. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ? 5. Estimer de même graphiquement et algébriquement l’année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ? 6. A partir de quelle année le modèle d’ajustement affine n’est-il manifestement plus valable ? à retenir
le point moyen G d’un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble.
L’ ensemble des p points M1 (x1 ; y1 ),M2 (x2 ; y2 ), ...,Mp (xp ; yp ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x1 + x2 + ... + xp y1 + y2 + ... + yp x= et y = p p
corrigé activité ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
1. graphique associé à la série (xi ; yi ).
6 yi
2.2
5 M1 4
G1 G
3
M6 G2
2 1 0 0
10
20
30
40
50
2. coordonnées de points moyens a. coordonnées du point moyen G( x ; y) de l’ensemble des 6 points x=
8 + 14 + 22 + 24 + 30 + 34 = 22 6
y=
23, 2 4, 4 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 3, 3 + 2, 8 = ≃ 3, 87 à 0,01 près 6 6
donc G(22; 3, 87)
b. coordonnées du point moyen G1 ( x1 ; y1 ) de l’ensemble des 3 premiers points x1 =
44 8 + 14 + 22 = ≃ 14, 67 3 3
y1 =
4, 4 + 5, 2 + 4, 3 13, 9 = ≃ 4, 63 à 0,01 près 3 3
donc G1 (14, 67 ; 4, 63)
c. coordonnées du point moyen G2 ( x2 ; y2 ) de l’ensemble des 3 derniers points
de même on trouve G2 (29, 33 ; 3, 1)
3. équation de la droite des points points moyens (G1 G2 ) y = ax + b a=
y G2 − y G1 3, 1 − 4, 63 ≃ ≃ −0, 1 à 0,01 près xG2 − xG1 29, 33 − 14, 67
yG2 = axG2 + b =⇒ 4, 63 = −0, 1 × 14, 67 + b =⇒ b = 4, 63 + 0, 1 × 14, 67 = 6, 1
y = −0, 1x + 6, 1
xi
4. la part du logement dans le budget 2010 est estimée graphiquement à 2,1% la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,1% car :
x = 2010 − 1970 = 40 y = −0, 1 × 40 + 6, 1 = 2, 1 il y a bien cohérence pour les résultats trouvés.
5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 41 = 2011 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 41 = 2011 calculs : −0, 1 × x + 6, 1 ≤ 2 ⇐⇒ x ≥
2 − 6, 1 −0, 1
⇐⇒ x ≥ 41 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.
2.3
à retenir
le point moyen G d’un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble.
L’ ensemble des p points M1 (x1 ; y1 ),M2 (x2 ; y2 ), ...,Mp (xp ; yp ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x1 + x2 + ... + xp y1 + y2 + ... + yp et y = x= p p
3 3.1
ajustement par les moindres carrés activité ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
1. compléter la légende du graphique associé à la série (xi ; yi ). yi 6 5 4 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
xi
2. Déterminer l’équation de la droite de régression (des moindres carrés) (AB) grâce à la calculatrice à 0,01 près. 3. Construire la droite (AB) dans le repère précédent en précisant les points A et B utilisés. 4. Estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 2010. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ? 5. Estimer de même, graphiquement et algébriquement l’année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ? 6. Estimer l’année de fin de validité du modèle à retenir
pour l’ ensemble des n points M1 (x1 ; y1 ),M2 (x2 ; y2 ), ...,Mn (xn ; yn ) il affine qui minimise la somme des carrés des résidus existe une unique droite d’ajustement
S = M1 P12 + M2 P22 + ... + Mn Pn2
où Pi est le projeté de Mi sur la droite d’ajustement parallèlement à l’axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés
l’équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax + b
avec
P 1 i=n xi y i − x y n i=1 et a= b = y − ax P 2 1 i=n xi − x2 n i=1
3.2
corrigé activité ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
2004 34 2,8
1. graphique associé à la série (xi ; yi ). yi 6 A 5 4 3 B 2 1 0 0
10
20
30
40
50
xi
2. équation de la droite des moindres carrés (AB) y = ax + b la calculatrice donne : a ≃ −0, 08 et b ≃ 5, 58 à 0,01 près
y = −0, 08x + 5, 58
3. construction de la droite (AB) y = −0, 08x + 5, 58 par exemple A(0; −0, 08 × 0 + 5, 58 = 5, 58) et B(40; −0, 08 × 40 + 5, 58 = 2, 38) point x soit : y
A 0 5,58
B 40 2,38
4. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,3% la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,38% : calculs : x = 2010 − 1970 = 40 y = −0, 08 × 40 + 5, 58 = 2, 38
5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 441 = 2014 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 44 = 2014 calculs : −0, 08 × x + 5, 58 ≤ 2 ⇐⇒ x ≥
2 − 5, 58 −0, 08
⇐⇒ x ≥ 44, 75 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.
