Integrais Resolução dos Exercícios Propostos - DMA-UEM

Integrais. Resolução dos Exercícios Propostos. Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções: a). 5. 2. ( ) 7. 4. f x x. = + ; b)...

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Integrais Resolução dos Exercícios Propostos Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções: 5

a) f ( x ) = 7x 2 + 4 ; d) f ( x ) =

Solução: a) b) c) d) e) f)

∫ ( 7x

x +1 x5

(5 2 )

b) g ( t ) =

t5 4 − −3 + 3t ; 2 t

e) h( v ) = ( −2 + v −2 )2

)

+ 4 dx = 2 x (

7 2)

c) h( u ) = u 3 ( −2u + u −5 ) ; f) g ( s ) =

1 s4

+ 4x + C ;

 t5  4 1 6 4 3 2 ∫  2 − t −3 + 3t  dt = 12 t − t + 2 t + C ; 2 5 1 3 −5 4 −2 ∫ u ( −2u + u ) du = ∫ ( −2u + u ) du = − 5 u − u + C ; x +1 1 −3 1 −4 −4 −5 ∫ x 5 dx = ∫ ( x + x ) dx = − 3 x − 4 x + C ; 1 1 1 −2 2 −2 −4 ∫ ( −2 + v ) dv = ∫ (4 − 4v + v ) dv = 4v + 4 v − 3 v 3 + C ; 1 1 1 ∫ s 4 ds = − 3 s 3 + C .

Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções: a) f ( x ) =

3cos x ; 7sen 2 x

b) g ( t ) =

2 cos 2 t + tg t ; cos t

c) f ( x ) =

sen 2 x cos 2 x . + 7cos 2 x 7cos 2 x

Solução: 3cos x 3 a) ∫ dx = ∫ cotg x cossec x dx , mas pela tabela de derivação dada no final do 2 7 7sen x Fundamentum nº 27, obtém-se que: d cossec x = − cossec x cotg x . dx 3cos x 3 Assim, ∫ dx = − cossec x + C . 2 7 7sen x 2  2 cos t + tg t sen t  sen t b) ∫ dt = ∫  2 cos t + dt = ∫ 2 cos t dt + ∫ dt = 2sen t + ∫ tg t cotg t dt , 2   cos t cos t  cos 2 t  novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que: d sec x = sec x tg x , dx 2 cos 2 t + tg t assim, ∫ dt = 2sen t + sec t + C . cos t

mas

sen 2 x

cos2 x

1

1 sec 2 x dx , mas novamente pela tabela de derivação ∫ 7 dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que: d tg x = sec 2 x , dx sen 2 x cos 2 x 1 assim, ∫ + dx = tg x + C . 2 2 7 7cos x 7cos x

∫ 7cos2 x + 7cos2 x dx = 7 ∫ (1 + tg

c)

2

x ) dx =

Exercício 3: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:

x dx ; 1+ x

a) ∫ 2 2 − 3xdx ;

b) ∫ 3x 2 x 2 − 4 dx ;

c)



e) ∫ 3t cos(3t 2 )dt ;

f) ∫ cos 2 t dt ;

g)

sec 2 ( x ) ∫ x dx ;

Sugestão para resolver o item c: considere u = 1 + x . Solução: a) Fazemos u = 2 − 3x , logo du = −3dx , e assim, 2 12 4 32 4 32 ∫ 2 2 − 3x dx = − 3 ∫ u du = − 9 u + C = − 9 (2 − 3x ) + C . b) Fazemos u = x 2 − 2 , logo du = 2x dx , e assim,

 3x  d) ∫ sen   dx ;  2  1 h) ∫ dx . 1 + 9x 2

3 3 2 2 32 2 x 2 − 4 dx = ∫ (2u )1 2 du = u + C = 2 ( x 2 − 2)3 2 + C . 2 2 3 c) Fazemos, conforme sugestão u = 1 + x , logo du = dx , e assim, x u −1 1   u ∫ 1 + x dx = ∫ u 1 2 du = ∫  u 1 2 − u 1 2  du = 2 2 = ∫ u 1 2 du − ∫ u −1 2 du = u 3 2 − 2u 1 2 + C = (1 + x )3 2 − 2(1 + x )1 2 + C . 3 3 3 3 d) Fazemos u = x , logo du = dx , e assim, 2 2 2 2 2  3x  3  ∫ sen  2  dx = ∫ 3 sen u du = − 3 cos u + C = − 3 cos  2 x  + C . e) Fazemos u = 3t 2 , logo du = 6t dt , e assim, 1 1 1 2 2 ∫ 3t cos(3t )dt = ∫ 2 cos u du = 2 sen u + C = 2 sen 3t + C .

∫ 3x

1 + cos 2t , e assim, 2 1 + cos 2t 1 1 1 1 2 ∫ cos t dt = ∫ 2 dt = ∫ 2 dt + 2 ∫ cos 2t dt = 2 t + 4 sen 2t + C . 1 g) Fazemos u = x , logo du = dx , e assim, 2 x f)

Fazemos cos 2 t =

sec 2 ( x ) 2 ∫ x dx = ∫ 2sec u du = 2 tg u + C = 2 tg( x ) + C . h) Fazemos u = 3x , logo du = 3dx , e assim,

1

∫ 1 + 9x 2

dx = ∫

1 1 1 1 du = arctg u + C = arctg (3x ) + C . 2 3 1+ u 3 3

Exercício 4: Calcule as seguintes integrais, utilizando a técnica de integração por partes. a)



x dx ; x +1

d)

∫x

3

sen x dx ;

b)

∫ arcsen x dx ;

c) (2 x + 1)senx dx ;

e)

∫ cossec

f)

2



x cotg x dx ;

∫ senx sec

2

x dx .

Solução:

1 dx , logo du = dx e v = 2 x + 1 , e assim, x +1 4 x ∫ x + 1 dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = 2x x + 1 − ∫ 2 x + 1 dx = 2x x + 1 − 3 ( x + 1) x + 1 + C = 2 = x + 1 ( x − 2) + C . 3 1 b) Façamos u = arcsen x e dv = dx , logo du = dx e v = x , e assim, 1− x2 x 2 ∫ arcsen x dx = ∫ u dv = uv − ∫ v du = x arcsen x − ∫ 1 − x 2 dx , fazendo agora t = 1 − x , temos que 1 2 x 1 1 dt = −2 x , e assim, ∫ dx = ∫ − du = u 1 2 = −(1 − x 2 ) . Portanto, 2 u 1− x2 a)

Façamos u = x e dv =

∫ arcsen x dx = x arcsen x + c)

1− x2 + C .

Façamos u = 2 x + 1 e dv = senx dx , logo du = 2 dx e v = − cos x , e assim,

∫ (2x + 1)senx dx = −(2x + 1)cos x + ∫ 2 cos x dx = 2(sen x − x cos x ) − cos x + C . d) Segue imediatamente do item c que ∫ x senx dx = sen x − x cos x + C . Façamos então u = x 3 e dv = sen x dx , logo du = 3x 2 dx e v = − cos x . Portanto,

∫x

3

sen x dx = −x 3 cos x + 3∫ x 2 cos x dx .

∫x

Analisando a integral

2

(1)

cos x dx , observamos que podemos calculá-la também por partes, fazendo agora

u = x 2 e dv = cos x dx , logo du = 2 x dx e v = sen x , e assim,

∫x

2

cos x dx = x 2 sen x − 2 ∫ x sen x dx e

pela observação acima, concluímos que

∫x

2

cos x dx = x 2 sen x − 2(sen x − x cos x )

(2)

Substituindo (2) em (1), obtemos

∫x

e)

3

sen x dx = − x 3 cos x + 3x 2 sen x + 6x cos x − 6sen x + C .

Façamos u = cossec x e dv = cossec x cotg x dx , logo du = − cossec x cotg x dx e v = − cossec x , e assim,

∫ cossec

2

x cotg x dx = − cossec 2 x − ∫ ( − cossec x )( − cossec x cotg x )dx . Logo,

2 ∫ cossec 2 x cotg x dx = − cossec 2 x . Portanto, ∫ cossec 2 x cotg x dx = − f)

cossec 2 x +C 2

Façamos u = sen x e dv = sec 2 x dx , logo du = cos x dx e v = tg x , e assim,

∫ senx sec

2

x dx = sen x tg x − ∫ tg x (cos x dx ) = sen x tg x + ∫ sen x dx = sen x tg x + cos x + C .

