DERET FOURIER

4. Perderetan f(x) = ⎩. ⎨. ⎧. 2. 1 π π π. 2. 0. ...

81 downloads 1123 Views 101KB Size
DERET FOURIER

Oleh :

Nama

:

1. Neti Okmayanti

(2007.121.460)

2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465) 3. Feri Febriansyha Kelas

:

6. L

Mata Kuliah

:

Matematika Lanjutan

Dosen Pengasuh

:

Fadli, S.Si

(2007.121.458)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010

DERET FOURIER A. Fungsi Periodik Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier: f(x)

=

∞ a0 nπx nπx + ∑ (a n cos + bn sin ) L L 2 n =1

an

=

1 nπx f ( x) sin dx ∫ L −L L L

dimana

n = 0, 1, 2, . . . . . 1 nπx = f ( x ) sin dx ∫ L −L L L

bn

bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis dalam bentuk : an

1 = L

c+2L



f ( x) cos

c

nπx dx L n = 0, 1, 2, . . . . .

bn

1 = L

c +2 L

∫ c

f ( x) sin

nπx dx L

B. Syarat Dirichlet

Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L) a. Bernilai tunggal b. Terbatas (bounded) c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga

1

Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu 2.

1 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} untuk x dimana f(x) tidak kontinu. 2

C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier 1.



u dv = u v -

∫ uv = u v1 – u





v du atau

v2 + u’’ v3 - . . . . . dimana

u’ = turunan pertama v1 =



v dx dan seterusnya

Contoh : 1.

3 ∫x

sin 2x dx =

3x2

−1 cos 2 x 2

6x

1 - sin 2 x 4

6

1 cos 2 x 8

0

1 sin 2 x 16

 3x 2   6x − x3  6 cos 2 x −  − sin 2 x  +  cos 2 x  − sin 2 x 2  16  4   8

Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti. −2< x<0

0 Perderetkan f(x) =  3

0< x<2

2

menurut deret Fourier:

(periode 4, L = 2) Penyelesian : Y 3

-2

0

2

X

2

a0

1 1 1 = 0 dx + ∫ 3 dx = 3 x ∫ 2 2 −2 20

a0

1 nπx 1 nπx = ∫ 0 cos dx + ∫ 3 cos dx 2 −2 2 20 2 0

2 0

=0

2

nπx   3.2 = 1 2 sin = 0, 2  0  nπ 2

1 nπr 1 nπr 0 sin dx + ∫ 3 sin dx ∫ 2 −2 2 20 2 0

bn =

n = 1, 2, . . . . . (sin n π = 0 )

2

nπx  3  3.2 = 1 2 − cos = (1 − cos nπ ),  2  0 nπ  nπ 2

n = 1, 2, . . . . . bn = 0 untuk n genap

jadi: f (x) =

3 6 πx 1 3πx 1 5πx 1 7πx + (sin + sin + sin + sin + ...) 2 π 2 3 2 5 2 7 2

f (x) dapat ditulis sebagai berikut: (2n − 1)πx  3 6 ∞  1  sin f (x) = + ∑  2 π n =1  (2n − 1) 2 

3

0< x <π

1 Perderetan f(x) =  2

menurut deret Fourier.

π < x < 2π

(periode 2π, L = π) Penyelesaian:

2

Y 1 2π

π

X

a0 =

=

an =

=

1

π 1

π 1

π 1

π





f ( x)dx =

0

π

1

∫ 1dx +

π

0

1



π

∫ π

2dx =

{x] +2 x] } π 1



π

π

0

{(π ) + (4π − 2π )} = 1 + 2 = 3 2π



f ( x)dx =

0

π



1

π

π

∫ 1. cos

cos nxdx +

0

0

1

π

nπx

π

dx +

1

π



∫π 2. cos

nπx

π

dx





2 cos nxdx

π

π



 1   2  =  sin nx  +  sin nx  = 0  nπ  0  nπ 2 bn =

=

1

π 1

π



∫ 0

f ( x)dx =

1

π

π

∫ 1.sin nx dx + 0

π

π

∫ 1. sin 0

1 π

nπx

π

dx +

1

π





2.sin nx dx

π 2π

 1   2  = − cos nx + − cos nx  nπ  0  nπ π

4



∫ 2. sin π

nπx

π

dx

= − = bn =

1 1 2 2 cos nπ + + cos nπ − ; (cos 0 = cos 2π) nπ nπ nπ nπ

1 (cos nπ − 1), nπ

n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap

2 (2n − 1)π

D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0 a0

an

=

=

π

1

π



f ( x)dx =

−π

π

1

π

∫π

2

π

π

∫ f ( x).dx 0

f ( x)cos nx dx =



2

π

f ( x).cos nx dx

Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x). Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0 bn

=

π

1

π



f ( x) sin nx dx =

−π

2

π

π



f ( x).sin nx dx

0

Contoh Soal : 1. Perderetkan f(x) = x2,

-π ≤ x ≤ π (periode 2π)

Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0 a0

=

1

π

π

∫π

f ( x)dx =



=

2 (π 3 ) 3π

=

2π 2 3

2

π

x π∫

2

.dx =

0

5

2 3 x 3π

π 0

an

=

π

1

∫π f ( x) cos

π



nπx

π

dx =

2

π

π

∫x

2

. cos

0

nπx

π

=

π 2 x 2x 2 ( sin nx + 2 cos nx − 3 sin nx) 0 π n n n

=

2

(0 +

π

2π cos nπ + 0) n2

4 (−1) n 2 n

π2

cos nx

2x

-

2

−1 cos nx n2

0

−1 sin nx n3

dx

2

=

x2

1 sin nx n

(−1) n cos nx 2 3 n =1 n π3 cos x cos 2 x cos 3x cos 4 x Atau = − 4( 2 − + − + .... 3 1 22 32 42

Jadi f(x) = x2=



+ 4∑

2. Perderetkan f(x) = x,

0
Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn) 2 nπx f ( x) sin dx ∫ L0 L L

bn

=

− 2x −4 2 nπx nπx nπx = ∫ x sin dx = cos − 2 2 sin 20 2 nπ 2 2 n π 2

−4 = cos nπ nπ nπx 2 n =1 4 πx 1 2πx 1 3πx 1 4πx Atau = (sin − sin + sin − sin − 4 2 2 2 3 2 4 2 ∞

Jadi f(x) =

−4

∑ nπ cos nπ sin

6

]

2 0

nπx 2

x2

sin

1

−2 nπx cos nπ 2

0

−4 nπx sin 2 2 2 n π

E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L). Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L) Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½ jangkaun yang divari hanya a0 dan an. Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus)

2 nπx bn = ∫ f ( x) sin dx, a0 dan an = 0 L0 L L

untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) L

a0 =

2 f ( x)dx L ∫0

an =

2 nπx f ( x) cos dx, bn = 0 ∫ L0 L L

Contoh Soal Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus. Penyelesaian : 2 nπx = f ( x) sin dx ∫ L0 L L

bn

2 −1 1 1 e sin nx dx = ( e x cos nx + 2 e x sin nx − 2 ∫ e x sin nx dx ) = ∫ π 0 n n n n 0 2

2

π

x

π

 2  n2 1 1 = − e x cos nx + 2 e 2 sin nx  2 π n +1 n n 0

7

=

2 n  (1 − e π cos nπ  2  π n +1 

1 + eπ 2 1 + eπ 1 + eπ f(x) = ex = ( 2 sin x + 2 2 sin 2 x + 3 2 sin 3x − ....) π 1 +1 2 +1 3 +1

0< x<

1 2. Perderetkan f(x) =  − 1

a 2

ex

sin nx

ex

− cos nx n

ex

− sin nx n2

dalam cosinus.

