IST - DECivil
Departamento de Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
Tabelas de Análise de Estruturas
Grupo de Análise de Estruturas IST, 2002
IST - DECivil
Formulário de Lajes
Eq. de Lagrange:
∂ 4w ∂ 4w ∂4w q + 2 + = ∂x4 ∂ x 2∂ y2 ∂ y4 D
Equação de equilíbrio:
2 ∂ 2 mxy ∂ 2 mx ∂ m y + + 2 = −q ∂x 2 ∂y2 ∂ x∂ y
mx 1 y = D ν m 0 xy
Relações constitutivas: m
ν 1 0
0 χ x 0 χ y 1 − ν χ xy
,
χx χy χ xy
1 = 2 ν ( 1 − )D
Rigidez de flexão da laje:
D = Eh 3 / 12 (1 − ν 2 )
Relação curvatura-deslocamento:
χ x = −∂ 2 w / ∂ x 2
1 − ν 0
−ν 1 0
0 m x 0 m y 1 + ν m xy
χ y = −∂ 2 w / ∂ y 2
χ xy = − ∂ 2 w / ∂ x ∂ y
Esforço transverso: Esforço transverso efectivo:
Condições de fronteira:
Grupo de Análise de Estruturas
∂ m xy ∂mx vx = + ∂y ∂x
rx = v
x
+
∂m
xy
∂y
x=a
∂ m xy ∂m y v y = + ∂ y ∂x
. ry = v x=a
y
+
∂ m xy ∂x
y=a
. y=a
encastramento, w = w , θ n = θ n apoio simples, w = w , mn = mn bordo livre, rn = rn , mn = mn
1
,
IST - DECivil
Formulário Elemento de barra (viga) Esforços e deformações independentes Mi θi X = M j , u = θ j Nj e j Matriz de flexibilidade elementar 2 1 L F= 1 2 6 EI 6I A Relações deformações-esforços u = FX + u
Viga simplesmente apoiada Deslocamentos transversais y (x ) e momentos flectores M (x ) M ( x) = 0
T1.1
x
δi
δj
y
y( x) = δ i +
L
x
L T1.2
Mi
M ( x ) = Mi +
Mj x
y
δ j −δ i
y( x) =
M j − Mi L
x
3M i 2 Mi − M j 3 L x + x 2 Mi + M j x − 6 EI L L2
(
)
L
Grupo de Análise de Estruturas
2
IST - DECivil T1.3
P x a
M (x =
b L
y
Caso particular: a=b=L/2
y( x =
L PL )= 2 4
L PL3 )= 2 48EI
b 0≤ x ≤a PLx M ( x) = a P a − x a ≤ x ≤ L L
P 0≤ x ≤a [ ab( 2b + a ) x − bx 3 ] 6 LEI y( x) = P − a 3 ( b + a ) + a( 2b 2 + 4ab + 3a 2 ) x − 3a( b + a ) x 2 + ax 3 ] a ≤ x ≤ L 6 LEI [ Caso particular: momento a meio-vão
T1.4
M
x
a
b
M L2 x + x3 − 6 LEI 4 y ( x) = 3 2 M − 3L + 11L x − 3Lx 2 + x 3 6 LEI 4 4
0≤x≤
L ≤x≤L 2
L
y
M 0≤ x≤a − L x M ( x) = M M − x a≤x≤ L L
M (2b 2 − 2ba − a 2 )x + x 3 6 LEI y( x) = M − 3a 2 (a + b ) + (5a 2 + 2b 2 + 4ba )x − 3(a + b )x 2 + x 3 6 LEI
[
[
Grupo de Análise de Estruturas
]
0≤ x≤a
]
L 2
a≤x≤L
3
IST - DECivil Caso particular: p uniforme
T1.5
pi
y
pj
p ( Lx − x 2 ) 2 p L3 L 1 4 y( x ) = x − x3 + x EI 24 12 24 M ( x) =
x
L
L 5 pL4 y( x = ) = 2 384EI
L L 1 1 3 M ( x ) = pi + p j x − pi x 2 + pi − p j x 6 2 6 L 3
(
y( x) =
)
1 8 L3 7 L3 L L 1 4 1 + pj + p j x 3 + pi x − pi − p j x5 x − pi pi EI 360 360 18 36 24 120 L
(
)
Utilização das tabelas Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na tabela anterior, Tabela 1.5. Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta p = mx + b com p j − pi m= e b = pi . É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela L sobreposição de duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das extremidades e o valor nulo na outra) devidamente escaladas:
p j − pi
x + pi = L x x = (1 − ) pi + p j L L
p=
Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo linear ( o mx no caso anterior). Grupo de Análise de Estruturas
4
IST - DECivil Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura
T1.6 Variações de Temperatura Deve identificar-se claramente a: • variação no vão;