Exercício 5 (resolução com o uso de calculadora ou microcomputador): Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade n de subintervalos na partição considerada. A seguir utilize uma calculadora ou software para calcular o valor numérico da soma. a) f ( x ) = − x 2 − 1 , [2,5] , n = 7 , n = 14 , n = 100 , n = 1000 ; b) f ( x ) = sen x , [0, π ] , n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 ; c) f ( x ) = cos x , [0, π ] , n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 ; d) f ( x ) = cos x − sen x , [0, π ] , n = 6 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 . Solução:

Exercício 6: Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir. π π 0 a) ∫ cos x dx ; b) ∫ (cos x − sen x ) dx ; c) ∫ ( x 3 + 5) dx . 0

0

2π x sen x dx ; 2

∫π

d)

1

e)

1

∫ 0 x (2x

2 − 1)9 dx .

Solução: π π = sen π − sen 0 = 0 . a) ∫ cos x dx = sen x 0

0

π

∫ 0 (cos x − sen x ) dx = sen x + cos x

b)



c)

0 3 1 ( x + 5) dx = x 4 + 5x 1 4

π 0

= sen π + cos π − sen 0 − cos 0 = −2 .

0

1 21 = − −5= − . 4 4 1

d) No item d do exercício 4, vimos que

∫ x senx dx = sen x − x cos x + C , assim,

2π 2π π x sen x dx = sen x − x cos x = sen 2π − 2π cos 2π − sen π 2 + cos π 2 = −(1 + 2π ) . 2 2 π 2

∫π

e) Fazendo u = 2 x 2 − 1 , segue que: se x = 0, u = −1 , se x = 1, u = 1 e du = 4 x dx e, assim, 1

∫ 0 x (2x

1 2 − 1)9 dx = 1 1 u 9du = 1 u 10 = 0. 4 −1 40 −1



Exercício 7: Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das maneiras e calcule a área. a) y = 0 , y = x e y = −x + 5 . 1 b) x + y = 3 , y = x e y = 2 x . 2 2 c) y = x + 1 , y = x − 2 , x = 0 e x = 5 . Solução: a)

y

y=x

y = −x + 5

P

x

y =0

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter x = −x + 5 , ou seja x =

5 e assim, 2

5 . 2 Integração na variável x : y=

A( R x ) = ∫

5 2 0

5 1 x dx + ∫ ( − x + 5) dx = x 2 52 2

5 2 0

 1  +  − x 2 + 5x   2 

5

= 5 2

25 25  25 25  25 − + 25 −  − +  = u.a. 8 2 2  4  8

Integração na variável y : A( R y ) = ∫

52

0

[(5 − y ) − y ]dy = ∫

52

0

(5 − 2 y ) dy = 5 y − y 2

52 0

b)

=

25 25 25 − = u.a. 2 4 4

y P y = 2x

y =3−x

Q 1 y= x 2

x

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter 2 x = 3 − x , ou seja x = 1 e assim, y = 2 . 1 Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter x = 3 − x , ou seja x = 2 e assim, y = 1 . 2 Integração na variável x : 1 2 1 2 1 1 3 3 3 A( R x ) = ∫ (2 x − x ) dx + ∫ (3 − x − x ) dx = x 2 + (3x − x 2 ) = u.a. 0 1 1 0 2 2 4 4 2

Integração na variável y : 1 2 1 1 3 A( R y ) = ∫ (2 y − y ) dy + ∫ (3 − y − y ) dy = y 2 0 1 2 2 4 c) y

1 0

+ (3 y −

3 2 2 3 y ) = u.a. 1 4 2

P

x =0

y = x2 +1

x =5

Q S

y =x −2

x R O ponto P tem coordenada x = 5 e como y = x 2 + 1 , temos que y = 26 . O ponto Q tem coordenada x = 5 e como y = x − 2 , temos que y = 3 . O ponto R tem coordenada x = 0 e como y = x − 2 , temos que y = −2 . O ponto S tem coordenada x = 0 e como y = x 2 + 1 , temos que y = 1 . Integração na variável x : 5

 x3 x2  125 25 265 u.a. − + 15 = A( R x ) = ∫ ( x + 1 − x + 2) dx = ∫ ( x − x + 3) dx =  − + 3x  = 0 0 2 3 2 6  3 0 Integração na variável y : 5

5

2

2

1

3

26

−2

1

3

A( R y ) = ∫ ( y + 2) dy + ∫ ( y + 2 − y − 1 ) dy + ∫ (5 −

 y2  = +2 y  2  =

1

−2

3

y − 1 ) dy =

 y2  2 2   + +2y− ( y − 1)3  +  5 y − ( y − 1)3  2 3 3   1 

26

= 3

1 9 2 3 1 2 2 3 265 +2−2+4 + +6− 2 − − 2 + 130 − 253 − 15 + 2 = u.a. 2 2 3 2 3 3 6

Exercício 8: Nos itens a seguir, apenas expresse, mediante integrais definidas, a área da região limitada pelas curvas dadas. Não é necessário calcular a(s) integral(is). a) y = x 2 , y = x 3 , x = 2 e x = 10 . b) y = x , y = − x − 2 , y = − x e y = x − 10 . Solução: a)

y

P

x = 10

y = x3

x =2

Q y = x2

S R

x

O ponto P tem coordenada x = 10 e como y = x 3 , temos que y = 1000 . O ponto Q tem coordenada x = 10 e como y = x 2 , temos que y = 100 . O ponto R tem coordenada x = 2 e como y = x 2 , temos que y = 4 . O ponto S tem coordenada x = 2 e como y = x 3 , temos que y = 8 . 10

Integração na variável x : A( R x ) = ∫ ( x 3 − x 2 ) dx . 2

8

Integração na variável y : A( R y ) = ∫ ( 4

b)

y − 2) dy + ∫

100 8

( y − 3 y ) dy + ∫

1000 100

(10 − 3 y ) dy .

y

P y= x

S

x

y = −x

y = x − 10

R

Q

y =− x −2

x = x − 10 , ou seja x =

Para se encontrar as coordenadas do ponto P devemos ter

21 + 41 e 2

1 + 41 . 2

assim, y =

Para se encontrar as coordenadas do ponto Q devemos ter − x − 2 = x − 10 , ou seja x =

17 − 33 2

3 + 33 . 2 Para se encontrar as coordenadas do ponto R devemos ter − x − 2 = − x , ou seja x = 4 e assim, y = −4 . O ponto S é a origem. Assim, temos Integração na variável x :

e assim, y = −

4

(17 − 33 ) 2

0

4

A( R x ) = ∫ ( x − ( − x )) dx + ∫ 4

(17 − 33 ) 2

0

4

= ∫ ( x + x ) dx + ∫

( x − ( − x − 2)) dx + ∫

(2 x + 2)) dx + ∫

( 21+ 41 ) 2 (17 − 33 ) 2

( 21+ 41 ) 2 (17 − 33 ) 2

( x − ( x − 10)) dx =

( x − x − 10) dx .

Integração na variável y :

A( R y ) = ∫

−4

(

− 3+ 33 2

=∫

)

−4

(

− 3+ 33 2

0

(1+ 41 ) 2

−4

0

( y − 10 − ( y + 2)2 ) dy + ∫ ( y + 10 + y ) dy + ∫

)

0

(1+ 41 ) 2

−4

0

( − y 2 − 3 y + 6) dy + ∫ (2 y + 10 ) dy + ∫

( y + 10 − y 2 ) dy =

( − y 2 + y + 10 ) dy .

Exercício 9: Encontre o domínio e as derivadas de primeira e de segunda ordem das seguintes funções:

a) f ( x ) = ln(3x 2 − 4 x ) ;

b) g ( x ) = ln x ;

c) h( x ) = ln x 2 − 2 ;

d) j ( x ) = sen(ln x ) .

Solução:

4  a) Dom f = ( −∞ , 0) ∪  , + ∞  . 3  f '( x ) =

6x − 4 6(3x 2 − 4 x ) − (6x − 4)2 e . f "( x ) = (3x 2 − 4 x )2 3x 2 − 4 x

1 ln x , assim, Dom g = (0, + ∞ ) . 2 1 1 e g "( x ) = − 2 . g '( x ) = 2x 2x

b) g ( x ) = ln x 1 2 =

c) Dom h = \ − {− 2, 2 } .

h '( x ) =

2( x 2 − 2) − 2 x ⋅ 2x 2( x 2 + 2) 2x e = = − . h "( x ) ( x 2 − 2)2 ( x 2 − 2)2 x2 − 2

d) Dom j = (0, + ∞ ) .

cos(ln x ) j '( x ) = e j "( x ) = x

1 − sen(ln x ) x − cos(ln x ) sen(ln x ) + cos(ln x ) x . =− 2 x x2

Exercício 10: Calcule as integrais dadas a seguir.

