ANÁLISE DE ESTRUTURAS I - Página Inicial

IST - DECivil

Departamento de Engenharia Civil

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

Tabelas de Análise de Estruturas

Grupo de Análise de Estruturas IST, 2002

IST - DECivil

Formulário de Lajes

Eq. de Lagrange:

∂ 4w ∂ 4w ∂4w q + 2 + = ∂x4 ∂ x 2∂ y2 ∂ y4 D

Equação de equilíbrio:

2 ∂ 2 mxy ∂ 2 mx ∂ m y + + 2 = −q ∂x 2 ∂y2 ∂ x∂ y

 mx  1   y  = D ν m   0  xy 

Relações constitutivas:  m

ν 1 0

0  χ x  0  χ y  1 − ν   χ xy

  ,  

χx  χy χ  xy

 1   = 2 ν ( 1 − )D  

Rigidez de flexão da laje:

D = Eh 3 / 12 (1 − ν 2 )

Relação curvatura-deslocamento:

χ x = −∂ 2 w / ∂ x 2

 1 − ν   0

−ν 1 0

0  m x  0  m y  1 + ν   m xy

χ y = −∂ 2 w / ∂ y 2

χ xy = − ∂ 2 w / ∂ x ∂ y

Esforço transverso: Esforço transverso efectivo:

Condições de fronteira:

Grupo de Análise de Estruturas

∂ m xy   ∂mx  vx =  + ∂y   ∂x

rx = v

x

+

∂m

xy

∂y

x=a

∂ m xy  ∂m y v y =  + ∂ y ∂x 

. ry = v x=a

y

+

∂ m xy ∂x

   y=a

. y=a

encastramento, w = w , θ n = θ n apoio simples, w = w , mn = mn bordo livre, rn = rn , mn = mn

1

  ,  

IST - DECivil

Formulário Elemento de barra (viga) Esforços e deformações independentes Mi   θi      X =  M j  , u = θ j  Nj  e j      Matriz de flexibilidade elementar 2 1    L F= 1 2  6 EI  6I  A  Relações deformações-esforços u = FX + u

Viga simplesmente apoiada Deslocamentos transversais y (x ) e momentos flectores M (x ) M ( x) = 0

T1.1

x

δi

δj

y

y( x) = δ i +

L

x

L T1.2

Mi

M ( x ) = Mi +

Mj x

y

δ j −δ i

y( x) =

M j − Mi L

x

3M i 2 Mi − M j 3  L  x + x   2 Mi + M j x − 6 EI  L L2 

(

)

L


2

IST - DECivil T1.3

P x a

M (x =

b L

y

Caso particular: a=b=L/2

y( x =

L PL )= 2 4

L PL3 )= 2 48EI

 b 0≤ x ≤a  PLx M ( x) =   a   P a − x  a ≤ x ≤ L L   

 P 0≤ x ≤a [ ab( 2b + a ) x − bx 3 ]  6 LEI y( x) =  P  − a 3 ( b + a ) + a( 2b 2 + 4ab + 3a 2 ) x − 3a( b + a ) x 2 + ax 3 ] a ≤ x ≤ L  6 LEI [ Caso particular: momento a meio-vão

T1.4

M

x

a

b

  M  L2 x + x3   − 6 LEI  4   y ( x) =  3 2  M − 3L + 11L x − 3Lx 2 + x 3    6 LEI  4 4 

0≤x≤

L ≤x≤L 2

L

y

 M 0≤ x≤a  − L x M ( x) =  M M − x a≤x≤ L  L

M  (2b 2 − 2ba − a 2 )x + x 3  6 LEI y( x) =  M  − 3a 2 (a + b ) + (5a 2 + 2b 2 + 4ba )x − 3(a + b )x 2 + x 3  6 LEI

[

[


]

0≤ x≤a

]

L 2

a≤x≤L

3

IST - DECivil Caso particular: p uniforme

T1.5

pi

y

pj

p ( Lx − x 2 ) 2 p  L3 L 1 4 y( x ) = x − x3 + x  EI  24 12 24  M ( x) =

x

L

L 5 pL4 y( x = ) = 2 384EI

 L L 1 1 3 M ( x ) =  pi + p j  x − pi x 2 + pi − p j x 6 2 6 L   3

(

y( x) =

)

 1  8 L3 7 L3   L L 1 4 1 + pj + p j  x 3 + pi x − pi − p j x5   x −  pi  pi EI  360 360   18 36  24 120 L 

(

)

Utilização das tabelas Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na tabela anterior, Tabela 1.5. Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta p = mx + b com p j − pi m= e b = pi . É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela L sobreposição de duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das extremidades e o valor nulo na outra) devidamente escaladas:

p j − pi

x + pi = L x x = (1 − ) pi + p j L L

p=

Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo linear ( o mx no caso anterior). Grupo de Análise de Estruturas

