Die Länge der Cantorfunktion Daniel Beck Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)
Zusammenfassung: In dieser Ausarbeitung werden zunächst die Herleitung und wichtigsten Eigenschaften der Cantorfunktion wiederholt, die benötigt werden. Danach wird der Längenbegriff eingeführt und auf das für die Cantorfunktion relevante Intervall angewandt, um dort zwei Abschätzungen durchzuführen. Im letzten Schritt wird die Länge der Cantorfunktion berechnet und gezeigt, warum diese Eigenschaft in die Vortragsreihe „Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis“ passt.
Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften der Cantorfunktion
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2 Die Länge einer Funktion
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3 Abschätzungen im Intervall I = [0, 1] 3.1 Minimale Länge des Graphen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Maximale Länge des Graphen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Die Länge der Cantorfunktion 4.1 Horizontale Stücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die nichthorizontalen Stücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Fazit
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1 Eigenschaften der Cantorfunktion Da es in diesem Vortrag, um die Cantorfunktion geht werden im Folgenden kurz die Konstruktion und die wichtigsten Eigenschaften wiederholt. Die Cantorfunktion basiert auf der Cantormenge. Diese wird iterativ gebildet: man geht von dem Intervall I = [0, 1] aus und entfernt Schritt für Schritt die offenen mittleren Drittel der vorhandenen Intervalle. Wir entfernen zum Beispiel im ersten Schritt das Intervall: I1,1 = ( 31 , 23 ) im zweiten Schritt die zwei Intervalle: I2,1 = ( 19 , 29 )
I2,2 = ( 79 , 98 ) , usw.
Die Cantormenge C ist nun so definiert, dass sie die Punkte enthält, die noch im „unendlichsten“ Schritt enthalten sind. Die Cantorfunktion ist nun so definiert, dass man immer den Punkten in den herausgenommenen Intervallen einen konstanten Funktionswert zuweist. So entsteht eine Art Treppe mit konstanter Stufenhöhe. Die restlichen Punkte, also die in der Cantormenge enthaltenen Punkte werden nun einfach als Verbindungspunkte zwischen den Stufen verwendet. So entsteht die Cantorfunktion Φ. Diese hat folgende Eigenschaften, die von Wichtigkeit sein werden: • Φ(0) = 0 • Φ(1) = 1 • Φ ist stetig • Φ ist monoton steigend • Φ ist differenzierbar für x ∈ [0, 1]/C
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2 Die Länge einer Funktion Die Länge einer Funktion misst die Länge des Graphen der Funktion. Rein experimentell kann man dies an einfachen Funktionen leicht nachvollziehen: So könnte man den gezeichneten Graphen mit einer Schnur abmessen, indem man mit der Schnur auf Graph legt und ihn so nachbildet. Die Länge des benötigten Stück Schnurs kann man nun einfach nachmessen.
Mathematisch funktioniert das natürlich ein wenig anders: Rein anschaulich betrachtet gibt es für die Länge eine einfache Näherung: Man unterteilt den Graphen der Funktion f in dem zu untersuchenden Intervall in beliebig viele kleinere Intervalle. Den in den jeweiligen Intervallen verlaufenden Graphen kann man nun linear annähern, mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann man die Länge des genäherten Graphen bestimmen, dies ergibt für das i-te Intervall die Länge Si : Si =
p (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2
Die Gesamtlänge λ des Graphen in dem ganzen Bereich, der interessant ist, ist nun natürlich die Summe der Längen aus allen Teilintervallen: Xp λ(Gf ) = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 i
Je mehr Intervalle man verwendet, desto genauer wird im Normalfall natürlich diese Näherung. Eine Betrachtung des Grenzwertverhaltens gibt nun, falls der Grenzwert dieser Folge existiert, die Länge des Graphen an.