 −2 x + 1 1  a) ∫  +  dx ; 3x   6x d)

π 2

∫π 4

cotg x dx ;

2

ln x dx ; x

b)

∫1

e)

∫ ln x dx .

c) ∫ tg x dx ;

Solução: 1  1 1 x ln x  −2 x + 1 1   1 1 a) ∫  + + +C . dx = − +  dx = ∫  − +  dx = ∫ − + 3x  3 2x 3 2  6x  3 6 x 3x  2 ln x 1 ln 2 x ln 2 2 . dx e, assim, ∫ dx = = 1 x 2 2 x c) Fazendo u = cos x , temos que du = − sen x dx e, assim, sen x du ∫ tg x dx = ∫ cos x dx = − ∫ u = − ln u + C = − ln cos x = ln sec x + C .

b) Fazendo u = ln x , temos que du =

d) Fazendo u = sen x , temos que: du = cos x dx , e além disso, se x = então u = 1 . Assim,

π 4

, então u =

2 π ; se x = , 2 2

1 2 ln 2 du = = ln1 − ln = . ln u ( ) ∫π 4 π 4 sen x 2 2 u 2 2 2 2 1 e) Integrando por partes, tomemos u = ln x e dv = dx , logo, du = dx e v = x . Assim, x 1 ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .

π 2

cotg x dx = ∫

π 2 cos x

dx = ∫

1

Exercício 11: Encontre a derivada das seguintes funções:

 xx  a) y = ln  ;  sen x 

b) y = ( x 2 − 1)10 ln 3x + 2 ;

d) y = (2 x 2 − 3x − 7)(5x − 4) ; Solução:

a)

c) y = cos(ln x 2 ) ;

e) y = (2 x 2 − 3x − 7)21 (5x − 4)15 .

Como y = ln x x − ln(sen x ) = x ln x − ln(sen x ) , temos:

y ' = ln x + 1 −

cos x = ln x − cotg x + 1 . sen x

1 1 1 3 b) Como y = ( x 2 − 1)10 ln(3x + 2) , temos: y ' = 10( x 2 − 1)9 2 x ln(3x + 2) + ( x 2 − 1)10 = 2 2 2 3x + 2 3 ( x 2 − 1)10 . = 10 x ( x 2 − 1)9 ln(3x + 2) + 2 3x + 2 2 2sen(ln x 2 ) c) Como y = cos(2 ln x ) , temos: y ' = − sen(2 ln x ) = − . x x d) y ' = (4 x − 3)(5x − 4) + 5(2 x 2 − 3x − 7) .

e)

Temos que: ln y = ln (2 x 2 − 3x − 7)21(5x − 4)15 = 21ln 2 x 2 − 3x − 7 + 15 ln 5x − 4 . Derivando em

y' 4x − 3 5 = 21 2 + 15 e, assim, y x 5 −4 2 x − 3x − 7 4x − 3 5   y ' = (2 x 2 − 3x − 7)21 (5x − 4)15  21 2 + 15 . 5x − 4   2 x − 3x − 7 relação a x , segue que:

Exercício 12: Calcule as derivadas das seguintes funções.

a) f ( x ) = sen( e x ) ;

b) g ( x ) = e

x

+ 2e x ;

c) h( x ) = ln(cotg e x ) ;

d) j ( x ) = e 2 x sen(2e x ) .

Solução: a) f '( x ) = e x cos( e x ) . b)

g '( x ) = e

1

x

2 x

+

2 ex . 2 ex

cos e x ) = ln cos e x − ln sen e x , temos: x sen e − sen e x x cos e x x h '( x ) = e − e = −(tg e x + cotg e x )e x . cos e x sen e x d) j '( x ) = e 2 x ⋅ 2 ⋅ sen(2e x ) + e 2 x cos(2e x ) ⋅ 2e x = 2e 2 x [sen(2e x ) + e x cos(2e x )] . c)

(

Como h( x ) = ln(

)

(

)

Exercício 13: Dadas as equações a seguir, encontre y ' derivando-as implicitamente em relação a x. a) x 2 + 2 xy + e xy = 7 ; Solução:

a)

2 x + 2 y + 2xy '+ e xy ( y + xy ') = 0 , logo, 2 xy '+ xe xy y ' = −( ye xy + 2 x + 2 y ) e, assim, y' = −

b)

b) e x sen y = e xy .

ye xy + 2 x + 2 y , quando x ≠ 0 . x (2 + e xy )

e x sen y + e x cos y ⋅ y ' = e xy ( xy '+ y ) , logo, y '( e x cos y − x e xy ) = y e xy − e x sen y e, assim, y' =

y e xy − e x sen y , quando e x cos y − x e xy ≠ 0 e x cos y − x e xy

Exercício 14: Calcular as seguintes integrais: a) ∫ e 5 x dx ; d)

b) ∫ (2 x + 5e 2 x )dx ;

e x − e −x

∫ 2e

x

sen( e x ) dx ;

2



∫ e x + e −x dx ;

c)

e) e ln( x )dx .

Solução: a)

u = 5 x , obtemos du = 5dx

Fazendo a substituição de variável 

∫e

5x

1 1 1 1 dx = ∫ e 5 x 5 dx = ∫ e u du = ∫ e u + C = e 5 x + C . 5 5 5 5

1 2 )dx = ∫ 2 xdx + ∫ 5e 2 x dx = x + 5∫ e 2 x 2dx = 2 b) 5 5 5 = x 2 + ∫ e u du = x 2 + e u + C = x 2 + e 2 x + C 2 2 2 x u = e obtemos c) Fazendo a substituição de variáveis  x du = e dx

∫ (2x + 5e

∫ 2e d)

x

2x

sen( e x )dx = 2 ∫ sen( e x )( e x dx ) = 2 ∫ sen udu = −2 cos u + C = −2 cos( e x ) + C

e x − e −x ∫ e x + e −x dx u = e x + e − x  −x x du = ( e − e )dx e x − e −x 1 x −x ∫ e x + e −x dx = ∫ u du = ln|u |+C = ln|e + e |+C .

Exercício 15: A magnitude R de um terremoto é medida em uma escala, chamada escala Richter, dada pela

 I  I0

fórmula R = log 

  , onde I é a intensidade do terremoto e I 0 é uma intensidade padrão mínima. Se um 

terremoto atinge a magnitude de 6,1 na escala Richter, quantas vezes a intensidade do terremoto é maior que a intensidade padrão?

Solução: Temos R = log

I e, assim, I0 I

log I I 6,1 = log ⇒ 106,1 = 10 I = ⇒ I = I 0 106,1 I0 I0 0

Portanto, a intensidade do terremoto é de 106,1 ≈ 1.258.925 vezes maior que a intensidade padrão.

Exercício 16: Uma contagem inicial numa cultura de bactérias revela a existência de 600.000 indivíduos. Após 3 horas o número de indivíduos passa para 1.800.000. Sabendo-se que a taxa de crescimento dessa espécie de bactérias é proporcional ao número de indivíduos presentes, determine uma expressão que forneça o número de indivíduos a cada instante t e calcule o número de bactérias depois de 5 horas. Solução: Temos t = 0 horas → 600.000 t = 3 horas → 1.800.000 A taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos presentes. η ( t ) = Me kt .

η (0) = Me k.0 = M ⇒ M = 600.000 η (3) = 600.000e k.3 = 1.800.000 ⇒ e k.3 = 3 ⇒ 3k = ln 3 Então, η ( t ) = 600.000e

1 ( ln 3)t 3

⇒ η (5) = 600.000e

1 ( ln 3)5 3

≈ 3.744.150 .

