1-¿La Distribución Binomial y de Poisson son distribuciones de probabilidad discretas o continuas? 2-. ¿Cuáles son las características del experimento Binomial? 3-. ¿Cuáles son las características de la distribución de Poisson? 4-. ¿Cómo se define la variable en la distribución de Poisson? 5-. ¿Cómo se define la variable en la distribución de Binomial?
GUIA DE EJERCICIOS .DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DISTRIBUCION NORMAL 1-. Debido a las altas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar están vencidas. Si el contador toma una muestra aleatoria de cinco cuentas, determine la probabilidad de los siguientes eventos: a) Ninguna de las cuentas están vencidas b) Por lo menos dos cuentas están vencidas c) La mayoría de las cuentas están vencidas 2-. En un proceso de producción se examinan lotes de 20 resortes para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. Por lo general el número de resortes que no cumplen con los requerimientos es de 5 por lote. Suponga que el número de resortes que no cumplen con los requerimientos en un lote, es una variable aleatoria X, que sigue una distribución binomial. a) Cuál es el valor de n y p b) Calcule P (X ≤ 2) c) Calcule P (X ≥ 49) 3-. Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se lleva a cabo una encuesta a quince personas. Obtener La probabilidad de que: a) Ninguno de los quince encuestados sean votantes de dicho partido. b) Al menos tres personas voten a favor de dicho partido. c) Calcular la media y desviación estándar del número de votantes de dicho partido entre los quince encuestados. 4-. Un examen consta de quince preguntas, y cada pregunta presenta cuatro posibles respuestas. Una persona, sin conocimientos sobre la materia del examen, responde las preguntas al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al contestar una pregunta acierte la respuesta correcta? b) Hallar la probabilidad de que dicha persona no acierte ninguna de las quince preguntas. c) Calcular la probabilidad de que acierte por lo menos cinco preguntas. 5-.Un vendedor de seguros vende pólizas a ocho hombres, todos de la misma edad e idénticas condiciones de salud. De acuerdo a la tabla de seguros, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo dentro de treinta años es de 0.67. Suponga que los años que vive cada hombre son ensayos independientes. a) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años estén vivos exactamente cinco hombres.
b) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años por lo menos estén vivos dos hombres. c) Encuentre la probabilidad de que dentro de treinta años tres hombres o menos estén vivos. 6-. Una empresa comercializadora por correos envía mensualmente una encuesta a clientes potenciales y solamente el 10% de las personas responde a dicha encuesta. Suponga que responder o no las entrevistas son ensayos independientes. a) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro personas la respondan? b) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas la respondan? c) Si se envían diez encuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que tres personas o menos la respondan? 7-. De acuerdo a datos históricos el 30% de los automóviles nuevos de una determinada marca requieren cierto tipo de reparación durante el periodo de garantía. Suponga que el requerimiento de reparación de los autos es independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos exactamente tres requieran reparación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de diez autos vendidos al menos tres requieran reparación? c) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis carros vendidos esta semana como máximo tres requieran reparación? 8-. El número de mensajes en promedio que se envían a un boletín electrónico es igual a cinco mensajes por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba cuatro o seis mensajes durante una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín no reciba ningún mensaje durante doce minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de mensajes que reciba el boletín sea mayor o igual a tres y menor seis? 9-. Un ingeniero Industrial que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de tres alternadores de un lote. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra: a) Por lo menos 2 alternadores sean defectuoso. b) El número de alternadores defectuosos sea mayor que 2 y menor que 5. 10-. La empresa empacadora de piñas LA IDEAL afirma que el 25 % de las piñas que llegan están listas para ser empaquetadas. Calcular la probabilidad de que 12 piñas que llegaron: a) Por lo menos 2 estén listas para ser empaquetadas. b) El número de piñas listas para ser empaquetadas sea mayor que 3 y menor que 5. 11. En un estudio sociológico, se encontró que 30% de los consumidores de perros calientes callejeros enferman de amibiasis. Se seleccionan al azar 8 adictos a los perros calientes callejeros, encuentre la probabilidad de que,
a) Por lo menos 2 tengan amibiasis. b) El número de adictos que contengan amibiasis se mayor que 2 y menor que 6. 12. Una compañía de exploración gana un contrato con Petróleos de Venezuela para perforar pozos, esta compañía tiene estadísticas que le indican que en el 10% de los pozos de prueba que perfora encuentra un depósito de gas natural. Si perfora 6 pozos, hallar la probabilidad de que: a) Por lo menos en 2 se encuentre gas natural. b) El número de pozos donde se encuentre gas natural sea mayor a 1 y menor que 4. 13-. El número de fallas de un instrumento de prueba debido a partículas contaminantes de un producto es una variable Poisson con media (λ) igual a 0.02 fallas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento falle una vez en una jornada de doce horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de veces que falle el instrumento en una jornada de 36 horas sea mayor o igual a cuatro y menor que siete? c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X). 14-. El número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson, con una media (λ) igual a 0.1 defectos por metro cuadrado de tela. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener cuatro defectos en cinco metros de tela? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de defectos en doce metros de tela sea mayor o igual a dos y menor que cinco? c) Para el caso b) calcule la E(X) y la V(X) 15 -. El número de llamadas que llega a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora. a) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? b) Cual es la probabilidad de que se reciban tres o menos llamadas en una hora? c) Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente 15 llamadas en dos hora? 16-. El cajero automático ubicado dentro de una tienda por departamentos, en promedio es utilizado por seis personas en una hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o cuatro personas utilicen el cajero durante una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que nadie utilice el cajero durante diez minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de personas que utilicen el cajero sea mayor o igual a tres y menor seis? 17-. En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 1,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que: a) Como máximo se encuentre dos defectos en dos rollos de tela. b) Por lo menos se encuentren tres defectos en tres rollos de tela. 18-. En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que, en cierta tela, en promedio existe 2,5 defectos por cada rollo, calcular la probabilidad de que: a) Como máximo se encuentre dos defectos en un rollos de tela. b) Por lo menos se encuentren tres defectos en dos rollos de tela.
