( )
4 4 = = 54 = 27 → y + 1 = 27 x – 1 → 1 – –– 1 –1 4 2 2 3 –– –– 3 2 6 → 2y + 2 = 27x – 9 → 27x –Funciones 2y = 11 Soluciones! lineales f) m =
223. Escribe la ecuación de esta recta:
Y A
Podemos razonar de dos formas distintas:
B X
Resolución 1: Hallamos la pendiente y la ordenada en el origen y utilizamos la forma y = mx + n.
S O L U C I O N E S A L O S E J E R C I C I O5 S cuando x aumenta 2, y disminuye 5 → m = – 11 1• Pendiente: 2 DE LA UNIDAD • Ordenada en el origen: 5
• La ecuación es: y = – 5 x + 5 2 Resolución 2: a) 4x – 3y = 0 Elegimos dos puntos sobre la gráfica; por ejemplo, A(0, 5) y B(2, 0), y utilib) y = 4la forma punto-pendiente. zamos
c) 2x –punto-pendiente: 3y + k = 0 → 2 · (–3) – 3 · 2 + k = 0 → –6 – 6 + k = 0 → Forma k =. 0Ecuación: → k = 12 → (x2x – 3y→ = –12 5 =+ –5 m =→0 ––12 y = –5 – 2) y = –5 x + 5 2 –0 2 2 2 P I E N S A Y R E S U E LV E
Unidad 11. Funciones lineales
274. En cada caso, escribe la función y di el significado de la pendiente: a) El precio de x kilos de manzanas, si pagué 3,6 € por 3 kg. b) Los metros que hay en x kilómetros. c) El precio de un artículo que costaba x €, si se ha rebajado un 20%. a) P = 1,2x → La pendiente es el precio de cada kilo de manzanas. b) M = 1 000x → La pendiente es el número de metros que hay en un kilómetro. c) P = x – 0,2x = 0,8x → La pendiente es el índice de variación (descuento del 20%).
28 Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A (–1, 3), B (5, 0) y C (45, –20). Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B y prueba después si el punto C pertenece a esa recta. • Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y B: m = 0 – 3 = –3 = –1 5 – (–1) 6 2
Ecuación → y = –1 (x – 5) 2
• Veamos si el punto C(45, –20) pertenece a la recta anterior. Sustituimos x = 45 en la ecuación: y = –1 (45 – 5) = –1 · 40 = –20 → Sí pertenece. 2 2 • Por tanto, la recta y = –1 (x – 5) pasa por los tres puntos. 2
29 Estas gráficas muestran la distancia que recorre el sonido en diferentes medios según el tiempo.
-1-
4 3
DISTANCIA (km) GRANITO
AGUA
Pág. 12
y = –1 (45 –15) = –1 · 40 = –20 1→ Sí pertenece. 2 m = . El sonido 2 a) Aire: recorre km en 1 segundo en el aire. 3 3 • Por tanto, la recta y = –1 (x – 5) pasa por los tres puntos. Soluciones! 3 lineales 2 sonido recorre 1,5 km en 1 segundo en elFunciones Agua: m = = 1,5. El agua. 2 DISTANCIA (km) 29 Estas gráficas muestran la distan5. 4 40 ≈ 5,71. GRANITO Granito: m = El sonido recorre, aproximadamente, 5,71 km en AGUA cia que recorre el sonido en dife7 rentes medios según el tiempo. 1 segundo en el granito. 3 a) Halla pendiente una L O S E J E R C I C I O S S OlaL U C I O NdeEcada S A 2 y explica su1 significado. D E y L= A x.UAgua: N I Dy =A1,5x. D Granito: b) Aire: y = 40 x. 3 7 AIRE b) Escribe sus ecuaciones.
11 1
1
30 Esta es la gráfica del espacio
1 000
ESPACIO (m)
C
que recorren tres montañeros 1 2 3 4 que van a velocidad constante: 1 . El sonido recorre500 1 km en 1 segundo en el aire. Unidad Funciones a)11.Aire: m =lineales 3 ¿Qué velocidad3 lleva cada uno?