• variação na (altura da) secção. Os 3 casos de variação no vão que constam das tabelas são: 1. variação uniforme no vão o que significa que todas as secções da viga têm a mesma variação de temperatura; 2. variação crescente no vão a qual varia linearmente desde um valor zero até ao valor máximo na extremidade oposta; 3. variação decrescente no vão a qual varia linearmente desde um valor máximo até ao valor zero na extremidade oposta. Graficamente representam-se estes casos de variação no vão na forma seguinte: (constante)
(crescente)
(decrescente)
A variação na secção deverá, quando necessário e para utilização da tabela, ser decomposta em: 1. variação linear na altura da secção com valores idênticos (mas de sinal contrário) para as temperaturas nas fibras inferior e superior; denota-se esta variação de temperatura por θ L a qual se considera positiva quando a variação de temperatura na fibra inferior for positiva. 2. variação uniforme em altura, a qual se denota por θU e se considera positiva quando a variação de temperatura for positiva. Graficamente representam-se estes casos de variação na secção na forma seguinte: (uniforme)
(linear)
Exemplo (de variação na secção com variação nula no vão, ou seja, θi = θ j ) : Se a temperatura na fibra inferior é de 5ºC e a temperatura na fibra superior é de 15ºC então: θ L = −5º C e θU = 10º C
Grupo de Análise de Estruturas
5
IST - DECivil
Distribuição de temperatura linear na secção,
θL
:
M ( x) = 0
Caso de variação constante no vão: αθ L y ( x) = Lx − x 2 h Caso de variação crescente no vão: αθ L 1 1 3 y ( x) = x− x h 3 3L
[
]
Caso de variação decrescente no vão: αθ L 2 L 1 3 y ( x) = x − x2 + x h 3 3L em que
α
é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção
Distribuição de temperatura uniforme na secção,
θU :
N ( x) = 0
Caso de variação constante no vão: u ( L) = αθ U L Caso de variação crescente no vão: L u ( L) = αθ U 2 Caso de variação decrescente no vão: L u ( L) = αθ U 2
Grupo de Análise de Estruturas
6
IST - DECivil Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais
T1.7
Q
a y
x
b
Q 0 ≤ x ≤ a N ( x) = 0 a ≤ x ≤ L u ( x0 ) =
L
1 x0 ε ( x )dx EA ∫0
T1.8 L 1 2 N ( x ) = qi + q j − qi x + qi − q j x 2 2 L
(
qi
qj
y
)
(
)
x
L
Grupo de Análise de Estruturas
7
IST - DECivil T2 Deformações independentes em barras com cargas de vão - Termos correctores Carga de vão
θi
θj
ej
P
Pab( L + b) 6 LEI
Pab( L + a ) 6 LEI
0
Caso particular a=L/2 PL2 16 EI
Caso particular a=L/2 PL2 16 EI
0
0
M (3b 2 − L2 ) 6 LEI
M ( L2 − 3a 2 ) 6LEI
Caso particular a=L/2 ML − 24 EI
Caso particular a=L/2 ML 24 EI
1 8 L3 7 L3 p + p i j EI 360 360
1 7 L3 8 L3 p p + i j EI 360 360
Caso particular pi = p j
Caso particular pi = p j
p i L3 24 EI
p i L3 24 EI
0
0
2 qi L2 2 q j L + 6 EA 6 EA
αθ L L h
αθ L L h
αθU L
αθ L L 3h
2αθ L L 3h
1 αθ U L 2
2αθ L L 3h
αθ L L 3h
1 αθ U L 2
x a
b L
y
Q
a
x
b L
y
M
x
a y
b L
pi
pj
y
L
qi
qj
y
x
x
Qa EA
0
0
L
Variação de temperatura uniforme no vão Variação de temperatura crescente no vão Variação de temperatura decrescente no vão
Grupo de Análise de Estruturas
8
IST - DECivil
T.3 Deformadas para deslocamentos impostos Tipo de barra
Imposição de rotação à Imposição de deslocamento esquerda
transversal
bi-encastrada
encastrada-rotulada
encastrada-enc desliz.