remarque : pour un même tableau de données ai = année xi = année - 1970 yi = part du budget consacré au logement (%)
1978 8 4,4
1984 14 5,2
1992 22 4,3
1994 24 3,2
2000 30 3,3
selon la droite utilisée : droite des points extrême droite de points moyens droite des moindres carrés on obtient des prévisions différentes droite part du logement dans le budget 2010 année pour passer sous les 2%
points extrême 2,44% 2017
points moyens 2,1% 2011
quelle est la prévision la plus acceptable ? selon quel critère ?
moindres carrés 2,38% 2014
2004 34 2,8
activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Enoncé Soient trois points : M1 (0; 0), M2 (0, 5; 0, 8), M3 (1; 1). Mi xi yi
M1 0 0
M2 0,5 0,8
M3 1 1
cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice. 1. Construire les 3 points dans trois repères différents. Déterminer pour le premier repère, l’équation de la droite (M1 M3 ) et construire cette droite. Déterminer pour le second repère, l’équation de la droite (G1 G2 ) et construire cette droite. ( G1 est le point moyen de M1 et M2 , G2 est le point moyen de M2 et M3 ) Déterminer pour le troisième repère, l’équation de la droite de régression (D) donnée par la calculatrice et construire (D) points extrême droite (M1 M3 ) avec M1 (0; 0), M3 (1; 1) le calcul de a et b donne
yi 1
points moyens droite (G1 G2 ) avec G1 (0, 25; 0, 4), G2 (0, 75; 0, 9) le calcul de a et b donne
régression droite (D) avec M1 (0; 0), M2 (0, 5; 0, 8), M3 (1; 1) la calculatrice donne
yi 1
1 x i
yi 1
1 x i
1 x i
2. Représenter graphiquent les résidus sachant que : les longueurs M1 P1 , M2 P2 , et M3 P3 sont appelées les RESIDUS de l’ajustement où, P1 , P2 , P3 sont les projetés respectifs de M1 , M2 , M3 sur la droite d’ajustement parallèlement à (Oy) . On cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M1 P12 + M2 P22 + M3 P32 3. Calculer S pour les trois droites et déterminer la droite des moindres carrés à partir du tableau suivant. P droites carrés des résidus M1 (0, 0) M2 (0, 5; 0, 8) M3 (1; 1) (M1 M3 ) [yi − xi ]2 0 0 (G1 G2 ) [yi − (xi + 0, 15)]2 0,0225 0,1675 2 (D) [yi − (xi + 0, 1)]
activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Corrigé Soient trois points : M1 (0; 0), M2 (0, 5; 0, 8), M3 (1; 1). Mi xi yi
M1 0 0
M2 0,5 0,8
M3 1 1
cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice. 1. détermination des équations des trois droites et représentation graphique des points et des droites. points extrême droite (M1 M3 ) avec M1 (0; 0), M3 (1; 1) le calcul de a et b donne y = 1x + 0 P3
yi 1
M3
y2
points moyens droite (G1 G2 ) avec G1 (0, 25; 0, 4), G2 (0, 75; 0, 9) le calcul de a et b donne y = 1x + 0, 15 P3 yi
régression droite (D) avec M1 (0; 0), M2 (0, 5; 0, 8), M3 (1; 1) la calculatrice donne y = 1x + 0, 1 P3 yi
1
M3
M2 (x2 ; y2 )
1
M3
M2
ax2 + b
M2
P2
P2
P2 (x2 ; ax2 + b) P1 1 x i
M1
x2 P1
P1 1
M1
xi
1 x i M1
M2 P2 = y2 − (ax2 + b) 2. représentation graphique des résidus : les longueurs M1 P1 , M2 P2 , et M3 P3 sont appelées les RESIDUS de l’ajustement où, P1 , P2 , P3 sont les projetés respectifs de M1 , M2 , M3 sur la droite d’ajustement parallèlement à (Oy) . on cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M1 P12 + M2 P22 + M3 P32 3. calcul de S pour les trois droites et détermination de la droite des moindres carrés. P droites carrés des résidus M1 (0, 0) M2 (0, 5; 0, 8) M3 (1; 1) (M1 M3 ) [yi − xi ]2 0 0,09 0 0,09 (G1 G2 ) [yi − (xi + 0, 15)]2 0,0225 0,0225 0,1225 0,1675 (D) [yi − (xi + 0, 1)]2 0,01 0,04 0,01 0,06 on constate que la droite de régression (D) donnée par la calculatrice est celle qui dans ce cas minimise la somme des carrés des résidus ( 0,06 < 0,09 < 0,1675 ) c’est cette droite (D) qui réalise le meilleur ajustement de y en x au sens des moindres carrés.
