CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS - mdsvmn

I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

TERCER GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

PARA SER TRABAJADO DEL 09 DE MAYO AL 06 DE JUNIO 2011

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Discrimina los criterios de congruencia de triángulos.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA Utiliza gráficos para solucionar problemas con triángulos

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño pero diferente posición.

B

Q

Q B



 A







A





 



R

P

ABC  PQR

R

P

C

C

CASO 3: LADO, LADO, LADO (L.L.L.)

ABC  PQR

E

B * ABC es congruente al PQR.



CASOS DE CONGRUENCIA:

A

N

CASO 4: ÁNGULO, LADO, LADO B

 A





 C

M



MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

(A,L,L mayor)

N c

a 

CASO 2: LADO, ÁNGULO, LADO (L.A.L.)

mayor

c

Q

A

ABC  MNQ

F

ABC  DEF

CASO 1: ÁNGULO, LADO, ÁNGULO (A.L.A.) B

D

C

a



C

ABC  MNP

 P

M

ca



APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS: (BASE MEDIA) B

TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo, se encuentra a igual distancia de los lados.

M

N

Q  

O

A

P

Si: AM = BM y

R Si:

C

OP es bisectriz del QOR; PQ = PR.



MN // AC .

MN 

BN = NC

AC 2

 POQ  POR TEOREMA TEOREMA DE LA MEDIATRIZ

DE

LA

MENOR

MEDIANA

EN

UN

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Todo punto que pertenece a la mediatriz de un

En todo triángulo rectángulo la longitud de la

segmento, se encuentra a igual distancia de los

mediana relativa a la hipotenusa, es igual a la mitad de la

extremos del segmento.

longitud de la hipotenusa. B

P A

A

 L es mediatriz de AB ; PA = PB.



C

B

M

 L

Si:

M

PAM  PBM


Si:

BM mediana relativa a la hipotenusa.



BM 

AC 2



APLICO LO QUE APRENDÍ

5.

* En cada una de las figuras, indica el caso de congruencia de triángulos: 1. 6.

120°

60°

2.

3.

7.

8.

D

AB = DE B

A

4.


9.

C

E



10. * En los siguientes gráficos, calcula la medida de “x”: 15.

7

11. x





16.

12. 2x – 1



13.

8–x



17.

9

B

14.

D

C

AB = AD

A


E

x



18.

22.

3x – 4 x+6

12 x

23.

19.

9

18 x

x

24. 20.

x

x 12

14 25.

21.

x

3x x+2


9–x



APLICO LO QUE APRENDÍ 1. En la figura, calcula “x”:

b–2 a+b 

x  a+6

a) 2

b) 4

d) 6

e) 8

c) 5

2. En la figura, calcula “x”:

8

6

x a) 12

b) 13

d) 15

e) 16

c) 14

3. En la figura, calcula “x”:

x–4

x–2 a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

c) 6

4. Del gráfico, calcula “x”: x+4 a) 2

b) 4

d) 5

e) 6


c) 3 6x



SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir: C

b

C’

a

a’

b’ A

B

c

A’

c’

 ABC   A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’) si y sólo si : i)

ii)

Ejemplo :

 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’

a b c = = a' b' c'

Los triángulos siguientes son semejantes :

B 10 6

C

B’ 5

3 C’

4

8

A

A’

En efecto :  A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’

a b c = = =2 a' b' c' MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

B’



CASOS DE SEMEJANZA 1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.(Ángulo-ángulo) Ejemplo 01:

70º

40º

3.

70º

40º

Dos triángulos que tiene sus tres lados proporcionales son semejantes (lado – lado - lado).

Ejemplo 01:¿Son semejantes los triángulos ? 5

6 12

10

Ejemplo 02:

18

AB // DE ,

Según la figura, si

9

 ABC   DCE ?

¿ es A

B

Ejemplo 02: ¿ Son semejantes los triángulos ?

C

como D

15 12  10 8

E

Entonces

Si AB // DE , entonces D=B (Alternos internos entre paralelas) y

y ademas

 CRJ   LBQ

 E =  A ( alternos internos entre paralelas)

Por lo tanto :

36

C

15

 ABC   DCE

4 27


36

35º

R

2. Dos triángulos que tienen un ángulo igual comprendido por lados proporcionales son semejantes (lado-ángulo lado). Ejemplo

12

 R =  B = 35º

N 10

9 35

B

5 5 º

0 5

8 2

I

12

J



UTILIZAMOS LO APRENDIDO 1.

C

E

D

Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2.

A

Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la

3.

8.

B

F

Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm. por

proporcionalidad de sus lados.

2,5 cm. Se quiere ampliar de manera que el lado

Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54

mayor mida 26 cm. ¿Cuanto medirá el lado menor?

m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar 4.

9.

Se desea hacer un plano de un terreno de 100m de

los otros dos lados de este triángulo.

largo por 300m de ancho usando una escala de 1:500

La razón de semejanza del triángulo ABC con el

¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno?

triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo. 5.

cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm..

y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los

homólogo del primer lado de este triángulo, un

catetos de un triángulo semejante al primero si su

triángulo semejante a aquel.

hipotenusa mide 15 m.? 6.

10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3

Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m.

J

Según la fig.

11. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD.

NK  JL ; ML  JL NK = 4 , ML = 6 , JM = 15 , JN =?

N

K

L 7.

a)

b)

c) d)

¿ En qué casos el

AB DE AB BC BC EF







BC EF

DE EF



CA FD B=E

;

AC DF

 A=D

 ABC   DEF

B=D

, ,

C=E


M ?



APLICO LO QUE APRENDÍ 1.

Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’. C

C’ a

b A

b’ B

c

a

A’

B’

C’

2.

¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.

3.

Los triángulos de la figura son semejantes. Escribir la proporcionalidad de sus lados homólogos. C

A

4.

F







B

D



 

E

Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 6 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo.

5.

Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 20 cm?




SEMEJANZA EN LA VIDA REAL 1. El profesor de arte te pide hacer una copia del cuadro "La Mona Lisa" de Leornardo Da Vinci. El cuadro original tiene las medidas que se muestran en el dibujo. ¿Cuál de las siguientes cartulinas tiene el tamaño exacto que te sirve para hacer una reducción del cuadro original manteniendo sus proporciones? A. 38,5 cm. x 26,5 cm. B. 70 cm. x 53 cm. C. 71,5 cm. x 47,5 cm. D. 77cm. x 77 cm. 2. ¿Qué altura tiene el faro, de acuerdo a la información entregada?

A.

9,3 m

B.

13,3 m

C.

18 m

D.

21 m

3. Se desea hacer un plano de un terreno de 200m de largo por 600m de ancho usando una escala de 1:500 ¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno A.

40m por 120m

B.

40 cm. por 60cm

C.

40cm. por 120 cm.

D.

400 cm. por1200 cm.

4. En una fotografía de Juan y Pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5m y en la foto aparece de 10 cm. ¿Cuánto mide Pedro si la foto lo muestra de 11cm? A.

0,73 m

B.

1,36 m

C.

1,65 m

D.

1,71 m


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