CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. Un triángulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro. Para saber si dos triángulos son iguales no es necesario comprobar la igualdad de sus lados y ángulos uno a uno, sino que se puede aplicar uno de los tres siguientes criterios: 1er. criterio. Si dos lados de un triángulo y al ángulo que forman son iguales respectivamente a los de un segundo triángulo, ambos son congruentes o iguales. Q
B
A
R
P
C
Se cumple que los segmentos AC = PR y AB = PQ y los ángulos ∠ A = ∠ P, por lo tanto ( ∴) el triángulo ∆ ABC = ∆ PQR. 2º. Criterio. Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, son triángulos congruentes o iguales. B
Q
A
C
R
P
Se cumple que los segmentos AC = PR , AB = PQ y BC = QR , por lo tanto ( ∴) el triángulo ∆ ABC = ∆ PQR.
3er. Criterio. Dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos iguales son triángulos congruentes o iguales. B
A
Q
C
P
R
Se cumple que los segmentos AC = PR , los ángulos ∠ A = ∠ P y ∠ C = ∠ R, por lo tanto ( ∴) el triángulo ∆ ABC = ∆ PQR.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Se dice que dos figuras geométricas que presentan la misma forma son semejantes. El símbolo utilizado para indicar una semejanza es ≈ .
Figura de autos semejantes Tratándose de triángulos, se dice que dos triángulos son semejantes si cumplen con alguno de los siguientes criterios. 1er. Criterio.. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, son triángulos semejantes. Q 66.4º
B 66.4º
C
A
Los ángulos
56.8º
56.8º
56.8º 56.8º
R
P
∠ A = ∠ P y el ∠ C = ∠ R ∴ el triángulo ∆ ABC ≈ ∆ PQR.
2º. Criterio.. Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes proporcionales, son triángulos semejantes. B Q
6 3
3 1.5 A
4
C
P
2
R
Los segmentos: AC 4 = =2 PR 2
AB 3 = =2 PQ 1.5
BC 6 = =2 QR 3
∴ el triángulo ∆ ABC ≈ ∆ PQR.
3er. Criterio. Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son triángulos semejantes. Q
6
B 3 30º
A
30º
P
R
C
5
10
Los segmentos: AB 3 = = 0.5 y ∠ A = ∠ P PQ 6
AC 5 = = 0.5 PR 10
∴ el triángulo ∆ ABC ≈ ∆ PQR.
Ejemplos resueltos de triángulos semejantes. 1. En la siguiente figura determinar el valor El triángulo ∆ ABC ≈ ∆ ADE, ya que sus ∠ E = ∠ C y ∠ D = ∠ B, cumpliéndose el del segmento BC . primer criterio de semejanza. B
D
E
2
BC 3 ( 20)(3) BC = 2 (60) BC = 2
sustituyendo valores tenemos
20 = 2
3 A
AC BC = AE DE que:
∴
C
18
BC = 30
2. En la siguiente figura determinar el El triángulo ∆ ABC ≈ ∆ ADE, ya que sus valor del segmento AB ∠ D = ∠ B y ∠ E = ∠ C, cumpliéndose el primer criterio de semejanza.
B D
AB 12 (16 )(12 ) AB = 10 192 AB = 10
sustituyendo valores tenemos
16 = 10
12
A
AC AB = AE AD que:
∴
10
E
6
C
AB = 19.2
3. En la siguiente figura determinar el valor de x. B
BC 8 (16 )(8) BC = 12 128 BC = 12
E
12
X A
sustituyendo valores tenemos
16 = 12
8 D
AC BC = DE BE que:
∴
C
16
BC = 10.66
Como BC = 10.66 , entonces El triángulo ∆ ABC ≈ ∆ BDE, ya que sus ∠ D = ∠ A y ∠ E = ∠ C, cumpliéndose el x = BC - BE x= 10.66 - 8 primer criterio de semejanza. x= 2.66 4. En la siguiente figura determinar el valor de x. B 6 D
15
10 = 6
AC 15
AC =
(10 )(15)
E
4 A
AB AC = BD DE que:
∴
C
X
El triángulo ∆ ABC ≈ ∆ BDE, ya que sus ∠ D = ∠ A y ∠ E = ∠ C, cumpliéndose el primer criterio de semejanza. 5. En la siguiente figura determinar el valor de x. B
6
AC = X=
X
A 10
2 E
C
150 6
AC BC = AD DE que:
∴
8 D
10 8 = X 2
x=
(10)(2)
8 El triángulo ∆ ABC ≈ ∆ ADE, ya que el 20 ∠ A tiene el mismo valor para los dos x= 8 triángulos y los lados que lo forman son proporcionales, cumpliéndose el tercer x= 2.5 criterio de semejanza.
sustituyendo valores tenemos
X= 25
sustituyendo valores tenemos