Exercício 17: Se acondicionarmos 50 mg de um material radioativo numa caixa de chumbo e soubermos que a meia vida desse material é de 200 anos, após quanto tempo haverá 5 mg do material dentro da caixa? Solução: Temos 50mg em t = 0 anos, média de vida = 200 anos e 5mg em T anos. Assim,

0 → 50mg 1 200 → 50mg 2 1 400 → 2 50mg 2 1 600 → 3 50 mg 2 1 t → t 50 2 200 A lei que rege o decaimento radioativo é q( t ) = 50.2 −t / 200 . 1 5 = 50.2 −T / 200 ⇒ = 2 −T / 200 ⇒ log 2 10 −1 = log 2 2 −T / 200 ⇒ 10 . T ln10 − 1 log 2 22 ⇒ T = 200 log 2 10 = 200 − log 2 10 = ≈ 200(3, 32198095) ≈ 664, 3 200 ln 2 Portanto, haverá 5mg após aproximadamente 664, 3 anos. Exercício 18: Com o auxílio da Tabela de Integrais Imediatas e o uso das técnicas de integração, calcule as seguintes integrais:

ex ∫ 1 + e x dx ;

a)

2 ∫ tg u du ;

b)

e)

∫x

3

f) ∫ e x 2e x + 3 dx ;

i)



x ln x dx ;

3 + 2 x 2 dx ;

(

j)

)

∫ arctg x dx ;

3

dx ; ln x

c)

∫x

g)



sen(ln x ) dx ; x



e

k)

d)

∫ cos x sen

h)



l)

∫x

x

x

dx ;

5

x dx ;

tg(ln x ) dx ; x 2 2x 3

e

dx .

Solução: a)

Temos

2 ∫ tg xdx = ∫

sen 2 x dx . Fazendo a mudança de variáveis cos 2 x u = sec 2 x  du = 2sen x cos x ⇒  1 2 dx v = ∫ sec xdx = tg x dv = cos 2 x 

obtemos

sen 2 x sen x 2 2 ∫ cos2 x dx = sen x tg x − ∫ (2sen x cos x )tg xdx = sen x tg x − ∫ (2sen x cos x ) cos x dx = 1 1 = sen 2 x tg x − ∫ 2sen 2 xdx = sen 2 x tg x − 2 ∫ [ − cos 2 x ]dx = 2 2 x sen 2 = sen 2 x tg x − x + 2 Verificação:

d sen 2 x (sen 2 x tg x − x + ) = 2sen x cos x tg x − 1 + cos 2x = dx 2 sen x = 2sen 2 x + − 1 + cos 2 x = cos x = tg 2 x + 2sen 2 x + cos 2 x − 1 = = tg 2 x x u = 1 + e

b) Fazendo a substituição de variáveis 

obtemos

x du = e dx 1 I = ∫ du = ln|u | +C = ln|1 + e x | +C . u

c)

u = ln x  obtemos 1 du = x dx

Fazendo a substituição de variáveis 

−1 2 +

1

1

− 1 u2 2 u2 +C = + C = 2 u + C = 2 ln x + C . I =∫ dx = ∫ u 2 du = −1 2 1 x ln x + 2 2 2

u = sen x obtemos du = cos xdx

d) Fazendo a substituição de variáveis 

1 1 I = ∫ u 5du = u 6 + C = sen 6 x + C . 6 6 e)

2 u = 3 + 2 x obtemos du = 4 xdx

Fazendo a substituição de variáveis  3

3

+1

5

5

5

5

1 1 u2 1 u2 1 2 1 1 +C = + C = . u 2 + C = u 2 + C = (3 + 2x 2 ) 2 + C I = ∫ x 3 + 2 x dx = ∫ u 2 du = 3 5 4 4 +1 4 4 5 10 10 2 2 3

f)

2

x u = 2e + 3

Fazendo a substituição de variáveis 

obtemos

x du = 2e dx 1 11 4 1 x I = ∫ e (2e x + 3)3 dx = ∫ u 3du = u + C = (2e x + 3)4 + C . 2 24 8

u = ln x  obtemos 1 du = x dx sen(ln x )dx = ∫ sen udu = − cos u + C = − cos(ln x ) + C . I =∫ x

g) Fazendo a substituição de variáveis 

u = ln x  h) Fazendo a substituição de variáveis  obtemos 1 du = x dx tg(ln x ) I =∫ dx = ∫ tg udu = ln|sec u | +C = ln|sec(ln x )| +C . x

i)

1  du = x dx u = ln x Fazendo a substituição de variáveis  ⇒ 3 obtemos dv = x v = 2 x 2  3

I =∫

3

3

3

1

2 2 1 2 2 x ln xdx = uv − ∫ vdu = x 2 ln x − ∫ x 2 dx = x 2 ln x − ∫ x 2 dx = 3 3 x 3 3 3

3

3

2 23 2 2 2 = x 2 ln x − x + C = x 2 (ln x − ) + C 3 32 3 3

j)

1  dx u = arc tg x du = obtemos Fazendo a substituição de variáveis  ⇒ 1+ x2 dv = dx v = x 1 1 1 dx = xarc tg x − ∫ dw = 2 2 w 1+ x 1 1 = xarc tg x − ln|w | +C = xarc tg x − ln|1 + x 2 | +C 2 2

I = ∫ arc tg xdx = xarc tg x − ∫ x

u = x  k) Fazendo a substituição de variáveis  1 dx obtemos du = 2 x  I =∫

l)

e

x

x

dx = 2 ∫ e u du = 2e u + C = 2e

u = 2 x 3

Fazendo a substituição de variáveis 

x

+C .

obtemos

2 du = 6x dx 1 1 1 I = ∫ x 2 e x dx = ∫ e u du = + C = e u + C = e 2 x + C . 6 6 6 3

Exercício 19: Prove a fórmula 14 da Tabela de Integrais, isto é, calcule divida sec x por (sec x + tg x ) . Solução: Temos ∫ sec x dx = ∫

∫ sec x dx . Sugestão: multiplique e

sec x (sec x + tg x ) sec 2 x + sec x tg x ) dx = ∫ dx . Fazendo a substituição de sec x + tg x sec x + tg x

u = sec x + tg x obtemos 2 2 du = (sec x tg x + sec x )dx = (sec x + sec x tg x )dx

variáveis 

3



sec 2 x + sec x tg x ) du dx = ∫ = ln u + C = ln sec x + tg x + C sec x + tg x u

Exercício 20: Calcule as seguintes integrais indefinidas: a)

x −3 ∫ x 2 − x − 6 dx ;

d)

∫ ( x − 1)( x − 3)3

b)

x 3 + 12 x 2 − 20 x + 5

x 2 − 3x + 5 ∫ x 3 − 5x 2 dx ;

dx ;

e)

c)

x 2 − 3x + 5 ∫ x 3 + 3x 2 + x dx (sinal trocado no denominador);

x2 −1

∫ x 4 − x 2 dx .

Solução: a)

Temos x 2 − x − 6 = ( x − 3)( x + 2) e assim

A( x + 2) + B( x − 3) x −3 A B . = + = ( x − 3)( x + 2) x −x −6 x −3 x + 2 2

Logo,

x − 3 = A( x + 2) + B( x − 3) = ( A + B )x + 2 A − 3B A + B = 1 A = 0 ⇒ .  2 A − 3B = −3 B = 1

Portanto, I =

x −3

1

∫ x 2 − x − 6 dx = ∫ x + 2 dx = ln|x + 2|+C .

b) Temos x 3 − 5x 2 = x 2 ( x − 5) e assim

x 2 − 3x + 5 A B C Ax ( x − 5) + B( x − 5) + Cx 2 . = + + = x x2 x −5 x 3 − 5x 2 x 2 ( x − 5) Logo,

x 2 − 3x + 5 = ( A + C )x 2 + Bx + ( −5 A − 5B )

A + C = 1 A = 2   ⇒  B = −3 . B = −3 −5 A − 5B = 5 C = −1   Portanto,

I =∫ c)

x 2 − 3x + 5 2 −3 −1 3 dx = ∫ dx + ∫ 2 x + ∫ dx = 2 ln x + − ln| x − 5| +C . 3 2 x x − 5 x x − 5x x

Temos 3x 3 + x 2 + x = x (3x 2 + x + 1) . Como ∆ = 1 − 4.3.1 = −11 < 0 consideramos

Logo,

x 2 − 3x + 5 A Bx + C . = + 2 3 2 3x + x + x x 3x + x + 1

x 2 − 3x + 5 = A(3x 2 + x + 1) + ( Bx + C )x = (3 A + B )x 2 + ( A + C )x + A 3 A + B = 1 A = 5    A + C = −3 ⇒ B = −14 .   A = 5 C = −8