Pág. 13
B TIEMPO (s)
A
Escribe analítica (min) Agua:lamexpresión = 3 = 1,5. El sonido recorre 1,5 km en 1 segundo enTIEMPO el agua. 2 de estas funciones. 5 10 15 20 Granito: m = 40 ≈ 5,71. El sonido recorre, aproximadamente, 5,71 km en A: Velocidad = s 7 → v = 100 → e = 100 (t – 5) t 3 3 1 segundo en el granito. B: Velocidad = 100 → e = 500 + 100 t 3 3 b) Aire: y = 1 x.650 Agua: y = 1,5x. Granito: y = 40 x. 7 C: Velocidad3= = 130 → e = 130t 5
30 Dos Esta es la gráfica del espacio 1 000 ESPACIO (m) C 31 depósitos de agua, A y B, funcio- 175 CAPACIDAD (l) 6.
B
que recorren tres montañeros nan de la siguiente forma: a medida 150 que van a velocidad consque A se va vaciando, B se va llenando. 125 100 tante: A 500 75 Estas son las gráficas: 50 ¿Qué velocidad lleva cada uno? 25 a) Indica cuál es la gráfica de A, cuál la TIEMPO (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Escribe expresión analítica TIEMPO (min) de B ylaescribe sus ecuaciones. de estas funciones. 5 10 15 20 b) ¿Cuál es la velocidad de entrada y de salida del agua? c) qué momento depósitos cantidad de agua? A: ¿En Velocidad = s →losvdos = 100 → etienen = 100igual (t – 5) t 3 3 a) • A corresponde a una fracción decreciente. Vemos que su gráfica pasa por B: Velocidad = 100 → e = 500 + 100 t 3 0). 3 S(0,O150) L UyC(7,5; IONES A LO S EJERCICIOS 650 0 – 150 C: Velocidad = 130 e = –20. 130t Ecuación: y = 150 – 20x Pendiente m = A→ D E L A= → U D 5 N I D7,5 –0 • B corresponde a una función creciente. Su gráfica pasa por (0, 0) y (10, 100). 31 Dos depósitos de agua, A y B, funcio- 175 CAPACIDAD (l) 150 nan Pendiente de la siguiente medida → mforma: = 100 a= 10. Ecuación: y = 10x que A se va vaciando, B se10va llenando. 125 100 75 Estas son las gráficas: b) • Velocidad de entrada → 10 l/min 50 25 Unidad 11. Funciones lineales a) Indica cuál es la gráfica de A, cuál la • Velocidad de salida → 20 l/min TIEMPO (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 de B y escribe sus ecuaciones.
11 1
b) es la velocidad de entrada de salida 150 – 20x =y 10x → del 150agua? = 30x → x = 5, y = 50 c) ¿Cuál y = 150 – 20x y = qué 10x momento c) ¿En los dos depósitos tienen igual cantidad de agua? 5 minutos los dosfracción depósitos tienen 50 litros agua. a) •AAloscorresponde a una decreciente. Vemosdeque su gráfica pasa por (0, 150) y (7,5; 0). -2Pendiente → m = 0 – 150 = –20. Ecuación: y = 150 – 20x Página 246 7,5 – 0 B corresponde una función Su gráfica pasa por (0, 0) y los (10,valores 100). 32 Al •colgar diferentesa pesos de un creciente. muelle, este se va alargando según que indica esta tabla:
Pág. 14
AA los los 55 minutos minutos los los dos dos depósitos depósitos tienen tienen 50 50 litros litros de de agua. agua.
Soluciones!
