(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo I
Funciones
INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos de mayor importancia y trascendencia en las matemáticas es el de función, que constituye una herramienta fundamental e indispensable en el quehacer de quienes, como el ingeniero, deben representar con modelos diversos fenómenos de la naturaleza, con la finalidad de interpretarlos, manejarlos, modificarlos y utilizarlos para el mejoramiento de la calidad de la vida. CONCEPTOS PRELIMINARES Conjuntos numéricos Conjunto de números naturales. Se denota con y está formado por todos los números que se utilizan para contar. = {1,2,3,4,5,…} Como se observa, se trata de un conjunto no finito, es decir, que contiene un número infinito de elementos. Conjunto de números enteros. Se denota con y está formado por todos aquellos números que son el resultado de la diferencia de dos números naturales. Como se observa, ⊂ . = {p p = m − n ; m, n ∈ } o, en forma explícita,
= {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,…}
y está Conjunto de número racionales. Se denota con formado por todos los números que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. p ⎧ ⎫ = ⎨r r = ; p, q ∈ ; q ≠ 0 ⎬ q ⎩ ⎭ ING, PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Estos números tienen dos formas de expresarse, como cociente y como decimal. Por ejemplo, 4 cociente: ; decimal: 0.8 5 Además, en la forma de cociente su expresión no es única sino que existe un número infinito de expresiones. Por ejemplo, 2 4 8 16 32 = = = = = 3 6 12 24 48 La expresión decimal de un número racional es siempre periódica, esto es, que uno o un grupo de dígitos (marcados con testa) se repiten indefinidamente a la derecha del punto decimal. Considérense los siguientes ejemplos: 2 5 = 0.4 = 0.4000... = 0.40 ; = 0.4545... = 0.45 5 11 −7 = −7.000... = −7.0 Los números enteros y los naturales son racionales, ya que basta con dividirlos entre la unidad para expresarlos de la p . forma q Conjunto de números irracionales. Se denota con Ι y está formado por los números que no pueden expresarse en forma decimal periódica. Algunos ejemplos son: 2 = 1.414213562... − 7 = −2.645751311... π = 3.141592654... e = 2.718281828... Conjunto de número reales. Se denota con y está formado por los números racionales y por los irracionales. A cada número real le corresponde un punto de la recta numérica y viceversa, lo que se ilustra como:
−π
−2 −1.09
0
1
e
3.750 ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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En el siguiente esquema se presenta la clasificación de los números reales: ⎧ ⎧ Naturales ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ Enteros cero ⎪ ⎨ ⎪Racionales ⎪ ⎨ ⎪Enteros negativos Reales ⎨ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ Fracionarios ⎪ ⎪⎩ Irracionales La recta y = mx + b y m = tanα
α
y = mx + b
b
x
y
P ( x1, y1 )
y − y1 =
y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1
x Q ( x2 , y 2 )
Las cónicas Circunferencia.
( x − h)
2
y
+ (y − k ) = r 2
k O
2
r C
h
x
Parábola. ( y − k ) = 4 p ( x − h) 2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
y
V
k
F
x
h p
( x − h)
2
= 4p ( y − k )
y
F
p
Elipse.
( x − h) a2
2
V h
k
(y − k) + b2
x
2
=1
y
F1 k
F2
C
b
x
h c
(y − k) a2
2
( x − h) + b2
a
2
=1
y F1
a
h C
k
x
c
F2 y ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
Hipérbola.