4

IST - DECivil Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura

T1.6 Variações de Temperatura Deve identificar-se claramente a: • variação no vão;

• variação na (altura da) secção. Os 3 casos de variação no vão que constam das tabelas são: 1. variação uniforme no vão o que significa que todas as secções da viga têm a mesma variação de temperatura; 2. variação crescente no vão a qual varia linearmente desde um valor zero até ao valor máximo na extremidade oposta; 3. variação decrescente no vão a qual varia linearmente desde um valor máximo até ao valor zero na extremidade oposta. Graficamente representam-se estes casos de variação no vão na forma seguinte: (constante)

(crescente)

(decrescente)

A variação na secção deverá, quando necessário e para utilização da tabela, ser decomposta em: 1. variação linear na altura da secção com valores idênticos (mas de sinal contrário) para as temperaturas nas fibras inferior e superior; denota-se esta variação de temperatura por θ L a qual se considera positiva quando a variação de temperatura na fibra inferior for positiva. 2. variação uniforme em altura, a qual se denota por θU e se considera positiva quando a variação de temperatura for positiva. Graficamente representam-se estes casos de variação na secção na forma seguinte: (uniforme)

(linear)

Exemplo (de variação na secção com variação nula no vão, ou seja, θi = θ j ) : Se a temperatura na fibra inferior é de 5ºC e a temperatura na fibra superior é de 15ºC então: θ L = −5º C e θU = 10º C


5

IST - DECivil

Distribuição de temperatura linear na secção,

θL

:

M ( x) = 0

Caso de variação constante no vão: αθ L y ( x) = Lx − x 2 h Caso de variação crescente no vão: αθ L  1 1 3 y ( x) = x− x  h 3 3L 

[

]

Caso de variação decrescente no vão: αθ L  2 L 1 3 y ( x) = x − x2 + x  h  3 3L  em que

α

é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção

Distribuição de temperatura uniforme na secção,

θU :

N ( x) = 0

Caso de variação constante no vão: u ( L) = αθ U L Caso de variação crescente no vão: L u ( L) = αθ U 2 Caso de variação decrescente no vão: L u ( L) = αθ U 2


6

IST - DECivil Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais

T1.7

Q

a y

x

b

Q 0 ≤ x ≤ a N ( x) =  0 a ≤ x ≤ L u ( x0 ) =

L

1 x0 ε ( x )dx EA ∫0

T1.8 L 1 2  N ( x ) =  qi + q j − qi x + qi − q j x  2 2 L 

(

qi

qj

y

)

(

)

x

L


7

IST - DECivil T2 Deformações independentes em barras com cargas de vão - Termos correctores Carga de vão

θi

θj

ej

P

Pab( L + b) 6 LEI

Pab( L + a ) 6 LEI

0

Caso particular a=L/2 PL2 16 EI

Caso particular a=L/2 PL2 16 EI

0

0

M (3b 2 − L2 ) 6 LEI

M ( L2 − 3a 2 ) 6LEI

Caso particular a=L/2 ML − 24 EI

Caso particular a=L/2 ML 24 EI

1  8 L3 7 L3  p + p i j EI  360 360 

1  7 L3 8 L3  p p + i j EI  360 360 

Caso particular pi = p j

Caso particular pi = p j

p i L3 24 EI

p i L3 24 EI

0

0

2 qi L2 2 q j L + 6 EA 6 EA

αθ L L h

αθ L L h

αθU L

αθ L L 3h

2αθ L L 3h

1 αθ U L 2

2αθ L L 3h

αθ L L 3h

1 αθ U L 2

x a

b L

y

Q

a

x

b L

y

M

x

a y

b L

pi

pj

y

L

qi

qj

y

x

x

Qa EA

0

0

L

Variação de temperatura uniforme no vão Variação de temperatura crescente no vão Variação de temperatura decrescente no vão


8

IST - DECivil

T.3 Deformadas para deslocamentos impostos Tipo de barra

Imposição de rotação à Imposição de deslocamento esquerda

transversal

bi-encastrada

encastrada-rotulada

encastrada-enc desliz.

Deformada da barra sujeita apenas a esforço normal

NOTA: A

deformada

final

da

barra

é

sempre

obtida

considerando a sobreposição dos diversos efeitos nomeadamente: •

a(s) rotação(ões) independentes;

•

o

deslocamento

transversal

relativo

entre

extremidades;

• •


o deslocamento axial relativo entre extremidades; o efeito das solicitações de vão.