Deformada da barra sujeita apenas a esforço normal
NOTA: A
deformada
final
da
barra
é
sempre
obtida
considerando a sobreposição dos diversos efeitos nomeadamente: •
a(s) rotação(ões) independentes;
•
o
deslocamento
transversal
relativo
entre
extremidades;
• •
Grupo de Análise de Estruturas
o deslocamento axial relativo entre extremidades; o efeito das solicitações de vão.
9
IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra bi-encastrada
MA PL 8
Pab 2 L2
MB
VA
VB
NA
PL 8
P 2
P 2
−
Q 2
−
Q 2
Pba 2 L2
Pb 2 (3a + b) L3
Pa 2 (a + 3b) L3
−
Qb L
−
Qa L
−
−
M 4
M 4
3M 2L
−
Mb(2a − b) L2
Ma ( 2b − a ) L2
6 Mab L3
−
3M
NB
0
0
0
0
2L
6 Mab L3
pL2 12
−
pL2 12
pL 2
pL 2
−
qL 2
−
qL 2
pL2 30
−
pL2 20
3 pL 20
7 pL 20
−
qL 6
−
qL 3
pL2 20
−
pL2 30
7 pL 20
3 pL 20
−
qL 3
−
qL 6
0
m
−m
0
0
mL 12
m 2
−
m 2
0
0
0 mL 12 −
−
mL 12
mL 12
∆T
2αθ L EI h
−
2αθ L EI h
∆T
0
−
2αθ L EI h
∆T
2αθ L EI h
Grupo de Análise de Estruturas
0
m 2
m 2
0
0
0
0
αθ U EA
− αθ U EA
2αθ L EI Lh
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
−
−
2αθ L EI Lh
2αθ L EI Lh
−
2αθ L EI Lh
10
IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-rotulada
MA
θB
VA
VB
NA
3PL 16
PL2 32 EI
11P 16
5P 16
−
Q 2
−
Q 2
Pab( L + b) 2 L2
Pba 2 4 EIL
Pb (3L2 − b 2 ) 2 L3
Pa 2 (3L − a) 2 L3
−
Qb L
−
Qa L
M 8 M ( L2 − 3b 2 ) 2 L2
∆T
∆T
9M 8L
−
Ma (2b − a ) 4 EIL
3Ma ( L + b) 2 L3
9M 8L
0
0
3Ma ( L + b) 2 L3
0
0
− −
pL2 8
pL3 48EI
5 pL 8
3 pL 8
−
qL 2
−
qL 2
7 pL2 120
pL3 80 EI
27 pL 120
33 pL 120
−
qL 6
−
qL 3
8 pL2 120
pL3 120 EI
48 pL 120
12 pL 120
−
qL 3
−
qL 6
0
0
m
−m
0
0
mL 8
mL2 48EI
5m 8
−
5m 8
0
0
3m 8
−
3m 8
0
0
− ∆T
ML 16 EI
−
NB
mL 8
−
mL2 48EI
3αθ L EI h
αθ L L
αθ L EI h
αθ L L
2αθ L EI h
0