19-. En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 4 vehículos cada hora. Calcular la probabilidad de que: a) Lleguen como máximo 3 automóviles en dos horas. b) Lleguen por lo menos 4 automóviles en cuatro horas. 20-. En un estacionamiento en la central de abastos llegan en promedio 3 vehículos cada hora. Calcular la probabilidad de que: a) Lleguen como máximo 2 automóviles en dos horas. b) Lleguen por lo menos 4 automóviles en tres horas. 21. Para los siguientes experimentos, determine cuál(es) es(son) binomiales, señalando para éstos sus parámetros y función de cuantía. a. Se sabe que el 3% de una colección de estampillas muy grande son extremadamente valiosas. Las estampillas se examinan una a una hasta encontrar 10 extremadamente valiosas. La variable aleatoria es el número de estampillas examinadas. b. En una sala de un hospital hay 8 usuarios. Durante 7 días a las 08 hrs se extrae un número de cama al azar y al usuario correspondiente se le administra un placebo. La variable aleatoria es el número de veces que el usuario que se encuentra en la cama 3 recibe el placebo. 22. Suponga que el 30% de los estudiantes de una universidad se opone a pagar una cuota para actividades estudiantiles. Se toman 10 estudiantes y se los encuesta. Determine: a. La probabilidad de que exactamente 5 se opongan. b. Que sólo 3 estén a favor. c. Que a lo menos 8 se opongan d. Que a lo sumo 3 estén a favor. 23. Se sabe que de 10 divorcios, 9 son por incompatibilidad de caracteres.¿Cuál es la probabilidad de que de 8 casos de divorcio, exactamente 4 sean por incompatibilidad? 24. Un consultorio de atención primaria atiende 50 pacientes diarios. Tradicionalmente 10 de ellos son derivados a Hospitales del Sector Público. Si un día se toma la encuesta a 20 usuarios. ¿Cuál es la probabilidad de que : a. 5 de ellos sean derivados al hospital b. No más de dos sean derivados al hospital 25. Supóngase que se sabe que en cierta población, el 10% de sus habitantes padece de daltonismo. Si de esta población se hace evaluación a 25 personas. Determine la probabilidad de que: a. 5 o menos sean daltónicos b. Entre 6 y 9 (ambos inclusive) sean daltónicos c. 2, 3 o 4 sean daltónicos. 26. Encuentre dos valores Z que acoten el 50% central de una distribución normal.
27. Suponiendo una distribución normal, cuál es el valor Z asociado al percentil 90? 28. Evalúe la probabilidad de que un dato seleccionado aleatoriamente de una población distribuida normalmente tenga un valor Z que sea: a. b. c. d. e.
Menor que 2 Mayor que 1.55 Menor que1,25 Mayor -1,21 Mayor que -1 y menor que 1
29. Suponga que Z tiene una distribución estandarizada. Determine: a. P(Z>2,8) b. P(Z > z) = 0,8 30. Una máquina produce tubos cuyo diámetro sigue una distribución N(35,6 ; 0,16) . Suponiendo que los tubos no sirven si su diámetro es inferior a 36,1mm. ¿Qué porcentaje de tubos defectuosos produce ésta máquina? 31. Suponga que las edades de inicio de cierta enfermedad sigue una distribución N(11,5 ; 9). Un niño contrae recientemente la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad del niño sea entre 8,5 y 14,5 años? 32. La empresa Ball-Bearing, Inc. produce cojinetes de bolas en forma automática en una máquina Kronar BBX. Para uno de tales rodamientos, la media aritmética del diámetro se determina como 20,00 mm. La desviación estándar de la producción durante un largo período se calcula como 0,150 mm. a) b) c) d) 33.