9

IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra bi-encastrada

MA PL 8

Pab 2 L2

MB

VA

VB

NA

PL 8

P 2

P 2

−

Q 2

−

Q 2

Pba 2 L2

Pb 2 (3a + b) L3

Pa 2 (a + 3b) L3

−

Qb L

−

Qa L

−

−

M 4

M 4

3M 2L

−

Mb(2a − b) L2

Ma ( 2b − a ) L2

6 Mab L3

−

3M

NB

0

0

0

0

2L

6 Mab L3

pL2 12

−

pL2 12

pL 2

pL 2

−

qL 2

−

qL 2

pL2 30

−

pL2 20

3 pL 20

7 pL 20

−

qL 6

−

qL 3

pL2 20

−

pL2 30

7 pL 20

3 pL 20

−

qL 3

−

qL 6

0

m

−m

0

0

mL 12

m 2

−

m 2

0

0

0 mL 12 −

−

mL 12

mL 12

∆T

2αθ L EI h

−

2αθ L EI h

∆T

0

−

2αθ L EI h

∆T

2αθ L EI h


0

m 2

m 2

0

0

0

0

αθ U EA

− αθ U EA

2αθ L EI Lh

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2

−

−

2αθ L EI Lh

2αθ L EI Lh

−

2αθ L EI Lh

10

IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-rotulada

MA

θB

VA

VB

NA

3PL 16

PL2 32 EI

11P 16

5P 16

−

Q 2

−

Q 2

Pab( L + b) 2 L2

Pba 2 4 EIL

Pb (3L2 − b 2 ) 2 L3

Pa 2 (3L − a) 2 L3

−

Qb L

−

Qa L

M 8 M ( L2 − 3b 2 ) 2 L2

∆T

∆T

9M 8L

−

Ma (2b − a ) 4 EIL

3Ma ( L + b) 2 L3

9M 8L

0

0

3Ma ( L + b) 2 L3

0

0

− −

pL2 8

pL3 48EI

5 pL 8

3 pL 8

−

qL 2

−

qL 2

7 pL2 120

pL3 80 EI

27 pL 120

33 pL 120

−

qL 6

−

qL 3

8 pL2 120

pL3 120 EI

48 pL 120

12 pL 120

−

qL 3

−

qL 6

0

0

m

−m

0

0

mL 8

mL2 48EI

5m 8

−

5m 8

0

0

3m 8

−

3m 8

0

0

− ∆T

ML 16 EI

−

NB

mL 8

−

mL2 48EI

3αθ L EI h

αθ L L

αθ L EI h

αθ L L

2αθ L EI h

0


2h

2h

3αθ L EI Lh

−

3αθ L EI Lh

αθ U EA

− αθ U EA

αθ L EI Lh

−

αθ L EI Lh

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2

2 αθ L EI Lh

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2

2αθ L EI Lh

−

11

IST - DECivil Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-encastrada deslizante

MA

MB

VA

δB

3PL 8

PL 8

P

PL3 24 EI

−

Q 2

−

Q 2

Pa(b + L) 2L

Pa 2 2L

P

Pa 2 (a + 3b) 12 EI

−

Qb L

−

Qa L

NA

NB

−

M 2

−

M 2

0

−

ML2 8EI

0

0

−

Mb L

−

Ma L

0

−

Mab 2 EI

0

0

pL2 3

pL2 6

pL

pL4 24 EI

−

qL 2

−

qL 2

5 pL2 24

3 pL2 24

pL 2

7 pL4 240 EI

−

qL 6

−

qL 3

3 pL2 24

pL2 24

pL 2

3 pL4 240 EI

−

qL 3

−

qL 6

−

mL 2

−

mL 2

0

−

mL3 12 EI

0

0

−

mL 6

−

mL 3

0

−

mL3 24 EI

0

0

−

mL 3

−

mL 6

0

−

mL3 24 EI

0

0

∆T

2αθ L EI h

−

2αθ L EI h

0

0

αθ U EA

− αθ U EA

∆T

αθ L EI h

−

αθ L EI h

0

αθ L L2 6h

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2

∆T

αθ L EI h

−

αθ L EI h

0

αθ L L2

αθ U EA 2

−

αθ U EA 2


−

6h

12

IST - DECivil Elemento de barra - deslocamentos prescritos Deslocamentos independentes a considerar em cada nó •

rotação;

•

deslocamento transversal.

A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4 deslocamentos considerados: 4

y ( x) = ∑ δ iϕ i ( x) i =1

Efeito de δ1=1, δi=0 ∀ i ≠ 1

T4.1

1

x

ϕ1 ( x) = −

L

y


T4.2

x

1

ϕ 2 ( x) = −

1 ( − Lx 2 + x 3 ) 2 L

L

y


T4.3

ϕ 3 ( x) = −

1

x

1 3 ( L − 3Lx 2 + 2 x 3 ) 3 L

L

y


T4.4

1

y

1 2 ( L x − 2 Lx 2 + x 3 ) 2 L

ϕ 4 ( x) = −

x

1 ( 3Lx 2 − 2 x 3 ) 3 L

L

Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função

y ( x ) , a distância

da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada.