Grupo de Análise de Estruturas
2h
2h
3αθ L EI Lh
−
3αθ L EI Lh
αθ U EA
− αθ U EA
αθ L EI Lh
−
αθ L EI Lh
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
2 αθ L EI Lh
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
2αθ L EI Lh
−
11
IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-encastrada deslizante
MA
MB
VA
δB
3PL 8
PL 8
P
PL3 24 EI
−
Q 2
−
Q 2
Pa(b + L) 2L
Pa 2 2L
P
Pa 2 (a + 3b) 12 EI
−
Qb L
−
Qa L
NA
NB
−
M 2
−
M 2
0
−
ML2 8EI
0
0
−
Mb L
−
Ma L
0
−
Mab 2 EI
0
0
pL2 3
pL2 6
pL
pL4 24 EI
−
qL 2
−
qL 2
5 pL2 24
3 pL2 24
pL 2
7 pL4 240 EI
−
qL 6
−
qL 3
3 pL2 24
pL2 24
pL 2
3 pL4 240 EI
−
qL 3
−
qL 6
−
mL 2
−
mL 2
0
−
mL3 12 EI
0
0
−
mL 6
−
mL 3
0
−
mL3 24 EI
0
0
−
mL 3
−
mL 6
0
−
mL3 24 EI
0
0
∆T
2αθ L EI h
−
2αθ L EI h
0
0
αθ U EA
− αθ U EA
∆T
αθ L EI h
−
αθ L EI h
0
αθ L L2 6h
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
∆T
αθ L EI h
−
αθ L EI h
0
αθ L L2
αθ U EA 2
−
αθ U EA 2
Grupo de Análise de Estruturas
−
6h
12
IST - DECivil Elemento de barra - deslocamentos prescritos Deslocamentos independentes a considerar em cada nó •
rotação;
•
deslocamento transversal.
A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4 deslocamentos considerados: 4
y ( x) = ∑ δ iϕ i ( x) i =1
Efeito de δ1=1, δi=0 ∀ i ≠ 1
T4.1
1
x
ϕ1 ( x) = −
L
y
Efeito de δ2=1, δi=0 ∀ i ≠ 2
T4.2
x
1
ϕ 2 ( x) = −
1 ( − Lx 2 + x 3 ) 2 L
L
y
Efeito de δ3=1, δi=0 ∀ i ≠ 3
T4.3
ϕ 3 ( x) = −
1
x
1 3 ( L − 3Lx 2 + 2 x 3 ) 3 L
L
y
Efeito de δ4=1, δi=0 ∀ i ≠ 4
T4.4
1
y
1 2 ( L x − 2 Lx 2 + x 3 ) 2 L
ϕ 4 ( x) = −
x
1 ( 3Lx 2 − 2 x 3 ) 3 L
L
Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função
y ( x ) , a distância
da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada.