( x − h) a2
2
−
(y − k)
=1
b2 y a
V1
F1
5 2
c
C
k
V2
F2 x
h
(y − k) a2
2
( x − h) − b2
2
=1 y
F1 V1 k
C
h V2
a
c
x
F2
Variables En matemáticas las magnitudes constantes y variables son de suma importancia y generalmente se habla de ellas independientemente de su significado físico. Intervalos de variación
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Considérese el eje numérico de las abscisas, con " x " como magnitud variable, y a dos valores de " x " , a y b , tales que a < b . Se llama intervalo abierto al conjunto de todos los números reales mayores que " a " y menores que " b " . Este intervalo se denota con ( a, b ) y se expresa como:
( a, b ) = {x x ∈
; a < x < b}
Estos valores se ubicarían en la recta numérica como se observa en la figura (
a
)
b Se llama intervalo cerrado, denotado con
x
[a, b] , al formado
por los valores reales del intervalo abierto, junto con los valores a y b . Se expresa como: ⎡⎣a, b⎤⎦ = { x x ∈ ; a ≤ x ≤ b} Y en la recta numérica se representa como: ⎡⎣
a
⎤⎦
x
b Se conoce como intervalo semiabierto por la izquierda y se denota con ( a, b] , al expresado y representado como:
( a, b⎤⎦ = {x x ∈
(
a
; a < x ≤ b} ⎤⎦
x
b Se conoce como intervalo semiabierto por la derecha y se denota con [a, b ) , al expresado y representado como:
( a, b ) = {x x ∈
⎡⎣
a
; a ≤ x < b} )
b
x
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Concepto de función a) Concepto tradicional b) Enfoque con la teoría de conjuntos ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Concepto tradicional. Cuando dos variables están relacionadas en tal forma que a cada valor de la primera corresponde un valor y sólo uno de la segunda, se dice que la segunda es función de la primera. 1A variable f
2 A variable
Notación. Si en una expresión funcional " x " es la variable "y" es la variable dependiente, se independiente y acostumbra escribir y = f ( x ) para representar a la función en estudio y se lee: " y es igual a f de x" y = g( x); y = F ( x); y = φ ( x); …
Ejemplo. Sea: Obtener:
f (0)
f ( x ) = x 2 − 5 x + 12 ; f ( −2 )
; f (3)
;
f ( a)
;
f (b − 2)
Solución.
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Ejemplo. Sea: Comprobar que:
f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 2 + 10 f ( a ) − f ( −a ) = 0
Solución.
Ejemplo. Sea: Verificar que:
g ( x ) = ax g ( z + 1) − g ( z ) = ( a − 1) g ( z )
Solución. Es posible escribir que: g ( z + 1) = a z +1 y g ( z ) = a z de donde: g ( z + 1) − g ( z ) = a z +1 − a z = a z a − a z = a z ( a − 1) = ( a − 1) g ( z ) Enfoque con la teoría de conjuntos Conjunto producto. Sean A y B dos conjuntos. Si se colectan todas las parejas ordenadas ( a, b ) en donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B , entonces esta colección de parejas ordenadas forma un conjunto que se denota por: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
A× B =
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{( a, b) a ∈ A, b ∈ B}
que se llama conjunto producto o producto cartesiano de A y B. Al producto cartesiano de un conjunto por sí mismo se le denota como: A × A = A2 ; B × B = B2 Ejemplo. Dados los conjuntos: A = {−1,0,1} ; B = {2,3,4} ; C = {5,6} Calcular: A × B ; B × C ; C × B ; C2 Solución. Se colectan de manera ordenada las parejas como se ha expresado y se llega a: A × B = {( −1,2 ) , ( −1,3 ) , ( −1,4 ) , ( 0,2 ) , ( 0,3 ) , ( 0,4 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 )}
B × C = {( 2,5 ) , ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 )}
C × B = {( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 )} C2 = C × C = {( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )}
Nota. Como se observa en B × C y C × B , el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, que B × C ≠ C × B . Ejemplo. Sean los conjuntos: A = {x − 2 ≤ x ≤ 3 ; x ∈ } y Representar gráficamente: A× B ; B × A ; Solución.
B = {y − 3 < y < 4 ; y ∈ A2
;
}
B2
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RELACIÓN Definición. Una relación binaria o simplemente una relación, consiste en: Un conjunto A Un conjunto B Una proposición P que es falsa o verdadera para toda pareja ordenada ( a, b ) del producto cartesiano A × B . Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A × B , esto es: R ⊂ A × B
A 1 2 3 4 5 6
B 0
2 1
C
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Al conjunto A se le llama Dominio y al conjunto B Codominio. El número 7 no es un elemento de A . Como se observa en la figura, en el Codominio B existe un elemento que no está asociado con alguno del Dominio. Al conjunto C ⊂ B , formado por aquellos elementos de B que sí están asociados con elementos del Dominio A , se le denomina Recorrido, Rango o Imagen. Entonces, para la figura anterior, es posible escribir: Relación = RR = {(1,1) , ( 2,0 ) , ( 3,1) , ( 4,0 ) , ( 5,1) , ( 6,0 )} Dominio = DR = {1,2,3,4,5,6} Codominio = CR = {0,1,2} Recorrido = RR = {0,1}
Si cada elemento del Dominio está asociado con un solo elemento del Codominio, la relación se denomina Uniforme; si está asociado con dos o más, es Multiforme; finalmente, la relación es Biunívoca si es Uniforme de A hacia B y de B hacia A , lo que quiere decir, que cada elemento de A está asociado con uno y sólo un elemento de B y viceversa. En la siguiente figura se ilustran con diagramas de Venn los tres tipos de relaciones: a b
a b c d e
1 2 3 4
1 2 3
R. Uniforme
R. Multiforme
a b c
1 2 3
R. Biunívoca
Simbólicamente y de manera explícita, una Relación se puede escribir como sigue: R = ( a, b ) a ∈ A, b ∈ B; P ( x, y )
{
}
Donde P ( x, y ) representa la proposición que es falsa o verdadera para toda pareja ordenada del producto cartesiano A × B . ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ejemplo. Sean los conjuntos: A = {−2, −1,0,1,2} y B = {−3, −2, −1,0,1,2,3} Obtener las siguientes relaciones y dar dominio y recorrido de cada una: R1 = ( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; y = x R2 R3
{ } = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; x − y = 2} = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B; x + y = 5} 2
2
Solución.
