FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Jorge M. Galbiati
p´ag. DISTRIBUCION BINOMIAL
2
DISTRIBUCION POISSON
4
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
5
DISTRIBUCION GEOMETRICA
7
DISTRIBUCION NORMAL
8
DISTRIBUCION JI-CUADRADO
11
DISTRIBUCION T DE STUDENT
13
DISTRIBUCION F DE SNEDECOR
15
DISTRIBUCION UNIFORME
17
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
18
DISTRIBUCION GAMA
20
DISTRIBUCION BETA
23
TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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1
DISTRIBUCION BINOMIAL Funci´ on de probabilidad: p(x) =
n! px (1 − p)n−x x!(n − x)!
Espacio param´ etrico: Valor esperado: Varianza:
n ∈ {1, 2, 3, ...}
si x = 0, 1, 2, ..., n
p ∈ (0, 1)
np
np(1 − p) (1 − p + p et )n
Funci´ on generadora de momentos:
F(x)
p(y)
0
n
x
y
APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on binomial con par´ametros n y p, entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la X−np variable aleatoria Z = √(np(1−p)) tiene distribuci´on aproximada normal es’tandar. En la pr´actica, si n es grande y p no es ni muy peque˜ no ni muy grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on binomial, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal x − 0,5 − np FN √ (np(1 − p) andar. Se puede utilizar, como criterio, las en que FN es la distribuci´on normal est´ condiciones simult´aneas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5.
2
APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on binomial con par´ametros n y p, entonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribuci´on aproximada poisson con par´ametro λ = np. En la pr´actica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on binomial, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla poisson FP (x) =
x e−λ (λ)y y=0
y!
en que FP es la distribuci´on poisson con par´ametro λ = np. Se puede utilizar, como criterio, las condiciones simult´aneas n > 30 y np ≤ 5.
3
DISTRIBUCION POISSON Funci´ on de probabilidad: e−λ λx p(x) = x!
si x = 0, 1, 2, ...
Espacio param´ etrico: λ ∈ (0, +∞) Valor esperado: λ Varianza: λ Funci´ on generadora de momentos:
e[λ(e −1)] t
F(x)
p(y)
0
x
y
APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on Poisson con par´ametro λ , entonces √ tiene distribuci´on aproximada normal si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ λ est´ andar. En la pr´actica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal x − λ FN √ (λ andar. Se puede utilizar, como criterio, la en que FN es la distribuci´on normal est´ condici´on λ > 36 .
4
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Funci´ on de probabilidad: p(x) =
k! n!(n−k)!
(N −k)! (n−x)!(N −k−n+x)! N! n!(N −n)!
×
si x = a, a + 1, a + 2, ..., b
en que a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´ umero de ´exitos en la muestra. Espacio param´ etrico: N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y n < N − k. N es el tama˜ no de la poblaci´on. k es el n´ umero de ´exitos en la poblaci´on. n es el tama˜ no de la muestra. nk N
Valor esperado: Varianza:
nk (1 N
−
k −n ) N N N −1
Funci´ on generadora de momentos: (N − n)!(N − k)! H(−n; −k; N − k − n + 1; et ) N! donde H(p, q, r, z) = 1 +
pq z r 1!
+
p(p+1)q(q+1) z 2 r(r+1) 2!
+
p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3 r(r+1)(r+2) 3!
(funci´on hipergeom´etrica) F(x)
p(y)
a
b
x
5
y
APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on hipergeom´ etrica con par´ametros k N, k y n, entonces si N es grande y si N no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, X tiene distribuci´on aproximada binomial con par´ametros n y p = Nk .
6
DISTRIBUCION GEOMETRICA Funci´ on de probabilidad: p(x) = p(1 − p)x−1
si x = 1, 2, 3, ...b
x es el n´ umero de intentos hasta lograr el primer ´exito.
Espacio param´ etrico: 1 Valor esperado: p Varianza:
p ∈ (0, 1), probabilidad de ´exito en un intento.