Funciones lineales
Página Página 246 246
32 32 Al colgar colgar diferentes diferentes pesos pesos de de un un muelle, muelle, este este se se va va alargando alargando según los valores 7. Al que que indica indica esta esta tabla: tabla:
PESO PESO,,
xx (g) (g)
LONGITUD LONGITUD,,
yy (cm) (cm)
00
22
55
10 10
55
66
7,5 7,5
10 10
a) a) Haz Haz la la gráfica gráfica de de esa esa función. función. b) b) Halla Halla su su expresión expresión analítica. analítica. c) c) Explica Explica el el significado significado de de la la pendiente. pendiente. a) a)
LONGITUD LONGITUD (cm) (cm)
10 10 88 66 44 22 22
44
66
88
10 10
PESO (g) (g) PESO
b) yy == 55 ++ 11 xx b) 22 c) La La pendiente pendiente es es m m == 11 yy nos nos indica indica que que por por cada cada 22 gramos gramos que colgamos c) 22 al muelle, muelle, este este se se alarga alarga 11 cm. cm. al
11 1
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
8. Una 33 UnaDreceta receta paraU hacer helados recomienda poner poner 55 gg de vainilla por cada 33 hacer E L para A N I helados D A D recomienda
de leche. leche. 100 cm cm33 de 100
Encuentra la la relación relación entre entre la la cantidad cantidad de de leche leche yy de de vainilla vainilla y representa la Encuentra función. función. Llamamos yy aa los los centímetros centímetros cúbicos cúbicos de de leche leche yy xx aa los los gramos de vainilla. Llamamos
Como cada 100 cm3 de leche debemos poner 5 g de vainilla, cada 20 cm3 de Unidad 11. Funciones Funciones linealesponer 1 g de vainilla: Unidad 11. lineales leche deberíamos y = 20x Su representación gráfica es la siguiente: 60 40 20 1
2
3
34 Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km. a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros. b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación. a)
MILLAS
1
2
3
4
-3-
5
Pág. 15
20 1
2
3
1 2 3 Soluciones! 34 Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km. 9. Una 34 milla aproximadamente, a 1,6 km. a) Haz unaequivale, tabla para convertir millas en kilómetros.
Funciones lineales
a) unalatabla para convertir en kilómetros. b) Haz Dibuja gráfica y escribe su millas ecuación. b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación. a) MILLAS 1 2 3 4 5 a) MILLAS KILÓMETROS 1,6 3,2 4,8 6,4 1 2 3 4 58 1,6
KILÓMETROS
3,2
4,8
6,4
8
b) Si x es el número de millas e y el número de kilómetros, nos queda la relación: 1,6x; cuya representación es: de kilómetros, nos queda la reb) Si x es yel=número de millas e y el número lación: y = 1,6x; cuya representación es: KILÓMETROS KILÓMETROS 10
10 8 8 6 6 4 4 2 2 2
4
6
8
10
MILLAS
2
4
6
8
10
MILLAS
10 35. La temperatura de ebullición, T, de un líquido depende de la presión, P, a
la que esté sometido. Cuanto menor menor es T. de la presión, P, a 35 La temperatura de ebullición, T, de es un P, líquido depende
la esté sometido. Cuanto menor es P, menor es T. Laque tabla esta S Onos L Umuestra CION Edependencia. S A LOS EJERCICIO S P (atm) La tabla nos muestra esta dependencia. Supongamos que la presión que soporta el líquido a niD E L A1 atmósfera. UNIDAD P(atm) 1 vel del mar esque Supongamos la presión que soporta el líquido a ni0,692 1 vel delde mar es 1 atmósfera. esta relación? Razónalo. a) ¿Es proporcionalidad
11 1
a) de proporcionalidad b) ¿Es Representa gráficamenteesta estosrelación? valores.Razónalo.
0,467 0,692 0,122 0,467 0,122
T (°C)
T(°C) 100 90 100 80 90 50 80
b) Representa gráficamente estos valores. 50 Unidad Funciones a)11.Para ver silineales es de proporcionalidad, comprobaremos si el cociente de las variaciones Unidad 11. Funciones entre linealespresión y temperatura es siempre el mismo. 100 – 90 ≈ 32,468 1 – 0,692
90 – 80 = 44,44 0,692 – 0,467
Esto nos muestra que los tres puntos que hemos observado (1, 100), (0,692; 90) y (0,467; 80) no están alineados. Por lo tanto, la relación no es de proporcionalidad. b)
T 100 75 50 25 0,2
0,4
0,6
0,8
1 P -4-
36 En una heladería, A, venden el helado a 5 € el litro y cobran 1 € por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería, B, cobran 0,5 € por un envase y 6 € por cada litro de helado.
Pág. 16
25 0,2
Soluciones!
