Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi A. Elastisitas Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
1.1 Elastisitas Permintaan Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. Rumus elastisitas permintaan
ηd= →
P dQd dP . Qd ,
Ket : Qd fungsi permintaan , P Harga
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Permintaan suatu barang dikatakan bersifat: Elastis → jika
ηd
> 0 jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase maka permintaan terhadapnya akan dengan persentase yang lebih besar perubahan harganya
Inelastis → jika
ηd
< 0 jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase maka permintaan terhadapnya akan dengan persentase yang lebih kecil perubahan harganya
Uniter
→
tertentu, berubah daripada
tertentu, berubah daripada
jika η d = 0 jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang sama dengan perubahan harganya
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang
→
Q = 25 – 3 P 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Jawab : = - 6 (5) →
→η d =
(5) 25 − 3(5) 2
dQd dP
.
P Qd
=(-6P)
P 25 − 3P 2
=3
η d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .
1.2 Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Rumus Elastisitas Penawaran
η s = dQ dP
s
.
P Qs
Ket : Qs fungsi penawaran , P Harga Penawaran suatu barang dikatakan bersifat:
Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan → Q = - 200 + 7 P 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Tentukan
elastisitas
penawarannya,
pada tingkat harga P = 10 Jawab : η s =
dQs dP
.
P Qs
= ( 14 P )
P − 200 + 7 P 2
(10) η Pada P = 10 → s = (14)(10) − 200 + (7)(10) = 2
2,8 ( elastis )
η s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.
1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Rumus Elastisitas Produksi dP x η p = dx . P
Ket : Pjumlah produk yang dihasilkan (output) xjumlah faktor produksi yang digunakan (input) Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3 dP x Jawab : η p = dx . P =
X ( 12 X – 3 X ) 6 X 2 − X 3 2
Pada X = 3 →
η
p
=
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
3 ( 12 . 3 – 3 . 3 ) 6(3) 2 − (3) 3 = 1 2
η
p
= 1 (uniter) artinya pada tingkat
penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal 1. Biaya Marjinal Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.
dC Rumus biaya marjinal MC = TC = dQ dan MC minimum jika MCI = 0 I
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4 Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4 Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?
Jawab = MC minimum pada MC ‘ = 0 MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 → 6 Q = 6 → Q = 1 → MC minimum MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 – 6(1)+4=6 Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.
2. Penerimaan Marjinal Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Rumus penerimaan marjinal MR = TR
I
=
dR dQ dan TR maks. Jika MR = 0 Contoh : fungsi permintaan suatu barang
→
P = 16 – 2 Q Berapakah besarnya penerimaan maksimum ? Jawab : Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q) = 16 Q – 2 Q 2 Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q TR akan maksimum jika MR = 0 → 16 – 4 Q = 0 →
4 Q = 16 → Q = 4
TR Maks. = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32 Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal : MU = U’ = dU / dQ Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya. Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk marginal : MP = P’ = dp/ dx Contoh: Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x – 3x2 Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial. Fungsi keuntungan ( π ) → π = TR – TC
π akan optimum jika π I = 0 π ’’ < 0 → π maksimum
= keuntungan
maksimum
π ’’
>0
→
π minimum = kerugian maksimum
Contoh : jika fungsi penerimaan Dan fungsi biaya total
→
TR = - 2 Q 2 + 1000 Q 3
2
→ TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Berapakah
tingkat
keuntungan
maksimum ? Jawab :
π = TR – TC =(- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000)
π = - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 Agar keuntungan maks. → π ’ = 0 →
π ’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0 - Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0 → Q 1 = 3 dan Q 2 = 35 →
π ’’ = - 6 Q + 114
pada Q = 3
→
π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 3 ) + 114
= 96 > 0 berarti pada Q = 3
, maka kerugian akan
maksimum. pada Q = 35
→
114 = - 96 < 0
π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 35 ) +
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
berarti pada Q = 35 , maka keuntungan akan maksimum → π
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 = (- 35) 3 +
57 (35) 2 – 315 (35) – 2.000 → π →
= 13.925
jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 13.925,00 pada jumlah penjualan sebanyak 35 unit.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial Diferensial Parsial diferensiasi secara bagian demi bagian • Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Contoh :
y = f ( x, z )
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
a ) f x ( x , z ) = y '...? b) f x ( x, z ) =
∂y ∂x ∂y ∂z
Diferensiasi Total:
∂y ∂y dy = dx + dz ∂z ∂x Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Nilai Ekstrim
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode : 4.1 Pengganda Lagrange
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Contoh:
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
4.2 Kondisi Kuhn-Tucker
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Referensi :
http://rosihan.web.id