Grupo de Análise de Estruturas
13
IST - DECivil Deformadas e forças de fixação na barra bi-encastrada
T5.1
MA
MB VA
x
VB
1
a
b L
y
2 L − 3a 2 2a − L 3 L2 x + L3 x y( x) = a − x + 2 L − 3a x 2 + 2a − L x 3 L2 L3
0≤ x≤a a≤x≤ L
T5.2
MB VA
VB
a
b L
y
6 EI 6 EI MB = − 2 2 L L 12 EI 12 EI VA = − 3 VB = 3 L L x 3 2 2 3 0≤ x≤a − L2 x + L3 x y( x) = 3 2 1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L L L MA = −
MA 1
2 EI ( a − 2b) L2 2 EI M B = 2 ( b − 2a ) L 6 EI VA = 3 ( b − a) L 6 EI VB = 3 ( a − b) L MA = −
Forças de fixação para força e momento unitários T5.4
T5.3 1
MA
MB
VA
MA
x
− L2 a + 2 La 2 − a 3 MA = − L2 − La 2 + a 3 MB = L2 L3 − 3 La 2 + 2a 3 3 La 2 − 2a 3 VA = V = B L3 L3
Grupo de Análise de Estruturas
y
x
VB
a
b L
MB
VA
VB
a y
1
b L
− L2 + 4 La − 3a 2 L2 −2 La + 3a 2 MB = L2 6 La − 6a 2 −6 La + 6a 2 VA = VB = L3 L3
MA = −
14
IST - DECivil
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada T6.1
MA
x VA
VB
1
a
b
3L − 3b L −b 3 − 2 L x + 2 L3 x + L − b a ≤ x ≤ L y ( x) = 3 b − L L − b 3 0≤ x≤a x + 3 x 2L 2L
Libertação em B:
MA =
3EI b L2
VA =
3EI 3EI b VB = − 3 b 3 L L
Libertação em A:
3EI MB = 2 a L
Notar que a (b) é a distância desde a extremidade inicial
3EI VA = − 3 a L
3EI VB = 3 a L
T6.2
MA
x
1
VA
VB
a
b L
y Libertação em B:
MA = −
3EI L2
3 L − 3a 2 a − L 3 0≤ x≤a 2 L2 x + 2 L3 x y ( x) = a − x + 3 L − 3a x 2 + a − L x 3 a ≤ x ≤ L 2 L2 2 L3 Libertação em A:
L
y
Libertação em B:
VA = −
3EI L3
VB =
3EI L3
(final) à secção da descontinuidade.
Libertação em B: 3 2 1 3 0≤ x≤a − 2 L2 x + 2 L3 x y( x) = 3 1 1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L 2L 2L Libertação em A: 3 1 3 1 − 2 L x + 2 L3 x a ≤ x ≤ L y ( x) = 3 1 − x + 3 x3 0 ≤ x ≤ a 2L 2L
Libertação em A:
MB = −
3EI L2
VA = −
3EI L3
VB =
3EI L3
Forças de fixação para força e momento unitários T6.4
T6.3 1
MA
1
MA
x
x VA a y
VA
VB
a
b L
−2 L2 a + 3 La 2 − a 3 MA = − 2 L2 3 2 2 L − 3 La + a 3 3 La 2 − a 3 VA = VB = 2 L3 2 L3
Grupo de Análise de Estruturas
VB
y
b L
− 2 L2 + 6 La − 3a 2 MA =− 2 L2 6 La − 3a 2 −6 La + 3a 2 VA = VB = 2 L3 2 L3
15
IST - DECivil
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante Libertação em B: 1 2 x 0≤ x≤a 2L y( x) = 1 2 a − x + x a≤x≤ L 2L Libertação em A: 1 2 L a≤x≤L 2 − x + 2L x y ( x) = L 1 2 − + b + x 0≤ x≤a 2 2L
T7.1
MA
MB VA
x
1 a
b L
y EI MA = L
MB = −
EI L
VA = 0
T7.2
MB
MA 1
VA a
Libertação em A: − 1 0 ≤ x ≤ a y ( x) = 0 a≤x≤L
b L
y MA = 0
Libertação em B: 0 0 ≤ x ≤ a x y( x) = 1 a ≤ x ≤ L
MB = 0
VA = 0
Forças de fixação para força e momento unitários T7.4
T7.3 1
MA
MB
1
MA
x
y
a
b L
−2 La + a 2 MA = − 2L a2 MB = 2L VA = 1
Grupo de Análise de Estruturas
x
VA
VA a
MB
y
b L
L−a L a MB = L VA = 0 MA =
16