1−p p2 t
si t < −log(1 − p)
e p 1−(1−p)e t
Funci´ on generadora de momentos:
F(x)
p(y)
a
b
x
7
y
DISTRIBUCION NORMAL Funci´ on de probabilidad: (x − µ)2 1 p(x) = √ exp − 2σ 2 (2π) · σ Espacio param´ etrico: Valor esperado: Varianza:
para x ∈ (−∞, +∞)
media µ ∈ (−∞, +∞)
varianza σ 2 ∈ (0, +∞)
µ
σ2 e(µt+σ
Funci´ on generadora de momentos:
2 t2 /2)
f(y)
F(x) 0
x
y
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Es un caso especial de la normal, en que µ = 0 y σ 2 = 1. Funci´ on de densidad: f (x) = √
Valor esperado: Varianza:
x2 1 exp − 2 (2π)
para x ∈ (−∞, +∞)
0
1 2 /2
et
Funci´ on generadora de momentos:
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RELACION CON LA NORMAL ESTANDAR Los valores de la funci´on de distribuci´on de la normal con par´ametros µ y σ 2 se obtienen de la tabla de distribuci´on normal est´ andar (en que µ = 0 y σ 2 =1) como se muestra a continuaci´on. Por esa raz´on s´olo se entrega la tabla de la normal est´ andar. Si se requiere la probabilidad acumulada hasta la cuantila x, se efect´ ua la transforx−µ maci´on z = σ y se busca la probabilidad asociada a la cuantila z en la tabla de distribuci´on normal est´ andar. Al rev´es, si se quiere saber a qu´e cuantila corresponde una probabilidad acumulada dada, F (z), se busca la cuantila z asociada a F (z) en la tabla de distribuci´on normal est´ andar. Entonces la correspondiente cuantila de la normal con par´ametros µ y σ 2 es x = σz + µ.
9
FUNCIONES LINEALES DE NORMALES 1.- Si X es una variable aleatoria normal con valor esperado µ y varianza σ 2 , si a y b son constantes, entonces la variable aleatoria a + bX tiene distribuci´on normal, con valor esperado a + bµ y varianza b2 σ 2 . tiene distribuComo caso particular, la variable aleatoria estandarizada Z = X−µ σ ci´on normal est´ andar. 2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias normales (p´ag. 50), estad´ısticamente independientes, con valores esperados respectivos µ1 y µ2 , con varianzas respectivas σ12 y σ22 , y si a y b son dos n´ umeros reales, entonces la variable aleatoria aX1 + bX2 tiene distribuci´on normal con valor esperado aµ1 + bµ2 y varianza a2 σ12 + b2 σ22 . 3.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ, y varianza σ 2 entonces el promedio X= n1 valor esperado µ y varianza σ 2 /n.
n i=1
Xi tiene distribuci´on normal con
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias estad´ısticamente independientes, con valor esperado µ y varianza σ 2 y cualquier distribuci´on probabil´ıstica, continua o X−µ √ tiene distribuci´ on discreta, entonces si n es grande, la variable aleatoria Z= σ/ n aproximada normal est´ andar
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DISTRIBUCION JI CUADRADO Funci´ on de densidad: f (x) =
Varianza:
xk/2−1 e−x/2
si x > 0
Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...}
Espacio param´ etrico: Valor esperado:
1 2k/2 Γ(k/2)
k
2k
Funci´ on generadora de momentos:
1 1−2t
k/2 para t < 1/2
f(y)
F(x) 0
x
y
APROXIMACION NORMAL DE LA JI-CUADRADO. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on ji-cuadrado con k grados de libertad, tiene distribuci´on aproximada entonces si k es grande la variable aleatoria Z = √X−k (2k) normal standard. En la pr´actica, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on ji-cuadrado, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal x−k FN √ (2k) en que FN es la distribuci´on normal est´ andar. Se puede utilizar, como criterio, la condici´on k > 200.
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CONSTRUCCION DE UNA JI-CUADRADO A PARTIR DE NORMALES andar estad´ıstica1.- Si Z1 , Z2 , ...., Zn son n variables aleatorias normales est´ n mente independientes, entonces la variable aleatoria i=1 Zi2 tiene distribuci´on ji-cuadrado con n grados de libertad.
2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y 2 tiene disvarianza σ 2 , independientes, entonces la variable aleatoria ni=1 (Xiσ−X) 2 tribuci´on ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Adem´as esta expresi´on es estad´ısticamente independiente del promedio X.
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DISTRIBUCION T DE STUDENT Funci´ on de densidad: Γ k+1 2 1 ·√ · f (x) = (kπ) Γ k/2
1 1+
x2 k
k+1 2
para x ∈ (−∞, +∞)
Espacio param´ etrico:
Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...}
Valor esperado:
para k > 1
Varianza:
k k−2
0
para k > 2
Funci´ on generadora de momentos:
no existe
f(y)
F(x) 0
x
y
VALORES DE PROBABILIDAD MENORES QUE 0.5 Por la simetr´ıa de la distribuci´on t de student , rige la igualdad F (−x) = 1 −F (x). Por esa raz´on, la tabla s´olo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuantiles positivos. Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5, se ingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada 1 − P ; al correspondiente cuantil x obtenido de la tabla se le pone signo menos, quedando −x como el cuartil requerido.