3.3
à retenir
pour l’ ensemble des n points M1 (x1 ; y1 ),M2 (x2 ; y2 ), ...,Mn (xn ; yn ) il existe une unique droite d’ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus
S = M1 P12 + M2 P22 + ... + Mn Pn2
où Pi est le projeté de Mi sur la droite d’ajustement parallèlement à l’axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés
l’équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax + b
avec
P 1 i=n xi y i − x y n i=1 et a= b = y − ax P 2 1 i=n xi − x2 n i=1
3.4
exercices
exercice 1 ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé : (38p55) ai = année xi = année - 1975 yi = taux d’activité des femmes de 30 à 54 ans (%)
1975 0 55,7
1980 5 62,1
1985 10 67,7
1990 15 71,7
1995 20 77
2000 25 78,9
1. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi ) dans un repère d’origine O ′ (0; 55) avec 1cm pour 2 en abscisses et 1cm pour 2% en ordonnées puis justifier si on peut envisager un ajustement affine. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de l’ensemble des points et représenter G sur le graphique. 3. Déterminer à la calculatrice l’équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite sur le graphique en précisant les points utilisés. 4. Estimer le taux d’activité des femmes de 30-54 ans en 2010 puis en 2020. Justifier si l’ajustement affine reste approprié pour toutes les années ultérieures à 2020 ?
Corrigé : (38p55) ai = année xi = année - 1975 yi = taux d’activité des femmes de 30 à 54 ans (%)
1975 0 55,7
1980 5 62,1
1985 10 67,7
1990 15 71,7
1995 20 77
2000 25 78,9
1. graphique associé à la série (xi ; yi ). yi 79 77 B 75 73 71 G
69 67 65 63 61 59
A
57 xi 55 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. coordonnées du point moyen G et représentation graphique : la calculatrice donne G(12, 5; 68, 85) ( voir graphique pour la représentation ) 3. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a ≃ 0, 941 et b ≃ 57, 086 à 0,001 près donc y = 0, 941x + 57, 086 construction de la droite (AB) : par exemple A(0; 0, 941 × 0 + 57, 086 = 57, 086) et B(20; 0, 941 × 20 + 57, 086 ≃ 75, 906) 4. le taux d’activité des femmes de 30-54 ans est ainsi estimée à 90% en 2010 car : x = 2010 − 1975 = 35 y = 0, 941 × 35 + 57, 086 ≃ 90 le taux d’activité des femmes de 30-54 ans est ainsi estimée à 99,4% en 2020 car : x = 2020 − 1975 = 45 y = 0, 941 × 45 + 57, 086 ≃ 99, 4 l’ajustement affine n’est plus approprié passé une certaine date car le taux dépasseraît 100%, ce qui est absurde
exercice 2 ( 29p52 ) ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé xi = année yi = nombre d’écoles en milliers
1970 74,5
1980 67,6
1995 61,8
2003 57,1
1.a. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi ) avec pour origine O ′ (1970; 50), 2cm pour 5 ans en abscisses et 2cm pour 5 milliers en ordonnées. 1.b. Peut-on envisager un ajustement affine ? justifier. 2. Déterminer l’équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite dans le repère. Peut-on placer b dans ce repère ? justifier. 3. Estimer le nombre d’écoles en 2005 puis en 2020. 4. En quelle année le nombre d’écoles passe t-il en dessous de 45 milliers ?