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3 Abschätzungen im Intervall I = [0, 1] Da die Cantorfunktion nur im Intervall I = [0, 1] definiert ist, wo auch die Cantormenge C liegt, interessiert uns die Länge einer Funktion f allgemein in diesem Intervall. Also betrachten wir als erstes Funktionen f mit ähnlichen Eigenschaften wie die Cantorfunktion: 1. f (0) = 0 2. f (1) = 1 3. f ist monoton steigend
3.1 Minimale Länge des Graphen einer Funktion Rein anschaulich ist diese Frage schnell lösbar, denn die kürzeste stetige Verbindung zweier Fixpunkte in einer Ebene ist eine Strecke. Die Länge dieser Strecke ist auch mit dem Satz des Pythagoras berechenbar, wenn wir eine Funktion mit den Eigenschaften (1) und (2) vorraussetzen: λmin =
p √ (1 − 0)2 + (1 − 0)2 = 2
Mathematisch exakt ist dies jedoch ein wenig schwieriger, aber mithilfe der Variationsrechnung auch beweisbar: Die Länge der Verbindung zweier Punkte P1 und P2 ist so gegeben: Z P1 Z P1 s Z P1 p dx s= dx2 + dy 2 = 1 + ( )2 dx ds = dy P2 P2 P2 Da die Wurzel eine monotone Funktion ist, kann an dieses Integral vereinfachen: Z P1 dx s˜ = (1 + ( )2 )dx dy P2 Für die kürzeste Strecke muss das Integral minimal sein, also ist die Funktion y(x) gesucht die das Integral minimiert. Man nimmt nun an, dass y(x) die gesuchte Funktion ist und das Integral einer Funktion y(x) + n(x) mit einem beliebigen n(x) größer ist. Allerdings stellen wir an n(x) die Bedingung, dass es an den Punkten P1 und P2 verschwinden soll, da Anfangs- und Endpunkt vorgegeben sind. Z
P1
s˜ < P2
d(y + n) 2 (1 + ( ) )= dx
Z
P1
(1 + ( P2
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dy 2 dy dn dn ) +2 + ( )2 )dx dx dx dx dx
Wenn man nun den Integranden bildet und die Terme erster Ordnung in n(x), so gelangt man zur Variation erster Ordnung. Z P1 dy dn dx 2 ∂s = dx dx P2 Nun integriert man dies partiell und erhält: ∂s = 2y
0
n|PP12
Z
P1
−
2y 00 ndx
P2
Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet wegen Forderung an n(x). Da ein Extremum vorliegen soll, muss die erste Variation gleich null sein, woraus folgt, dass das Integral auch Null sein muss. Da jedoch n(x) beliebig ist, folgt daraus: y 00 (x) = 0 Die ist eine Differnzialgleichung mit einer Lösung: y(x) = c1 x + c2 Hierbei sind c1 und c2 Konstanten, die durch die Fixpunkte P1 und P2 bestimmt werden. Also ist bewiesen, was anschaulich klar war, dass die kürzeste Verbindung zweier Punkte in einer Ebene eine Gerade ist. Somit ist auch bewiesen, dass die kürzeste Läge einer Funktion in diesem Intervall √ λmin = 2 3.2 Maximale Länge des Graphen einer Funktion Eine Abschätzung der maximalen Länge wird durch folgendes Lemma gebracht: Die Länge einer monoton steigenden Funktion mit im Intervall I = [a, b] hat diese Eigenschaft: λ(Gf ) ≤ b − a + f (b) − f (a) Also gilt in unserem Fall: λ(Gf ) ≤ 1 − 0 + 1 − 0 = 2
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Mathematiker sind immer sehr darauf bedacht, etwas zu finden, das die Grenzen die man erdacht hat, wie hier die maximale Länge von 2, austestet, also sie versuchen eine Funktion zu finden, die entweder ein Länge größer 2 oder gleich 2 hat. Man hat eigentlich sofort zwei Ideen: • Treppenfunktion • Potenzfunktion der Form: f (x) = xk mit k ∈ N
Zur Treppenfunktion: Die Länge einer Treppenfunktion ist λ(Gf ) = 1, diese Eigenschaft ist sogar unabhänging von der Stufeneinteilung. Zur Potenzfunktion: Also wenn man sich den Graphen dieser Funktionenschar betrachtet, fällt auf, dass je größer k ist, desto Länger ist der Graph. Also liegt nahe, dass man die Funktion im Grenzwert betrachtet: lim λ(Gfk ) = 2
k→∞
Die ist jedoch nicht die von uns gesuchte Größe, denn uns interessiert nicht der Grenzwert der Länge, sondern die Länge des Grenzwertes der Funktion, also: λ( lim Gfk ) = 1 k→∞
Also bringt dies auch nicht das gewünschte Ergebnis, da diese Funktion an dem Punkt x = 1 nicht stetig ist.