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APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on t de student con k grados de libertad, entonces si k es grande la variable aleatoria X tiene distribuci´on aproximada normal standard. En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal el valor FN (x) , en que FN es la distribuci´on normal standard. Se puede utilizar, como criterio, la condici´on k > 200 . CONSTRUCCION DE UNA T DE STUDENT A PARTIR DE UNA NORMAL Y UNA JI-CUADRADO 1.- Si Z es una variable aleatoria normal est´ andar y V es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad, ambas estad´ısticamente independientes, Z tiene distribuci´on t de student con n grados entonces la variable aleatoria √(X/n) de libertad.
2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y varianza σ 2 , estad´ısticamente independientes, entonces la variable aleatoria X−µ √ tiene distribuci´ on t de student con n − 1 grados de libertad, en que X es el s/ n n (Xi −X)2 2 promedio y s = i=1 n−1 es la varianza muestral.
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DISTRIBUCION F DE SNEDECOR Funci´ on de densidad: n/2 Γ n+d 2 xn/2−1 · f (x) = · n/d n+d 2 Γ n2 · Γ d2 1 + nd x
si x > 0
Espacio param´ etrico: grados de libertad del numerador n y grados de libertad del denominador d ambos enteros positivos. d d−2
para d > 2
2d2 (n+d−2) n(d−2)2 (d−4)
para d > 4
Valor esperado: Varianza:
Funci´ on generadora de momentos:
no existe
f(y)
F(x) 0
x
y
INVERSION DE LA F DE SNEDECOR Se puede usar la siguiente relaci´on para calcular valores que no aparecen en la tabla: Si la variable aleatoria X tiene distribuci´on F con n grados de libertad del numerador y d grados de libertad del denominador, entonces 1/X tiene distribuci´on F, con d grados de libertad del numerador y n grados de libertad del denominador. Por lo tanto se pueden obtener m´as valores de los que aparecen en la tabla, mediante en la relaci´on Fn,d (x) = 1 − Fd,n ( x1 ) en que F es el valor de probabilidad acumulada de la tabla, el primer sub´ındice corresponde a los grados de libertad del numerador, el segundo a los grados de libertad del denominador.
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CONSTRUCCION DE UNA F DE SNEDECOR A PARTIR DE DOS JI-CUADRADO 1.- Si X es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad e Y es una variable aleatoria ji-cuadrado con d grados de libertad, estad´ısticamente independientes, entonces el cuociente X/n tiene distribuci´on F de Snedecorcon n grados Y /d de libertad en el numerador y d grados de libertad en el denominador.
Y /d tiene distribuci´on F de Snedecor con d grados de libertad en el 2.-Tambi´en X/n numerador y n grados de libertad en el denominador.
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DISTRIBUCION UNIFORME Funci´ on de densidad: f (x) =
1 b−a
si a < x ≤ b
Espacio param´ etrico: −∞ < a, b < ∞ a+b 2
Valor esperado: Varianza:
a
(b−a)2 12
Funci´ on generadora de momentos: ebt − eat (b − a)t
f(y) 1 b-a F(x) 0
a
x
b
y
VALORES DE LA DISTRIBUCION UNIFORME La funci´on de distribuci´on de la uniforme se puede calcular anal´ıticamente mediante la f´ormula 0
F (x) =
x−a b−a
1
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si x ≤ a si a < x ≤ b si x > b
DISTRIBUCION EXPONENCIAL Funci´ on de densidad: f (x) = λ · e−λx
Espacio param´ etrico: Valor esperado: Varianza:
si x > 0
T asa media de ocurrencia λ > 0
1 λ
1 λ2 λ λ−t
Funci´ on generadora de momentos:
para t < λ
f(y)
F(x) 0
x
y
VALORES DE LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL La funci´on de distribuci´on de la exponencial se puede calcular anal´ıticamente mediante la f´ormula F (x) = 1 − e−λx para x > 0.
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RELACION ENTRE UNA POISSON Y UNA EXPONENCIAL 1.- Si X es una variable aleatoria Poisson con par´ametro λ, que describe el n´ umero de ocurrencias de un fen´omeno por unidad de tiempo, entonces la variable aleatoria que describe el tiempo entre ocurrencias tiene distribuci´on exponencial con par´ametro λ. En tal caso el par´ametro λ es la ”tasa media de ocurrencias” por unidad de tiempo, y θ = 1/λ es el ”tiempo medio entre ocurrencias”.
2.- En forma rec´ıproca, si Y es una variable aleatoria exponencial con par´ametro λ, que describe el tiempo entre ocurrencias de un fen´omeno, entonces el n´ umero de veces que ocurre el fen´omeno en una unidad de tiempo, es una variable aleatoria con distribuci´on Poisson, con el mismo par´ametro, que representa la ”tasa media de ocurrencias” por unidad de tiempo.
