APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata Kuliah Kapita Selekta Matematika Dosen Pembina: Drs. Darwing Paduppai, M.Pd
O l e h: KELOMPOK VI Kelas A
ANDI RUSDI 06507010 Hj. KHADIJAH 06507003 BAMBANG 06507009
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2008
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
2
Aplikasi Matriks
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkat dan Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan materi pelengkap pada tesis dengan judul, Aplikasi Matriks dalam Geometri , Tugas ini diselesaikan dalam rangka melengkapi tugas mata kuliah Struktur Kapita Selekta Matematika yang dibimbing oleh Drs. Darwing Paduppai , M.Pd. Sadar akan keterbatasan penulis, dalam menyelesaikan tugas ini, maka dengan ini penulis mohon maaf atas kekeliruan yang muncul di dalamnya. Semoga tugas ini dapat memberi manfaat dan menambah pengetahuan bagi penulis. Terimakasih.
Penulis,
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
3
Aplikasi Matriks
APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI Oleh: Andi Rusdi, dkk
Abstrak Menentukan luas bangun datar menjadi suatu hal yang mudah jika, nilainilai yang diketahui yaitu unsur panjang dan lebarnya. Tetapi menjadi masalah jika hal tersebut tidak terpenuhi, menjadi suatu pekerjaan yang rumit dan perlu beberapa pendekatan untuk memperoleh luasnya, demikian juga dengan persamaan garis, persamaan lingkaran. Salah satu alternatif untuk menyelesaikan hal tersebut adalah penggunaan matriks, walaupun dalam penggunaannya dituntut kemampuan kita dapat menguasai operasi matriks khususnya determinan, dan eliminasi gauss jordan, Untuk kesemuanya ini dapat diselesaikan dengan menggunakan program aplikasi maple 10. Kata kunci: determinan, maple, eliminasi gaussjordan
A. Luas Bidang Datar 1. Segitiga Definisi: Jika sebuah segitiga yang sudut-sudutnya
,
dan
Secara geometri:
Dengan menggunakan luas trapesium diperoleh luas segitiga ABC adalah:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
4
Aplikasi Matriks
Perhatikan bahwa jika A berada di atas garis BC maka luas itu sama dengan negatif dari determinannya. Contoh: 1 Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4) Jawab: C
A
B
Dari gambar di atas diketahui: alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan Jadi luas segitiga ABC = ½ x a x t =½x4x4 = ½ x 16 = 8 satuan Contoh: 2 Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4) Jawab: Dengan menggunakan determinan dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
5
Aplikasi Matriks
(Sifat: determinan suatu matriks segitiga adalah hasil kali diagonal utamanya)
Untuk matriks yang lain gunakan metode Sarrus, Ekspansi Baris, ataupun Eliminasi Gauss.
2. Jajargenjang Definisi Jajargenjang adalah bangun datar segiempat, sisi-sisinya yang berhadapan sejajar dan sama panjang, jajargenjang dapat dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya.
Misalkan: Jika sebuah jajargenjang dengan titik
,
,
dan
Secara geometri:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
6
Aplikasi Matriks
Karena luas ABCD adalah 2 x luas ABC maka luas jajargenjang ABCD adalah dimana
dan
Contoh: 3 Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4) Jawab: D
A
C
B
Jawab: Dari gambar di atas diketahui: alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan
Jadi luas Jajargenjang ABCD = a x t =4x4 = 16 satuan Contoh: 4 Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4) Jawab: Aplikasi matriks dengan mengambil titik A, B dan C maka luas trapesium ABCD adalah
satuan
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
7
Aplikasi Matriks
3. Belah ketupat, Persegi dan Persegi panjang. Definisi: Belah Ketupat, Persegi dan Persegi Panjang dapat dibentuk oleh dua buah segitiga yang kongruen, maka luas belah ketupat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus luas jajargenjang. Catatan: Jika bangun segiempat tersebut dapat dibentuk oleh segitiga dan bayangannya maka luasnya sama dengan luas jajargenjang. 4. Segi Lima Definisi: E
D A
C B
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:
ABC,
ACD, dan
AED, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
dan
5. Segi Enam Definisi: E F D A C B
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
8
Aplikasi Matriks
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu: AED, AFE, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
ABC,
ACD,
dan
6. Segi-n Misalkan
adalah titik-titik sudut dari segi-
n, maka luas segi-n dapat dituliskan:..
B. Persamaan pada Bidang Datar 1. Persamaan garis yang melalui dua titik yang berbeda Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masingmasing titik
, dan
maka ada sebuah garis lurus yang unik melalui
dengan persamaan
Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik
, dan
adalah: dimana Sehingga diperoleh:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
9
Aplikasi Matriks
Sehingga:
Contoh 5: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5) Jawab:
Jadi persamaannya adalah: Contoh 6: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5) Jawab: Dengan menggunakan matriks
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
10
Aplikasi Matriks
2. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing ,
dan
yang tidak semuanya terletak pada sebuah garis.
Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran unik yang melalui titik dengan persamaan
Yang melalui ketiga titik itu. Persamaan garis ini dapat ditentukan dengan menggunakan determinan yaitu:
Contoh 7: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2,-2), (-4,6) dan (3,4) Jawab:
Daftar Pustaka Charles G. Cullen. 1993. Al Jabar Linear dengan Penerapannya. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka. Howard Anton 1995. Al Jabar Linear Elementer. Jakarta: PT. Erlangga
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