Portanto,

I =∫ Como

x 2 − 3x + 5 −14 x − 8 x 5 1 1 dx = ∫ dx + ∫ 2 dx = 5∫ dx − 14 ∫ 2 dx − 8 ∫ 2 dx . 3 2 x x 3x + x + x 3x + x + 1 3x + x + 1 3x + x + 1 1

1

1

∫ 3x 2 + x + 1dx = 3 ∫  x + 1 2

dx =

1 1 x arc tg( )+C 3 11/6 11 6

11   +  6  36 u = 3x 2 + x + 1 , lembrando que e fazendo a mudança de variáveis  du = (6x + 1)dx x 1 6x + 1 1 1 , = − 2 2 2 3 x + x + 1 6 3 x + x + 1 6 3x + x + 1 obtemos

1

x

6x + 1

1

1

∫ 3x 2 + x + 1dx = 6 ∫ 3x 2 + x + 1dx − 6 ∫ 3x 2 + x + 1dx 1 1 11 1 x )+C du − arc tg( 6∫u 6 3 11/6 11/6 1 1 1 x = ln|u | − )+C arc tg( 6 3 11 11/6 1 1 1 x = ln|3x 2 + x + 1| − ) + C. arc tg( 6 3 11 11/6 =

d) Temos

x 3 + 12x 2 − 20 x + 5 A B C D . = + + + 3 2 1 3 x x − − ( x − 1)( x − 3) ( x − 3) ( x − 3)3

Logo,

x 3 + 12 x 2 − 20x + 5 = A( x − 3)3 + B( x − 1)( x − 3)3 + C ( x − 1)( x − 3) + D( x − 1) = = ( A + B )x 3 + ( −9 A − 7B + C )x 2 + (27 A + 15B − 4C + D )x + ( −27 A − 9B + 3C − D )

1  A = 4 A + B = 1  3 −9 A − 7B + C = 12  B = ⇒ 4   27 A + 15B − 4C + D = −20  78 −27 A − 9B + 3C − D = 5 C = 4  D = 40 Portanto,

1 1 3 1 78 1 1 x 3 + 12 x 2 − 20 x + 5 dx = ∫ dx + ∫ + ∫ dx + 40 ∫ dx = 3 2 4 1 4 3 4 x − x − ( x − 1)( x − 3) ( x − 3) ( x − 3)3 1 3 78 1 40 1 = ln| x − 1| + ln| x − 3| − + = 4 4 4 x − 3 −2 ( x − 3)2

I =∫

1 3 39 20 = ln| x − 1| + ln| x − 3| − − . 4 4 2( x − 3) ( x − 3)2

e)

Temos

x2 −1 A B C D . = + 2+ + 4 2 x x x +1 x −1 x −x

Logo,

x 2 − 1 = Ax ( x 2 − 1) + B( x 2 − 1) + Cx 2 ( x − 1) + Dx 2 ( x + 1) = = ( A + B + C )x 3 + ( B − C + D )x 2 − Ax − B A + B + C = 0 A = 0 B − C + D = 1 B = 1   . ⇒  − A = 0 C = 0 −B = −1 D = 0 Portanto,

I =∫

x2 −1 1 −1 dx = ∫ 2 dx = +C . 4 2 x x −x x

Exercício 21: Resolva as seguintes integrais indefinidas. a) ∫ cos4 x dx ; d)

∫ cossec

3

b) ∫ sen 3 x cos3 x dx ;

x dx ;

e)

∫ tg

4

c) ∫ cotg 3 x dx ;

x sec3 x dx .

Solução: a)

1

cos 2 x 2 1 cos 2x 1 ) dx = ∫ ( + + cos 2 2 x )dx = 2 4 2 4 1 1 1 1 cos4 x 1 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2xdx + ∫ ( + )dx = ∫ dx + ∫ cos 2xdx + ∫ xdx + ∫ cos4 xdx = 4 2 4 2 2 4 2 8 8 3 1 1 3 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos4 xdx = x + sen 2x + sen 4 x + C 8 2 8 8 4 16

∫ cos dx = ∫ ( 2 + 4

b)

∫ sen x cos xdx = ∫ sen x cos x (cos xdx ) = = ∫ sen 3 x (1 − sen 2 x )(cos xdx ) = ∫ sen 3 x − sen 5 x )(cos xdx ) 3

3

3

2

Fazendo a mudança de variáveis u = sen x ⇒ du = cos xdx obtemos

∫ sen

3

1 1 x − sen 5 x )(cos xdx ) = ∫ ( u 3 − u 5 )du = sen 4 x − sen 6 x + C . 4 6

c)

∫ cotg

3

xdx = ∫ cotg x cotg 2 dx = ∫ cotg x (cossec 2 x − 1)dx = = ∫ cotg x cossec 2 x dx − ∫ cotg xdx .

Fazendo a mudança de variáveis u = cotg x ⇒ du = − cossec 2 xdx obtemos

∫ cotg x cossec

2

xdx − ∫ cotg xdx = − ∫ udu − ∫ cotg xdx =

1 1 = − u 2 − ln|sec x | +C = − cotg 2 x − ln|sec x | +C . 2 2

d)

∫ cossec

3

xdx = ∫ cossec 2 x (cossec xdx ) u = cossec x du = − cossec x cotg xdx ⇒   2 dv = cossec xdx v = − cotg x

∫ vdu =∫ cossec x cotg

2

xdx = ∫ cossec x (cossec 2 x − 1)dx = ∫ cossec3 xdx − ∫ cossec xdx

Então,

∫ cossec xdx = − cossec x cotg x − ∫ cossec xdx + ∫ cossec xdx ⇒ ⇒ 2 ∫ cossec3 xdx = − cossec x cotg x + ∫ cossec xdx ⇒ 3

`3

1 1 ⇒ ∫ cossec3 xdx = − cossec x cotg x + ∫ cossec xdx = 2 2 1 1 = − cossec x cotg x + ln|cossec x − cotg x | +C 2 2 e)

I = ∫ tg 4 x sec3 xdx tg 4 x = (tg 2 x )2 = (sec 2 x − 1)2 = sec4 x − 2sec 2 x + 1

I = ∫ (sec 4 x − 2sec 2 x + 1)sec 2 xdx = ∫ sec7 xdx − 2 ∫ sec5 xdx + ∫ sec3 xdx Para cada integral acima usamos integração por partes com dv = sec 2 xdx ⇒ v = tg x . 5 4 u = sec x du = 5sec x sec x tg xdx dx ⇒   2 dv = sec x v = tg x

∫ sec

7

xdx = sec5 x tg x − ∫ tg x (5sec4 x sec x tg xdx )

I = ∫ sec3 dx = ∫ sec x sec 2 x dx u = sec x du = sec x tg xdx dx ⇒   2 v = tg x dv = sec x I = sec x tg x − ∫ tg x sec x dx = sec x tg x − ∫ sec x (sec 2 x − 1)dx = sec x tg x − ∫ sec3 x dx + ∫ sec x dx 2 ∫ sec3 x dx = sec x tg x − ∫ sec dx = sec x tg x + ln|sec x + tg x |+C ⇒

∫ sec

3

1 x dx = (sec x tg x + ln|sec x + tg x |) + C ⇒ 2

I = ∫ sec5 dx = ∫ sec3 x sec 2 x dx 3 2 u = sec x du = 3sec x sec x tg xdx dx ⇒   2 v = tg x dv = sec x

I = sec 3 x tg x − 3∫ sec3 x tg 2 x dx = sec 3 x tg x − 3∫ sec3 x (sec 2 x − 1)dx = sec 3 x tg x − 3∫ sec5 x dx + 3∫ sec3 x dx 3 4 ∫ sec5 dx = sec 3 x tg x + (sec x tg x + ln|sec x + tg x |) ⇒ 2 1 3 5 3 ∫ sec dx = 4 sec x tg x + 8 (sec x tg x + ln|sec x + tg x |) + C I = ∫ sec7 dx = ∫ sec5 x sec 2 x dx 5 4 u = sec x du = 5sec x sec x tg xdx dx ⇒   2 v = tg x dv = sec x

I = sec5 x tg x − 5∫ sec5 x tg 2 x dx = sec5 x tg x − 5∫ sec5 x (sec 2 x − 1)dx = sec5 x tg x − 5∫ sec7 x dx + 5∫ sec5 x dx 5 15 6∫ sec7 dx = sec5 x tg x + sec3 x tg x + (sec x tg x + ln|sec x + tg x |) ⇒ 4 8 1 5 15 I = ∫ sec7 dx = sec5 x tg x + sec3 x tg x + (sec x tg x + ln|sec x + tg x |) + C 6 24 48 Exercício 22: Calcule as seguintes integrais: a)

∫x

d)



3 4 − x2

5x 2

x − 25

dx ;

b)

∫x

dx 5 + x2

;

∫ 3x 2

c)

dx (corrigido colocando raiz no denominador);e)



1 2

9x − 49

2 x 2 − 36

dx ;f)

Solução: a)

Fazendo a substituição de variáveis

a = 2, x = 2sen θ ⇒ sen θ = dx = 2 cosθ d θ , obtemos

x 2

4 − x 2 = 2 cosθ ⇒ cosθ =

4 − x2 , 2



dx ;

1

(4x 2 − 4 )

3/ 2

dx .