Corrigé xi = année yi = nombre d’écoles en milliers
1970 74,5
1980 67,6
1995 61,8
2003 57,1
1.a. graphique associé à la série (xi ; yi ). yi
75 A 70
65
60 B
55
50 1970
xi 1975
1980
1985
1990
1995
2000
1.b on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a ≃ −0.504 à 0,001 près et b ≃ 1066, 9 à 0,1 près donc y = −0.504x + 1066, 9 construction de la droite (AB) : par exemple A(1970; −0.504 × 1970 + 1066, 9 = 74, 02) et B(2000; −0.504 × 2000 + 1066, 9 = 58, 9) On ne peut pas placer b car le point de coordonnées (0 ; 1066,9) est en dehors de ce graphique 3. le nombre d’écoles en 2005 est estimé à 56,38 milliers car : x = 2005 y = −0.504 × 2005 + 1066, 9 = 56, 38 le nombre d’écoles en 2020 est estimé à 48,82 milliers car : y = −0.504 × 2020 + 1066, 9 = 48, 82 4. le nombre d’écoles passe en dessous de 45 milliers pendant l’année 2027 car : 45 = −0.504x + 1066, 9 ⇐⇒ x =
45 − 1066, 9 ≃ 2027 −0, 504
4
ajustement avec changement de variable
4.1 4.1.1
activités activité 1 xi = vitesse en km/h di = distance de freinage en m
0 0
30 18
60 58
90 120
120 212
140 285
1. Graphique associé à la série (xi ; di ). di 250 200 150 100 50 xi
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
2. Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d’envisager un ajustement affine ? les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. √ 3. On procède à un changement de variable, soit : yi = di a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0,1 près xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 di = distance de freinage en m 0 18 58 120 212 √ yi = di
140 285
b. Déterminer l’équation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,01 près c. Estimer par calcul la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h et vérifier la cohérence sur le graphique. d. Estimer par calcul la vitesse qui correspond à une distance de 150 mètres vérifier la cohérence sur le graphique. e. Déduire de b. l’expression de d en fonction de x ( d(x) = ...) compléter le tableau suivant à 1m près xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140 di = distance de freinage en m 0 18 58 120 212 285 d(xi ) La formule trouvée pour d(x) est-elle une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage ?
4.1.2
corrigé activité 1 xi = vitesse en km/h di = distance de freinage en m
0 0
30 18
60 58
90 120
120 212
140 285
1. Graphique associé à la série (xi ; di ). di 250 200 B 150 100 A
50
xi
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
2. Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d’envisager un ajustement affine ? Parce que les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. √ 3. On procède à un changement de variable, soit : yi = di a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous xi = vitesse en km/h 0 30 di = distance de freinage en m 0 18 √ yi = di 0 4,2
à 0,1 60 58 7,6
près 90 120 11
120 212 14,6
140 285 16,9
b. Equation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,01 près la calculatrice donne y = 0, 12x + 0, 31 c. la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h est de 39,8 m à 1m près car x = 50 y = 0,12×50 + 0,31 ≃ 6,31 √ d = 6,31 d = 6, 312 ≃ 39,8 m le point A(50 ;39,8) obtenu sur le graphique est cohérent avec l’allure du nuage d. la vitesse qui correspond à une distance de 150 mètres est de 99 km/h à 1km/h près car d =150 √ √ y √= d = 150 150√= 0, 12x + 0, 31 150 − 0, 31 x= ≃ 99 à 1 près 0, 12 le point B(99 ;150) obtenu sur le graphique est cohérent avec l’allure du nuage 2 e. On √ déduit de b. que d(x) = (0, 12x + 0, 31) car2 d = 0, 12x + 0, 31 donc d(x) = (0, 12x + 0, 31) d’ou le tableau suivant à 1m près
xi = vitesse en km/h di = distance de freinage en m d(xi ) = (0, 12xi + 0, 31)2
0 0 0
30 18 15
60 58 56
90 120 123
120 212 216
140 285 293
On constate que la formule trouvée pour d(x) est une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage
4.1.3
activité 2 xi = prix au kg en euros yi = quantité demandée en centaines de tonnes
10 4,7
11,5 4,1
12 4
13 3,7
13,7 3,5
15 3,2
16,5 2,9
18,8 2,6
20 2,4
1.a. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi ) avec 1cm pour 1 euro en abscisses et 2cm pour 100 tonnes en ordonnées. Un ajustement affine est-il justifié ? 1.b. Donner l’équation de la droite de régression de y en x à 0,01 près grâce à la calculatrice Construction cette droite (AB) sur le graphique en présisant les points utilisés. Calculer la quantité demandée pour un prix de 24,5 euros. 100 y a. Construire un tableau de tableau pour z à 0,1 près.