Man stößt jedoch auf ein anderes Lemma, welches sich explizit mit dem Intervall I = [0, 1] befasst, also unserer Funktion besser beschreiben kann:
Lemma 3.1 Sei f eine stetige, monoton steigende Funktion, die das Intervall I = [0, 1] auf sich selbst abbildet und die Funktionswerte f (0) = 0 und f (1) = 1 vorgegeben sind. Weiterhin soll die Ableitung f 0 in dem Intervall existieren und stetig sein, so gilt: λ(Gf ) < 2
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Beweis: Da f monoton steigend ist, gilt: f 0 (x) ≥ 0, wenn jedoch f 0 (x) = 0 im ganzen Intervall ist, so wäre f (x) = k und λ(Gf ) = 1. Außerdem muss gelten: f 0 (x) ≤ 1. Es existieren γ, δ > 0 und ein Intervall [α, β], sodass 0 < γ ≤ f 0 (t) ≤ δ < 1 (für alle t ∈ (0, 1)) Nun unterteilen wir das Intervall in Teilintervalle [0, α] [α, β] [β, 1], so ist offensichtlich, dass gilt: λ(Gf ) = λ1 + λ2 + λ3 mit λ1 = α − 0 + f (α) − f (0) = α + f (α) λ2 = β − α + f (β) − f (α) λ3 = 1 − β + f (1) − f (β) = 2 − β − f (β) Die impliziert jedoch nur λ ≤ 2. Wir beweisen aber nun, dass λ2 ≤ A((β − α) + (f (β) − f (α))) mit 0 ≤ A ≤ 1, Wir suchen jetzt noch ein ξ ∈ [γ, δ]: p p p p 1 + ξ = 1 + ξ 1 + ξ ≥ 1 + γ 1 + ξ, da ξ < 1 p 1 p 1 + ξ2 ≤ √ 1 + ξ = A(1 + γ) 1+γ Wenn α ≤ u < v ≤ β, gibt es einen Punkt η ∈ (u, v), sodass f (v) − f (u) = f 0 (η)(v − u) und nat¨ urlich gilt f 0 (η) ∈ [γ, δ]. p
p (v − u)2 + f 0 (η)(v − u)2 p = (v − u) 1 + f 02 (η) ≤ (v − u)A(1 + f 0 (η)) 1 + f (v) − f (u) = A(v − u) v−u = A(v − u + f (v) − f (u))
(v − u)2 + (f (v) − f (u))2 =
Nun sei α = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = β eine beliebige Aufteilung von [α, β], dann n n X X p 2 2 A(ti − ti−1 + (f (ti ) − f (ti−1 ))) (ti − ti−1 ) + (f (ti ) − f (ti−1 )) ≤ i=1
i=1
= A((β − α) + (f (β) − f (α))) ≤ A(β − α) + (f (β) − f (α) Daher ist λ2 < (β − α) + (f (β) − f (α)) daraus folgt dann: λ(Gf ) = λ1 + λ2 + λ3 < 2 7
4 Die Länge der Cantorfunktion Nun betrachten wir die Länge der Cantorfunktion. Um uns die Berechnung zu vereinfachen, betrachten wir die Funktion nicht als Ganzes, sondern in zwei Teilen: • Horizontale Stücke des Graphen (f 0 (x) = 0) • Nicht horizontale Stücke (f 0 (x) > 0)
4.1 Horizontale Stücke Da die horizontalen Stücke des Graphen iterativ hinzugefügt werden, betrachten wir auch die die Stücke schrittweise. Wir können hier ausnutzen, dass die in jedem Schritt hinzugefügten Stücke jeweils gleichlang sind. Im i-ten Schritt gilt also: • Die Stücke sind li = ( 31 )i lang. • Es werden jeweils ai = 2i−1 Stücke hinzugefügt. Daher gilt, dass im i-ten Schritt die Länge si = li ai = 2i−1 ( 13 )i hinzugefügt wird. Die Gesamtlänge der horizontalen Stücke im i-ten Schritt ist: λh,n =
n X
sn =
i=1
n X
li ai
i=1
=
n X i=1
1 2n−1 ( )i 3
n
=
1 X i−1 1 i−1 2 ( ) 3 i=1 3 n
1 X 2 i−1 = ( ) 3 i=1 3 n−1
1X 2 i = ( ) 3 i=0 3 Diese Summe kan man mithilfe der geometrischen Reihe berechnen: n X
qi =
i=0
1 − q n+1 mit |q| < 1 1−q
Auf unseren Fall angewedet bedeutet das: n−1
λh,n
1 X 2 i 1 1 − ( 23 )i 2 i = ( ) = 2 = 1−( ) 3 i=0 3 3 1− 3 3