0,4
0,6
0,8
1 P
Funciones lineales
S Oheladería, LUCIO E S elAhelado L OaS5 €EelJ litro ERC I C I O1 S€ por un en36. En una A, N venden y cobran 11
11 1vase,DseaE delL Atamaño U Nque I Dsea. AD En otra heladería, B, cobran 0,5 € por un envase y 6 € por cada litro de helado.
a) Representa la función litros de helado – coste para cada heladería y escribe sus ecuaciones. b) Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de helaCOSTE (€) do que compremos. 5
a) Las relaciones entre la cantidad de helado que se compra (x) y el precio (y) son, según las4heladerías, las siguientes: A → y = 1 3+ 5x
B → y = 0,5 + 6x 2
A
Hacemos dos1tablas de valores con los precios en cada heladería: B
A COSTE LITROS EN B COSTE º DE LITROS 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 N0,1 1,5 0,1 1,1 0,2 2 0,2 1,7 Si se compra menos de medio litro de helado, es más ventajosa la oferta de 0,3 2,5 0,3 2,3 la heladería B. 0,4 3 0,4 2,9 Si se compra exactamente medio litro de helado, no importa dónde se com0,5 3,5 0,5 3,5 pre, porque cuesta lo mismo. 0,6 4 0,6 4,1 Si se compra más de medio litro de helado, es más ventajosa 0,7 4,5 0,7 4,7 la oferta de la LITROS EN
b)
heladería A.
12 37. Esta tabla muestra lo que cuesta
imprimir unalineales hoja Unidad 11. Funciones
publicitaria
en una imprenta:
N-º DE EJEMPLARES
50
100
200
500
(€)
2,25
3
4,5
9
COSTE
a) ¿Cuánto costaría imprimir un solo ejemplar? ¿Y 1 000 ejemplares? b) Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-coste. c) Represéntala gráficamente como si fuera continua (realmente es una función discontinua formada por puntos aislados). a) Número de ejemplares → 200 – 100 = 100 Coste → 4,5 – 3 = 1,5 Los mismos datos obtenemos calculando otras diferencias. Por lo tanto, imprimir un ejemplar cuesta 0,015 €. Además, hay un coste fijo de 1,5 €. Concluimos que un ejemplar cuesta 1,515 €. Mil ejemplares cuestan 15 + 1,5 = 16,5 € b) Si llamamos x al número de ejemplares e y al coste: y = 0,015x + 1,5 c)
COSTE
(€)
10 7,5 5 2,5 100 Unidad 11. Funciones lineales
200
300
400
500- 5N--º DE EJEMPLARES
Pág. 17
11 1
DE LA UNIDAD DE LA UNIDAD Pág. 18
Soluciones!
Funciones lineales Pág. 18
13 38. En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:
38 A: EnSueldo el contrato de trabajo, vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: fijo mensual dea1un 000 €. A: Sueldo fijo mensual de 800 1 000€€. B: más el 20% de las ventas que haga. B: Haz Sueldo mensual de 800 €lomás 20% de que haga. a) unafijo gráfica que muestre que elganaría enlas unventas mes según la modalidad Toma variable ventas haga y coa) del Hazcontrato. una gráfica quecomo muestre lo queindependiente ganaría en unlas mes segúnque la modalidad mo variable dependiente el sueldo. del contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y covariable dependiente el sueldo. b) mo Escribe la expresión analítica de cada función. b) Escribe la expresión analítica cada función. c) ¿A cuánto tienen que ascenderdesus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? ¿Cuáles son esas ganancias? c) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? ¿Cuáles son esas ganancias? a) SUELDO
(€)
a) 1 040 SUELDO (€) A
11040 000
A
1000 960 960 920 920 880
B
880 840
B
840 800 800 200
400
600
800 1 000 1 200
VENTAS
200
400
600
800 1000 1200
VENTAS
A → y = 1 000 B → y = 800 + 0,2x A → y = 1 000 B → y = 800 + 0,2x 800 + 0,2x = 1 000 → 0,2x = 200 → x = 1 000 y = 1 000 y = 800 1 000+ 0,2x 800 + 0,2x = 1 000 → 0,2x = 200 → yx == 11 000 000 y = 800 + 0,2x = 1de 000 Para ganar lo mismo con las dos modalidades, las ventas han deyser 1Para 000ganar €. Enloeste caso,con las las ganancias serían de 1las 000 €. han de ser de mismo dos modalidades, ventas 1 000 €. En este caso, las ganancias serían de 1 000 €. 39 El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un pagamos €, y si recorre 360 km, cuesta 39 €. Escribe 14 39. trayecto El preciodede140 un km viaje en tren17 depende de los kilómetros recorridos. Por un la ecuación de lakm recta que relaciona el pretrayecto de 140 pagamos 17 €, ylos si kilómetros recorre 360recorridos, km, cuesta x, 39 con €. Escribe cio del billete, y. Represéntala gráficamente. la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x, con el precio del y. Represéntala gráficamente. Pasa porbillete, los puntos (140, 17) y (360, 39). Pasa por los puntos (140, 17) y (360, 39). PRECIO (€) Pendiente: m = 39 – 17 = 22 = 0,1 90 360 – 140 220 PRECIO (€) Pendiente: m = 39 17 = 22 = 0,1 90 360 – 140 220 Ecuación: y = 17 + 0,1 (x – 140) → Ecuación: y = 17 + 0,1(x – 140) → 50 → y = 0,1x + 3 50 → y = 0,1x + 3 b) b) c) c)
10
10 100
500
1 000
RECORRIDO
(km)
100
500
1000
RECORRIDO
(km)
Unidad 11. Funciones lineales
Unidad 11. Funciones lineales
-6-
11 1
DE LA UNIDAD
Soluciones!