I =∫

3 x 4 − x2

dx = 3∫

2 cosθ 3 d θ = ∫ cossecθ d θ = 2sen θ 2 cosθ 2

3 3 1 4 − x2 /2 | +C = = ln|cossec θ − cotg θ | +C = ln| − x /2 x /2 2 2 3 2 4 − x2 | +C = ln| − x x 2 b) Fazendo a substituição de variáveis

x

a = 5, x = 5 tg θ ⇒ sen θ =

5 − x2

dx = 5 sec 2 θ d θ , 5 + x 2 = 5 secθ ⇒ cosθ =

5 5 − x2

obtemos

dx

I =∫

=∫

5 sec 2 θ 1 1 cosθ dθ = dθ = ∫ cos θ sen θ 5 tg θ 5 sec θ 5

x 5 + x2 1 1 cossec θ d θ = ln|cossecθ − cotg θ | +C = = ∫ 5 5

1 5 − x2 5 1 5− x2 − 5 ln| | +C = ln| | +C − x x x 5 5

= c)

Fazendo a substituição de variáveis

x = 6sec θ , dx = 6secθ tg θ d θ x 2 − 36 = 6tg θ , sen θ = Obtemos

I =∫ =

2 3x

2

2

x − 36

dx = ∫

x 2 − 36 x

12sec θ tg θ 3 ⋅ 36sec θ ⋅ 6 ⋅ tg θ 2

dθ =

1 cosθ d θ = 54 ∫

1 1 x 2 − 36 +C sen θ + C = 54 54 x

d) Fazendo a substituição de variáveis

x = 5sec θ , dx = 5secθ tg θ d θ x 2 − 25 = 5tg θ , sen θ =

obtemos

I =∫ = 25

5x 2

x − 25

dx = 25 ∫

x 2 − 36 x

sec θ 5sec θ tg θ d θ = 25∫ sec 2 θ d θ = 25tg θ + C = 5tg θ

x 2 − 25 + C = 5 x 2 − 25 + C 5

e)

Temos I =

1



9x 2 − 49

1

dx = ∫

9( x 2 −

49 ) 9

dx =

1 1 dx . ∫ 3 x 2 − (7/3)2

Fazendo a substituição de variáveis

7 7 x = sec θ , dx = sec θ tg θ d θ 3 3 2

x −

x 2 − 499 7 7/3 , cosθ = = tg θ , sen θ = 3 x x

49 9

Obtemos

I=

f)

x 2 − 49 1 73 sec θ tg θ 1 1 1 3x 9 d sec d ln|sec tg | C ln| | +C θ θ θ θ θ = = + + = + 3 ∫ 73 tg θ 3∫ 3 3 7 7/3

Temos I =



dx (4 x 2 − 4)

3

2

=∫

dx ( 4 )3 ( x 2 − 1)

3

= 2

1 dx . ∫ 8 ( x 2 − 1)3

Fazendo a substituição de variáveis

x = sec θ , dx = sec θ tg θ d θ ,

x 2 − 1 = tg θ

obtemos

I=

1 1 1 sec θ 1 cos 2 θ 1 sec tg d d dθ . θ θ θ = θ = 8 ∫ tg 3 θ 8 ∫ tg 2 θ 8 ∫ sen 2 θ cosθ u = sen θ obtemos du = cosθ dθ

Fazendo a substituição de variáveis 

I=

1 1 1 −1 1 du = ( ) + C = − +C = − ∫ 2 8 u 8 u 8sen θ

1 x2 −1 8 x

+C =

−x 8 x2 −1

+C .

1 Exercício 23: Mostre que o volume do cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por π r 2 h .

3 Sugestão: Rotacione um triângulo retângulo adequado, cujos catetos estão sobre os eixos coordenados. Solução:

y

h m=−

0

r

x

h r

h y −h = − x r h y =− x +h r

r

r

r

h x2  −h 2 −h x 3 V = ∫ 2π [ − x + h ]xdx = ∫ (2π x + 2π hx )dx = 2π + 2π h  = r r r 3 2 0 0 0 = 2π

r2 r2 r2 hr 2 1 2 −h r 3 −2hr 2 + 3hr 2 + 2π h − 0 = 2π ( −h ) + 2π h = 2π = 2π = π r h. 2 3 2 6 6 3 r 3

Exercício 24: Encontre a área de um tronco de cone circular reto de altura h e raios r1 e r2 . Solução:

y h

h r2 − r1 −h y −0= ( x − r2 ) r2 − r −h f (x ) = ( x − r2 ) r2 − r

m=−

0

r2 x

r1

V1 = π h r12 é o volume do cilindro interno. r2

r2

r1

r1

V = ∫ 2π x f ( x ) dx = ∫ 2π x [

r2

hr2 −h −h 2 ( x − r2 )]dx = 2π ∫ ( x + x )dx = r2 − r r r r r − − 2 1 2 1 r 1

2  r2

 −h r2 3  −h r13  −h x 3 hr2 x hr2 r2 2  hr2 r12  = 2π  + + +  − 2π  =  = 2π   r2 − r1 3 r2 − r1 2  r  r2 − r1 3 r2 − r1 2   r2 − r1 3 r2 − r1 2  1

= 2π =

3

hr2 + 3hr2 r12

− 2hr13

6( r2 − r1 )

.

π hr2 3 + 3hr2 r12 − 2hr13 r2 − r1

3

O volume é

π h r12 + =

π hr23 + 3hr2 r12 − 2hr13 3

r2 − r1

=

( r2 − r1 )π hr12 + π ( hr2 3 + 3hr2 r12 − 2hr13 ) 3( r2 − r1 )

π 3hr2 r12 − 3hr13 + hr23 + 3hr2 r12 − 2hr13 ) π 3

r2 − r1

=

=

π

1 [3r2 r12 − 3r13 + r2 3 + 3r2 r12 − 2r13 ] = 3 r2 − r1 h

1 h [6r2 r12 − 5r13 + r2 3 ]. 3 r2 − r1

Exercício 25: Considere a região R1 , limitada pelas curvas: y = 0 , y = x e y = − x + 5 e a região R 2 , 1 limitada pelas curvas: x + y = 3 , y = x e y = 2 x . Considere os sólidos S1x e S2x obtidos, 2 respectivamente, pela revolução das regiões R1 e R 2 ao redor do eixo Ox. Considere os sólidos S1 y e S2 y

obtidos, respectivamente, pela revolução das regiões R1 e R 2 ao redor do eixo Oy. Expresse, mas não calcule, o volume dos sólidos S1x , S1 y , S 2 x e S 2 y mediante o uso de integrais. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e na variável y. Solução: y

y

y=2x ou x=y/2 y=x ou x=y

5/2

r

2 (5/2,5/2)

1

R1

y=x/2 ou x=2y

r R2

x

5/2

y=3- x ou x=3-y 1

2

y=x+5 ou x=-y+5

Integração em x 5

V ( S1x ) =

2

0

5

V ( S1 y ) =

5

2 2 ∫ π x dx + ∫ π ( −x + 5) dx 5

2 5

2

2 ∫ π x ( x ) dx + ∫ π x ( −x + 5) dx 5

0

2

1

2

V ( S 2 x ) = ∫ π [(2 x )2 − ( 21 x )2 ]dx + ∫ π [(3 − x )2 − ( 21 x )2 ]dx 0 1

2

1

0

1

V ( S 2 y ) = ∫ 2π x ( 2x − 21 x )dx + ∫ 2π x (3 − x − 21 x )dx . Integração em y 5

