UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas
TABELAS DE VIGAS: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito
Revisão e adaptação: Libânio Miranda Pinheiro Bruna Catoia Thiago Catoia
Colaboração: Marcos Vinicius Natal Moreira
São Carlos, fevereiro de 2010
CASO
VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO
TABELA 3.1a DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA EQUAÇÃO DA ELÁSTICA
wmax
x
1 p 4 8 EI
0
p 4 4 4 3 24EI
1 p 4 30 EI
0
p 4 5 5 4 120EI
11 p 4 120 EI
0
p 4 5 5 4 15 11 120EI
0
1 P 3 3 EI
P 3 3 3 2 6EI
0
1 M 2 2 EI
M 2 1 2 2EI
5 p 4 384 EI
0,5
p 1
x
2
p
p 3
P 4
5
M
p
6
x
p
3 p 4 460 EI
7
p
8
P 9
2
2
a x
b
M 11
M
12
a
b
p 4 3 2 2 1 24EI
p 4 3 4 10 2 7 360EI
(*)
0,519
1 p 4 120 EI
0,5
p 4 16 4 40 2 25 960EI
1 P 3 48 EI
0,5
P 3 4 2 3 48EI
3
1 M 2 9 3 EI (a 0,423)
b2 3 2
2 b2 3
0,423
3
2 b2 3
(**)
(**)
Pbx 2 b2 x 2 6EI Pa 2 b 2 x a: 3EI Pa ( x ) x a: 2x a 2 x 2 6EI xa:
Pb 2 b 2 3EI 3
M 3EI
(a b)
P 10
M 2 2 3 2 6EI Mx 2 xa: 3b 2 x 2 6EI M ( x ) 2 x a: x 3a 2 2x 6EI
Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x/ (*) Valor aproximado (**) 0,5
CASO
VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO
M
TABELA 3.1b DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA EQUAÇÃO DA ELÁSTICA
M
13
x 14
p
p
p
18
x
p 4 5 2 3 120EI
0,402
p 4 2 5 10 4 11 3 3 240EI
(*)
0,5
p 4 4 2 3 2 24EI
0,525
p 4 5 3 3 2 2 120EI
7 p 4 3840 EI
0,5
p 4 16 5 40 3 25 2 960EI
1 P 3 192 EI
0,5
P 3 4 3 3 2 48EI
1 p 4 764 EI
p
2
p a
x
P
(*)
pa 6a 2 3a 3 3 24EI p 2 5 2 24a 2 384EI
Pa 2 2a 3 6EI
P
a
0,5
a
x
a
Pa 2 8EI
0,5
(**)
(**)
x 0: px x 3 4ax 2 6a 2 x 3 6a 2 24EI 0 x :
px x 3 2x 2 6a 2 x 6a 2 3 24EI Px 2 x 0: x 3ax 3a 6EI
23
a
1 p 4 384 EI
a
0,447
(*)
2
22
p 4 2 4 3 3 48EI
M 2 3 2 2 4EI
20
21
0,422
(*)
1 3
P
M 2 1 2EI
M 2 27 EI
p 19
0,5
1 p 4 328 EI
16
M
M 2 8EI
3 p 4 1258 EI
15
17
x
3 p 4 554 EI
x
p
wmax
0 x :
Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x/ (*) Valor aproximado (**) 0,5
Pa x x 2EI
CASO 24
TABELA 3.1c DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO wmax p p 3 4 4b 3 b 4 a b 24 EI x
a
pa 20 3 10a 2 a 3 120EI
b c/2
c/2
p
26 a
b P
P
27
a x P
P
a
0,5
0,5
63 P 3 1000 EI
0,5
5 P 3 240 EI
0,447
1 Pa 2 b 24 EI
0,5
3
3
P
P
4 4 4 P P P
4 P
5 5
31
5 P
5 5
2
2 P
P
32
a
a
b x
p
pa 3a 3 4a 2 3 24EI