Para representar gráficamente una relación, como es subconjunto del producto cartesiano, se utiliza la misma convención que para graficar este, por lo que los primeros elementos corresponden a abscisas y los segundos a ordenadas. Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación: R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; y = x
{
}
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Solución.
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación definida en los reales y dar su dominio y recorrido: R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; y < 1+ x
{
}
Solución.
Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación definida en los reales y dar su dominio y recorrido: ⎧ ⎫ x2 y 2 + = 1⎬ R = ⎨( x, y ) x ∈ , y ∈ ; 4 1 ⎩ ⎭ Solución. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ejemplo. Representar gráficamente la siguiente relación definida en los reales y dar su dominio y recorrido: R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; x 2 + y 2 ≥ 1
{
}
Solución.
Ahora se tratará el concepto de función real de variable real, a partir del hecho de que se trata de una relación, pero la selección de las parejas ordenadas que la conforman se sujeta a ciertas propiedades que no necesariamente tienen ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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las relaciones, razón por la cual se puede decir que toda función es relación, pero no toda relación es función. Se puede afirmar entonces, que toda función es una relación y por consiguiente, subconjunto del producto cartesiano. Se presentan dos definiciones de función que son equivalentes, la primera a partir de un tipo de relación y la segunda más general, ambas válidas. Definición. Una función es una relación uniforme Definición. Una función es una terna formada por: a) Un primer conjunto llamado Dominio de la función. b) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función. c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes propiedades: - A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio. - Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el codominio. - Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.
f
Rf Df Cf ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ejemplo. Representar gráficamente, con diagramas de Venn, la siguiente función definida mediante parejas ordenadas: f = {( −3,0 ) , ( −2,1) , ( −1,2 ) , ( 0,3 ) , (1,4 )} Cf = {−5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5}
Solución.
Considérense las siguientes relaciones en las que en algunos casos se trata de función y en otros no, y se hacen las justificaciones correspondientes.
2
1 3
5
4 6
A B Esta relación no es función, ya que el elemento " 5" del conjunto A no está asociado con algún elemento del conjunto B .
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
17
2
1
4 5
6
B A Esta relación no es función, ya que el elemento "1" del conjunto A está asociado con dos elementos del conjunto B.
2
1
4
3
6
5
A B Esta relación sí es función porque todos los elementos del conjunto A están asociados en el conjunto B y cada elemento de A está relacionado con uno y sólo un elemento de B . En resumen, una función puede escribirse de la siguiente forma: f = ( x, y ) y = f ( x ) en donde
f ( x)
{
es la imagen de
}
x
en el codominio,
obtenida a partir de la regla de correspondencia y = f ( x ) . Ejemplo. Dada la siguiente relación, decir si es función, justificar la respuesta y, en caso de no serlo, analizar la factibilidad de que fuera función. R = ( x, y ) x ∈ , y ∈ ; x 2 + y 2 = 4
{
}
Solución. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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De este ejemplo se puede deducir que la condición geométrica para que una relación sea función, es que toda recta paralela al eje " y " debe cortar a su gráfica en un solo punto. Existen diferentes tipos de funciones, de acuerdo a los elementos de sus dominios y codominios. En este tema se hablará, como ya se ha dicho, de funciones reales de variable real, es decir, funciones cuyo dominio y codominio están contenidos en los números reales. Notación Como una función es una relación, se puede presentar también a través de la teoría de conjuntos, como: f = ( x, y ) x ∈ Df ; y = f ( x )
{
}