V ( S1x ) = V ( S1 y ) =

2

∫ π y[( − y + 5) − ( y )]dy

0 5 2

∫ π [( − y + 5)

0 1

2

− ( y )2 ]dy 2

V ( S 2 x ) = ∫ 2π y[(2 y ) − ( 21 y )]dy + ∫ 2π y[(3 − y ) − ( 21 y )]dy 0 1

1

2

V ( S 2 y ) = ∫ 2π y[(2 y )2 − ( 21 y )2 ]dy + ∫ π y[(3 − y )2 − ( 21 y )2 ]dy . 0

1

x

Exercício 26: Considere a região R, limitada pelas curvas: y = x2 +1, y = x − 2 , x = 0 e x = 5. Considere o sólido S obtido pela revolução de R ao redor do eixo Oy. Expresse, mas não calcule, o volume de S mediante o uso de integrais. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e na variável y. Solução: y 26

y = x 2 + 1 ou x =

3

y=x-2 ou x=y+2

y −1

1 0 -1 5

Integração em x :

Integração em y :

∫ 2π x[( x

2

x

5

+ 1) − ( x − 2)]dx

0 1

3

236

−2

1

3

2 2 2 ∫ π x[( y − 2) ]dy + ∫ π [( y + 2) − ( y − 1) ]dy +

∫ π [(5)

2

− ( y − 1)2 ]dy

Exercício 27: Calcule o volume do sólido S, situado entre os planos perpendiculares ao eixo Ox em x = 0 e em x = 4 , com a base no plano x y , limitada pela parábola x = y 2 , sabendo que suas seções transversais são quadrados. Solução: y

x = y2

0

4

x

A base do sólido S é a região do plano xy limitada pela parábola x = y 2 e a reta x = 4 .

Para cada x 0 ∈ [0, 4] o lado do quadrado tem medida igual a 2 x . Logo, a área do quadrado é igual a 4 x . ( x > 0!) . Então 4

4

4

0

0

0

V = ∫ A( x ) dx = ∫ 4 x dx = 2 x 2  = 2 ⋅ 4 2 − 2 ⋅ 0 = 32 O volume do sólido é 32 unidades de volume.

Exercício 28: Mostre, mediante o uso da técnica do volume por fatiamento, que o volume da pirâmide de 1 altura h e base quadrada de lado l é dado por V = l 2 h . 3 Solução: Se considerarmos o eixo vertical como prolongamento da “altura” da pirâmide e orientado para “cima” podemos descobrir a área A( x ) do quadrado obtido como fatiamento da pirâmide pela família de planos paralelos à base da mesma mediante semelhança de triângulos.

h h

x

e

b

0

( h − x ) e 2 e( h − x ) h−x ⇒b = = b h 2h

l/2

Na “altura” x , o lado do quadrado é igual a 2b = h

e( h − x ) e 2 ( h − x )2 . Então A( x ) = . h h2

h 2

h

e ( h − x )2 e2 = dx ( h − x )2 dx 2 2 ∫ h h 0 0

V = ∫ A( x ) dx = ∫ 0

h

2

=

h

( h − x )3   ( h − h )3   ( h − 0)3  h 3 ( h − x ) dx = −  = −  − − = ∫ 3 0  3   3  3 0 V=

2

e2 h3 1 2 1 = e h = (área da base)(altura) . 2 3 h 3 3

Exercício 29: Encontre o comprimento do arco sobre a curva y = x 3 + 2 do ponto (0, 2) ao ponto (4, 10) . Solução: Temos y = x 3 + 2 ⇒

dy 3 = x . O comprimento do arco desejado é dado por dx 2 1

4

2

s = ∫ 1+ 0

(

3 2

x

1

2

)

2

4

dx = ∫ 1 + 49 xdx 0

u = 1 + 49 x  du = 49 dx Fazendo a mudança de variável  obtemos x = 0 ⇒ u = 1 x = 4 ⇒ u = 10  s = 49

10

(



udu = 49 ⋅ 23 10 − 1 3

3

2

2

) = 278 (10

10 − 1) ≅

8 (31,62 − 1) ≅ 27

9, 07 unidades

1

Exercício 30: Encontre o comprimento do arco sobre o gráfico da função f ( x ) = abscissa 1 ao ponto de abscissa 3. Solução: Temos f ( x ) =

x3 6

+ 21 x −1 ⇒ f ´( x ) =

x3 1 + do ponto de 6 2x

− 21 x −2 = 21 ( x − x −2 ) . Assim o comprimento do arco 2

x2 2

desejado é dado por 3

2

3

3

1

1

s = ∫ 1 +  21 ( x − x −2 ) dx = ∫ 1 + 41 ( x 4 − 2 + x −4 )dx = ∫ 1 + x4 − 21 +   2

1

3

=∫

1 2

1

1 2

=

1 2

−4

4

2 + x 4 + x −4 dx 4

=

3

1 2

1

3

=

3

+ x4 + x4 dx = ∫

∫ 1

2 x 4 + x 8 +1 dx x2

 − 13 

+ 1+

33 3



=

3

1 2

∫ 1

1 3

=



2 + x 4 + x −4 dx =

1

( x 4 +1)2 dx x2 1 28 2 3

=

14 3

=

3

1 2

∫ 1

3

1 2

∫ 1

x 4 +1 dx x2

x −4 dx 4

=

2 x 4 + x 8 +1 dx x4

=

4

3 3  3 3 = 21  ∫ x1 dx + ∫ x 2dx  dx = 21  − x1  + x3   =  1 1   1  1 3

2

unidades

Exercício 31: Calcule a área da superfície obtida ao rotacionarmos o arco do gráfico de f ( x ) = x entre os pontos (1,1) e (4, 2) ao redor do eixo Ox. Solução: A curva é parte de uma parábola e, ao ser rotacionada ao redor do eixo Ox, gera o parabolóide, conforme a figura a seguir.

y y

y= x

2 1 0

0 1

4

x

4

4

1

4

4

1

1

A = 2π ∫ x 1 + ( dx )2 dx = 2π ∫ x 1 + 41x dx = 2π ∫ x + 41 dx 1

dy

x

u = x + 41  du = dx Fazendo a mudança de variável  temos 5 x = 1 ⇒ u = 4 x = 4 ⇒ u = 17 4  17 4

17 4

A = 2π ∫ udu = 2π 23 u  = 3

5 4

5 4

= 43π

2

( 178

4π 3

(( 174 )

3

2

) (

− ( 45 )

3

2

) = 43π ( 174

17 4

− 45

5 4

)=

)

17 − 85 5 = π6 17 17 − 5 5 ≅ 30,8 unidades quadradas.

Exercício 32: Considere o arco do gráfico de f ( x ) = x 3 entre os pontos (1,1) e (2,8) . Calcule a área da superfície obtida ao girarmos esse arco ao redor do eixo Ox. Solução: A curva e a superfície de revolução estão representados a seguir. y 8

y

8

y=x3 y=x3

1 0 -1

1

2

1 0

1

x

2

2

2

1

1

A = 2π ∫ x 3 1 + (3x 2 )2 dx = 2π ∫ x 3 1 + 9x 4 dx u = 1 + 9 x 4  du = 36x 3 temos Fazendo a mudança de variável  x = 1 ⇒ u = 10 x = 2 ⇒ u = 145  A = 2π

145



10



π

27

u 36

145

π 2u  du = 18 3 10 = 3

2

π

27

(145 − 10 ) = 3

2

3

2

π

27

(145 145 − 10 10 ) =

(145 ⋅ 12, 04 − 10 ⋅ 3,16) ≅ 199, 35 unidades quadradas

Exercício 33: Esboce a região identificada com a integral imprópria do Exemplo 48.

x

+∞



Solução: A integral do exemplo 48 é

0

b

e − x dx = lim ∫ e − x dx = 1 . b →∞

0

y

1

y = e-x x=b

O

x

Exercício 34: Encontre os valores de k para os quais a integral imprópria

+∞ kx e dx 0



converge e determine

o valor da integral. Solução: +∞

∫ 0

b

b →∞

Se k > 0 , lim k1 ( e kb − 1) = +∞ . Logo b →∞

b →∞

+∞

∫ 0

e kx dx =

b →∞

0

+∞

∫e

0

b →∞

kx

dx é divergente para k > 0 .

kx

dx é divergente para k > 0 .