a x
p a
x P
35
a x
a
a
pa 6a 3 6a 2 3 48EI
x
a
a a
a
Pa 2 4a 3 6EI
a
Ma 2a 4EI
a
M a
P
37
p 20a 4 15a 2 2 7a 3 12 360EIa Pa 2 a 3EI
p
36
38
(*)
19 P 3 384 EI
3
29
P
34
0
0,5
33
pc ab c 2 c 3 2 2a 2a 6EI 4 64 Pa 3 2 4a 2 24EI
0
23 P 3 648 EI
28
30
a
b
p
25
x
Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. (*) Não corresponde necessariamente ao deslocamento máximo
TABELA 3.2a MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO p
1
a
c
c
b
p
4
/2
/2 p
5
a
c
/2
/2 p
7
a
a p
a
a
14
a
a
a P
16
P
P
a/2 a
a
a a/2
pa 2 3 2a 6 pa 2 2 a 2 2
pa 2 3 2a 4
Pa 2 b 2
Pab b 2 2
P 8
3P 16
Pa a
3Pa a 2
5P 16
5P 16
15P 32
P 2 n 1 8n
P 2 n 1 12n
Mb 3b 2 2
P 2n 2 1 24n
P 2n 2 1 16n
M 2 3a 2 2 2
(*)
P
7 p 2 128
15P 32
11 2 p 192
P 3
b
pc 2 2 2 c 2 2 8
2 P 9
a
M 15
(*)
a a
4ac c 2
2 P 9
/4 /4 /4 /4 P P P
5 p 2 192
2
9 p 2 128
P 3
P
P
12 2
6a
8
Pa a
/3 /3 P
pc 2
b 2
2
3Pa a 2
P
P 13
pc 2
P 8
a
/3
3P 16
P
P
12
2
pc 3 2 c 2 16
Pab 2 2
/2
a
4ac c
Pab a 2 2
b
P
pc 3 2 c 2 24 pc 2 4bc c 2 2 12 5 p 2 192
pa 2 3 2a 4
P
11
pc 2 6b 2 4bc c 2 12 2
12 2
p 2 8
F
/2
pc 3 2 c 2 24
pc 2
p 2 12
11 2 p 192
pc 2 a 2 2 8 9 p 2 128
MEF
pa 2 3 2a 6 pa 2 a 2 2 2
9
10
MDC
pa 2 3 2a 4
P a
E
D
p
8
p 2 12
p 6
p 2 8
p
3
MCD
pc 3 2 c 2 16 pc 2 2 2 2 c 2 8 7 p 2 128
a
C
B
MBA
p
2
A
pa 2 3 2a 4
P 2 n 1 12n
P 2 n 1 8n
Ma 2 3a 2
M
P 2n 2 1 24n
2
2
3b
2
2
P 2n 2 1 16n
Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. (*) n / a Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
TABELA 3.2b MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO
A
p
17
MBA
MCD
p 2 15 7p 2 120
p 2 30 p 2 20
p
18
p
19
/2
/2 p
20
/2
/2
17 p 2 480
p 2 30
41 2 p 960
3 p 2 160
53 p 2 1920
7 p 2 960
37 p 2 1920
p 21
/2
/2
p
22
/2
/2
/2
/2
p 24
25
26
27
p
/2
/2
parábola
p
parábola
p
parábola
parábola
p
p
/2
/2
23 2 p 960
37 p 2 1920
23 2 p 960
7 p 2 960
53 p 2 1920
5 2 p 64
5 2 p 96
5 2 p 96
5 2 p 64
3 2 p 64
p 2 32
p 2 32
3 2 p 64
11 2 p 120
p 2 20 p 2 60 p 2 15
31
---
t+t 32
7 2 p 80
3a EI 2 3 EI
30
t
h
7p 2 120 p 2 15
3EI t t 2h
7 p 2 120 6a EI 2 2 EI 4 EI EI t t h
p 2 15 p 2 30 p 2 15
p 2 12 p 2 30 p 2 10
7 p 2 120
6a EI 2 4 EI 2 EI EI t t h
F
MEF
17 p 2 480
a
29
p 2 20 p 2 30
E
p 2 30
28
D MDC
41 2 p 960
p 2 24 p 2 10
p
3 p 2 160
p 23
C
B
7 2 p 80
3a EI 2
--3 EI 3EI t t 2h
Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973)
e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
TABELA 3.2c MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO
A
33
p a
c
b
C
B
34
a
c
b
D
E
p M BA 2 a 4 (a c) 4 2c 2 (2a c) 8 p 4 ( b c ) 3 b 3 3 ( b c ) 4 b 4 M CD 2 12 p 4 ( a c ) 3 a 3 3 ( a c ) 4 a 4 M DC 2 12 p 4 M EF 2 b (b c) 4 2c 2 (2b c) 8 45a 28c pc (3a 2c) 9( 2 a 2 ) 12ac c 2 4 M BA 2 30a 20c 108 pc 10(3b c) 2 (3a 2c) 15c 2 (3b ) 17c 3 M CD 2 540 pc 10(3b c)(3a 2c) 2 15c 2 (3a ) 28c 3 M DC 2 540 pc 45b 17c M EF (3b c) 9( 2 b 2 ) 6bc c 2 1 9 2 270b 90c 108
p
pc 45a 17c (3a c) 9( 2 a 2 ) 6ac c 2 1 9 2 270a 90c 108 pc 10(3a c)(3b 2c) 2 15c 2 (3b ) 28c 3 M CD 2 540 pc 10(3a c) 2 (3b 2c) 15c 2 (3a ) 17c 3 M DC 540 2 pc 45b 28c M EF (3b 2c) 9( 2 b 2 ) 12bc c 2 4 2 30b 20c 108 p 2 2 c (5 3c 2 ) M BA 2 30 p 2 c (10 2 15c 6c 2 ) M CD 2 30 p 2 c (5c 4c 2 ) M DC 2 20 p c 2 (40 2 45c 12c 2 ) M EF 2 120
M BA
35
p a
c
b
p 36
c
b
Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
F
TABELA 3.2d MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO
A
B
a
C
p 38
a
c
39
p c
b
p
40 a
c
a
c
D
p c 2 40 2 45c 12c 2 M BA 2 120 p 2 c 5c 4c 2 M CD 2 20 p 2 c 10 2 15c 6c 2 M DC 2 30 p 2 2 c 5 3c 2 M EF 2 30 p c 2 20 2 15c 3c 2 M BA 2 120 p 2 c 5c 3c 2 M CD 2 60 p 2 c 10a 3c 2 M DC 2 60 p c 2 10 2 3c 2 M EF 2 120 p c 2 10 2 3c 2 M BA 2 120 p 2 c 10b 3c 2 M CD 2 60 p 2 c 5c 3c 2 M DC 2 60 p 20 2 15c 3c 2 M EF 2 120 p 3 M BA 2a 2 a 3 8 p 3 M CD 2a 2 a 3 12 p 3 M DC 2a 2 a 3 12 p 3 M EF 2a 2 a 3 8
p
37
Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
E
F
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ISNARD, V.; GREKOW, A.; MROZOWICZ, P. Formulario del ingeniero: metodos practicos de calculo de obras de ingenieria. Bilbao, Urmo, 1971. JIMENES MONTOYA, P.; GARCIA MESEGUER, A.; MORAN CABRE, F. Hormigon Armado, 2v. 7.ed. Barcelona, Gustavo Gili, 1973. PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1986. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. v.1. 6.ed. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1976. SCHREYER, H. Estática das construções. v.2. Porto Alegre, Globo, 1965. SOUZA, João Carlos A. O.; ANTUNES, Helena M. C. C. Estática das estruturas: temas complementares. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1983.