13

IST - DECivil Deformadas e forças de fixação na barra bi-encastrada

T5.1

MA

MB VA

x

VB

1

a

b L

y

  2 L − 3a  2  2a − L  3   L2  x +  L3  x y( x) =  a − x +  2 L − 3a  x 2 +  2a − L  x 3  L2   L3  

0≤ x≤a a≤x≤ L

T5.2

MB VA

VB

a

b L

y

6 EI 6 EI MB = − 2 2 L L 12 EI 12 EI VA = − 3 VB = 3 L L x  3 2 2 3 0≤ x≤a  − L2 x + L3 x y( x) =  3 2 1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L  L L MA = −

MA 1

2 EI ( a − 2b) L2 2 EI M B = 2 ( b − 2a ) L 6 EI VA = 3 ( b − a) L 6 EI VB = 3 ( a − b) L MA = −

Forças de fixação para força e momento unitários T5.4

T5.3 1

MA

MB

VA

MA

x

− L2 a + 2 La 2 − a 3 MA = − L2 − La 2 + a 3 MB = L2 L3 − 3 La 2 + 2a 3 3 La 2 − 2a 3 VA = V = B L3 L3


y

x

VB

a

b L

MB

VA

VB

a y

1

b L

− L2 + 4 La − 3a 2 L2 −2 La + 3a 2 MB = L2 6 La − 6a 2 −6 La + 6a 2 VA = VB = L3 L3

MA = −

14

IST - DECivil

Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada T6.1

MA

x VA

VB

1

a

b

 3L − 3b   L −b 3  − 2 L  x +  2 L3  x + L − b a ≤ x ≤ L    y ( x) =  3 b − L L − b 3     0≤ x≤a  x +  3 x   2L   2L 

Libertação em B:

MA =

3EI b L2

VA =

3EI 3EI b VB = − 3 b 3 L L

Libertação em A:

3EI MB = 2 a L

Notar que a (b) é a distância desde a extremidade inicial

3EI VA = − 3 a L

3EI VB = 3 a L

T6.2

MA

x

1

VA

VB

a

b L

y Libertação em B:

MA = −

3EI L2

  3 L − 3a  2  a − L  3 0≤ x≤a   2 L2  x +  2 L3  x y ( x) =  a − x +  3 L − 3a  x 2 +  a − L  x 3 a ≤ x ≤ L  2 L2   2 L3   Libertação em A:

L

y

Libertação em B:

VA = −

3EI L3

VB =

3EI L3

(final) à secção da descontinuidade.

Libertação em B:  3 2 1 3 0≤ x≤a  − 2 L2 x + 2 L3 x y( x) =  3 1 1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L  2L 2L Libertação em A: 3 1 3  1 − 2 L x + 2 L3 x a ≤ x ≤ L y ( x) =  3 1 − x + 3 x3 0 ≤ x ≤ a  2L 2L

Libertação em A:

MB = −

3EI L2

VA = −

3EI L3

VB =

3EI L3


T6.3 1

MA

1

MA

x

x VA a y

VA

VB

a

b L

−2 L2 a + 3 La 2 − a 3 MA = − 2 L2 3 2 2 L − 3 La + a 3 3 La 2 − a 3 VA = VB = 2 L3 2 L3


VB

y

b L

− 2 L2 + 6 La − 3a 2 MA =− 2 L2 6 La − 3a 2 −6 La + 3a 2 VA = VB = 2 L3 2 L3

15

IST - DECivil

Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante Libertação em B:  1 2 x 0≤ x≤a  2L y( x) =  1 2 a − x + x a≤x≤ L  2L Libertação em A: 1 2  L a≤x≤L  2 − x + 2L x y ( x) =  L 1 2 − + b + x 0≤ x≤a  2 2L

T7.1

MA

MB VA

x

1 a

b L

y EI MA = L

MB = −

EI L

VA = 0

T7.2

MB

MA 1

VA a

Libertação em A: − 1 0 ≤ x ≤ a y ( x) =  0 a≤x≤L

b L

y MA = 0

Libertação em B: 0 0 ≤ x ≤ a x y( x) =  1 a ≤ x ≤ L

MB = 0

VA = 0


T7.3 1

MA

MB

1

MA

x

y

a

b L

−2 La + a 2 MA = − 2L a2 MB = 2L VA = 1


x

VA

VA a

MB

y

b L

L−a L a MB = L VA = 0 MA =

16

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