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DISTRIBUCION GAMA Funci´ on de densidad: Hay dos formas usuales de parametrizar esta distribuci´on. Primera parametrizaci´on (Par. 1): f (x) =
λp xp−1 e−λx Γ(p)
si
x>0
Segunda parametrizaci´on (Par. 2): f (x) =
x 1 xp e− θ Γ(p)
θp
si
x>0
Espacio param´ etrico:
Par. 1: P arametro de escala λ > 0 P arametro de f orma p > 0 Par. 2: P arametro de escala θ > 0 P arametro de f orma p > 0
Valor esperado: Varianza:
Par. 1:
Par. 1: p λ2
p λ
Par. 2:
pθ
Par. 2: p θ2
Funci´ on generadora de momentos: Par. 1: Par. 2:
λ p λ−t
1 (1−θt)p
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para t < λ para t <
1 θ
f(y)
F(x) 0
x
y
Casos particulares: 1) Si p=1 (par´ametro de forma) entonces la gama se convierte en una exponencial cuyo par´ametro es igual al par´ametro de escala de la gama, λ (Par. 1) o equivalentemente θ (Par. 2). umero entero positivo, y si λ= 12 (Par. 1) o 2) Si p= 12 k , en que k es cualquier n´ equivalentemente θ=2 (Par. 2) , entonces la gama se convierte en una ji-cuadrado cuyo par´ametro grados de libertad es igual a k. La funci´on de distribuci´on gama no se puede calcular anal´ıticamente, salvo en casos especiales.
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RELACIONES ENTRE GAMAS Lo siguiente se expresa en t´erminos de la primera parametrizaci´on, con el par´ametro λ . Es equivalente para la segunda parametrizaci´on, con el par´ametro θ. S´olo se debe sustituir λ por θ.
1.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias gama estad´ısticamente independientes, con par´ametros de forma respectivos p1 , p2 , ...., pn , y con par´ametro de escala com´ un λ, entonces la variable aleatoria Y = ni=1 Xi tiene distribuci´on gama con par´ametro de forma p = ni=1 pi y par´ametro de escala λ.
2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias gama estad´ısticamente independientes, un λ encon par´ametros de forma respectivos p1 y p2 y par´ametro de escala com´ X1 tonces las variables aleatorias U=X1 + X2 y V = X1 +X2 son independientes, U tiene distribuci´on gama con par´ametro de forma p1 + p2 y de escala λ , y V tiene distribuci´on beta (p´ag. 104) con par´ametros r = p1 y s = p2 .
3.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias exponenciales estad´ısticamente independientes, con par´ametro com´ un λ, entonces la variable n aleatoria Y = i=1 Xi tiene distribuci´on gama con par´ametro de forma p = n y par´ametro de escala λ. A esta forma especial de gama, con par´ametro de forma entero, se le suele dar el nombre de distribuci´on erlang.
4.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias ji-cuadrado estad´ısticamente independientes, con par´ametros respectivos (grados de liber tad) k1 , k2, ...., kn , entonces la variable aleatoria Y = ni=1 Xi tiene distribuci´on ji cuadrado con k = ni=1 ki grados de libertad.
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DISTRIBUCION BETA Funci´ on de densidad: f (x) =
Γ(r + s) r−1 (1 − x)s−1 x Γ(r) Γ(s)
si
0
Espacio param´ etrico: r>0, s>0
Valor esperado:
r r+s
rs (r+s)2 (r+s+1)
Varianza:
Momentos: La funci´on generadora de momentos no tiene una forma anal´ıtica. Sin embargo, el momento m-´esimo puede obtenerse directamente, mediante la f´ormula
(r+m)! µm = (r+s+1)! (r+s+m+1)! r!
para
m=1, 2, ..
f(y)
f(y) F(x) 0
F(x) x
1
0
y
x
1
y
En la figura de la izquierda, r < s, mientras que en la figura de la derecha, r > s. Si r y s son iguales, la densidad es sim´etrica.
23
La funci´on de distribuci´on beta no se puede calcular anal´ıticamente, salvo en casos especiales. Caso particular: Si r=1 y s=1 entonces la beta se convierte en una uniforme con par´ametros a=0 y b=1.
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TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.- Si X es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad fX (x) y g() es una funci´on creciente, entonces la nueva variable aleatoria Y = g(X) tiene funci´on de densidad dada por la f´ormula fY (y) =
1 f [g −1(y)] |g [g −1 (y)]| X
en que || denota el valor absoluto, g es la derivada y g −1 es la inversa de la funci´on g. 2.- Caso especial de 1. Si la funci´on g(x) del p´arrafo 1 es una funci´on lineal g(x) = a + bx, en que a y b son constantes, b = 0, entonces la variable aleatoria Y = g(X) tiene densidad fY (y) =
1 f y−a ) |b| X b
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