Pág. 19 Funciones lineales
15 40. La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 °C, y en la
Fahrenheit es 32 °F. La ebullición del agua es 100 °C, que equivale a 212 °F. a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala. b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 °C; 36,5 °C; 10 °C. c) Pasa a grados centígrados 86 °F y 63,5 °F. a) Es una recta que pasa por los puntos (0, 32) y (100, 212). La pendiente de la recta es: m = 212 – 32 = 1,8 100 – 0 La recta es, pues: y = 32 + 1,8x, donde x es la escala centígrada e y es la escala Farenheit. Su representación es la siguiente: TEMPERATURA
(°F)
200 175 150 125 100 75 50 25 25
50
75
100
TEMPERATURA
(°C)
b) 25 °C → y = 32 + 1,8 · 25 = 77 °F 36,5 °C → y = 32 + 1,8 · 36,5 = 97,7 °F 10 °C → y = 32 + 1,8 · 10 = 50 °F c) 86 °F → 86 = 32 + 1,8x → x = 30 °C 63,5 °F → 63,5 = 32 + 1,8x → x = 17,5 °C Página 247
41 En un recibo por consumo de energía eléctrica de un mes aparece esta información: 1 400 kwh
CONSUMO PRECIO DEL
kwh
0,2 €
a) ¿Cuánto cobrarán por la energía consumida? Unidad 11. Funciones lineales
-7-
63,5 °F → 63,5 = 32 + 1,8x → x = 17,5 °C Página 247 Soluciones! Funciones lineales 41 recibo energía 16 . En un SO L U por C I consumo O N E Sde A L Oeléctrica S E J de E RunCmes I Caparece I O S esta infor-
11 1mación: DE
LA UNIDAD
1 400 kwh
CONSUMO PRECIO DEL
kwh
0,2 €
Pág. 20
a) ¿Cuánto cobrarán por la energía consumida?
b) Haz una gráfica que relacione consumo-coste.
Unidad 11. Funciones lineales
Para ello, utiliza estas escalas: Eje horizontal → 1 cuadradito = 100 kwh Eje vertical → 1 cuadradito = 20 € Escribe su ecuación. c) Si, además, la empresa suministradora cobra al mes 20 € por el alquiler del equipo, ¿cómo queda la ecuación consumo-coste? Represéntala junto a la anterior y escribe su ecuación. d) ¿Qué transformación sufre el precio si añadimos el 16% de IVA? ¿Cómo se transforma el alquiler del equipo? Representa, junto a las otras, la gráfica de la función resultante y escribe su ecuación. a) 1 400 · 0,2 = 280 € b) Ecuación: y = 0,2x (ver gráfica) c) Ecuación: y = 20 + 0,2x (ver gráfica) d) –– Al aumentar un 16% a cada kwh, en lugar de costar 0,2 €, costará: 0,2 · 1,16 = 0,232 € –– El alquiler del equipo costará 20 · 1,16 = 23,2 €. –– La ecuación será: y = 23,2 + 0,232x (ver gráfica) COSTE
300
(€) y = 23,2 + 0,232x
y = 20 + 0,2x y = 0,2x
200
100 20 500
1 000
1 500
CONSUMO
(kwh)
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
42 Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante. ¿Cómo se llama esa constante? - 8 - y = mx. Por ejemplo, y = 3x. • Una función de proporcionalidad es de la forma Unidad 11. Funciones lineales