2. On procède à un changement de variable, soit : z =
b. Déterminer la droite de régression de z en fonction de x à l’unité près c. En déduire la formule de la fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y = f (x). Montrer que f (24, 5) = 2 3. Pour un prix de 24,5 euros, on sait que la demande est de 210 tonnes. Quel ajustement est le plus judicieux ? le premier ou le second ? justifier.
4.1.4
corrigé activité 2
xi = prix au kg en euros yi = quantité demandée en centaines de tonnes
10 4,7
11,5 4,1
12 4
13 3,7
13,7 3,5
15 3,2
16,5 2,9
18,8 2,6
20 2,4
1.a. Graphique associé à la série (xi ; yi ). yi A 4
3
B 2
1
xi
0 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Les points sont relativement alignés selon une droite, donc un ajustement affine est justifié. 1.b. La calculatrice donne l’équation de la droite de régression de y en x suivante : y = −0, 22x + 6, 63 Construction de la droite △ = (AB) : par exemple A(11; −0, 22 × 11 + 6, 63 = 4, 21) et B(20; −0, 22 × 20 + 6, 63 = 2, 23) La quantité demandée pour un prix de 24,5 euros est alors estimée à 124 centaines car : −0.22 × 24, 5 + 6, 63 ≃ 1, 24 100 y a. Nous obtenons le tableau de valeurs ci dessous à 0,1 près
2. On procède à un changement de variable, soit : z =
xi yi zi =
100 yi
10 4,7
11,5 4,1
12 4
13 3,7
13,7 3,5
15 3,2
16,5 2,9
18,8 2,6
20 2,4
21,3
24,4
25
27
28,6
31,3
34,5
38,5
41,7
b. Pour la droite de régression de z en fonction de x à l’unité près la calculatrice donne : z = 2x + 1 100 c. La fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y est donc f (x) = car : 2x + 1 100 100 100 100 ⇐⇒ 2x + 1 = ⇐⇒ y = ⇐⇒ f (x) = z = 2x + 1 et z = y y 2x + 1 2x + 1 100 =2 On a alors f (24, 5) = 2 × 24, 5 + 1 3. Pour un prix de 24,5 euros, l’ajustement le plus judicieux est le second car : Le second donne une estimation de 200 centaines contre 127 centaines pour le premier ( 210 est plus proche de 200 que de 127 )
5
exercices
5.1
exercice 1
Exercice 1 : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d’équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d’une certaine région française de 1980 à 2000 tous les quatre ans. . Dans ce tableau, xi représente l’expression : ai −1980 4 Année ai 1980 1984 1988 1992 1996 2000 Rang xi de l’année 0 1 2 3 4 5 Taux yi en % 2 4 12 25 39 44 Par exemple, 2 % des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 1980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d’année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 % sur l’axe des ordonnées). 1. Représenter le nuage de points correspondant la série statistique (xi ; yi ). 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Dans la question a., aucun détail des calculs n’est demandé, les résultats pourront être obtenus à l’aide de la calculatrice ; ils seront arrondis à 10−2 . (a) Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. (b) Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points (c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. i. déterminer, par le calcul, le taux d’équipement en 2011 à 1% près ii. déterminer, par le calcul, en quelle année le taux d’équipement dépassera 95% iii. à partir de quelle année cet ajustement n’est-il plus valable ? justifier pourquoi