Un estudio reciente de los sueldos por hora de tripulaciones de mantenimiento para aerolíneas importantes mostró que el salario medio por hora era de $16,50 (dólares), con una desviación estándar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de la tripulación, ¿cuál es la probabilidad de que gane: a) b) c)
34.
¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 20,00 mm y 20,27 mm? ¿Qué porcentaje de tales elementos tendrá diámetros de 20,27 mm o más? ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 19,85 mm y 20,30 mm? ¿y qué porcentaje de ellos tendrá un diámetro de 19,91 mm o menos?
entre $16,50 y $20,00 por hora? más de $20,00 por hora? menos de $15,00 por hora?
A los empleados de la empresa Machaza S. A. se les otorgan puntuaciones por eficiencia. La distribución de éstas sigue, aproximadamente, una distribución normal. La media es 400, y la desviación estándar, 50 a)
¿Cuánto vale el área bajo la curva normal entre 400 y 482?
b) c) 35.
¿Cuánto vale el área bajo la citada curva para puntuaciones mayores que 482? Muestre los aspectos de este problema en un diagrama.
Con relación a nuestro ejercicio hecho en clases donde la media del ingreso semanal es de $1000 y la desviación estándar es de $100: a) b)
¿Qué porcentaje de los ejecutivos tienen un ingreso semanal entre $750 y $1225? Elabore una curva normal y sombree el área deseada en el diagrama. ¿Qué porcentaje de dichos directivos tienen un ingreso por semana entre $1100 y $1225? Elabore una curva normal y sombree el área en cuestión en el diagrama.
36.
Un análisis de las calificaciones finales obtenidas en una prueba de un seminario de programas de computación, reveló que seguían, aproximadamente, una curva normal, con media de 75 y desviación estándar de 8. El profesor desea otorgar una calificación de A al 10% superior de las evaluaciones en la prueba. ¿Cuál es el punto divisorio entre las calificaciones A y B?
37.
Una población normal tiene una media de 50,0 y una desviación estándar de 4,0. a) b) c) d)
38.
Una máquina expendedora de refresco se ajusta para servir 7,00 oz (onzas) del líquido por vaso. La desviación estándar es de 0,10 oz. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva: a) b) c) d)
39.
Calcule la probabilidad de un valor entre 44,0 y 55,0. Evalúe la probabilidad de uno mayor que 55,0 Obtenga la probabilidad de uno entre 52,0 y 55,0. Determine el valor de x abajo del cual ocurrirá el 95% de los valores.
entre 7,10 y 7,25 onzas de refresco? 7,25 oz o más? Entre 6,8 y 7,25 onzas? ¿Cuánto refresco se sirve en el máximo 1% de las bebidas?
Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para casas que recibe el Banco del Estado, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de $70.000 (dólares) y una desviación estándar de $20.000. una solicitud de préstamo se recibió esta mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d)
la cantidad solicitada sea de $80.000 o más? El monto solicitado esté entre $65.000 y $80.000? El valor solicitado sea de $65.000 o más? 20% de los préstamos sean mayores que cuál cantidad?
40.
Un estudio realizado por la Compañía Aseguradora Magallanes reveló que los propietarios no recuperaron los bienes robados, en 80% de los hurtos reportados a la aseguradora. a) b)
41.
Supóngase que X tiene una distribución probabilística binomial, con n 50 y 0,25 . Calcule lo siguiente: a) b) c)
42.
Durante cierto tiempo en el que ocurrieron los 200 robos, ¿cuál es la probabilidad que no se recuperen los bienes objeto de hurto en 170 o más de los actos de latrocinio? En un período en el que sucedieron 200 robos, ¿cuál es la probabilidad de que no se recuperen los bienes hurtados en 150 o más de los delitos?
La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. La probabilidad de que X valga 15 o más. La de que X valga 10 o menos.
Un estudio realizado por el club de acondicionamiento físico Spiniac, reveló que el 30% de sus nuevos socios tienen un sobrepeso considerable. Una promoción por carta en el área metropolitana dio como resultado la inscripción de 500 nuevos integrantes. a)
Se ha planteado utilizar la aproximación normal a la binomial para determinar la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros tengan un sobrepeso de consideración. ¿Se calificaría a este problema como uno del tipo binomial? Explique su respuesta. b) ¿Cuál es la probabilidad de que 175 o más de los nuevos socios tengan sobrepeso? ¿Cuál es la de que 140 o más de los miembros recientes tengan sobrepeso considerable?