a
( periode 2a) Y

Penyelesaian : 1

-a

a/2

a X

-1

a0

=

=

an

=

2 a

a/2

2 a

a/2

2 a

a/2

∫ 1.dx + 0

∫ 1.dx + 0

∫ 0

a

2 2 a/2 2 a (−1).dx = [x]0 + [− x ]a / 2 = 1 − 1 = 0 ∫ a a/2 a a a

2 2 a/2 2 a (−1).dx = [x]0 + [− x]a / 2 = 1 − 1 = 0 ∫ a a/2 a a

nπx 2 nπx dx + ∫ (−1) cos dx a a a/2 a a

1. cos

8

nπx   2 =  sin a  0  nπ

nπx   2 − sin a  a / 2  nπ

a/2

=

a

2 2 4 nπ nπ nπ sin + sin = sin , untk n genap a an = 0 nπ 2 nπ 2 nπ 2

(2m − 1)π (2m − 1)πx 2 f(x) = cos ∑ 2 π n =1 ( 2m) − 1 4 πx 1 3πx 1 5πx atau = (cos − cos + cos − ...) π a 3 a 5 a 4



sin

F. Harmonic Analisis

Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu : a0 =

1

π





f ( x)dx = 2

0

1 2π − 0



∫ f ( x)dx. 0

a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π). an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π). b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).

Contoh:

Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang diberikan sebagai berikut: x

0

1

2

3

4

5

f(x)

9

18

24

28

26

20

9

Penyelesaian : x

x/3

Sin x / 3

Cos x / 3

f(x)

f(x) sin x / 3

f(cos) x / 3

0

0

0

1

9

0

9

1

/3

0,687

0,5

18

15,606

9

2

2/3

0,687

-0,5

24

20,808

-12

3

3/3

0

-1

28

0

-28

4

4/3

-0,687

-0,5

26

-22,542

-13

5

5/3

-0,687

0,5

20

-17,340

10

125

-3,468

-25

a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66 a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33 b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156 Jadi

a0 πx πx + a1 cos + ... + b1 sin + ... 2 3 3 πx πx = 20,83 – 8,33 cos + −1,156 sin + .... 3 3

f(x)

=

Identitas Parsevel Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka:

a 02 1 L 2 { f ( x ) } dx = + ∑ (a n2 + bn2 ) ∑ L −L 2 Contoh:

Buktikan:

π4 90

=

1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 + .... 4 1 2 3 4

10

Bila diberikan :

π2

x2 =

3

π

1

π

(−1) n cos nx( f ( x) = x 2 ,−π ≤ x ≤ π) 2 n =1 n ∞

+ 4∑

∫ ( f ( x))

dx

a0 2

=

an

=

4 (−1) n n2

2 4 π 5

=

∞ 1 2π 2 2 1 ( ) + 16∑ 4 2 2 1 n

2π 4 5

 2π 2 =   3

−π

2

4

π2

π4 90

=

Diberikan deret : x2 =

atau a 0

3

2(9 − 5) 4 π = 16 45

Hitung :

π

ο

21 5  2 5 = x dx = x  = π ∫ π 0 π 5  0 5π

2

2π 2 3

2

 1 ∞ 16  +∑ 4  2 1 n



1

∑n

4

1

1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 + ....... 4 1 2 3 4

π2 3

(−1) n cos nx, 2 n =1 n ∞

+ 4∑

1 1 1 1 − 2 + 2 − 2 + ..... 2 1 2 3 4

Untuk x = 0 didapat: 0=

0=

π2 12

π2 3

(−1) n cos 0 2 n =1 n ∞

+ 4∑

π2

1 1 1 1 − 4( 2 − 2 + 2 − 2 + ...) 3 1 2 3 4

= (

1 1 1 1 − + − + ...) 12 2 2 32 4 2

11

-π ≤ x ≤ π

LEMBAR KERJA 2 1. Perderetan f(x) =  x

−2≤ x≤0

menurut deret fourier

6≤ x≤2

Dimana periode 4, L = 2 2. Perderetan f(x) = x3, − π < π < π periode (2 π ) Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil! 3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x < π , ke dalam deret sinus!

12