5.2
corrigé exercice 1
Corrigé exercice 1 : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d’équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d’une certaine région française de 1980 à 2000 tous les quatre ans. Dans ce tableau, xi représente l’expression : ai −1980 . 4 Année ai 1980 1984 1988 1992 1996 2000 Rang xi de l’année 0 1 2 3 4 5 Taux yi en % 2 4 12 25 39 44 Par exemple, 2 % des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 1980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d’année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 % sur l’axe des ordonnées). 1. graphique
yi B 40 30 G 20 10 xi
0
A 0 1 2 3 2. G( x ; y) le point moyen de l’ensemble des 6 points x=
0+1+2+3+4+5 = 2, 5 6
y=
2 + 4 + 12 + 25 + 39 + 45 126 = = 21 6 6
donc G(2, 5; 21)
4
3. Dans la question a., aucun détail des calculs n’est demandé, les résultats pourront être obtenus à l’aide de la calculatrice ; ils seront arrondis à 10−2 .
(a) la calculatrice donne y = 9, 37x − 2, 43 à 10−2 (b)
point x y
A 0 -2,43
B 5 44,42
(c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. 2011 − 1980 i. en 2011 à 1% près : x = = 7, 75 donc y = 9, 37 × 7, 75 − 2, 43 ≃ 70% en 2011 4 ii. dépassement de 95% : 95 + 2, 43 ⇐⇒ x ≥ 10, 39 9, 37 donc 10, 39 × 4 + 1980 = 2021, 56 soit pendant l’année 2021
9, 37x − 2, 43 ≥ 95 ⇐⇒ x ≥
iii. l’ajustement n’est plus valable dès que le pourcentage dépasse 100 % : 100 + 2, 43 9, 37x − 2, 43 > 100 ⇐⇒ x > ⇐⇒ x > 10, 93 donc 10, 93 × 4 + 1980 = 2023, 72 9, 37 soit pendant l’année 2023
5.3
exercice 2
Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal xi en euros Pourcentage yi d’acheteurs potentiels
5 84
10 58
15 30
20 19
25 7
30 4
On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu’à 10 euros une bouteille de vin. 1. représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (xi ; yi ) dans un repère orthogonal du plan ( unités : 2cm pour 5 euros en abscisses et 1cm pour 10 % en ordonnées) 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de y en fonction de x sous la forme y = ax + b où a et b sont arrondis à 10−2 près. 4. Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points 5. Chez ce négociant, le prix moyen d’une bouteille est de 13 e . En utilisant l’ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l’entier le plus proche 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d’acheteurs. a. montrer que cette recette est donnée en fonction de x par R(x) = −3, 22x2 + 90, 07x
b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à 1 e près
5.4
corrigé exercice 2
Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal xi en euros Pourcentage yi d’acheteurs potentiels
5 84
10 58
15 30
20 19
25 7
30 4
On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu’à 10 euros une bouteille de vin. 1. graphique
yi 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
A
G
0 5 10 15 2. G( x ; y) le point moyen de l’ensemble des 6 points x=
5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 17, 5 6
y=
126 84 + 58 + 30 + 19 + 7 + 4 = ≃ 33, 7 6 6
donc G(17, 5; 33, 6
20
25
xi B
3. la calculatrice donne y = −3, 22x + 90, 07 à 10−2 4.