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4.2 Die nichthorizontalen Stücke Über die nichthorizontalen Stücke wissen wir genauso viel wie über die horizontalen Stücke, doch wir können hier direkt ihre Anzahl und die Länge angeben: Es sind im i-ten Schritt ai = 2i zu überbrückende Lücken. Die Länge dieser Stücke ist leicht zu berechnen, da sie linear definiert sind, und zwar über den Satz des Pythagoras. Vereinfacht wird dies dadurch, dass sowohl die Lückenbreite auf der x- als auch auf der y-Achse bekannt und in jeder Lücke gleich ist: ∆x = ( 31 )i ∆y = ( 12 )i Die Länge beträgt nun einfach: 2
r p li = (∆x)2 + (∆y)2 =
1 1 (( )i )2 + (( )i ) = 3 2
r
1 1 ( )2i + ( )2i 3 2
Die Gesamtlänge der nichthorizontalen Stücke im i-ten Schritt beträgt nun: r 1 1 λn,i = 2i ( )2i + ( )2i 3 2 r 1 1 = 22i ( )2i + 22i ( )2i 3 2 r r 2 2i 2 2i 1 = ( ) + ( ) = 1 + ( )2i 3 2 3 Nun wissen wir, dass die Gesamtlänge des i-ten Entwicklungsschritts der Cantorfunktion durch die Summe aus der Länge der nichthorizontalen und der horizontalen Stück gegeben:
λ(Gf ) = λh,i + λn,i r 2 2 = 1 + ( )2i + 1 − ( )i 3 3 Da die Cantorfunktion das Ergebnis der „unendlichsten“ Entwicklungsschritts ist, betrachten wir uns hiervon den Grenzwert für i. r 2 2 lim λi (Gf ) = lim [ 1 + ( )2i + 1 − ( )i ] i→∞ i→∞ 3 3 Da
2 3
< 1 gilt lim ( 23 )i = 0, daher ist bewiesen, dass die Cantorfunktion die Länge i→∞
λ(Gf ) = 2 hat.
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5 Fazit Das Besondere an der Cantorfunktion ist, dass sie die Länge 2 besitzt, obwohl das doch nicht möglich ist in dem Intervall, das wir betrachten und unter den Umständen. Aber dies ist nur die halbe Wahrheit, da die Cantorfunktion zwar augenscheinlich alle Voraussetzungen für dieses Lemma erfüllt, aber eben nur augenscheinlich, denn eine Eigenschaft erfüllt sie nicht ganz. Es wurde nämlich gefordert, dass sie überall eine stetige Ableitung besitzen muss, das ist hier jedoch nicht gegeben, da an den Randpunkten der Plateaus die Ableitung nicht stetig ist, da der rechts- und der linksseitige Limes nicht übereinstimmen. Dies bewirkt nun natürlich, dass diese Eigenschaft nicht mehr so außergewöhnlich wirkt. Betrachtet man das Problem aber doch noch einmal genauer fällt auf, dass dies doch ungewöhnlich ist. Wir haben ja den Grenzwert einer Summe von Intervallen, was sehr an ein Integral erinnert, doch was verändert dies an dem Problem. In der Integrationstheorie ist bewiesen, und wird die Eigenschaft genutzt, dass das Integral eines einzelnen Punktes gleich Null ist, also er sozusagen weggelassen werden kann. Wenn man das Problem so betrachtet, also die einzelnen Punkte, die logischerweise auch die Länge Null haben, da sie keine Ausdehnung besitzen, weglässt, hat man ebenfalls die Länge 2, nur dass die Ableitung in allen Punkten stetig ist. Aber das Lemma ist hierdurch nicht widerlegt, da die Funktion eben nicht die Voraussetzungen erfüllt, die gefordert werden, aber sie liegt zeigt doch, dass wenn man von einer Forderung leicht abweicht wie bei der Cantorfunktion, das Lemma nicht mehr greift, obwohl es auf den ersten Blick noch stimmen müsste.
Literatur [1] A.R. Rajwade und A.K. Bhandari: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory. Hindustan Book Agency, 2008.
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