Jurnal Penelitian Sains
Edisi Khusus Desember 2009 (A) 09:12-02
Hubungan Antara Distribusi Diskrit yang Bervariabel Satu Robinson Sitepu Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Dalam teori statistika terdapat parameter yang, besarnya tidak diketahui. Untuk menafsirkan mengenai parameter tersebut dapat dilakukan dengan dua cara yaitu melalui pengujian hipotesis atau teori penaksiran. Parameter tersebut berkaitan dengan distribusi tertentu. Dalam keadaan tertentu distribusi dari parameter itu harus ditransformasikan ke distribusi lain agar pengujian atau penaksiran mengenai parameter itu dapat dilakukan, karena melakukan transformasi dari satu distribusi ke distribusi lainnya. maka diperoleh hubungan antara distribusi-distribusi tersebut.
Kata kunci: hubungan, transformasi variabel acak, diskrit, dan kontinu. Abstract: Abstract: In theory there are statistical parameters that magnitude is not known. To interpret on these parameters can be done in two ways, namely through hypothesis testing or estimation theory. The parameters are associated with a particular distribution.Under certain circumstances the distribution of the parameters that must be transformed into another distribution to test or assessment of parameters that can be done, because the transformation from one distribution to another distribution, then the obtained relationships between these distributions.
Keywords: relationship, transformation random variables, discrete, and continuous. Desember 2009
1
PENDAHULUAN
alam teori statistika terdapat 3 macam variable acak, vaitu: variable acak diskrit, variable acak diskrit-kontinu, dan variable acak kontinu yang masing-masing disertai dengan distribusi peluangnya yaitu, distribusi peluang diskrit, peluang diskrit-kontinu, dan distribusi peluang kontinu [1] . Pada makalah ini akan dibicarakan bagaimana hubungan antara distribusi yang diskrit dengan distibusi diskrit. Distribusi peluang diskrit yang dibicarakan ada sebanyak 9 macam distribusi diskrit [2] .
D
2
METODOLOGI
Untuk menentukan hubungan antara distribusidistribusi tersebut metoda yang dipergunakan metoda transformasi variabel. Metoda Transformasi Variabel. Misalkan X merupakan variabel acak yang mengikuti distribusi tertentu dan Y = h(x) merupakan suatu variabel acak, selanjutnya ingin diketahui bagaimana bentuk distribusi Y tersebut, cara atau langkah untuk menentukan distribusi Y tersebut dinamakan transformasi variabel [3,4] . Definisi: Misalkan x suatu variabel acak yang diskrit dengan fungsi peluang p(x = x) dan Y = h(x) merupakan suatu variabel acak yang diskrit pula, maka distribusi dari variabel acak Y dapat ditentukan dengan g(yi ) = p(Y = yi ) c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya
3
PEMBAHASAN
Hubungan antara distribusi diskrit dapat dilihat pada Gambar 1. Fungsi peluang serta fungsi pembangkit momen, fungsi pembangkit karakteristik, fungsi pembangkit peluang, momen ke-r atau momen factorial, rata-rata dan varians untuk distribusi diskrit diberikan dalam Tabel 1, tab:Robinson-2, dan tab:Robinson-3. 4
KESIMPULAN
Berdasarkan diagram yang diperlihatkan pada Gambar 1, dapat dilihat dengan mudah hubungan antara distribusi-distribusi yang ada dalam statistika sekaligus trensformasi yang digunakan. DAFTAR PUSTAKA [1]
[2]
[3]
[4]
Johnson, N.L. & Kotz, S. Distributions in Statistics : Discrele Distribution, Continous Univariable Distribution-1, continuous univariate distribution-2, 1970, John Wiley, New York. Hastings, N.A.J, & Peacock., Statistical Distribution, 1975, Butterworth & Co Itd. London. Freund, J.E., Mathematical Statistics, 1962. Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, N.J. Kapur, J.N & Saxena, H.C., Mathematical Statistic, 1981, S. Chand & Company Ltd, Ram Nagar, New Delhi.
0912-02-10
R. Sitepu/Hubungan Antara Distribusi . . .
JPS Edisi Khusus (A) 09:12-02
Gambar 1: Bagan hubungan antara distribusi diskrit
Tabel 1: Fungsi Peluang Untuk Distribusi Deskrit
No 1. 2.
Distribusi Bermoulli Beta-Binom
Fungsi Peluang x
n−x
p (1 − p)
X = 0, 1
n +n3 −x−1 )
2 +x−1 )( 1 (n x n−x
n1 +n2 +n3 −1 n1
(nx )P x (1
Diskrit X = 0, . . . n1
n−x
3. 4. 5.
Binom − p) X = 0, . . . n x (x+1) Diskrit Weibull p(1 − p) − (1 − p) X = 0, 1 . . . x Geometrik p(1 − p) X = 0, 1 . . .
6.
Hipergeometrik
7.
Binom Negatif (n−1+x )pn (1 − p)x x
n
8. 9.
Poisson Rectangular
3−n 1 (n x )(n2−x ) n (n32 )
µx e−x X! 1 n
X = 0, . . .(min(n1 · n2 )) X = 0, 1 . . . X = 0, 1 . . . X = 0, 1 . . . , n − 1
0912-02-11
R. Sitepu/Hubungan Antara Distribusi . . .
JPS Edisi Khusus (A) 09:12-02
Tabel 2: Fungsi Pembangkit Momen, Karakteristik Peluang Untuk Distribusi Diskrit
No
Fungsi Pembangkit Momen Karakteristik Peluang
Distribusi
((1 − p) + pet ) ... ((1 − p) + pet )n ... p(e−t − q)−1
1. 2. 3. 4. 5.
Bermoulli Beta-Binom Binom Diskrit Weibull Geometrik
6. 7. 8. 9.
Hipergeometrik . . . Binom Negatif pn (1 − qet )−n Poisson eµ(et − 1)) 1 t ent −1 Rectangular n e et −1
((1 − p) + peit ) ... ((1 − p) + peit )n ... p(e−it − q)−1
(q + pt) ... (q + pt)t ...
... pn (1 − qeit )−n eµ(eit − 1)) 1 it eint −1 n e eit −1
... pn (1 − qt)x e − µ(1 − t)
pt 1−qt
ta −ta +tb 1−t
Tabel 3: Momen Re − r, Momen Faktorial, Mean (rata-rata), dan varians Distribusi Diskrit
No
Distribusi
Momen Ke r r
µ (r) = p ∗∗
r
1. 2.
Bermoulli Beta-Binom
3. 4. 5.
Binom µ(r) = pr n( r) Diskrit Weibull ∗∗ Geometrik µ(r) = r( pq )( r) ( ( n1 r)n2 r) ( n3 r)
6.
Hipergeometrik µ(r) =
7.
Binom Negatif µ(r) = ( rq )r (n − r + 1)r
8. 9.
Poisson Rectangular
µ(r) = µr ∗∗
0912-02-12
Mean
Varians
P
P (1 − p)
n1 n2 n1 +n2
n1 n2 n3 (n1 +n2 +n3 ) ((n1 +n2 )2 (n2 +n3 ))2
np ∗∗
np(1 − p) ∗∗
1−p p n1 n2 n3 nq p
1−p p2 n−1n2 (n3 −n1 )(n3 −n2 ) n23 (n3 −1) n(n−p) p2
µ
µ
n−1 2
1 2 12 (n
− 1)