0

Se k < 0 , lim k1 ( e kb − 1) = − k1 . Logo Se k = 0 ,

b

e kx dx = lim ∫ e kx dx = lim k1 e kx k1 e kx  = lim k1 ( e kb − 1)

+∞

∫e 0

+∞



dx = lim x ]0 = lim b = +∞ . Logo

0

b

b →∞

+∞

Portanto a integral imprópria

∫e

kx

b →∞

+∞

∫e

kx

dx é divergente para k = 0 .

0

dx é convergente para todo k < 0 .

0

1 x situado sobre o intervalo [1, +∞ ) . Mostre que o volume do sólido ilimitado obtido pela rotação de R em torno do eixo Ox é igual a π unidades cúbicas. Solução: Exercício 35: Considere a região ilimitada R, acima do eixo Ox e abaixo do gráfico da função f ( x ) =

y

y = 1/x 1

1

O

x

dx

Observe que: . espessura do disco: dx ; . raio do disco: x1 ; . volume do disco: π ( x1 )2 ⋅ dx . +∞

Assim, V =

∫π 1

b

1 dx x2

= lim ∫ π b →∞

1

1 dx x2

= lim π b →∞

1 x

b

 = −π lim ( b1 − 1) = π . 1 b →∞

Exercício 36: Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente e, no caso de ser convergente, calcule o valor da integral. +∞

(a)

∫0

(d)

∫1

(g)

∫ 0 ln x dx ;

sen x dx ;

+∞

ln x dx ;

e

0

−x 2

4

dx

(b)

∫−∞ x 5

(e)

∫0 x 2 − 2x − 3 ; (h)

dx ;

+∞

∫0

+∞

xe − x dx ;

+∞

dx

(c)

∫0

(f)

∫e

x ( ln x )

2

;

ln x dx .

Solução:

a)

+∞

b

0

0

sen x dx = lim − cos x ]0 = − lim (cos b − cos 0) = lim (1 − cos b ) . Como b assume ∫ sen x dx = blim →∞ ∫ b →∞ b →∞ b →∞ b

todos os valores de nπ e 2nπ , então cosb assume todos os valores de −1 a 1 . Portanto, lim cos b não b →∞

existe. Consequentemente a integral imprópria diverge.

0

b)



x 5− x dx = lim 2

a →−∞

−∞

0

0

−x −x ∫ x 5 dx . Inicialmente vamos resolver a integral ∫ x 5 dx . Fazendo a mudança 2

2

a

a

u = − x  du = −2xdx obtemos de variável  2  x = a ⇒ u = −a x = 0 ⇒ u = 0  2

0

0

−x ∫ x 5 dx = − 21 0

∫ x5

−x 2

−∞

c) xe − x

+∞

∫ 0

u

u

−a2

= − 21 ( ln5 5 − 5ln 5 ) = − ln125 (1 − 5− a ) = 0

2

−a 2

a

Portanto,

0

∫ 5 du = − 21 ( ln5 5  −a

2

2

1 (5− a ln 25

2

− 1)

dx = lim [ ln125 (5− a − 1)] = − ln125 2

a →−∞

u = − x ⇒ du = dx xe − x dx = lim ∫ xe − x dx . Fazendo a mudança de variável  obtemos −x −x b →∞ dv = e ⇒ v = −e 0 b

∫ xe

−x

dx = − xe − x − ∫ −e − x dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe − x − e − x .

Portanto, b

∫ xe

−x

b

dx = −xe − x − e − x  = e −b ( −b − 1) − (0 − 1) = −be −b − e −b + 1 . 0

0

Assim, +∞

∫ xe

−x

dx = lim ( −be −b − e −b + 1) = lim

0

−b é uma indeterminação b b →∞ e lim −bb = lim −e b1 = 0 . Logo, b →∞ e b →∞ +∞ −x

Observe que lim isto é,

∫ xe 0

+∞

d)

∫ 1

−b b b →∞ e

b →∞

do tipo

−b b b →∞ e

dx = lim

∞ ∞

− lim

1

b →∞ e

b

+1.

e, neste caso, podemos aplicar a regra de L´Hospital,

− lim

1 b b →∞ e

+ 1= 0 − 0 + 1= 1.

b

ln x dx = lim ∫ ln x dx . Resolvendo a integral por partes temos b →∞

1

u = ln x ⇒ du = dx e ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x x1 dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x .  dv = dx ⇒ v = x 1 x

Logo, b

∫ ln x dx = x ln x − x ]1 = b ln b − b − (0 − 1) = b ln b − b + 1 b

1

+∞

Assim,

( b ln b − b + 1) = +∞ . Portanto a integral diverge. ∫ ln x dx = blim →∞ 1

4

e)



−∞

dx x 2 − 2 x −3

= lim

a →−∞

A x +1

4

∫ ( x +1)(1 x −3) dx a

+ x B−3 = ( x +1)(1 x −3) ⇔ A( x − 3) + B( x + 1) = 1 ⇔ ( A + B )x − 3 A + B = 1  A = − 41 A + B = 0 ⇒  −3 A + B = 1 B = 41

4

∫ 0

3

dx x 2 −2 x −3

4

b

4

= ∫ ( x−+1 + x −3 )dx + ∫ ( x−+1 + x −3 )dx = lim ∫ ( x−+1 + x −3 )dx + lim ∫ ( x−+1 + 1

0

1

4

4

1

1

4

1

4

b →3

3

1

4

4



1

4

+

a →3

0

1

( ( − ln|x + 1|+ ln|x + 3| ) + lim ( ( − ln|x + 1|+ ln|x + 3 ) =

= lim

(

b →3

b → 3−

b

1 4

0

1 ( − ln|b 4

a →3

4

1 4

+

+ 1| + ln|b + 3| − ln 3 ) + lim

a →3+

)dx =

a

= lim



4

x −3

a

(

1 ( − ln 5 + ln|a 4

+ 1| − ln|a − 3|) .

Observe que os limites acima não existem, pois lim− ln|b − 3|= −∞ e lim+ ln|a − 3|= −∞ . Portanto a b →3

a →3

integral imprópria diverge. Note que, neste caso, bastaria analisar apenas uma das integrais da parcela inicial. +∞

f)

∫ e

dx x (ln x )2

u = ln x obtemos 1 du = x dx

b

dx b →∞ ∫ x (ln x )

= lim

2

. Fazendo a mudança de variável 

e

b



=

dx x (ln x )2

e

ln b

∫ 1

du u2

= − u1 

ln b 1

= − ln1b + 1 .

+∞

Portanto,

∫ e

dx x (ln x )2

e

g)

= lim ( − ln1b + 1) = 1 . A integral imprópria converge para 1 . b →∞

e

∫ ln x dx = lim ∫ ln x dx . Mas, pelo ítem d) tem-se que ∫ ln x dx = x (ln x − 1) . Logo, 0

ε →0 +

ε

e

∫ ln x dx = x (ln x − 1)]ε = e(ln e − 1) − ε (ln ε − 1) = −ε ln ε + ε 2

0

e

( −ε ln ε + ε ) = − lim ∫ ln x dx = εlim ε →0 →0 +

+

ln ε 1

ε

+ lim ε .

0

Aplicando a regra de L´Hospital, vem

lim

ε →0 +

ln ε 1

ε

= lim

1

ε

1 ε →0 + − ε 2

Portanto a integral imprópria converge para zero.

= lim − ε = 0 ε →0+

ε →0 +

+∞

h)

∫ 0

e

+∞

0

e

ln x dx = ∫ ln x dx +



e

ln x dx = lim ∫ ln x dx + lim a →0 +

b

b →+∞

a

∫ ln x dx . Vamos calcular inicialmente a e

e



integral lim+ ln x dx . a →0

a

e

lim ∫ ln x dx = lim x ln x ]a = lim [ e ⋅ 0 − a (ln a − 1)] = − lim a ln a + lim ln a

a →0

e

+

a →0

a

+

a →0+

a →0+

a →0 +

e



Pela resolução do item g), tem-se que lim+ a ln a = 0 . Logo lim+ ln x dx = 0 . a →0

a →0

a

b

Vamos calcular agora lim

b →+∞

∫ ln x dx e

b

ln x dx = lim x (ln x − 1)]e = lim b(ln b − 1) − e ⋅ 0 = +∞ . b →+∞ ∫ b →+∞ b →+∞ b

lim

e

+∞

Portanto, a integral imprópria

∫ ln x dx 0

diverge.