O bien, cuando esto es posible, escribiendo las parejas ordenadas que la conforman, de la siguiente manera: f = {( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) ,..., ( xn , yn )} Para denotar a las funciones, además de las anteriormente citadas, existen varias formas de las cuales, las más ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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utilizadas, así como la forma de leerlas, se muestran a continuación: y = f ( x ) ; x ∈ Df
x , donde
que se lee como: “ y es una función de pertenece al domino Df ”. f=
x
{( x, y ) y = f ( x ) ; x ∈ D } f
que se lee como: “conjunto de parejas
( x, y )
tales que cada
se obtiene de aplicar la regla de elemento y correspondencia f a cada elemento x del dominio de la función”. ; y = f ( x) que se lee como: “función f que mapea al domino Df en el codominio Cf , dada por la regla de correspondencia y = f ( x) . f : Df → Cf
Representación gráfica Ejemplo. Considérese la siguiente función: y = f ( x) = + x Al analizar esta expresión se deduce que se trata de una parábola y 2 = x con vértice en el origen y cuyo eje focal
(
)
es el eje " x " . Sin embargo, el signo positivo para el radical limita su gráfica a la parte que se encuentra en la parte positiva del eje " y " . Enseguida se muestra una tabla con algunos valores de x pertenecientes al dominio de la función y sus correspondientes imágenes " y " o bien, f ( x ) . x y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
1.0
1.41
1.73
2.0
2.24
2.45
2.65
2.83
3.0
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Si se llevan estas parejas ( x, y ) al plano xy , se obtiene la gráfica mostrada en la siguiente figura: y y = f ( x) = + x
x Nótese que en el ejemplo anterior, si no se hubiera restringido a " y " , existirían dos valores de ella para cada valor de " x " . Df = [ 0, ∞ ) ; Cf = ; Rf = [0, ∞ ) Ejemplo. Determinar el dominio y el recorrido, así como hacer un trazo aproximado de la gráfica de las siguientes funciones: i) y = 2 x + 3 ; (ecuación de una recta) ii) S = 6 x 2 ; (parábola; superficie de un cubo en función de la longitud de cada arista) iii) t = + 0.204d ; (parábola; tiempo de caída libre en función de la distancia en metros) x2 − 2 x ; (ecuación de una recta con un hueco) iv) f ( x ) = x 4 v) y = 2 ; ( ecuación de una curva asintótica ) x − x−6 2 9 − x 2 ; ( ecuación de parte de una elipse ) vi) y = − 3 Solución. i) y = 2 x + 3
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ii)
S = 6x2
iii) t = + 0.204 d
x2 − 2 x iv) f ( x ) = x
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4 . Si en esta función se factoriza el polinomio x − x−6 del denominador, se obtiene: x 2 − x − 6 = ( x + 2 )( x − 3 ) lo que hace ver que el dominio de la función serán todos los valores reales con excepción de x = −2 y x = 3 , ya que para estos dos valores no existe un valor real de la función. Si se calculan los valores de la función en la proximidad de estos dos valores que anulan el denominador de la función dada, se ve que en ellos se presentan asíntotas verticales, que son rectas imaginarias a las que la gráfica de la función se aproxima hacia arriba o hacia abajo pero sin llegar a tocarla. Para conocer el comportamiento de la gráfica de la función, resulta conveniente, cuando se presentan asíntotas verticales, afinar la tabulación -tabla con el calculo de valores de " y " en términos de valores de " x " - en dichos lugares. Entonces, la tabulación queda como sigue: v) y =
2
x y
−5
−4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
0
0.17
0.29
0.67
1.45
±∞
−2.25
−1
−0.67
0.5
1
2
2.5
3
3.5
4
5
6
−0.64
−0.67
−1
−2.25
±∞
1.45
0.67
0.29
0.17
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23 y
Df =
− ⎡⎣ −2,3 ⎤⎦
−2 asíntota
asíntota
3
x
Rf = ( −∞, −0.64] ∪ ( 0, ∞ )
Si se dan a la variable independiente valores muy grandes, tanto positivos como negativos, se verá que la gráfica de la función no cruza el eje de las abscisas por lo que este es una asíntota horizontal.
vi) y = −
2 9 − x2 3
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Ejemplo. Dadas las siguientes funciones, obtener su dominio: 1 x
x−3 x +1
i) y = 2 x 2 − 5 x + 1 ;
ii) f ( x ) =
x3 − x2 iv) f ( x ) = x −1
v) y = 2 x − 5 ; vi) f ( x ) = − 3 x + 7
;
vii) y = − 16 − x 2 ix) y =
x x2 − x − 6
;
;
iii) y =
; viii) f ( x ) =
x) f ( x ) =
4 2 x − 25 5
1 4 − x2 2 ;
xi) y =
2x − 6 x−5
Solución.
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