point x y
A 0 90,07
B 30 -6,53
5. pour x = 13 à 1% près : y = −3, 22 × 13 + 90, 07 ≃ 48% 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d’acheteurs. a. R(x) = x × (−3, 22x + 90, 07) =−3, 22x2 + 90, 07x
b. déterminer par une étude devariations, le prix qui rend maximale cette recette relative à 1 e près ′ • R (x) = −6, 44x + 90, 07 −90, 07 ′ • Annulation de R (x) : −6, 44x + 90, 07 ⇐⇒ x = ≃ 14 −6, 44 • variations de R et signe de R′ (x) : on utilise la règle du signe du binôme ax + b (signe de "a" à droite et de −a à gauche) x R′ (x) R(x)
0 + ր
≃ 14 0 ≃ 630
+∞ - (a = −6, 44) ց
i. la recette maximale est ≃ 630e et il faut fixer le prix à ≃ 14e pour maximiser la recette
5.5
exercice 3
Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d’une de ses créations . Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal xi en euros Nombre yi d’acheteurs potentiels
5 626
10 401
15 224
20 101
25 24
On voit dans ce tableau, par exemple, que 401 des clients sont prêts à payer jusqu’a 10 euros la création en question. 1. On considère que le nuage de points représenté dans un repère suggère de faire le changement de √ variable suivant : z = y a. Compléter le tableau de valeurs suivant à 0,1 près. xi yi zi
5 626 25
10 401
15 224
20 101
25 24
b. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax + b où a et b sont arrondis à l’unité près. c. Déduire du b. le nombre de clients prêts à acheter la création jusqu’a 28 euros. d. Déduire des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 − x)2 et vérifier que pour un prix de 5 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est cohérent avec l’effectif du tableau ci dessus. 2. On considère dans cette question que le nombre d’acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 − x)2 a. Montrer que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f (x) = x3 − 60x2 + 900x (Rappel : recette = nombre de ventes × prix de vente)
b. Etudier les variations de f pour x ∈ [ 0 ; 30 ] après avoir montré que f ′ (x) = −3(x − 10)(30 − x) c. Quel doit être le prix de vente pour que la recette soit maximale et quelle est cette recette maximale ?
5.6
corrigé exercice 3
Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d’une de ses créations . Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal xi en euros Nombre yi d’acheteurs potentiels
5 626
10 401
15 224
20 101
25 24
On voit dans ce tableau, par exemple, que 401 des clients sont prêts à payer jusqu’a 10 euros la création en question. 1. On considère que le nuage de point représenté dans un repère suggère de faire le changement de variable √ suivant : z = y a. Complétons le tableau de valeurs suivant à 0,1 près. 5 626 25
xi yi zi
10 401 20
15 224 15
20 101 10,1
25 24 4,9
b. Déterminons à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax + b où a et b sont arrondis à l’unité près : z = −x + 30 c. On déduit du b. le nombre de clients prêts à acheter une bouteille jusqu’a 28 euros ainsi : √ x = 28 =⇒ z = −28 + 30 = 2 =⇒ y = 2 =⇒ y = 22 = 4 donc 4 clients .
d. On déduit des questions précédentes que y est donné enfonction de x par y = (30 − x)2 ainsi : √ z = −x + 30 =⇒ y = −x + 30 =⇒ y = (−x + 30)2 = y = (30 − x)2
On vérifie que pour un prix de 5 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est : y = (30 − 5)2 = 252 = 625 ce qui est cohérent avec l’effectif 626 du tableau ci dessus.
2. On considère dans cette question que le nombre d’acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 − x)2 3 2 a. Montrons que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f (x) = x − 60x + 900x En effet : recette = nombre de ventes × prix de vente
Donc : f (x) =
(30−x)2 ×x
=
(302 −2×30×x+x2 )×x
b. Etudions les variations de fpour x ∈ [ 0 ; 30 ] ′ f (x) = 3x2 − 120x + 900
= (900−60x+x2 )×x = x3 − 60x2 + 900x
en développant : 2 2 ′ −3(x − 10)(30 − x) = (−3x + 30)(30 − x) = −90x + 3x + 900 − 30x = 3x − 120x + 900 = f (x) donc f ′ (x) = −3(x − 10)(30 − x)
x −3 x − 10 30 − x f ′ (x)
0 + +
f (x) 0
ր
10 | 0 | 0 4000
+ + ց
30 | | 0 f (0) = 03 − 60 × 02 + 900 × 0 0
0
c. Le prix de vente est donc de 10 euros pour que la recette soit maximale et cette recette maximale est de 4000 euros
